Die dielektrische Funktion verschiedener SiC

Die dielektrische Funktion verschiedener
SiC-Modifikationen im Spektralbereich von 1,5 - 30 eV
Christoph Cobet
Berlin, 22. Juni 1999
Diplomarbeit
Institut für Festkörperphysik am Fachbereich Physik der
Technischen Universität Berlin
Arbeitsgruppe Prof. Dr. Richter
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
7
2 Siliziumkarbid (SiC)
9
2.1 Kristallmodifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Elektronische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Grundlagen der Ellipsometrie
3.1 Funktionsprinzip der Ellipsometrie mit rotierendem Analysator . . . . . . . . .
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Der Stokes-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Mueller-Matrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Beschreibung des Ellipsometers mit rotierendem Analysator durch den
Mueller-Matrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ellipsometrische Winkel und die dielektrische Funktion . . . . . . . .
3.3.2 Oxidschichten und Oberflächenrauhigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Kramers-Kronig-Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
16
16
16
16
19
.
.
.
.
.
21
24
24
25
26
4 Experimentelles
4.1 Beschreibung der Meßapparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Lichtquelle und Monochromator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Polarisatoren und Analysatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kalibrierung des Ellipsometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kalibrierung unter „idealen“ Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Kalibrierung unter „nicht idealen“ Bedingungen . . . . . . . . . . . . .
4.3 Erweiterungen der Meßapparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Reflexionsmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Streulichtkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der Lichtquelle
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
28
29
32
33
34
35
35
36
36
40
5 Messungen und Ergebnisse
45
5.1 Proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Ellipsometrische Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Diskussion
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Einfluß der Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Einfluß der Komponenten des dielektrischen Tensors auf die gemessene
effektiven dielektrischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Kramers-Kronig-Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Vergleich mit experimentellen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
. 53
. 53
. 55
. 56
. 58
6.3
6.4
Vergleich mit Bandstrukturrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Temperatureffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Ausblick
63
8 Zusammenfassung
64
A Herleitungen
A.1 Berechnung der Intensität am Detektor durch den Mueller-Matrizen-Formalismus
A.2 Die ellipsometrischen Winkel ψ und ∆ als Funktion der normierten Fourierkoeffizienten c2 und s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Bestimmung des Analysatorazimut α0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
67
69
B Kramers-Kronig-Relation
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR) . . . . . . . . .
B.1.1 Allgemeine Formulierung einer Dispersionsbeziehung . . . . . . . . .
B.1.2 Übertragung der Dispersionsbeziehung auf Größen der Elektrodynamik
(KKR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Dispersionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Der harmonische Oszillator (Lorenz-Modell) . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Das freie Elektronengas (Drude-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Anwendungen der KKR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Reflektivität und dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Numerische Berechnung des Hauptwertintegrales . . . . . . . . . . . .
74
76
76
81
82
82
84
86
Danksagung
71
. 71
. 71
.
.
.
.
.
.
.
.
93
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Tetraedrische Bindungsstruktur von SiC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hexagonale SiC-Doppelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stapelformen im SiC-Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stapelfolgen einiger SiC-Kristallmodifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brillouin-Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektronische Bandstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fundamentaler Bandabstand als Funktion der Hexagonalität . . . . . . . . . . .
3C-SiC-Interbandübergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prinzipieller Aufbau eines Ellipsometers mit rotierendem Analysator . . . . . . .
Interpretation des Detektorsignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisationsellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema zur mathematischen Beschreibung eines Ellipsometers mit rotierendem
Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Änderung des Polarisationszustandes durch die Reflexion an einer Probe . . . . .
Schematische Darstellung des VUV-Ellipsometers . . . . . . . . . . . . . . . . .
2m Seya-Namioka Monochromator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spektrale Auflösung des 2m Seya-Namioka Monochromators . . . . . . . . . . .
Rochon-Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreifach-Reflexionspolarisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexionskoeffizienten von Gold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisationsgrad des Dreifach-Reflexionspolarisators . . . . . . . . . . . . . . .
Kalibrierungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwenkstudie (6 eV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwenkstudie (9 eV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation des Lichtes am 2m Seya-Namioka Monochromator (3 eV bis 9 eV) .
Eindeutigkeit von Schwenkstudienergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation des Lichtes am 2m Seya-Namioka Monochromator (2,5 eV bis 25 eV)
Vergleichsmessungen an GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswirkungen der nicht idealen linearen Polarisation des einfallenden Lichtes
auf eine ellipsometrische Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschätzung des Maximalfehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probenoberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektive dielektrische Funktion von 4H-SiC (2,5-25 eV) . . . . . . . . . . . . .
