26. 5. 2011

Wiederholung
ADT Menge:
I Sorten: Bool, Element, MengehElementi
I Signatur:
isempty :
Menge →
emptyset :
add :
Menge × Element →
remove :
Menge × Element →
contains : Menge × Element →
Bool
Menge
Menge
Menge
Bool
Datenstrukturen zur Implementierung:
meist zum Speichern von Paaren (Schlüssel, Wert)
I Liste mit n Knoten (evtl. sortiert, einfach oder doppelt
verkettet):
Laufzeit contains: zwischen O(log n) und O(n)
Laufzeit add, remove: zwischen O(1) und O(n)
I Suchbäume t (evtl. balanciert) mit n Knoten:
Laufzeit contains, add, remove: O(tiefe(t)),
zwischen O(log n) (balanciert) und O(n)
164
Hashing
Speichern von Paaren (Wert, Adresse)
Menge aller Werte: D
Hashtabelle (Speicher): m Behälter (Buckets)
meist m viel größer als |D|
Menge aller Adressen: {0, . . . , m − 1}
Idee: Berechnung eines Behälter-Index (Adresse) durch eine
Hashfunktion H : D → {0, . . . , m − 1}
Zugriff auf Wert v über Adresse h(v )
165
Hashfunktion
erwünschte Eigenschaften:
I
effizient berechenbar O(1)
I
surjektiv (jede Adresse als Funktionswert eines Wertes)
I
möglichst gleichmäßige Verteilung der Werte auf den
Adressbereich
Beispiel: 7 Wochentage (zwei Anfangsbuchstaben) mit 10 Adressen:
h(v ) = (Index des Anfangsbuchstaben) mod 10
0 1 2
3
4 5
6 7 8
9
Mo, Mi Di, Do
Fr
Sa, So
h0 (v ) = (Summe der Buchstabenindizes) mod 10
0 1
2
3
4 5 6 7
8
9
SA
MI DI FR,SO
MO DO
übliche Hashfunktionen:
h(v ) = v mod m, h(v ) = mittlere Ziffern von v 2
166
Kollisionen
Kollision: Werte u 6= v mit h(u) = h(v )
Kollisionen kommen relativ häufig vor.
Geburtstagsparadoxon: Unter 23 Personen haben mit 50%
Wahrscheinlichkeit zwei denselben Geburtstag.
Kollisionsbehandlung:
offenes Hashing:
Speichern mehrerer Werte in einem Behälter (z.B.
Liste)
geeignet bei häufigem Einfügen und Löschen
geschlossenes Hashing:
systematische Berechnung neuer Adressen bei
belegtem Behälter
geeignet bei bekannter Anzahl zu speichernder
Werte
(günstig bis 80% belegten Behältern)
167
Offenes Hashing
(seperate chaining)
Behälter: Liste (einfach oder doppelt verkettet)
Hashtabelle: Array fester Länge m von Listen
Operationen:
Suche eines Wertes v :
Suche in der Liste mit Adresse h(v )
Löschen eines Wertes v :
Löschen aus der Liste mit Adresse h(v )
Einfügen eines Wertes v :
Einfügen in die Liste mit Adresse h(v )
Länge der Listen bei m Behältern und n Werten
durchschnittlich n/m.
Durchschnittliche Laufzeit von Suche, Einfügen, Löschen
(für n ≈ m): O(1 + n/m) = O(1)
worst case: alle Werte in einer Liste
Laufzeit von Suche, Einfügen, Löschen: O(n)
168
Geschlossenes Hashing
I
I
Behälter: Speicher für genau einen Wert
zwei zusätzliche Werte: frei, gelöscht
Hashtabelle: Array fester Länge m von Werten
Idee:
I Jedem Wert v wird ein Sondierungspfad
s(v ) = (s0 (v ), s1 (v ), . . .) (Liste von Adressen) zugeordnet.
I Zum Speichern von v wird s(v ) bis zur ersten freien
Adresse si (v ) durchlaufen.
Invariante für Hashtabelle T :
1. T enthält wenigstens einen leeren Behälter.
2. Für Sondierungspfad s(v ) eines Elementes v gilt:
Ist v in T enthalten, dann
I
I
steht v an einer Position si (v ) des Sondierungspfades
s(v ) = (s0 (v ), . . . , sn (v )) und
alle Positionen j < i auf dem Sondierungspfad s(v ) sind
nicht frei.
