Mehr über Mittelwerte

Prof. Dr. F. Marohn
Übungen zur Statistik für Studierende der
Naturwissenschaften und Biomedizin
Wintersemester 2010/2011
Blatt 4
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Aufgabe 1: Gewogenes arithmetisches Mittel (GAM)
Das gewogene oder gewichtete arithmetische Mittel von n Zahlen x1 , . . . , xn
ist definiert durch
GAM = g1 · x1 + g2 · x2 + . . . + gn · xn =
n
X
gi · xi
i=1
Die Faktoren g1 , . . . , gn heißen Gewichte. Von den Gewichten wird nur verlangt, dass sie nicht negativ sind und die Summe 1 ergeben müssen:
g1 + g2 + . . . + gn = 1
Im Spezialfall g1 = g2 = . . . = gn = 1/n (jede Beobachtung wird gleich
gewichtet) ergibt sich das (gewöhnliche) arithmetische Mittel.
(i) Bei einer Untersuchung von 100 Schulkindern ergaben sich folgende
Häufigkeiten der verschiedenen Anzahlen kariöser Zähne:
Anzahl kariöser Zähne Häufigkeit
0
30
1
34
2
14
3
10
4
4
5
5
6
1
7
2
Wie lautet der Durchschnittswert kariöser Zähne der 100 Schulkinder?
(ii) Bei 39 Männern und bei 30 Frauen wurden die Körpergrößen (in cm)
gemessen. Es ergaben sich die Mittelwerte 182.5 und 168.3. Wie groß
ist die durchschnittliche Körpergröße dieser 69 Personen?
1
Aufgabe 2: Geometrisches Mittel (GM)
In drei Tagen zeigte eine bestimmte Bakterienkultur folgende Entwicklung:
Zahl der absoluter WachstumsBakterien Zuwachs
rate
1000
–
–
1200
200
0.2
1500
300
0.25
1000
−500
−0.33
Wachstumsrate in %
–
20%
25%
−33%
Wachstumsfaktor
–
1.2
1.25
0.67
Es gilt:
Wachstumsrate =
neuer Wert – alter Wert
alter Wert
und
Wachstumsfaktor = Wachstumsrate + 1
=
neuer Wert
alter Wert
(i) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der absoluten Zuwächse.
(ii) Es soll die durchschnittliche Wachstumsrate und der durchschnittliche
Wachstumsfaktor der Bakterien bestimmt werden. Verwenden Sie dazu
das arithmetische Mittel. Was fällt auf? Hilft hier der Median als
Durchschnittswert weiter?
(iii) Der sachlich richtige Durchschnitt von Wachstumsfaktoren ist das geometrische Mittel. Allgemein ist das geometrische Mittel von n positiven Zahlen x1 , . . . , xn gegeben durch
√
GM = x̄G = n x1 · x2 · . . . · xn
Berechnen Sie den durchschnittlichen Wachstumsfaktor der Bakterien.
(iv) Zum durchschnittlichen Wachstumsfaktor gehört die durchschnittliche
Wachstumsrate:
durchschnittl. Wachstumsrate = durchschnittl. Wachstumsfaktor − 1
Bezeichnen r1 , . . . , rn die Wachstumsraten von n Perioden, so berechnet
sich die durchschnittliche Wachstumsrate gemäß der Formel
p
n
(r1 + 1) · (r2 + 1) · . . . · (rn + 1) − 1
Wie lautet die durchschnittliche Wachstumsrate der Bakterien?
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Aufgabe 3: Gewichtetes harmonisches Mittel (GHM)
Für n Zahlen x1 , . . . , xn ist das gewichtete harmonische Mittel definiert
durch
1
GHM = n
X gi
x
i=1 i
Für die Gewichte gi gilt dabei gi ≥ 0 und g1 + . . . + gn = 1. Im Spezialfall
gi = 1/n für i = 1, . . . , n (Gleichgewichtung) erhält man das sogenannte
harmonische Mittel
n
HM = x̄h = n
X 1
x
i=1 i
(i) Es werden 5 Flüssigkeiten mit unterschiedlichen Dichten gemischt. Die
Mengen (in kg) und die Dichten der Lösungen (in kg/l) sind dabei wie
folgt:
Menge in Kg Dichte in kg/l
1.0
1.25
0.7
0.80
0.4
0.93
0.1
1.32
0.1
0.87
Wie groß ist die Dichte des Gemisches? Hinweis: Die Gewichte g1 , . . . , g5
des harmonischen Mittels sind die Mengenanteile, die Werte x1 , . . . , x5
sind die Dichten (Dimension: kg/l).
(ii) Jetzt erfolgt die Angabe der Menge nicht in Kilogramm, sondern in
Liter. Es ergibt sich die folgende Tabelle:
Menge in l Dichte in kg/l
0.8
1.25
0.875
0.80
0.430
0.93
0.076
1.32
0.115
0.87
Berechnen Sie nun das (gewogene) arithmetische Mittel (vgl. Aufgabe 1).
Die Gewichte sind die Mengenanteile.
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