Magnetostatik

3
Magnetfelder
3.1
Magnetostatik
3.1.1 Magnetische Dipole
Elektrostatik: Es gibt einzelne elektrische Ladungen, die aufeinander Kräfte ausüben. Sie
können isoliert auftreten. Ladungen können positiv oder negativ sein.
Magnetostatik: Es gibt "magnetische Ladungen", die ebenfalls unterschiedliche Vorzeichen
haben, aber nie isoliert vorkommen, sondern nur als Dipole (magnetische Dipole).
S
N
Stabmagnet

Ladungen  Südpol und Nordpol

Magnetisches Dipolmoment: 
Beobachtungen:


1. Magnetische Dipole erzeugen ein magnetisches Feld B analog zum elektrischen Feld E ,
das von elektrischen Dipolen hervorgerufen wird.

2. Äußere magnetische Felder üben auf einen magnetischen Dipol ein Drehmoment D aus.
3.1.2 Das Kraftgesetz
Untersuchungen dazu um 1820 von Biot, Savart, Ampère


In der Elektrostatik wurde das elektrische Feld durch die messbare Kraft F  q  E auf eine
 
Probeladung q definiert. Analog dazu definieren wir das Magnetfeld Br  durch messbare
Kräfte auf Ströme.

Betrachten: dünner, stromdurchflossener Leiter; der Draht ruht, der Strom I ist konstant.
Bei Anwesenheit anderer stromdurchflossener Leiter stellt man fest, dass auf den Draht Kräfte


wirken. Auf ein kleines Wegelement dl des Drahtes wirkt eine Kraft dF , für die gilt:
dF  I ,


dF  dl , dF  dl .

Die Kraft dF kann daher in folgender Form geschrieben werden:
 
I   
dF r   dl  Br  .
c
1. Ampèresches Gesetz
41
(3.1)
 
Das ist auch die Definition des Vektorfeldes Br  als Messgröße.
Die Definition enthält noch eine Konstante (c). Diese Konstante ist die Lichtgeschwindigkeit.
c  3  10 8
m
s


Die Dimension der Konstanten impliziert, dass E und B in gleichen Einheiten gemessen



werden, denn I  dl c  q  ; die Größe der Konstanten impliziert, dass E und B in einer
elektromagnetischen Welle gleichgroße Amplituden haben (später).


 
Das durch (3.1) definierte Feld Br  wird
- magnetische Induktion
- magnetische Flussdichte
genannt.

Eigentlich wäre magnetische Feldstärke sinnvoll wegen Vergleichbarkeit mit E , aber wir
werden später bei der Behandlung von Materie sehen, dass die magnetische Feldstärke

 

H  B  4M mit der Magnetisierung M ist.

Nachdem B als Messgröße festgelegt ist, soll bestimmt werden, welches Magnetfeld durch
einen stromdurchflossenen Leiter hervorgerufen wird.

I  dl
Draht

dB
 
r' r

r'
z

I  dl
y

r

B
x




Das Stromelement I  dl am Ort r' erzeugt am Ort r einen Beitrag dB zum Magnetfeld, der

 
senkrecht zu dl und zu r  r' ist. Summiert man alle Beiträge für einen unendlich langen,
geraden Draht, dann ergeben sich Kreise als Feldlinien.
Also:




Drahtstück dl am Ort r' ist von Strom I durchflossen  ruft am Ort r Beitrag dB hervor,
für den gilt:
dB  I  dl ,


dB  dl ,
  2
dB  1 r  r' ,
  
dB  r  r'
  
dB  sin  dl , r  r '

Lässt sich zusammenfassen zu
42

 
I 
dBr   dl 
c
 
r  r'
  3.
r  r'
Biot-Savart-Gesetz in differentieller Form
(3.2)
Für kontinuierlich verteilte Ströme gilt:

dl



I 
I dl 
d l   f  jd l   f  j d l   f
f
 
I d l  j dV

df
(3.3)
(3.4)
Einsetzen von (3.1) in (3.2) ergibt unter summieren aller Beiträge (integrieren):
  1  
B r    j r  
c
 
r  r'
  3 dV ' .
r  r'
Biot-Savart-Gesetz in integraler Form
(3.5)
Aus einer gegebenen stationären Stromverteilung kann so das Magnetfeld berechnet werden.
 
