Beliebige Dreiecke

Michael Buhlmann
Mathematik-Formelsammlung
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Eine ebene geometrische Figur aus drei Punkten (Ecken) A, B, C und den Seiten a, b, c heißt
Dreieck ∆ABC, das Rechnen mit Dreiecken nennt man Trigonometrie. Die Winkel im Dreieck heißen α, β, γ und liegen bei den Punkten A, B, C. Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ∆ABC mit den
Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ. Der Inkreis berührt die Dreieckseiten, der Umkreis läuft
durch die Dreiecksecken. Die drei Seitenhalbierenden halbieren jeweils von der gegenüberliegenden Ecke aus die Dreiecksseite, die drei Winkelhalbierenden halbieren die jeweiligen Dreieckswinkel.
Beliebige Dreiecke
Winkelsumme
α+β+γ = 180°
α = 180° – β – γ
Umfang
γ = 180° – α – β
b=U–a–c
c=U–a–b
U=a+b+c
a=U–b–c
Flächeninhalt
β = 180“ – α – γ
A=
a=
1
aha
2
2A
ha
A=
1
bhb
2
ha =
A=
1
chc
2
2A
a
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1
b=
2A
hb
hb =
2A
b
c=
2A
hc
hc =
2A
c
A=
1
ab sin γ
2
A=
a+b+c
2
A=
1
bc sin α
2
a=
2A
b sin γ
b=
2A
a sin γ
sin γ =
2A
ab
a=
2A
c sin β
c=
2A
a sin β
sin β =
2A
ac
b=
2A
c sin α
c=
2A
b sin α
sin α =
2A
bc
a 2 sin β sin γ
A=
2 sin α
s=
1
ac sin β
2
A=
b 2 sin α sin γ
2 sin β
A = s ( s − a )( s − b)( s − c )
α
β
A=
c 2 sin α sin β
2 sin γ
(Heronsche Formel)
γ
A = rI2 cot cot cot
2
2
2
Höhen
ha = b sin γ
hb = a sin γ
hc = a sin β
ha = c sin β
hb = c sin α
hc = b sin α
ha : hb : hc =
Satz des Pythagoras
a1 + a2 = a bzw.
a1 – a2 = a bzw.
a2 – a1 = a
b1 + b2 = b bzw.
b1 – b2 = b bzw.
b2 – b1 = b
1 1 1
: :
a b c
ha b
=
hb a
ha c
=
hc a
hb c
=
hc b
a12 + ha2 = c 2
a 22 + ha2 = b 2
ha2 = c 2 − a12
c = a12 + ha2
b = a 22 + ha2
ha = c 2 − a12
a12 = c 2 − ha2
a 22 = b 2 − ha2
ha2 = b 2 − a 22
a1 = c 2 − ha2
a 2 = b 2 − ha2
ha = b 2 − a 22
b12 + hb2 = a 2
b22 + hb2 = c 2
hb2 = a 2 − b12
a = b12 + hb2
c = b22 + hb2
hb = a 2 − b12
b12 = a 2 − hb2
b22 = c 2 − hb2
hb2 = c 2 − b22
b1 = a 2 − hb2
b2 = c 2 − hb2
hb = c 2 − b22
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2
c1 + c2 = c bzw.
c1 – c2 = c bzw.
