Document

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Lösung Blatt 11
Allgemein zum Thema komplexe Leistung
Momentane Leistung
Gegeben seien die Wechselspannung und der Wechselstrom der Form:
u(t) = Û sin(ωt + ϕu )
i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi )
(1)
(2)
Die momentane Leistung ist also:
p(t) = u(t) · i(t) =
= sin(ωt + ϕi ) · sin(ωt + ϕu )
Verwendet man die trigonometrische Formel sin(a) · sin(b) = 12 · cos(a − b) − cos(a + b) , kommt
man auf den Ausdruck:
1
p(t) = Û Iˆ · cos(ϕu − ϕi ) − cos(2ωt + ϕu + ϕi )
2
Da dieser Ausdruck sehr unbequem für die weiteren Rechnungen ist, wird der Bergiff komplexe
Leistung eingeführt.
Komplexe Leistung
Die komplexe Leistung (auch komplexe Scheinleistung) wie folgt definiert:
∗
1
· Û · Iˆ
2
1
= · Û Iˆ · ej(ϕu −ϕi )
2
1
1
= · Û Iˆ · cos(ϕu − ϕi ) + j · · Û Iˆ · sin(ϕu − ϕi )
2
2
Setzt man für den Term ϕu − ϕi = ∆ϕ:
P =
1
1
· Û Iˆ · cos(∆ϕ) + j · · Û Iˆ · sin(∆ϕ)
2
2
= PW + jPB
P =
1
· Û Iˆ · cos(∆ϕ)
2
1
PB = · Û Iˆ · sin(∆ϕ)
2
q
1
2
PS = |P | = PW
+ PB2 = · Û Iˆ
2
PW =
1
Wirkleistung
Blindleistung
Scheinleistung
Effektivwerte
Des Weiteren definiert man den Bergriff Effektivwert einer zeitabhängigen Größe als:
s
Z
1 T
Ueff =
u(t)2 dt
T 0
Im Falle einer Wechselspannung mit der Amplitude Û ergibt sich also:
1
Ueff = √ · Û
2
ˆ
Analog gilt für den Effektivwert zu einem Wechselstrom mit der Amplitude I:
1
Ieff = √ · Iˆ
2
Es lässt sich also schreiben:
PW = Ueff Ieff · cos(∆ϕ)
PB = Ueff Ieff · sin(∆ϕ)
PS = Ueff Ieff
23. Aufgabe:
i (t)
u (t)
Wirkleistung
Blindleistung
Scheinleisung
Lösung
R
u R(t)
gegeben:
i(t) = Iˆ · sin(ωt)
u(t) = Û · sin(ωt + ϕ)
L uL (t)
a) Zunächst ordnen wir dem Strom i(t) und der Spannung u(t) jeweils einen komplexen
Zeiger zu. Es gilt also:
Iˆ = Iˆ · ej·0
Û = Û · ej·ϕ
Bekannt ist die Gesamtimpedanz des RL-Glieds:
Z ges = R + jωL = |Z ges | · ej·arg(Z ges )
Aus dem komplexen Ohmschen Gesetz erhalten wir:
Û = Iˆ · Z ges
Û · ej·ϕ = Iˆ · ej·0 · |Z ges | · ej·arg(Z ges )
ωL
arg(Z ges ) = arctan
R
√
|Z ges | = R2 + ω 2 L2
√
ωL
Û · ej·ϕ = Iˆ · R2 + ω 2 L2 · ej·arctan( R )
2
Durch Koeffizientenvergleich kommen wir auf die zwei Gleichungen:
√
Û
R2 + ω 2 L2 =
Iˆ
ωL
=ϕ
arctan
R
Einsetzen von den gegebenen Werten liefert:
L = 22, 5 · 10−3
R = 7, 07
Vs
A
V
A
b) Für die momentane Leistung p(t) ergibt sich der bekannte Ausdruck:
p(t) = Û Iˆ · sin(ωt + ϕ) · sin(ωt)
Nach Umformung erhalten wir:
1
p(t) = Û Iˆ · cos(ϕ) − cos(2ωt + ϕ)
2
Nach Einsetzen von den gegebenen Werten:
p(t) = 35, 4kW − 50 · cos(2ωt +
π
)
4
c) Der Verlauf von p(t) ist in der Skizze dargestellt:
π
T
T
d) Zu beachten: p(t) hat wegen cos 2 ωt +
die halbe Zeitperiode ! Wegen p(t + ) =
4
2
2
p(t) genügt es, über 0 ≤ t ≤ 34ωπ zu integrieren und das Ergebnis zu verdoppeln:
3π
3π
Z4 ω
Z4 ω Û Iˆ
1
π
√ − cos 2 ωt +
dt
W+ = 2
p(t)dt = 2
2
4
2
t=0
t=0
"
# 43 ωπ
π
sin
2
ωt
+
t
4
= Û Iˆ √ −
2ω
2
0
(
√
√ )
ˆ
Û I
3π
2
2
√ +
=
+
= 755 J
2ω 2 2
2
2
3
Analog:
π
Zω
W− = 2
Û Iˆ
p(t)dt = 2
2
)
sin( 7π
sin 9π
π
4
4
√ −
+
2ω
2ω
4ω 2
t= 43πω
Û Iˆ
π
π
π
√ − sin + sin(− )
=
2ω 2 2
4
4
ˆ
Û I
π
2
√ −√
=
= −48 J
2ω 2 2
2
Wp = W+ + W− = 707 J
e) PW = 12 Û Iˆ cos ϕ = 35, 4 kW
f) PS = 21 Û Iˆ = 50 kW PB = 12 Û Iˆ sin ϕ = 35, 4 kW
24. Aufgabe:
Lösung
uC
uR
C
R
i(t)
u(t)
L uL
a) Zweckmäßig ist es, die Berechnungen mit komplexen Zeigern durchzuführen. Gegeben ist
also der komplexe Stomzeiger Iˆ = Iˆ · ej·0 . Ein häufig verwendeter Zusammenhang ist
π
j = ej· 2 .
