WS2008/09 Blatt 10

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
TU München
Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 10
1. Aufgabe Einführung in die Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes
wirbelfrei und das magnetische Feld B
*a) Im stationären Fall ist das elektrische Feld E
quellenfrei. Formulieren Sie dies mathematisch.
*b) Tritt eine Änderung im dynamischen Fall ein?
*c) Ergänzen Sie den folgenden Satz:
Elektrische Felder werden von Ladungen und von ... erzeugt.
Von nun an betrachten wir den dynamischen Fall.
Die typischen Aufgabenstellungen der Elektrodynamik bestehen darin, mit Hilfe der
Maxwellschen-Gleichungen das von vorgegebenen Ladungsdichteverteilungen ρ(r, t) und
Stromdichteverteilungen j(r, t) erzeugte elektromagnetische Feld zu berechnen. Das heißt,
es ist ein gekoppeltes System von 4 partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung zu lösen. Manchmal ist es jedoch bequemer, das elektromagnetische skalare Potential φ und
die die homogenen Maxwellschen-Gleichungen
das elektromagnetische Vektorpotential A,
automatisch erfüllen, einzuführen.
*d) Was für ein System von Differentialgleichungen ist mit der Einführung von φ und
zu lösen?
A
und B
über die Potentiale φ und A
aus.
*e) Drücken Sie E
die homogenen Maxwellschen-Gleichungen?
f) Erfüllen φ und A
Hinweis: rotgrad F = 0 für alle skalaren Felder F.
müssen über die inhomogenen Maxwellschen-Gleichungen bestimmt werden und
φ und A
und B
unverändert
sind nicht eindeutig festgelegt. Folgende Eichtransformation, die E
läßt, ist stets erlaubt (χ ist ein beliebiges skalares Feld):
→A
− ∇χ
A
φ → φ + ∂χ
∂t
g) Formulieren Sie die inhomogenen Maxwellschen-Gleichungen im Vakuum.
enthalten.
Schreiben Sie diese Gleichungen so um, daß diese nur noch φ und A
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= 0) bzw. der Lorentzh) Stellen Sie unter Verwendung der Coulomb-Eichung (div A
+ µ0 0 ∂ φ = 0) die in Aufgabenteil f) erhaltenen DifferentialgleiEichung (div A
∂t
chungen dar.
Erkennen Sie die Vorteile der Lorentz- bzw. Coulomb-Eichung?
i) Bei fehlenden Strömen und Ladungen lassen sich die in Aufgabenteil g) erhaltenen
Differentialgleichungen unter Verwendung der Lorentz-Eichung weiter vereinfachen:
∂2
( − µ0 0 ∂t
2 )φ = 0
∂2 ( − µ0 0 ∂t2 )A = 0
Dies ist die sogenannte homogene Wellengleichung.
bzw. B
auch die homogene Wellengleichung?
Erfüllen E
Zusatzaufgabe für zu Hause:
Sind die Coulomb- bzw. Lorentz-Eichung günstig für die Behandlung relativistischer Probleme?
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2. Aufgabe Anwendung der elektromagnetischen Potentiale 1
In einem linear ausgedehntem Leiter fließt ein Strom mit der Stromdichte j = j ez , j = konstant (siehe Skizze). Der Flächenquerschnitt F des Leiters wird vernachlässigt.
*a) Stellen Sie die Differentialgleichung für das elektromagnetische Vektorpotential A
auf.
Hinweise:
Starten Sie mit folgender Differentialgleichung (vergleiche Aufgabe Einführung in die Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes, Aufgabenteil h):
∂
∂2 ( - µ0 0 ∂t
2 )A = µ0 0 ∇ ∂t φ - µ0 j
Existiert in dieser Aufgabenstellung eine Zeitabhängigkeit?
In welche Richtung fließt der Strom?
b) Lösen Sie die Differentialgleichung. Nehmen Sie an, dass der Leiter die Länge 2l
hat.
Hinweise:
1 3 b
a = 4π
d r |r−r | löst Differentialgleichungen der Form a = −b.
Bei linienförmigem Stromfluss vereinfacht sich das Dreifach-Integral zu einem
Linienintegral.
√
√ dz
=
ln(z
+
R2 + z 2 ) + Konstante
2
2
R +z
wenn die Länge des
c) Was passiert mit dem elektromagnetischen Vektorpotential A,
Leiters unendlich wird?
1. Aufgabe Einführung in die Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes
= 0.
*a) Das elektrische Feld ist wirbelfrei: rot E
= 0.
