Kurzfassung Vorlesung 12

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
24. Mai 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 12 vom 24.5.2013
~ x) für magnetisches B-Feld
~
Vektorpotential A(~
~ lässt sich schreiben als (s.o.)
• Magnetfeld B
Z
~ x0 )
1
3 0 j(~
~
~
~ x) .
B(~x) = ∇ × d x
≡ rot A(~
c |~x − ~x0 |
(1)
~ spielt ähnliche Rolle wie elektrostatisches Potential φ (mit E
~ =
Vektorpotential A
~ = div rot A
~ = 0.
−grad φ). Damit gilt automatisch divB
~ ist nicht eindeutig, denn
• Vektorpotential A
~ x) → A
~ 0 (~x) := A(~
~ x) + ∇Λ(~
~ x)
A(~
“Eich-Transformation”
(2)
~0 = B
~ (→ “Eichfreiheit/Wahl der Eichung”).1
erfüllt auch rotA
Aus der entsprechenden Maxwell-Gleichung erhalten wir die DGL für das Vektorpotential
~ = 4π ~j = rot rot A
~ = grad div A
~ − ∆A
~.
rot B
c
(3)
• Behauptung: Wir können Eichung immer so wählen, dass
~ ≡ 0
div A
“Coulomb-Eichung”
(4)
~ 6= 0, können wir mitBegründung: Ausgehend von einem Vektorpotential mit div A
~ 0 = 0 konstruieren, wenn
tels Eichtransformation ein Vektorpotential mit div A
~ + ∆Λ = 0 .
div A
Das entspricht gerade einer Poisson-Gleichung für die Eichfunktion Λ, die für gegebene
Randbedingungen immer eindeutig lösbar ist (→ Greensche Funktionen etc.)
1
Das dazugehörige Prinzip der “Eichsymmetrie” spielt eine herausragende Rolle bei der theoretischen
Konstruktion des sog. Standardmodells der Elementarteilchenphysik.
1
Damit lautet die DGL für das Vektorpotential in Coulomb-Eichung
~ x) = −
∆A(~
4π ~
j(~x)
c
~ ·A
~ = 0) ,
(für ∇
(5)
~ entspricht.
was gerade 3 Poisson-Gleichungen für die 3 Komponenten von A
~ x) gerade einem
• Für gegebene Stromdichte ~j entspricht obige Darstellung von A(~
~ in Coulomb-Eichung, denn mit ∆ 1 = −4π δ (3) (~x)
Vektorpotential von B
r
~ x) =
∆A(~
Z
~j(~x0 )
4π
dx
−4π δ (3) (~x − ~x0 ) = − ~j(~x)
c
c
3 0
√
und
~ ·A
~ = · · · s.o. · · · = 1
∇
c
Z
d3 x0
1
~ x0 · ~j(~x0 ) = 0
∇
|~x − ~x0 | | {z }
(für ∂t ρ = 0)
√
Damit lassen sich Randwertprobleme der Magnetostatik analog zu denen der Elektrostatik
als Lösungen der entsprechenden Poisson-Gleichung(en) behandeln.
Multipolentwicklung einer lokalisierten Stromdichte
Wir können in der Darstellung des Vektorpotentials im Integranden wieder entwickeln
1
|~x − ~x0 |
1 ~x · ~x0
+ 3 + ...
r
r
|~
x||~
x0 |
=
so dass
~ x) = 1
A(~
c
Z
1 1
d x j(~x ) +
c r3
3 0~
0
Z
0
d3 x0 (~x · ~x ) ~j(~x0 ) + . . .
(6)
• In den Übungen wird gezeigt, dass mit div~j = 0 folgende Integrale verschwinden
Z
(7)
(a)
d3 x0 ~j(~x0 ) = 0 ,
Z
(b)
d3 x0 (x0i jk (~x0 ) + x0k ji (~x0 )) = 0 .
(8)
~ wegen (a), und der
• Damit verschwindet der erste Term in der Entwicklung von A
zweite Term lässt sich mit (b) umschreiben (mit Komponentenschreibweise),
Z
1 X
xi
d3 x0 x0i jk (~x0 ) + . . .
Ak (~x) =
cr3 i
Z
1 X
(b)
=
xi
d3 x0 (x0i jk (~x0 ) − x0k ji (~x0 )) + . . .
(9)
2cr3 i
2
Mit der fundamentalen Beziehung des anti-symmetrischen -Tensors,
`ik `mn x0m jn = (δim δkn − δin δkm ) x0m jn
lässt sich das weiter umformen zu einem doppelten Kreuzprodukt,
Z
1
Ak (~x) =
`ik `mn xi
d3 x0 x0m jn + . . .
2cr3 Z
h
i
1
3 0
0
~
= − 3 ~x × d x ~x × j
+ ...
2cr
k
• Darin definieren wir das “magnetische Dipolmoment” der Stromdichte ~j,
Z
h
i
1
d3 x0 ~x0 × ~j(~x0 ) ,
µ
~ ≡
2c
(10)
(11)
so dass
~x
~ x) = µ
A(~
~ × 3 + ...
r
für große Abstände r.