Beachte: Analogie zu E r  
 
ρr r  r 
 r  r 3 dV  aus der Elektrostatik
V
Beispiele zur Anwendung
Kraft auf Punktladung

Die Kraftdichte, die ein Magnetfeld B auf eine Stromverteilung ausübt, ist


  dF I dl   1    
f r  

 Br   j r   Br  .
dV c dV
c
(3.6)
Für die Stromdichte
 

 
j r   q  v   r  r0 
(3.7)
 

 
einer bewegten Punktladung ergibt dies die Kraftdichte f r   F   r  r0  mit


v  
F  q  Br 
c
Lorentzkraft
(3.8)


 
Dies ist die Kraft F auf eine Punktladung bei r0 , die sich mit der Geschwindigkeit v  r0



bewegt. Zeigt v in x- und B in y-Richtung, dann wirkt die Kraft F in z-Richtung.


(Entspricht der Kraft F  qE aus Elektrostatik.)
43
In einem homogenen Feld
entsteht eine Kreis- oder
Spiralbewegung.

dv q  
m
 vB
dt c



v

 dv m d 2
q 
mv
v  v v  B =0

dt
2 dt
c
 


 v 2  konst. , d.h. Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant.
 
v0 B
Es gilt für t  0:
 
 
Wegen d v  B gilt somit v B auch im weiteren Zeitverlauf.
hier:
F
q  v  B mv 2

c
R
R
m  v2  c m  v  c

q Bv
qB
(  Zentrifugalkraft)
wegen v  konst.  R  konst. , d.h. Kreisbewegung.
Magnetfeld eines ∞ langen Leiters im Abstand R
l
R

r
l 2  R2  r 2
dl

 I  d l  r
B 
c  r 3

Aus Symmetriegründen kann B nur vom

Abstand R abhängen. B entlang des
Leiters ist überall gleich. Wir berechnen

B an der Stelle l im Abstand R.
;


d l  r sin
I
B B 
c 
r3
44
r sin  R
I R
B
c
;
I R
B
c




 R3  1  l 2 R 2 



B


3

dl R
  1  l 2 R 2 




I
B
cR
l 2  R 2 3 / 2
dl


I 1
B
cR
dl
3
;
l Rx
I 
x


3 cR
2
 1 x
  1  x 2 




dx




 
2 I
cR
(3.9)
von oben
l
er
.
e
r
 
 2 I 
2 I  er
Feldlinien sind konzentrische Kreise. Vektorform: B 
e 
cR
cR
B
(3.10)
Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Berechnen Kraft zwischen zwei parallelen, unendlich langen, geraden Drähten im Abstand d.
Betrachten ein Wegelement dl1 des ersten Drahtes. Die anderen Wegelemente desselben
Drahtes bewirken kein Feld an dieser Stelle, da sie parallel zu dl1 sind. Also wirkt nur das
2I
Feld des anderen Drahtes, das den Betrag B2  2 hat und senkrecht zum Draht steht.
cd
45
I2
I1

 
I
dF12  1 d l1  B2
c

dl
1
dF12
B2

(3.11)
Anziehungskraft, wenn Ströme parallel
gerichtet.
Abstoßungskraft, wenn antiparallel.
d
)


Da B2  d l1 , gilt
dF12 
I 2I
I1dl1  B2
 dl1 1  2
c cd
c
Kraft pro Längeneinheit dl1 von Leiter 1
dF12 2 I1 I 2 dF1 dF2
 2


dl1
dl 2
c  d dl1
(3.12)
Falls beide Leiter  lang: Gesamtkraft   .
3.2
Feldgleichungen der Magnetostatik
3.2.1 Das 2. Ampèresche Gesetz
Es galt Gleichung (3.5)

 
 1 j r  r  r
B r    dB  
  3 dV 
cV 
r  r
Für die weitere Umformung benötigen wir die Beziehung
 
