Logische Folge

Logische Folge
K(l)eine Einführung in die Logik
Hannes Leitgeb
LMU München
Oktober 2012
Hannes Leitgeb (LMU München)
Logische Folge
K(l)eine Einführung
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in die
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Lo
Was ist Logik?
Traditionelle Antwort:
Logik ist die Lehre vom richtigen Schließen (Schlüsse ziehen).
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Was ist Logik?
Traditionelle Antwort:
Logik ist die Lehre vom richtigen Schließen (Schlüsse ziehen).
Das ist auch heute noch eine ganz gute Antwort, allerdings nur wenn man
dabei im Kopf behält:
1
Logik ist normativ.
2
Logik behandelt logische Folge.
3
Logik ist formal.
4
Logik kann auch induktiv sein.
5
Logik ist fundamental für die Philosophie.
6
Logik ist vielfältig.
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Logik ist normativ
Wason Selection Task (Wason 1966):
Vier Spielkarten liegen auf einem Tisch. Jede Spielkarte hat auf der einen
Seite eine Ziffer und auf der anderen Seite eine farbige Fläche.
Die Karten auf dem Tisch sehen so aus:
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Logik ist normativ
Wason Selection Task (Wason 1966):
Vier Spielkarten liegen auf einem Tisch. Jede Spielkarte hat auf der einen
Seite eine Ziffer und auf der anderen Seite eine farbige Fläche.
Die Karten auf dem Tisch sehen so aus:
Frage: Welche Karte(n) muss man umdrehen, um die Wahrheit des folgenden
Satzes zu überprüfen:
Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist, dann ist die andere Seite rot.
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Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist , dann ist
| die andere
{z Seite rot} .
|
{z
}
p
Karte
1.
2.
3.
4.
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p
f
w
q
?
?
w
f
?
?
q
p→q
w
?
(drehe Karte um!)
w
?
(drehe Karte um!)
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Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist , dann ist
| die andere
{z Seite rot} .
|
{z
}
p
Karte
1.
2.
3.
4.
p
f
w
q
?
?
w
f
?
?
q
p→q
w
?
(drehe Karte um!)
w
?
(drehe Karte um!)
Die Antwort ist also: Die 2. Karte und die 4. Karte.
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Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10
Prozent der Probanden die korrekte Antwort.
Logik ist normativ:
Es geht darum, wie man schließen darf und soll.
“Richtig schließen” heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt.
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Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10
Prozent der Probanden die korrekte Antwort.
Logik ist normativ:
Es geht darum, wie man schließen darf und soll.
“Richtig schließen” heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt.
In dem Wason Selection Task Experiment ging es darum festzustellen,
wie Menschen tatsächlich schließen.
In der Logik jedoch meint man mit ‘Schluss’ gar keinen geistigen Prozess
sondern eine Abfolge von Sätzen, wobei Sätze als abstrakte Gegenstände und ihre logischen Beziehungen als abstrakte Beziehungen
aufgefasst werden.
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Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10
Prozent der Probanden die korrekte Antwort.
Logik ist normativ:
Es geht darum, wie man schließen darf und soll.
“Richtig schließen” heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt.
In dem Wason Selection Task Experiment ging es darum festzustellen,
wie Menschen tatsächlich schließen.
In der Logik jedoch meint man mit ‘Schluss’ gar keinen geistigen Prozess
sondern eine Abfolge von Sätzen, wobei Sätze als abstrakte Gegenstände und ihre logischen Beziehungen als abstrakte Beziehungen
aufgefasst werden.
,→ Gottlob Frege (1848–1925), Edmund Husserl (1859–1938):
Psychologismusdebatte im 19. Jahrhundert.
(Google: Wason Selection Task; plato.stanford.edu/entries/psychologism/ )
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Logik behandelt logische Folge
Ein Mord hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass entweder Smith
oder Jones der Mörder ist, und dass sie nicht zusammengearbeitet haben.
Weiters stellt er im Zuge seiner Ermittlungen fest:
1
Wenn Smith zur Tatzeit betrunken war, dann ist Jones der Mörder oder
Smith lügt.
2
Jones ist der Mörder oder es ist so, dass Smith nicht betrunken war und
der Mord nach Mitternacht stattgefunden hat.
3
Wenn der Mord nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Jones der
Mörder oder Smith lügt.