Effektive dielektrische Funktion von 6H-SiC (2,5-25 eV) . . . . . . . . . . . . .
Effektive dielektrische Funktion von 4H-, 6H- und 3C-SiC (2,5-10 eV) . . . . . .
Temperaturabhängigkeit der dielektrischen Funktion von SiC (150 K, 300 K) . . .
Einfluß einer SiO2 -Schicht bzw. Oberflächenrauhigkeit . . . . . . . . . . . . . .
Unterschiede in der Oberflächenrauhigkeit der 3C-SiC-Proben . . . . . . . . . .
Korrektur der dielektrischen Funktion durch die gemessene RMS-Rauhigkeit . .
Reflektivität von 4H-SiC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kramers-Kronig-Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
21
25
27
29
30
30
30
31
32
34
37
38
39
39
40
42
43
44
47
48
49
51
52
54
55
56
57
58
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
Vergleich der Reflektivität berechnet aus ε2 mit Literaturwerten . . . . . . . . .
Vergleich von ε2 mit Literaturwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zuordnung von Interbandübergänge zu Strukturen in ε 2 von 3C-SiC . . . . . . .
Bestimmung des Analysatorazimut α0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kramers-Kronig-Relation - Integrationsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kramers-Kronig-Relation - Gewichtsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dielektrische Funktion eines harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . .
Dielektrische Funktion zweier harmonischer Oszillatoren . . . . . . . . . . . . .
Anwendung der Kramers-Kronig-Relation auf ε1 , ε2 (harmonischer Oszillator) .
Dielektrische Funktion des freien Elektronengases. . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendung der Kramers-Kronig-Relation auf ε1 (Drude-Modell) . . . . . . . .
Dielektrische Funktion und Reflektivität eines harmonischen Oszillators. . . . . . . . . . . .
Anwendung der Kramers-Kronig-Relation auf die Reflektivität ohne Extrapolation
Anwendung der Kramers-Kronig-Relation auf die Reflektivität mit Extrapolation
59
60
61
70
73
75
78
79
80
81
83
84
85
86
Symbolverzeichnis
c 2 s2
C2 S2
c 2 s2
dE A
E
∆E
Eip s
S¯
S¯in
S¯out
S0 1 2 3
Unkorrigierte Fourierkoeffizienten, S. 33
Fourier-Koeffizienten, S. 16
Normierte Fourier-Koeffizienten (α0 η-korrigiert), S. 16
Spaltbreite (Eintritts-, Austrittsspalt), S. 29
Photonenenergie
Spektrale Auflösung in eV, S. 29
Komponenten des einfallenden elektrischen Feldvektors parallel/senkrecht
zur Einfallsebene, S. 24
Komponenten des reflektierten elektrischen Feldvektors parallel/senkrecht
zur Einfallsebene, S. 24
Gitterkonstante, S. 29
Hexagonalität, S. 12
Intensität am Detektor, S. 16
Mittlere Intensität, S. 16
Intensität des vollständig polarisierten Lichtanteils, S. 17
Intensität des unpolarisierten Lichtanteils, S. 17
Gitter-Spalt-Abstand, S. 29
Beugungsordnung, S. 29
Mueller-Matrix , S. 19
Mueller-Matrix des Analysators , S. 22
Mueller-Matrix einer Rotation des Koordinatensystems , S. 19
Mueller-Matrix der Reflexion an einer Probe, S. 21
Komplexer Brechungsindex, S. 24
Komplexer Brechungsindex der Umgebung, S. 24
Polarisationsgrad, S. 19
Polarisationsvermögen eines Polarisators, S. 20
Reflektivität unter senkrechtem Lichteinfall, S. 35
Komplexe Reflexionskoeffizienten für parallele/senkrechte Polarisation
zur Einfallsebene, S. 24
Stokes-Vektor, S. 19
Stokes-Vektor des einfallenden Lichtes, S. 19
Stokes-Vektor des Lichtes am Detektor , S. 19
Stokes-Parameter, S. 18
α t
α0
χ
χ0
χT
Analysatorwinkel, S. 16
Nullpunkt der Winkelskala des Analysators (Azimut), S. 33
Winkel zwischen Einfalls- und Polarisationsebene , S. 16
Nullpunkt von χ , S. 33
Schwenkwinkel der Vakuum-Kammer, S. 32
Er p s
g
H
I α t I0
I pol
Iunpol
l
m
M̂
M̂A
M̂R
M̂S
n
n0
P
P̃
R
r p s
∆ arg ρ ∆A
δ p δs
ε ε1 iε2
ε ε
η
γ
λ
∆λ
φ
φB
φre f r
ψ arctan ρ
ψA
ρ
ϑ
Ellipsometrischer Winkel, Phase, S. 24
Parameter eines nicht idealen Analysators, S. 22
Phase von r p , rs , S. 24