 1 
r  r
1
grad             ,
 r  r 
3
r  r
r  r


(3.13)
46

wobei der Nabla-Operator nur auf r wirkt. Damit können wir das B-Feld wie folgt schreiben:
 
1
Br   
c
  
1 


j
r
'



 dV 


 
r
r

V 
(3.14)
Wir benutzen aus der Vektoranalysis die Beziehung




rot a  u     a  u   a  rot u  grad a   u

sowie die Eigenschaft div j  0 . Damit folgt:
 1 j r

 
B r   rot     dV  .
 cV  r  r 

(3.15)
Die Divergenz einer Rotation verschwindet stets, so dass aus (3.15) folgt:
 
div Br   0 .
(3.16)

(Im Gegensatz zur Elektrostatik, wo gilt div E  4πρ .)
Für einen  langen geraden Leiter hatten wir abgeleitet:
B
2 I
cR
dr
4π  I
B  2πR 
c
)
Spezialfall von
 
 B dr 
4πI
c
(Linienintegral)
2. Ampèresches Gesetz in integraler Form
Die Allgemeingültigkeit soll hier nicht bewiesen werden (folgt direkt aus (3.15)).
Für kontinuierlich verteilte Ströme gilt:
47
(3.17)
I
  
 j r  df 
dr
f
  4π
B
 dr  c
C
  
 j r  df 
f
f
Umformung mithilfe des Stokesschen Satzes:
  4π   
rot
B
df 

 j r ' df '
c
f
f
und somit
 4π 
j
rot B 
c
2. Ampèresches Gesetz in differentieller Form
(3.18)
Gegenüberstellung der Grundgleichungen der Elektrostatik und der Magnetostatik:
ES :
MS :
ES :

div E  4πρ

div B  0
 
E
 df  4πρ
f
MS :
 
B
 df  0
f

rot E  0
 4π 
j
rot B 
c
 
E
 dr  0
C
  4π I
B
 dr  c
C
3.2.2 Das Vektorpotential
 1 j r

 
Es galt (3.15): Br   rot     dV 
 c V  r  r 


B kann dargestellt werden als Rotation eines Vektorfeldes:


B  rot A

A : Vektorpotential
(3.19)
In Analogie zum elektrischen Potential φ :

E   grad φ
48

Kennt man φ , läßt sich E berechnen:
φ

V

ρr  dV 
 
r  r
φ ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.
Ähnlich für das magnetische Potential. Da allgemein rot grad ψ  0 gilt, folgt


A  A  grad ψ



B  rot A  rot A
(3.20)

A ist also nur bis auf den Gradienten eines skalaren Potentials festgelegt. Um Eindeutigkeit

zu erzielen, kann an A eine zusätzliche Bedingung gestellt werden.

Eine Möglichkeit ist   0 und damit div A  0 . Das ist die sogenannte Coulomb-Eichung.
Wegen:
 4π 
rot B 
j
c
erhält man
 4π 
rot rot A 
j
c





rot rot A  grad div A   A





0
 4π 
 A 
j
c
(3.21)

Das ist die Bestimmungsgleichung für A (analog zu φ  4πρ in der Elektrostatik).
Weiter vorn hatten wir (3.15):
 1 j r dV  

B  rot     
 c V  r  r  
49


Mit Definition B  rot A folgt demnach für das Vektorpotenzial

 1 j r dV 
A    .
cV  r  r 
(3.22)

Man kann zeigen, dass div A  0 erfüllt ist.
3.2.3 Magnetischer Fluss
 
Die homogene Feldgleichung der Magnetostatik lautet: div Br   0 .
Wir suchen nun die integrale Formulierung dieser Feldgleichung. Dazu nutzen wir die
Definition des magnetischen Flusses Φm durch eine Fläche f:
 
Φm   B  df
(3.23)
f

Wegen B  Φm f heißt B ja auch magnetische Flussdichte.
 