4
Wenn Smith nicht betrunken war, dann lügt er nicht.
Wer ist der Mörder?
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Bert Russell repräsentiert dies in der Sprache der Aussagenlogik wie folgt:
p: Smith war zur Tatzeit betrunken.
q: Jones ist der Mörder.
(¬q: Jones ist nicht der Mörder bzw. Smith ist der Mörder.)
r : Smith lügt.
s: Der Mord fand nach Mitternacht statt.
Was Russell weiß, ist dann:
P1 p → (q ∨ r )
P2 q ∨ (¬p ∧ s)
P3 s → (q ∨ r )
P4 ¬p → ¬r
Daraus Schlüsse zu ziehen, heißt nun:
Die Information, die in P1–P4 implizit enthalten ist, explizit zu machen.
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P1 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein:
p
w
w
w
w
f
f
f
f
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q
w
w
f
f
w
w
f
f
r
w
f
w
f
w
f
w
f
p → (q ∨ r )
w
w
w
w
w
w
f
f
w
w
w
w
w
w
w
f
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P1: Alles außer p: w, q: f, r : f.
P2 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein:
p
w
w
w
w
f
f
f
f
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q
w
w
f
f
w
w
f
f
s
w
f
w
f
w
f
w
f
q ∨ (¬p ∧ s)
w f f
w f f
f f f
f f f
w w w
w w f
w w w
f w f
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Lo
P1: Alles außer p: w, q: f, r : f.
P2: Alles außer p: w, q: f und p: f, q: f, s: f.
P3 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein:
q
w
w
w
w
f
f
f
f
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r
w
w
f
f
w
w
f
f
s
w
f
w
f
w
f
w
f
s → (q ∨ r )
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f
f
w
f
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P1: Alles außer p: w, q: f, r : f.
P2: Alles außer p: w, q: f und p: f, q: f, s: f.
P3: Alles außer q: f, r : f, s: w.
P4 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein:
p
w
w
f
f
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r
w
f
w
f
¬p → ¬r
f
f
w
w
w
w
f
w
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f
w
f
w
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Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss:
P1: Alles außer p: w, q: f, r : f, s: w/f.
P2: Alles außer p: w, q: f, r : w/f, s: w/f und p: f, q: f, r : w/f, s: f.
P3: Alles außer p: w/f, q: f, r : f, s: w.
P4: Alles außer p: f, q: w/f, r : w, s: w/f.
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Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss:
P1: Alles außer p: w, q: f, r : f, s: w/f.
P2: Alles außer p: w, q: f, r : w/f, s: w/f und p: f, q: f, r : w/f, s: f.
P3: Alles außer p: w/f, q: f, r : f, s: w.
P4: Alles außer p: f, q: w/f, r : w, s: w/f.
Das heisst aber auch, dass die Welt keiner der folgenden Möglichkeiten
genügt:
p:w q:f r :w s:w
p:w q:f r :w s:f
p:w q:f r :f
s:w
p:w q:f r :f
s:f
p:f
q:f r :w s:w
p:f
q:f r :w s:f
p:f
q:f r :f
s:w
p:f
q:f r :f
s:f
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Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss:
P1: Alles außer p: w, q: f, r : f, s: w/f.
P2: Alles außer p: w, q: f, r : w/f, s: w/f und p: f, q: f, r : w/f, s: f.
P3: Alles außer p: w/f, q: f, r : f, s: w.
P4: Alles außer p: f, q: w/f, r : w, s: w/f.
Das heisst aber auch, dass die Welt keiner der folgenden Möglichkeiten
genügt:
p:w q:f r :w s:w
p:w q:f r :w s:f
p:w q:f r :f
s:w
p:w q:f r :f
s:f
p:f
q:f r :w s:w
p:f
q:f r :w s:f
p:f
q:f r :f
s:w
p:f
q:f r :f
s:f
Und das heisst: q muss wahr sein! Jones ist der Mörder.
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Definition (Log. Folge; in mehreren Varianten)
(1) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn es logisch notwendig ist, dass wenn P1 , . . . , Pn wahr sind, auch Q
wahr ist.
(2) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn in allen logisch möglichen Welten, in denen P1 , . . . , Pn wahr sind,
auch Q wahr ist.
(3) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn in allen Zeilen der Wahrheitstafel für die logische Formen von
P1 , . . . , Pn , Q, in denen die logischen Formen von P1 , . . . , Pn wahr sind, auch
die logische Form von Q wahr ist.