c2 – c1 = c
Trigonometrische
Funktionen
c12 + hc2 = b 2
c 22 + hc2 = a 2
hc2 = b 2 − c12
b = c12 + hc2
a = c22 + hc2
hc = b 2 − c12
c12 = b 2 − hc2
c22 = a 2 − hc2
hc2 = a 2 − c 22
c1 = b 2 − hc2
c 2 = a 2 − hc2
hc = a 2 − c 22
sin α =
hc
b
b=
hc
sin α
hc = b sin α
cos α =
c1
b
b=
c1
cos α
c1 = b cosα
tan α =
hc
c1
c1 =
hc
tan α
hc = c1 tan α
sin α =
hb
c
c=
hb
sin α
hb = c sin α
cos α =
b2
c
c=
b2
cos α
b2 = c cos α
tan α =
hb
b2
b2 =
hb
tan α
hb = b2 tan α
sin β =
hc
a
a=
hc
sin β
hc = a sin β
cos β =
c2
a
a=
c2
cos β
c2 = a cos β
tan β =
hc
c2
c2 =
hc
tan β
hc = c2 tan β
sin β =
ha
c
c=
ha
sin β
ha = c sin β
cos β =
a1
c
c=
a1
cos β
a1 = c cos β
tan β =
ha
a1
a1 =
ha
tan β
ha = a1 tan β
sin γ =
hb
a
a=
hb
sin γ
hb = a sin γ
cos γ =
b1
a
a=
b1
cos γ
b1 = a cosγ
tan γ =
hb
b1
b1 =
hb
tan β
hb = b1 tan β
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3
sin γ =
ha
b
b=
ha
sin γ
ha = b sin γ
cos γ =
a2
b
b=
a2
cos γ
a2 = b cosγ
tan γ =
ha
a2
a2 =
ha
tan γ
ha = a 2 tan γ
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Sinussatz
a sin α
=
c sin γ
b sin β
=
c sin γ
a sin α
=
b sin β
a=
sin α
b
sin β
b=
sin β
a
sin α
sin α =
a
sin β
b
sin β =
b
sin α
a
b=
sin β
c
sin γ
c=
sin γ
b
sin β
b
sin β = sin γ
c
sin γ =
c
sin β
b
a=
sin α
c
sin γ
c=
sin γ
a
sin α
sin α =
a
sin γ
c
sin γ =
c
sin α
a
a = b + c − 2bc cos α
b = c + a − 2ca cos β
a2 + c2 − b2
cos β =
2ac
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ
cos γ =
2
2
Mollweidesche
Formeln
a+b
=
c
b+c
=
a
c+a
=
b
Tangenssatz
b2 + c2 − a2
2bc
cos α =
2
Cosinussatz
cos
2
a−b
=
c
2
γ
sin
b−c
=
a
2
α
γ −α
sin
a+b
=
a−b
sin
c−a
=
b
2
β
sin
α +β
cot
γ
2
β −γ
2
α
2
γ −α
cos
2
tan
2
cos
2
a2 + b2 − c2
2 ab
α −β
cos
2
β −γ
sin
cos
2
α −β
sin
cos
2
2
β
2
γ
2 =
2
α −β
α −β
tan
tan
2
2
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4
Halbwinkelsätze
s=
a+b+c
2
sin
α
2
cos
tan
Seitensätze
Seitenhalbierende
α
2
b+c
=
b−c
tan
a+c
=
a−c
tan
β +γ
2 =
2
β −γ
β −γ
tan
tan
2
2
tan
α +γ
2
α −γ
α
s(s − a)
bc
=
2
=
β
2
cos
(s − b)(s − c)
s(s − a)
a+b>c
tan
sin
tan
β
cot
=
2
(s − b)(s − c)
bc
=
α
cot
β
2
=
β
2
=
2
α −γ
2
(s − a)(s − c)
ac
=
s ( s − b)
ac
( s − a)(s − c)
s(s − b)
γ
cos
tan
2
γ
=
2
=
sb =
1
1 2
2(a 2 + c 2 ) − b 2 =
a + c 2 + 2ac cos β
2
2
sc =
1
1 2
2(a 2 + b 2 ) − c 2 =
a + b 2 + 2ab cosγ
2
2
wα =
rU =
rI =
s ( s − c)
ab
( s − a)(s − b)
s ( s − c)
1
1 2
2(b 2 + c 2 ) − a 2 =
b + c 2 + 2bc cosα
2
2
1
bc[(b + c) 2 − a 2 ] =
b+c
1
ac[(a + c) 2 − b 2 ] =
a+c
2bc cos
α
b+c
2ac cos
a+c
2ab cos
a+b
2
β
2
γ
2
a
b
c
=
=
2 sin α 2 sin β 2 sin γ
rU =
a+b+c
2
2
(s − a)(s − b)
ab
a+c>b
1
wγ =
ab[(a + b) 2 − c 2 ] =
a+b
s=
=
b+c>a
wβ =
Inkreisradius
γ
sa =
Winkelhalbierende
Umkreisradius
sin
bc
ac
ab
=
=
2 ha
2 hb 2 h c
A
(s − a)(s − b)(s − c)
=
s
s
rI = (s − a) tan
α
2
rI = (s − b) tan
β
2
rI = (s − c) tan
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γ
2
5
rI = s tan
α
2
tan
α
β
2
tan
γ
2
β
γ
rI = 4rU sin sin sin
2
2
2
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