Aus der Feldgleichung div Br   0 folgt, dass der magnetische Fluss durch eine
geschlossene Fläche f verschwindet:
 

B

d
f

div
B
dV  0 .


f
(3.24)
V
V ist das von f eingeschlossene Volumen.
Anschaulich: Es gehen ebensoviel Feldlinien in V hinein, wie wieder hinausgehen.
 Da das für beliebige Volumina gilt, müssen die Feldlinien geschlossen sein.
 Es gibt keine magnetischen Ladungen, die Ursprung von Feldlinien sind.
3.3
Magnetischer Dipol
Wir betrachten eine lokalisierte Stromverteilung:
 
beliebig, r '  R0
j r '  
r '  R0
0 ,
 
r  r'

r'
Gesucht: Feld außerhalb der Verteilung
50
 
Ar   ?

r
r  R0

Im Bereich r  R0 kann das Vektorpotential A nach Potenzen von R0 r entwickelt werden.
(vgl. Multipolentwicklung des elektrischen Potentials früher)
Hier: Beschränkung auf den niedrigsten Term: magnetischer Dipol
Entwicklung von:
 
 1
1 r 'r 1 3
1 r r'
   3 
     xi '
r  r'
r i 1 xi r
r
r
Einsetzen in den Ausdruck (3.22) für das Vektorpotential:

  1 j r dV 
 
   
1
1

Ar      
j r  dV  
r
 r '  j r  dV   


cV  r  r 
c  r V
c  r3 V
In einer begrenzten Stromverteilung gibt es in jeder Richtung gleich viele positive und
negative Beiträge. Daher gilt:
 
 j r  dV   0
also: der erste Term entfällt, es gibt keinen magnetischen Monopol!
V
Behandlung des zweiten Terms:

Wegen div j  0 folgt
  n  xi j n  
ji
n
Beweis:
3
3

xi  jn 
n 1 xn
  n xi jn   
n 1

xi  j1    xi  j2    xi  j3 
x2
x3
x1
x
j
x
x
j
j
 i j1  xi 1  i j2  xi 2  i j3  xi 3
x3
x2 x3
x1
x1 x2


 j
j 
xi
x
x
j
j1  i j2  i j3  xi   1  2  3 
x1
x2
x3
x1 x2 x3 




 divj  0
51
xi

 1
xi

 ji bleibt
xi
 0
x j

Daher gilt:
3
p.I.









x

j
r
dV

x

x

j
r
dV
   xi  j k r  dV

k
i
k
n
i
n


n 1V
V
V'
p.I.:  u' v  uv   uv'  0   uv'
weil j = 0 für V  
Wir multiplizieren beide Seiten mit x k ' , summieren über k, gehen zur Vektorschreibweise


über und vertauschen r'  r :


 xk  ji r  dV    xi  jk r  dV
V
 xk '
V


 xk  ji r   xk ' dV    xi  jk r   xk ' dV

   
   
 r  r '  j r  dV    r   j r   r 'dV


r ' r
V
V
V
, Vektorschreibweise
k
V
   
   




r

r
'

j
r
'
dV
'


r

 ' j r '  r dV '
V'
V'
Noch ein Trick: A   B 
A
1
 A  A  1  A  B 
2
2
Damit formen wir den zweiten Term der Dipolentwicklung um:
 
 
  
 r  r '  j r ' dV '  2  r  r '  j r '  r ' j r '  r dV '
 
 
1
V'

V'
       
allg. gilt: a  b  c  b a  c   c a  b

1    
r  r ' j r 'dV '
2 V'

  
r
    r ' j r 'dV '
2 V'


 
Die Größe


1   
r  j r dV
2c V
(3.25)
52
bezeichnen wir als magnetisches Dipolmoment der Stromverteilung.
Einsetzen ins Vektorpotential (Entwicklung):
    r
Ar   3  
r
für r  R0
(3.26)
Das dazugehörige Magnetfeld hat die gleiche Struktur wie das elektrische Dipolfeld:
 3r r       r 2
 
Br   rot A 
r5
(3.27)
Beispiele für Systeme mit magnetischem Dipolmoment:
Erde
stromdurchflossene Drahtschleife oder Spule
Kompassnadel
Elementarteilchen
Folgerungen: Drehmoment
Beobachtungen:


1. Magnetische Dipole erzeugen ein magnetisches Feld B analog zum elektrischen Feld E ,
das von elektrischen Dipolen hervorgerufen wird.
 3er  p  er   p
E
: Elektrostatik
r3
.