Insbesondere folgt in unserem Mörder-Beispiel ‘Jones ist der Mörder’ logisch
aus P1, P2, P3, P4.
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Definition (Log. Folge; in mehreren Varianten)
(1) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn es logisch notwendig ist, dass wenn P1 , . . . , Pn wahr sind, auch Q
wahr ist.
(2) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn in allen logisch möglichen Welten, in denen P1 , . . . , Pn wahr sind,
auch Q wahr ist.
(3) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P1 , . . . , Pn genau
dann, wenn in allen Zeilen der Wahrheitstafel für die logische Formen von
P1 , . . . , Pn , Q, in denen die logischen Formen von P1 , . . . , Pn wahr sind, auch
die logische Form von Q wahr ist.
Insbesondere folgt in unserem Mörder-Beispiel ‘Jones ist der Mörder’ logisch
aus P1, P2, P3, P4.
,→ Alfred Tarski (1901–1983): Präzise Definitionen von Wahrheit und von
logischer Folge.
(Siehe: http://plato.stanford.edu/entries/logical-consequence/ )
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Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
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Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
q ∨r
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 8. und 3. mit Modus Ponens)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
q ∨r
r
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 8. und 3. mit Modus Ponens)
(aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
q ∨r
r
¬r
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 8. und 3. mit Modus Ponens)
(aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 7. und 4. mit Modus Ponens)
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K(l)eine Einführung
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
q ∨r
r
¬r
r ∧ ¬r
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 8. und 3. mit Modus Ponens)
(aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 7. und 4. mit Modus Ponens)
(aus 10. und 11. mit Konjunktionseinführung)
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Lo
Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller
ziehen können:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
p → (q ∨ r )
q ∨ (¬p ∧ s)
s → (q ∨ r )
¬p → ¬r
¬q
¬p ∧ s
¬p
s
q ∨r
r
¬r
r ∧ ¬r
q
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(Annahme für Reductio ad Absurdum)
(aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion)
(aus 8. und 3. mit Modus Ponens)
(aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus)
(aus 7. und 4. mit Modus Ponens)
(aus 10. und 11. mit Konjunktionseinführung)
(aus 5. – 12., Ende der Reductio)
Anstatt mit Wahrheitstafeln zu arbeiten, lässt sich q also auch “einfach” aus
den Prämissen herleiten. (Man sieht auch, dass P1 gar nicht benötigt wurde.)
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Ist das immer so? D.h.:
Wenn Q logisch aus P1 , . . . , Pn folgt, ist dann Q immer auch herleitbar aus
P1 , . . . , Pn (mittels einfacher geeigneter Regeln)?
Und wenn Q herleitbar ist aus P1 , . . . , Pn (mittels einfacher geeigneter
Regeln), folgt dann Q immer auch logisch aus P1 , . . . , Pn ?
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Ist das immer so? D.h.:
Wenn Q logisch aus P1 , . . . , Pn folgt, ist dann Q immer auch herleitbar aus
P1 , . . . , Pn (mittels einfacher geeigneter Regeln)?
Und wenn Q herleitbar ist aus P1 , . . . , Pn (mittels einfacher geeigneter
Regeln), folgt dann Q immer auch logisch aus P1 , . . . , Pn ?
JA! Dies wurde von zuerst von Kurt Gödel im Jahre 1929 bewiesen (und zwar
gleich für die komplexere sogenannte Prädikatenlogik):
(Siehe: http://plato.stanford.edu/entries/goedel/ )
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Logik ist formal
Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der
nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel:
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Logik ist formal
Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der
nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel:
Eine Kochsendung hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass
entweder Schuhbeck oder Lafer der Koch ist, und dass sie nicht
zusammengearbeitet haben. Weiters stellt er fest:
1
Wenn Schubeck zur Tatzeit betrunken war, dann ist Lafer der Koch oder
Schubeck lügt.
2
Lafer ist der Koch oder es ist so, dass Schubeck nicht betrunken war und
die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat.
3
Wenn die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Lafer
der Koch oder Schubeck lügt.
4
Wenn Schuhbeck nicht betrunken war, dann lügt er nicht.
Wer ist der Koch?