Es gilt also:
Û C = Iˆ ·
1
Iˆ
= −j ·
jωC
ωC
π
Iˆ
· e−j· 2
ωC
Iˆ
⇒ |Û C | =
ωC
π
ϕC = −
2
=
ˆ · ej· π2
Û L = Iˆ · jωL = IωL
ˆ
⇒ |Û L | = IωL
π
ϕL =
2
ˆ · ej·0
Û R = Iˆ · R = IR
ˆ
⇒ |Û L | = IR
ϕR = 0
4
1
Û = Iˆ · R + j · ωL −
ωC
1
Û = Iˆ · R + j · Iˆ ωL −
ωC
s
2
1
2
ˆ
⇒ |Û | = Û = I · R + ωL −
ωC
1
ωL − ωC
ϕ = arctan
R
b)
s
2
1 ωL
−
1
ωC
PW
R2 + ωL −
· cos arctan
ωC
R
s
2
1 ωL
−
1
1 ˆ
1 ˆ2
ωC
· sin arctan
PB = Û I · sin ∆ϕ = I · R2 + ωL −
2
2
ωC
R
s
q
2
1 ˆ2
1
2
2
2
PS = PW + PB = I · R + ωL −
2
ωC
1
1
= Û Iˆ · cos ∆ϕ = Iˆ2 ·
2
2
c) Für die momentane gespeicherte Energie in dem Kondensator bzw. in der Spule ergibt
sich:
1
1
L i(t)2 = L Iˆ2 sin2 (ωt)
2
2
1
wC (t) = C uC (t)2
2
1
π
= C ÛC2 sin2 (ωt + ϕC )
mit ϕC = −
2
2
1
= C ÛC2 cos2 (ωt)
2
wL (t) =
d) Für die maximale der momentanen gespeicherten Energien gilt:
1 ˆ2
LI
2
1
1 Iˆ2
= C ÛC2 = · 2
2
2 ω C
WL, max =
WC, max
e) Nach Anwendung des bekannten Ausdrucks für Blindleistung erhalten wir:
1
1
ÛL Iˆ · sin ϕL = ÛL Iˆ > 0
2
2
1
1
= ÛC Iˆ · sin ϕC = − ÛC Iˆ < 0
2
2
PB,L =
PB,C
Beachten Sie wie der Strom und die Spannung beider Bauteile eingezeichnet sind. Diese sind im Verbraucherzählpfeilsystem, d.h. beide haben dieselbe Richtung. PB,C und
PB,L sind also aufgenommene Blindleistungen. |PB,C | = 21 ÛC Iˆ wird also abgegeben und
|PB,L | = 21 ÛL Iˆ wird aufgenommen.
5
f) Die konstante Leistung, die am Widerstand über die Zeit T umgesetzt wird, ergibt die
Energie:
1
1
2π
WR = ÛR Iˆ · T = ÛR Iˆ ·
2
2
ω
g)
1
1 ˆ2
LI sin2 (ωt) + C ÛC2 cos2 (ωt) = const.
2
2
1
1
⇒ LIˆ2 = C ÛC2
2
2
Iˆ2
⇒ LIˆ2 = C 2 2
ω C
Dies entspricht der “Resonanzbedingung”:
wL (t) + wC (t) =
L=
1
⇔
ω2C
6
ω2 =
1
LC