Dielektrische Funktion, S. 24
Komponenten des dielektrischen Tensors parallel und senkrecht zur cAchse, S. 13
Effektive dielektrische Funktion, S. 24
Dämpfungsparameter, S. 33
Elliptizität, S. 17
Wellenlänge
Spektrale Auflösung , S. 29
Einfallswinkel, S. 24
Brewster-Winkel, S. 31
Brechungswinkel, S. 24
Ellipsometrischer Winkel, S. 24
Parameter eines nicht idealen Analysators, S. 22
Komplexes Verhältnis r p rs , S. 24
Beugungswinkel am Monochromatorgitter, S. 29
7
1 Einleitung
SiC ist eine Gruppe-IV-Verbindung, die in einer Vielzahl von verschiedenen Kristallmodifikationen vorkommt [1]. Es sind über 200 Modifikationen theoretisch möglich. Häufig beschriebene SiC-Kristallmodifikationen sind 2H-, 4H- und 6H-SiC mit hexagonaler Kristallstruktur sowie
3C-SiC mit kubischer Kristallstruktur. Alle Kristallmodifikationen von SiC sind indirekte Halbleiter mit einer großen indirekten Bandlücke zwischen 2,5 eV und 4 eV [1].
Seit den 60’er Jahren hat SiC durch seine elektronischen und optischen Eigenschaften sowie
seine chemische, thermische und mechanische Stabilität eine große technologische Bedeutung.
Es wird als Halbleitermaterial im Bereich der Hochleistungs-, Hochtemperatur- und Hochfrequenzelektronik verwendet. Anwendungsbeispiele sind FET’s (Field Effect Transistors), blau
leuchtende LED’s (Light Emitting Diodes) und Photodioden für den Einsatz im ultravioletten
Spektralbereich [2, 3, 4, 5].
Neben der technologischen Bedeutung hat SiC auch eine wachsende Bedeutung in der Grundlagenforschung. Kristallines SiC ist die einzige Gruppe-IV-Verbindung deren Kristallstruktur
große Periodizitätslängen aufweist. Durch die große Anzahl an möglichen Kristallmodifikationen tragen die Untersuchungen an diesem Material zum Verständnis der Strukturierung in
Kristallen und den damit zusammenhängenden Eigenschaften bei. Die schnell anwachsende Leistungsfähigkeit der Computer ermöglichte in den letzten Jahren elektronische Bandstrukturrechnungen für Kristallstrukturen mit einer großen Periodizitätslänge wie 4H- und 6H-SiC. Dies
führte zu einer Reihe von Veröffentlichungen über die elektronischen und die daraus abgeleiteten optischen Eigenschaften der verschiedenen SiC-Kristallmodifikationen.
Den theoretischen Arbeiten stehen jedoch nur wenige veröffentlichte experimentelle Daten
über die elektronischen und optischen Eigenschaften gegenüber. Die optischen Eigenschaften
werden durch die komplexe dielektrische Funktion ε beschrieben, die direkt mit den elementaren
Anregungen und dadurch mit der elektronischen Struktur verknüpft ist. Die Untersuchungen der
optischen Eigenschaften von SiC ermöglichen somit die Überprüfung theoretischer Modelle und
tragen damit direkt zum Verständnis der fundamentalen Materialeigenschaften bei.
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung der dielektrischen Funktion der SiCKristallmodifikationen 4H, 6H und 3C vom sichtbaren bis in den vakuumultravioletten Spektralbereich. Dazu wird ein Ellipsometer mit rotierendem Analysator verwendet. Speziell für die
SiC-Modifikationen 4H konnten in der Literatur keine Hinweise auf eine vorherige Messung von
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion oberhalb von 6,6 eV gefunden werden. Für
6H- und 3C-SiC wurden bereits Messungen veröffentlicht [6, 7], die verifiziert bzw. verbessert
werden sollen.
Die Ellipsometrie ist eine polarimetrische Meßtechnik zur gleichzeitigen Bestimmung von
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion. Diese Meßmethode wurde bereits Ende des
letzten Jahrhunderts in einer Reihe von theoretischen und experimentellen Arbeiten von Drude [8, 9] beschrieben. Jedoch erst Anfang der 70’er Jahre erhielt die Ellipsometrie durch die
aufkommende Computertechnik zur Steuerung des Experiments und zur Auswertung der Daten
eine wachsende Bedeutung für die Bestimmung der optischen Eigenschaften von Festkörpern.