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Logik ist formal
Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der
nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel:
Eine Kochsendung hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass
entweder Schuhbeck oder Lafer der Koch ist, und dass sie nicht
zusammengearbeitet haben. Weiters stellt er fest:
1
Wenn Schubeck zur Tatzeit betrunken war, dann ist Lafer der Koch oder
Schubeck lügt.
2
Lafer ist der Koch oder es ist so, dass Schubeck nicht betrunken war und
die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat.
3
Wenn die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Lafer
der Koch oder Schubeck lügt.
4
Wenn Schuhbeck nicht betrunken war, dann lügt er nicht.
Wer ist der Koch? Natürlich Lafer!!!
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Logik ist formal: Die Gültigkeit eines Schlusses hängt nur von seiner logischen
Form ab. Daher die Formalisierung mittels p, q , r , s, . . ..
Dies hat schon Aristoteles (Organon) in seiner Syllogistik dazu gebracht, die
logischen Formen von einfach strukturierten Sätzen durch formale Symbole
darzustellen, wie
Alle S sind P: SaP
Kein S ist P: SeP
Einige S sind P: SiP
Einige S sind nicht P: SoP
und logische Folgebeziehungen gleich für Letztere zu studieren.
Bernard Bolzano (1781–1848) erkannte als Erster, dass man logische
Folgebeziehungen charakterisieren kann durch Invarianz unter
grammatikalisch korrekten Ersetzungen von nicht-logischen Ausdrücken.
(http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/,
http://plato.stanford.edu/entries/bolzano/index.html)
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Logik kann auch induktiv sein
Wenn Q aus P1 , . . . , Pn logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich.
Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch
sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht:
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Logik kann auch induktiv sein
Wenn Q aus P1 , . . . , Pn logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich.
Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch
sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht:
Definition
Ein Argument P1 , . . . , Pn ∴ Q ist induktiv stark, wenn es nicht logisch gültig ist,
und wenn, gegeben die Wahrheit von P1 , . . . , Pn , die Wahrscheinlichkeit von Q
hoch ist.
(Achtung: SEHR viel muss hier hinzugefügt werden, um daraus eine klare und
sinnvolle Definition zu machen – was heißt hier ‘gegeben’, welches
Wahrscheinlichkeitsmaß wird verwendet, wie hoch ist ‘hoch’, usw.)
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Logik kann auch induktiv sein
Wenn Q aus P1 , . . . , Pn logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich.
Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch
sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P1 , . . . , Pn
die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht:
Definition
Ein Argument P1 , . . . , Pn ∴ Q ist induktiv stark, wenn es nicht logisch gültig ist,
und wenn, gegeben die Wahrheit von P1 , . . . , Pn , die Wahrscheinlichkeit von Q
hoch ist.
(Achtung: SEHR viel muss hier hinzugefügt werden, um daraus eine klare und
sinnvolle Definition zu machen – was heißt hier ‘gegeben’, welches
Wahrscheinlichkeitsmaß wird verwendet, wie hoch ist ‘hoch’, usw.)
Mit Rudolf Carnaps (1891–1970) Arbeiten dazu wurde die
Wahrscheinlichkeitstheorie zu einem wichtigen Teil der Logik, der
Wissenschaftstheorie und der Erkenntnistheorie.
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Das hat auch praktische Bedeutung:
Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven
kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%):
D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher
erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.9 als solcher erkannt.
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Das hat auch praktische Bedeutung:
Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven
kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%):
D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher
erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.9 als solcher erkannt.
Eines Tages informiert der Bundesnachrichtendienst den deutschen
Bundestag, dass sich in die gerade stattfindende Sitzung ein einzelner
Terrorist eingeschlichen hat. Alle Zugänge werden abgeriegelt und die
3000 Leute im Gebäude werden nacheinander mit der neuen Maschine
getestet. Beim Test schlägt die Maschine bei einer Person an:
Große Aufregung!
Frage: Wie sicher darf man sein (auf einer Skala von 0 bis 1), dass es sich
bei der Person um den gesuchten Terroristen handelt?
Etwa 0.9 (90%) oder etwa 0.1 (10%) oder etwa 0.003 (0.3%)?
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Das hat auch praktische Bedeutung:
Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven
kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%):
D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher
erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.9 als solcher erkannt.
