Alle Dreiecke sind gleich

Magdalena Schreilechner - Alle Dreiecke sind gleich
Alle Dreiecke sind gleich
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Das Experiment:
Mit einem Projektor wird ein Netz aus
aneinandergrenzenden gleichseitigen Dreiecken auf
eine weiße Wand projiziert. Der Schüler bekommt nun
ein beliebig geformtes und an einem Stab befestigtes
Dreieck. Seine Aufgabe ist es, das Dreieck so in den
Strahl des Projektors zu halten, dass sein Schatten
genau mit einem der gleichseitigen Dreiecke
zusammenfällt.
Die einzige Bedingung an das Dreieck ist, dass es eine
bestimmte Größe nicht überschreitet darf.
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Mathematischer Hintergrund:
Dem Ergebnis des Experiments, dass man jedes beliebige Dreieck auf ein gleichseitiges
Dreieck beliebiger Größe projizieren kann, liegt eine geometrische Projektion zugrunde.
Bei einer Projektion werden Punkte des dreidimensionalen Raumes, auf Punkte in einer
Ebene, der Projektionsebene (Bildebene B), abgebildet. Schneiden sich alle
Verbindungsgeraden, die sogenannten Projektionslinien, welche von den Punkten des
Raumes (P,Q) und den projizierten Punkten in der Ebene (P',Q') gebildet werden, in einem
gemeinsamen Punkt, dem Projektionszentrum ( O ), so spricht man von einer
Zentralprojektion.
Im Fall des Experiments bildet der Projektor das Projektionszentrum, die Wand die
Projektionsebene und das beliebige Dreieck das zu projizierende Objekt des
dreidimensionalen Raumes. Das Ergebnis dieser Projektion ist zunächst ein beliebiges
Schattenbild des Dreiecks auf der Ebene, und nur durch geschicktes Drehen wird es
tatsächlich auf ein vorgegebenes gleichseitiges Dreieck abgebildet.
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Beweis:
Gerard Desargues:
Gérard Desargues (* 21. Februar 1591 in
Lyon; † 1661 in Lyon) war ein
französischer Architekt und
Mathematiker. Er ist der Urheber des
Gedanken, dass sich zwei parallele
Geraden im Unendlichen schneiden.
Satz von Desargues:
Für zwei beliebige Dreiecke ABC und A'B'C', die in einer Ebene liegen gilt:
Liegen die Schnittpunkte der Geraden AB mit A’B’: Z, AC mit A’C’:Y und BC mit B’C’:X
auf einer Geraden, so schneiden sich die Geraden AA’, BB’ und CC’ in einem gemeinsamen
Punkt P. Es gilt auch die Umkehrung.
Beweisidee:
Sei ABC ein beliebiges Dreieck im R3 (das Metalldreieck) und A’B’C’ ein gleichseitiges
Dreieck in einer Ebene.
Behauptung: Es gibt ein Zentrum Z , sodass sich die Geraden AA’, BB’ und CC’ in diesem
Zentrum (ein Punkt im R3 ) schneiden.
Es kann wie folgt eine „richtige“ Position für das Dreieck ABC gefunden werden:
a) die Geraden A’B’ und AB, sowie A’C’ und AC, sowie B’C’ und BC schneiden sich, und
b) Die Schnittpunkte sind kollinear, d.h. sie liegen auf einer Geraden.
Man wählt eine Gerade g, die die Geraden A’B’, A’C’ und B’C’ in den Punkten A*, B* und
C* schneidet. Man stellt sich nun die Punkte B* und C* als „Ösen“ vor, durch die die
Geraden AB und AC gesteckt werden. Nun dreht man das Dreieck ABC solange, bis die
Gerade BC durch die Öse A* zeigt.
Da nun die Bedingungen a) und b) erfüllt sind, ist mit Hilfe des Satzes von Desargues, der
besagt, dass sich die Geraden AA’, BB’ sowie CC’ tatsächlich in einem gemeinsamen Punkt
schneiden, die Behauptung gezeigt.
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Für die allgemeine Zentralprojektion gelten folgende Sätze:
• Jeder Raumpunkt P hat einen eindeutig zugeordneten
Bildpunkt P’.
• Jeder Bildpunkt P' ist das Bild unendlich vieler Raumpunkte
P, die alle auf dem Projektionsstrahl durch P' liegen.
• Eine Gerade wird wieder als Gerade abgebildet.
• Das Doppelverhältnis von vier auf einer Geraden liegenden
Punkten bleibt erhalten. /PR/ : /PS/ = /QR/ : /QS/
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Anwendungen der Zentralprojektion:
Im Alltag findet man die Zentralprojektion zum Beispiel als
Schattenbild.
Die Sonne bildet das Projektionszenrtum und die
Erdoberfläche die Projektionsebene, auf die alle Gegenstände
und Personen projiziert werden. Im allgemeinen Fall steht
das Projektionszentrum orthogonal auf die Projektionsebene,
was aber bei der Sonne und der Erde nur selten der Fall ist,
und das ist der Grund, warum das Schattenbild meist verzerrt
ist und sich die Proportionen des abgebildeten Gegenstands
in seinem Schatten ändern.
Eine weitere Anwendung ist die Lochkamera. Das
Projektionszentrum ist das kleine Loch der
Lochkamera und steht nun, anders als in unserem
Experiment, zwischen dem Objekt und der
Projektionsebene. Da sich aber wiederum alle
Projektionslinien in einem gemeinsamen Punkt
treffen, und dieser zwischen den beiden Bildern
liegt, entsteht auf der Projektionsebene nun ein
verkehrtes Bild des Objektes.
Das Projektionszentrum steht orthogonal auf die
Projektionsebene, daher ist das projizierte Bild nicht verzerrt, sondern nur vergrößert oder
verkleinert. Ob die Projektion größer oder kleiner ist als das Objekt selbst hängt einerseits
vom Abstand des Objekts zum Lochkamera ab, und andererseits vom Abstand des Loches
zur Projektionsebene:
Bezeichnet G die Gegenstandshöhe ( = tatsächliche Größe des betrachteten Gegenstandes),
g die Gegenstandsweite (= Abstand des Gegenstandes von der Lochscheibe), b die Bildweite
(= Abstand von der Lochscheibe zur Projektionsebene) und B die Bildhöhe (= Höhe des
erzeugten Bildes auf der Projektionsebene), so gilt:
Diese Gleichung erhält man aus dem Strahlensatz.
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Auch in der Kunst wird die Zentralprojektion als Hilfsmittel benutzt:
Stich von Albrecht Dürrer(Sizzenbuch 1525). Das zuzeichnende Objekt wird mit einer
Schnur, die in einem Zentrum befestigt ist, angepeilt, um so ein gutes Bild des Objekts
erstellen zu können. Das Verfahren wurde „die Malerperspektive“ genannt.
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