(vgl. mit Elektrostatik: φ(~x) =
(12)
q
r
+ p~ ·
~
x
r3
+ . . .)
~ gehörige B-Feld
~
• Das zu A
hat entsprechend die Entwicklung
x (~x · µ
~) − µ
~ r2
µ
~ × ~x
Übung 3 ~
~
~
~
~
=
+ 4π µ
~ δ (3) (~x)
B =∇×A'∇×
r3
r5
(13)
~
Der letzte Term entspricht hierbei einer punktförmigen Quelle des B-Feldes
(zusam~
men mit dem ersten Term ergibt sich aber div B = 0).
• Analog zur elektrischen Polarisation können wir wieder eine Dichteverteilung von
elementaren mikroskopischen magnetischen Dipolmomenten betrachten,
~ (~x) ≡
M
1
~x × ~j(~x)
2c
“Magnetisierung”
(14)
für ein entsprechend magnetisiertes bzw. magnetisierbares Medium. Daraus resultieren wieder Modifikationen der relevanten Maxwell-Gleichungen.
Magnetostatik in Medien
Analog zur Elektrostatik betrachten wir zwei elementare Ursachen für magnetische Felder:
• (makroskopische) elektrische Stromdichte im Medium: ~j(x)
~ (~x)
• magnetische Dipoldichte (mikroskopische Eigenschaft des Mediums): d~µ = d3 x M
3
~ = rot A
~ mit div B
~ = 0. Der Gesamtbeitrag zu A
~ lautet dann
Definiere weiterhin B
"
#
Z
0
0
~
1
j(~x )
~ x) =
~ (~x0 ) × ~x − ~x
A(~
d3 x0
+M
0
|~x − ~x | c
|~x − ~x0 |3
(15)
Der 2.Term lässt sich wieder als Ableitung schreiben (vgl. elektr. Polarisation), so dass
Z
Z
1
1
∂
3 0 ~
0
~
d x M (~x ) × ∇x0
= ijk d3 x0 Mj 0
0
|~x − ~x | i Z
∂xk |~x − ~x0 |
Z
h
i
1
∂
1
3 0
~ (~x0 )
rot
M
(16)
= −ijk d3 x0
M
=
d
x
j
|~x − ~x0 | ∂x0k
|~x − ~x0 |
i
Damit erhalten wir für das Vektorpotential
Z
1
1 ~
~
A(~x) =
d 3 x0
jeff (~x0 ) ,
0
c
|~x − ~x |
~ .
~jeff = ~j + c rot M
(17)
beziehungsweise
~ .
~ = 4π jeff = 4π ~j + 4π rot M
(18)
rot B
c
c
~ ≡B
~ − 4π M
~ bezeichnen, ergeben
Wenn wir die modifizierte magnetische Feldstärke mit H
sich modifizierte statische Maxwell-Gleichungen im Medium analog zur Elektrostatik
~
~
~
~
~
div B = 0 ,
vgl. div D = 4π ρ , mit D = E + 4π P
~ = 4π ~j , mit H
~ ≡B
~ − 4π M
~ ,
~ =0
rot H
vgl. rot E
(19)
c
Beachte Sprachgebrauch:
~ “magnetische Induktion”,
~ “magnetische Feldstärke”
B:
H:
~ Funktion des Magnetfeldes H
~
Analog zur E-Statik ist Magnetisierung M
~ ∝H
~
• lineare Näherung: M
~ (H(~
~ x)) = χm H(~
~ x), so dass
• homogene, isotrope Medien: M
~ =H
~ + 4π M
~ = (1 + 4π χm ) H
~ ≡ µH
~
B
(20)
mit “Permeabilitätskonstanten” µ.
• Für kleine Suszeptibilitäten, |χm | 1, unterscheiden wir
– paramagnetische Substanzen: χm > 0 ↔ µ > 1
– diagmagnetische Substanzen: χm < 0 ↔ µ < 1
• Für ferromagnetische Substanzen gilt lineare Näherung nicht: Aufgrund des nicht~ und H
~ kommt es zum Phänomen “Hysterese
linearen Zusammenhangs zwischen B
~ max , Remanenz (B(H = 0) 6= 0),
(→ Skizze) [insbesondere: Sättigungsmagnetisierung M
Koerzitivkraft (B(H ∗ 6= 0) = 0), und die Magnetisierung hängt von der Vorgeschichte ab.]
4
~ und H
~ an Grenzflächen
Randbedingungen für B
Analog zur E-Statik ergeben sich aus den Maxwell-Gleichungen Bedingungen an das Verhalten der magnetischen Felder an Grenzflächen:
~ = 0 folgt mit dem Gaußschen Satz, dass
(a) Wegen div B
~ stetig an Grenzflächen.
Normalkomponenten von B
~ =
(b) Wegen rot H
4π ~
j
c
folgt mit Stokesschem Satz, dass
~ springen an Grenzflächen gemäß
Tangentialkomponenten von H
”Oberflächenstromdichte“
~
(wobei Stromrichtung dabei parallel zur Grenzfläche und senkrecht zu H).
5