Eines Tages informiert der Bundesnachrichtendienst den deutschen
Bundestag, dass sich in die gerade stattfindende Sitzung ein einzelner
Terrorist eingeschlichen hat. Alle Zugänge werden abgeriegelt und die
3000 Leute im Gebäude werden nacheinander mit der neuen Maschine
getestet. Beim Test schlägt die Maschine bei einer Person an:
Große Aufregung!
Frage: Wie sicher darf man sein (auf einer Skala von 0 bis 1), dass es sich
bei der Person um den gesuchten Terroristen handelt?
Etwa 0.9 (90%) oder etwa 0.1 (10%) oder etwa 0.003 (0.3%)?
Die Antwort ist 0.003 (0.3%)!
Das Argument ‘Es piepst. Daher ist das ein Terrorist’ ist induktiv schwach.
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Denn:
Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude.
Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen.
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Denn:
Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude.
Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen.
Der Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 durch die Maschine
entlarvt.
Von den 2999 Nicht-Terroristen wird die Maschine etwa 10 Prozent
(fälschlicherweise) als Terroristen einstufen.
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Denn:
Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude.
Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen.
Der Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 durch die Maschine
entlarvt.
Von den 2999 Nicht-Terroristen wird die Maschine etwa 10 Prozent
(fälschlicherweise) als Terroristen einstufen.
Somit wird die Maschine insgesamt etwa 301 Leute für Terroristen halten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, bei der die Maschine
angeschlagen hat, wirklich ein Terrorist ist, beträgt also ungefähr
1
301
≈ 0.003
(Google: Base Rate Fallacy;
http://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/,
http://plato.stanford.edu/entries/logic-inductive/ )
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Logik ist fundamental für die Philosophie
In der Philosophie braucht man die Logik, um
philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und
auf diese Weise zu klären,
überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen
philosophischen Annahmen zu rechtfertigen – zum Beispiel:
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Logik ist fundamental für die Philosophie
In der Philosophie braucht man die Logik, um
philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und
auf diese Weise zu klären,
überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen
philosophischen Annahmen zu rechtfertigen – zum Beispiel:
K : irgendjemand weiß zu irgendeiner Zeit, dass
^: es ist möglich, dass
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: es ist notwendig, dass
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Logik ist fundamental für die Philosophie
In der Philosophie braucht man die Logik, um
philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und
auf diese Weise zu klären,
überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen
philosophischen Annahmen zu rechtfertigen – zum Beispiel:
K : irgendjemand weiß zu irgendeiner Zeit, dass
^: es ist möglich, dass
: es ist notwendig, dass
P1 ∀p(p → ^Kp) (“Alles was wahr ist, kann man wissen”)
P2 ∃p(p ∧ ¬Kp) (“Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss”)
P3 ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ) (“Wenn man eine Konjunktion weiss, dann
auch jedes ihrer Konjunkte”)
P4 ∀p(Kp → p) (“Wissen impliziert Wahrheit”)
P5 ∀p(¬p → ¬^p) (“Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich”)
R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A (“notwendigerweise A”).
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
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1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
9. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 4. – 8., Ende der Reductio)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
9. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 4. – 8., Ende der Reductio)
10. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 9. mit R)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
9. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 4. – 8., Ende der Reductio)
10. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 9. mit R)
11. ¬K (p ∧ ¬Kp) → ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus P5: ∀p(¬p → ¬^p))
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
9. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 4. – 8., Ende der Reductio)
10. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 9. mit R)
11. ¬K (p ∧ ¬Kp) → ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus P5: ∀p(¬p → ¬^p))
12. ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus 10. und 11. mit Modus Ponens)
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Aus diesen Annahmen folgern wir nun:
1. p ∧ ¬Kp (aus P2: ∃p(p ∧ ¬Kp); sei p ein entsprechendes “Beispiel”.)
2. (p ∧ ¬Kp) → ^K (p ∧ ¬Kp) (aus P1: ∀p(p → ^Kp))
3. ^K (p ∧ ¬Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens)
4. K (p ∧ ¬Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum)
5. K (p ∧ ¬Kp) → Kp ∧ K (¬Kp) (aus P3: ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ))
6. Kp ∧ K (¬Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens)
7. K (¬Kp) → ¬Kp (aus P4: ∀p(Kp → p))
8. Kp ∧ ¬Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes)
9. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 4. – 8., Ende der Reductio)
10. ¬K (p ∧ ¬Kp) (aus 9. mit R)
11. ¬K (p ∧ ¬Kp) → ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus P5: ∀p(¬p → ¬^p))
12. ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus 10. und 11. mit Modus Ponens)
13. ^K (p ∧ ¬Kp) ∧ ¬^K (p ∧ ¬Kp) (aus 3. und 12., Konjunktionseinführung)
Es folgt also ein Widerspruch aus unseren Annahmen!!