Das magnetische Feld ist quellenfrei: div B
=−∂B
*b) rot E
∂t
*c) Elektrische Felder werden von Ladungen und von zeitlich sich ändernden Magnet = − ∂ B).
feldern erzeugt (rot E
∂t
*d) Die inhomogenen Maxwellschen-Gleichungen werden in einen Satz von zwei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung überführt.
= rot A
*e) B
= -∇φ E
∂ A
∂t
= - rot ∂ A
=- ∂B
f) rot E
∂t
∂t
+ ∂ A)
=0
→ rot(E
∂t
folgt:
= -∇φ - ∂ A
Mit E
∂t
∂ ∂ rot(-∇φ - ∂t
A + ∂t
A) = 0
→ rot grad φ = 0
g) Die Maxwellschen-Gleichungen im Vakuum lauten:
= ρ
div E
0
= µ0j + µ0 0 ∂ E
rot B
∂t
= rot A
und E
= -∇φ - ∂ A
ergibt:
Einsetzen von B
∂t
ρ
∂ -φ - div ∂t A = 0
= µ0j - µ0 0 ∇ ∂ φ - µ0 0 ∂ 22 A
rot rot A
∂t
∂t
h) Unter Verwendung der Coulomb-Eichung ergeben sich folgende Differentialgleichungen:
φ = - ρ0
∂
∂2 ( - µ0 0 ∂t
2 )A = µ0 0 ∇ ∂t φ - µ0 j
Der Vorteil der Coulomb-Eichung ist, dass die Differentialgleichung für das skalare
Potential φ formal identisch mit der Poisson-Gleichung aus der Elektrostatik ist,
deren Lösung wir schon kennen.
Unter Verwendung der Lorentz-Eichung ergeben sich folgende Differentialgleichungen:
∂2 ( - µ0 0 ∂t
2 )A = 0
∂2
( - µ0 0 ∂t2 )φ = 0
Der Vorteil der Lorentz-Eichung ist die vollständige Entkopplung der Differentialgleichungen.
i) Zum Beispiel:
und B
= rot A
folgt:
= -∇φ - ∂ A
Mit E
∂t
∂2 ( - µ0 0 ∂t
2 )E =
∂2
∂2 ∂ -( - µ0 0 ∂t2 ) ∇φ - ( - µ0 0 ∂t
2 ) ∂t A =
2
∂
∂2
=0
-∇ ( - µ0 0 2 )φ ( - µ0 0 ∂ 2 ) A
∂t
∂t
∂t
und
∂2
( - µ0 0 ∂t
2) B =
2
∂
( - µ0 0 ∂t
2 ) rot A =
∂2
rot ( - µ0 0 ∂t
2) A = 0
Zusatzaufgabe für zu Hause:
Bei der Coulomb-Transformation eichen Beobachter in relativ zueinander bewegten Bezugssystemen unterschiedlich (ungünstig bei der Behandlung relativistischer Probleme),
dies ist bei der Lorentz-Eichung nicht der Fall.
Vergleiche zum Beispiel: Nolting, Grundkurs Theoretische Physik Band 3 und Band 4.
2. Aufgabe Anwendung der elektromagnetischen Potentiale 1
*a) In der Aufgabe Einführung in die Potentialdarstellung des elektromagnetischen
Feldes (Aufgabenteil h) ergab sich folgende Differentialgleichung für das elektroma
gnetische Vektorpotential A:
∂
∂2 ( - µ0 0 ∂t
2 )A = µ0 0 ∇ ∂t φ - µ0 j
= −µ0j = −µjez da keine Zeitabhängigkeit.
→ A
2
∂
→ ( ∂x
2 +
∂2
∂y 2
+
∂2
)Az
∂z 2
= −µj da j = jez .
= 1 d3 r b . Bei einem Übergang zu einem
b) Der Lösungsansatz lautet A
4π
|
r−
r|
fadenartigem Strom ergibt sich folgende Gleichung (vergleiche Skizze):
=
A
µF j
4π
ds
r12
Mit ds = dzez , r12 =
Az =
µI
4π
√
= Az ez und I = jA folgt:
R2 + z 2 , A
√ dz
.
R2 +z 2
Die Integration
√ erstreckt sich von -l bis + l und ergibt:
1+ (R/l)2 +1
µI
√
Az = 4π ln
2
−1+
(R/l) +1
c) Bei einem unendlich langem Leiter konvergiert der Nenner von Az gegen Null, das
divergiert.
heißt das Vektorpotential A
Physikalischer Grund: Unendlich lange Linienleiter ohne Rückleitung gibt es nicht.