Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion
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Die allgemeine Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung
y = a⋅sinb⋅(x + c) + d


mit reellen Zahlen a, b, c sowie a ≠ 0 und b ≠ 0
y = sin(x) + d
y = sin(x) und y = sin(x) + 2
y = sin(x) − 3 und y = sin(x) + 2
0
Der Graph der Funktion f : x → y = sin(x) + d ist eine mit dem Vektor v =   in y- Richd
tung verschobene Sinuskurve.
Die Funktion f hat die Periodenlänge p = 2π und die Wertemenge W = d − 1; d + 1.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = sin(x + c)


2π 

y = sin x +

3 




π

y = sin x −

3


 
Der Graph der Funktion f : x → y = sin(x + c) ist eine mit dem Vektor v =  − c in x- Rich 0 
tung verschobene Sinuskurve.
Die Funktion f hat die Periodenlänge p = 2π und die Wertemenge W =  − 1; 1.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = a⋅sinx
y = 3⋅sinx
y = − 2⋅sinx
Ist a > 0, dann ist der Graph der Funktion f : x → y = a⋅sinx eine mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckte Sinuskurve.
Die Funktion f hat die Periodenlänge p = 2π und die Wertemenge W =  − a; a.


a heißt auch Amplitude der Sinusfunktion.
Ist a < 0, dann ist der Graph der Funktion f : x → y = a⋅sinx eine mit dem Faktor |a| in y-Richtung gestreckte und anschließend an der x-Achse gespiegelte Sinuskurve.
Die Funktion f hat die Periodenlänge p = 2π und die Wertemenge W = a; − a.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = sin(b⋅x)
y = sin2x
 
1 
y = sin x
2 
Ist b > 0, dann ist der Graph der Funktion f : x → y = sin(b⋅x) eine mit dem Faktor
Richtung gestreckte Sinuskurve.
1
in xb
Die Funktion f hat die Periodenlänge p =
2π
und die Wertemenge W =  − 1; 1.


b
1
Ist b < 0, dann dann ist der Graph der Funktion f : x → y = sin(b⋅x) eine mit dem Faktor  |
b
in x-Richtung gestreckte und anschließend an der y-Achse gespiegelte Sinuskurve.
2π
und die Wertemenge W =  − 1; 1.


|b|
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Die Funktion f hat die Periodenlänge p =
Zusammenfassung
Der Graph der Funktion f : x → y = a⋅sinb⋅(x + c) + d mit a, b > 0,


1
in x-Richtung und eine Streckung mit dem
b
 
Faktor a in y-Richtung und eine anschließende Verschiebung mit dem Vektor v =  − c
 d 
aus der Sinuskurve hervor.
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geht durch eine Streckung mit dem Faktor
Aufgabentypen
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1. Finde zu jedem Graphen einen geeigneten Funktionsterm
p =
a)
b)
Aus der Zeichnung:
Aus der Zeichnung:
5
1
π + π = 2π ⇒
3
3


π

f(x) = 2⋅sin x +

3


c)
b = 1
p =
π
5
π + π = 2π ⇒
3
3
b = 1

2 
f(x) = 1,5⋅sinx − π + 2
3 

d)
Aus der Zeichnung:
Aus der Zeichnung:
p =
1,5⋅p =
4
π
3
8
π
3
p =
4
3
2π
= π ⇒ b =
3
2
b
8
3
2π
= π ⇒ b =
3
4
b
3 
f(x) = 3⋅sin x
2 
3 
f(x) = 2⋅sin x + 1
4 
e)
f)
Aus der Zeichnung:
Aus der Zeichnung:
7
1
π + π = 4π ⇒
2
2
p =
8
π
3
p = 3π −
8
1
π = π
3
3
2π
8
3
= π ⇒ b =
b
3
4
2π
8
3
= π ⇒ b =
b
3
4


3
π 

f(x) = sin (x + ) + 2
4
2 




3
π 

f(x) = 2⋅sin (x − ) + 1
4
3 


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ermittle für folgender Funktionen die Wertemenge und die Periodenlänge und skizziere
ihre Graphen


3
π 

a) f : x → y = 2⋅sin (x − ) + 1
4
6 


Lösung:


4
π 

b) f : x → y = 3⋅sin (x + ) − 2
3
2 


a) Wertemenge: W = [ − 1; 3]
Periodenlänge: p =
a) Wertemenge: W = [ − 5; 1]
Periodenlänge: p =
2π
3
4
2π
4
3
=
8
π
3
=
3
π
2
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