B
r
  

3er   er   
r3
S
r
er = _
r
N

2. Äußere magnetische Felder üben auf einen magnetischen Dipol ein Drehmoment D aus.
  
Elektrischer Dipol: D  r  F

F : Kraft
53
p


p  qa
a
 

 
 
D  D  D  r  F  r  F




  r  qE  r  qE

 
 
 r  r   qE  qa   E

 
     
  
D  pE

Drehmoment
Analog gilt in der Magnetostatik:
  
D  B
für magnetische Dipole.
(3.28)

 
D  0 für  B

Die Dipole werden in Feldrichtung gedreht.
B
Das magnetische Moment einer Leiterschleife
Elektrischer Dipol
p
E


In einem homogenen Feld E wird p in Feldrichtung gedreht.
  
Drehmoment: D  p  E (hatten wir hergeleitet).
  
Definition: D    B für ein magnetisches Dipolmoment.
54
Leiterschleife:
a
I
von oben
.
b
x
I zu uns
,
I von uns weg

Wir betrachten verschiedene Platzierungen der Leiterschleife in einem homogenen Feld B .
 1
 
dF  I d l  B
c


1. Ampèresches Gesetz
(3.29)
F3


Die Kräfte F3 und F4 versuchen, den Leiter
F4
zusammenzudrücken. Aus ihnen resultiert
keine Drehbewegung.
B
2.
1.
x
.
F1
F2
B
B
F2
.
x
F1
4.
3.
.
F2
x
F1
B
B
F2
x
F1
55
.
5. Offenbar ist die Gleichgewichtslage
F2
.
B
x
F1
.
I
μ
μ
x
Berechnung des Drehmomentes:
  
y
.
 0 
  
  
D  B ; D  0 
D 
 z

D  D z   B x sin
μ
r2

x

r1
π
2
(z-Achse zeigt zu uns.)
x
    
D  r1  F1  r2  F2




r1   r2 ; F1   F2
 
D  2 r1  F1


  
Erinnerung: Vektorprodukt c  a  b :
 I  
dF  d l  B
c

 c x   a y bz  a z b y 

  
 c y    a z bx  a x bz 
c  a b  a b 
y x 
 z  x y

56
  0   Bx  
 0

bI  
I     
F    b 0    0    
 Bx 
c  
c     
 0
 1  0 

 
2bI
D  2 r1  F1  
c


 a2 cos   0 
  
 a

sin
   B x 

 2

 0   0 


 0 
  
2bI a
D   0  ; Dz  
cos  B x
2
c
D 
 z
Dz   I
π
a b
B x cos ;   φ 
c
2
Dz   I
a b
B x sinφ
c
 I a b I  f
Aus Vergleich folgt:    
=
c
c
(3.30)
f: Die von der Leiterschleife
umschlossene Fläche.

Gerichtete Fläche: f
f
(Schraubensinn)

I f

c

f
(3.31)
Diese Formel gilt allgemein für eine beliebig geformte Leiterschleife (falls diese in einer
Ebene liegt).
57
Beispiel:
Magnetisches Moment einer einzelnen
Ladung, die sich auf einer Kreisbahn bewegt.

( v  konst. , z. B. Elektron)
  
Drehimpuls: L  r  p
 
1. L f
L
2. In der Mechanik hatten wir abgeleitet
1
df
df

 konst.
L 
dt
dt 2
f 

1
1 
L  T , Umlaufzeit T ; f 
L  T ; me: Masse des umlaufenden Teilchens.
2 me
2 me

I f I 1 

L T

c
c 2me



mit I 
q
T
q 
L
2me c
(3.32)
Diese Beziehung ist von grundlegender Bedeutung in der Quantenmechanik. Dort gilt:

L  n

 
;
q
n
2mc

;
h
2π
B 
q

2mc
Bohrsches Magneton
58