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Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen?
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Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen?
Und welches der vorausgesetzten Prinzipien ist der “bad guy” (wenigstens
eines davon muss falsch sein, da ja ein Widerspruch aus diesen folgt)?
P1 ∀p(p → ^Kp) (“Alles was wahr ist, kann man wissen”)
P2 ∃p(p ∧ ¬Kp) (“Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss”)
P3 ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ) (“Wenn man eine Konjunktion weiss, dann
auch jedes ihrer Konjunkte”)
P4 ∀p(Kp → p) (“Wissen impliziert Wahrheit”)
P5 ∀p(¬p → ¬^p) (“Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich”)
R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A (“notwendigerweise A”).
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Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen?
Und welches der vorausgesetzten Prinzipien ist der “bad guy” (wenigstens
eines davon muss falsch sein, da ja ein Widerspruch aus diesen folgt)?
P1 ∀p(p → ^Kp) (“Alles was wahr ist, kann man wissen”)
P2 ∃p(p ∧ ¬Kp) (“Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss”)
P3 ∀p, q (K (p ∧ q ) → Kp ∧ Kq ) (“Wenn man eine Konjunktion weiss, dann
auch jedes ihrer Konjunkte”)
P4 ∀p(Kp → p) (“Wissen impliziert Wahrheit”)
P5 ∀p(¬p → ¬^p) (“Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich”)
R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A (“notwendigerweise A”).
Vermutlich P1! ,→ Fitch’s Paradox
(Siehe: http://plato.stanford.edu/entries/fitch-paradox/,
Timothy Williamson, Knowledge and Its Limits)
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23 / 26
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Logik ist vielfältig
Dieser Tage umfasst die Logik eine Vielzahl von Semantiken und logischen
Systemen, die in den verschiedensten Bereichen der Philosophie, der
Mathematik und der Informatik angewendet werden:
Prädikatenlogik: Logik von “für alle” und “es gibt”
Modallogik: Logik von “notwendig, das” und “möglich, dass”
Konditionallogik: Logik von “wenn-dann”
Epistemische Logik: Logik von “weiß, dass”
Doxastische Logik: Logik von “glaubt, dass”
Deontische Logik: Logik von “es soll der Fall sein, dass”, “es darf der Fall
sein, dass”
Temporale Logik: Logik von “es wird der Fall sein, dass”, “es war der Fall,
dass”
Handlungslogik: Logik von “handelt so, dass”
Beweisbarkeitslogik: Logik von “es ist beweisbar, dass”
Nichtmonotones Schliessen: Logik von “normalerweise gilt, dass”
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Vagheit: Logik für vage Prädikate wie “ist ein Haufen” oder “kahlköpfig”
Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für “ist wahr” und “ist falsch”
Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen
Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen
Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten
Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente
Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein
können
Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für “für alle
Mengen”, “es gibt eine Menge”
..
.
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Logische Folge
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Oktober 2012in die
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Vagheit: Logik für vage Prädikate wie “ist ein Haufen” oder “kahlköpfig”
Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für “ist wahr” und “ist falsch”
Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen
Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen
Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten
Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente
Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein
können
Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für “für alle
Mengen”, “es gibt eine Menge”
..
.
Welche Logik werden Sie verwenden?
Welche Logik werden Sie entdecken?
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Vagheit: Logik für vage Prädikate wie “ist ein Haufen” oder “kahlköpfig”
Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für “ist wahr” und “ist falsch”
Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen
Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen
Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten
Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente
Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein
können
Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für “für alle
Mengen”, “es gibt eine Menge”
..
.
Welche Logik werden Sie verwenden?
Welche Logik werden Sie entdecken?
Und nicht vergessen: Logik macht Spaß – logisch, oder?
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Hausübung:
Googlen Sie ‘MCMP’ und verweilen Sie wenigstens 5 Minuten!
(Wenn Sie sonst nichts zu tun haben: Sie könnten sich einen der 220 Filme
unter MCMP on iTunes ansehen.)
Hannes Leitgeb (LMU München)
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