169
Operationen bei geschlossenem Hashing
Suchen, Löschen, Einfügen eines Wertes v in Hashtabelle T :
Durchlauf des Sondierungspfades s(v )
I
Suche eines Wertes v in T :
I
I
I
v ist genau dann in T enthalten, falls v an einer Adresse
des Sondierungspfades s(v ) gespeichert ist.
Durchlauf des Sondierungspfades genügt nach Invariante.
Suche erfolgreich, falls v auf s(v ) gefunden.
Suche erfolglos, falls erste freie Adresse auf s(v ) gefunden.
I
Einfügen eines Wertes v in T :
an der ersten Adresse mit Wert „frei“ oder „gelöscht“ auf
dem Sondierungspfad s(v )
I
Löschen eines Wertes v aus T :
Suche nach dem Wert v auf dem Sondierungspfad s(v ),
falls v gefunden, mit Wert „gelöscht“ überschreiben
Warum?
170
Wahl der Sondierungsfunktion
N
Sondierungsfunktion s : × D → {0, . . . , m − 1}
zu Berechnung des Sondierungspfades für einen Wert v
s(v ) = (s0 (v ), s1 (v ), . . .)
erwünschte Eigenschaften:
I effizient zu berechnen,
I für jeden Wert v überdeckt der Sondierungspfad s alle
Behälter
I möglichst gleichmäßige Verteilung der Werte über die
Hashtabelle (Cluster vermeiden)
übliche Verfahren:
lineares Sondieren: si = (h(v ) + i) mod m
Modifikation si = (h(v ) + ci) mod m
quadratisches Sondieren: si = (h(v ) + i 2 ) mod m
doppeltes Hashing: si = (h(v ) + ih0 (x)) mod m
mit zweiter Hashfunktion h0
171
Lineares Sondieren
Sondierungsfunktionen si (v ) = (h(v ) + i) mod m
Beispiel: m = 13, h(v ) = v mod 13
Einfügen von 18, 41, 22, 44, 59, 32, 31, 73
I
Vorteile: schnell, einfach
I
Nachteile: Clusterbildung
Verallgemeinerung: Hashfunktionen si (v ) = (h(v ) + ci) mod m
172
Quadratisches Sondieren
Sondierungsfunktionen si (v ) = (h(v ) + i 2 ) mod m
Beispiel: m = 13, h(v ) = v mod 13
Einfügen von 18, 41, 22, 44, 59, 32, 31, 73
I
Vorteile: vermeidet Clusterbildung
I
Nachteile: Sondierungsfolge nur halb so lang wie
Hashtabelle
I
überdeckt für Primzahl-Modul
Verallgemeinerung: Hashfunktionen
s2i−1 (v ) = (h(v ) + i 2 ) mod m
s2i (v ) = (h(v ) − i 2 + m2 ) mod m
173
Doppeltes Hashing
voneinander unabhängige Hashfunktionen h, h0
definieren die Folge von Positionen:
si (v ) = (h(v ) + ih0 (v )) mod m
Beispiel: m = 13
h(v ) = v mod 13
h0 (v ) = 7 − (v mod 7)
Einfügen von 18, 41, 22, 44, 59, 32, 31, 73
lineares Hashing ist ein einfacher Spezialfall mit h0 (v ) = . . .
174
Laufzeit der Operationen
Worst-Case für alle Hashverfahren
für Suche, Einfügen, Löschen: O(n)
Average-Case für gute Hashverfahren
für Suche, Einfügen, Löschen: O(1)
175
Dynamische Hashtabellen
Problem: zuvor festgelegte der Größe der Hashtabelle kann
sich später als ungeeignet (zu klein oder groß) erweisen
Idee: dynamische Anpassung der Größe der Hashtabelle
Rehashing (häufig bei zu über 80% gefüllten Hashtabellen):
1. Festlegung
I
I
der neuen Größe und
einer neuen Hashfunktion
2. Übertragung (Einfügen) aller Werte in die neue
Hashtabelle
176
Zusammenfassung Datenstrukturen für Mengen
I
lineare Datenstrukturen:
I
I
I
Folgen (evtl. sortiert):
Arrays, Listen (einfach, doppelt verkettet)
Hashtabellen
hierarchische Datenstrukturen:
I
I
I
binäre Suchbäume
binäre Suchbäume mit Balance-Eigenschaft,
z.B. AVL-Bäume, Rot-Schwarz-Bäume
balancierte Mehrweg-Suchbäume, z.B. B-Bäume
177