Die vor allem von Aspnes [10] vorangetriebene Entwicklung von automatischen Ellipsometern
mit rotierendem Analysator ermöglicht routinemäßig spektroskopische Messungen im Spektral-
8
bereich vom nahen Infrarot bis ins nahe Ultraviolett.
Die dielektrische Funktion der SiC - Kristallmodifikationen wird dominiert durch Interbandübergänge zwischen 5 eV und 12 eV. Konventionellen Ellipsometern ist der Spektralbereich
oberhalb von etwa 6,5 eV nicht zugänglich. Deshalb resultieren die Daten der meisten experimentellen Arbeiten zu den optischen Eigenschaften aus Reflexionsmessungen mit einer anschließenden Kramers-Kronig-Analyse zur Bestimmung von Real- und Imaginärteil der dielektrischen
Funktion.
Das in dieser Arbeit benutzte VUV-Ellipsometer (VUV, Vakuumultraviolett) ermöglicht spektroskopische Ellipsometrie im Spektralbereich von ca. 2,5 eV bis 30 eV durch die Verwendung
von Synchrotronstrahlung und kann dadurch ideal für die Untersuchung von Halbleitern mit einer großen Bandlücke wie SiC eingesetzt werden. Durch das Fehlen geeigneter Polarisatoren
im Meßbereich oberhalb von 10 eV sind im Vergleich zu konventionellen Ellipsometern einige Erweiterungen des Verfahrens zur Auswertung der Messungen notwendig. Vorgestellt wird
ein Verfahren zur Bestimmung der Polarisation des einfallenden Lichtes und die Berücksichtigung der Polarisationseigenschaften in der Auswertung der Meßdaten. Die mathematischen und
experimentellen Grundlagen dazu wurden bereits in einer vorangehenden Arbeit untersucht [11].
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert:
Im Anschluß an die Einleitung wird das untersuchte Material SiC kurz vorgestellt und die kristalline bzw. elektronische Eigenschaften der verschiedenen SiC-Modifikationen diskutiert. In
Abschnitt 3 wird eine kurze Einführung in die grundsätzliche Funktionsweise eines Ellipsometers mit rotierendem Analysator gegeben und die Auswertung der Meßdaten mit dem MuellerMatrixformalismus erläutert. Außerdem finden sich hier einige Bemerkungen zur Interpretation
der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion. In Abschnitt 4 folgen Erläuterungen zum
VUV-Ellipsometer und dessen Besonderheiten. In diesem Zusammenhang wird auch die Bestimmung der Polarisation des Lichtes der Lichtquelle und die damit verknüpfte Meßgenauigkeit
dargestellt. Die beiden folgenden Abschnitte 5 und 6 enthalten die Meßergebnisse und deren
Diskussion.
9
2 Siliziumkarbid (SiC)
2.1 Kristallmodifikationen
Siliziumkarbid (SiC) ist eine Verbindung aus Elementen der IV. Hauptgruppe, die Si und C im
stöchiometrischen Verhältnis 1 : 1 enthält. Wie in der Diamantstruktur sind die einzelnen Atome
in der sp3 -Hybridisierung durch kovalente Bindungen tetraedrisch angeordnet. Im SiC-Kristall
wird jedes Atom von vier Atomen des jeweils anderen Elements umgeben, so daß eine Struktur
aus SiC4 - bzw. CSi4 -Tetraedern entsteht (Abb. 1). Die tetragonale Si-C-Bindungsstruktur bildet
Si
C
Abbildung 1: Tetraedrische Struktur der Bindungen
im SiC-Kristall. Die Abstände Si C und Si Si (a)
sind 1,89 Å bzw. 3,08 Å
Sfrag replacements
a
hexagonale Doppelschichten, in denen alternierend Si und C-Atome jeweils mit einer „freien“
Bindung senkrecht zur einen bzw. anderen Seiten der Ebene angeordnet sind (Abb. 2). An diesen
freien Bindungen lagern sich die weiteren Doppelschichten an. Es existieren zwei verschiedene
Si
C
PSfrag replacements
Abbildung 2: Hexagonale SiC-Doppelschicht.
Möglichkeiten der Stapelung zweier Doppelschichten. Die Bindungen in der jeweils folgenden
Schicht sind entweder parallel oder um 60 gedreht angeordnet (Abb. 3).
Aufgrund der daraus resultierenden Kristallstruktur spricht man von einer kubischen oder
einer hexagonalen Stapelform. Durch die Kombination der beiden Möglichkeiten in einem sich
2.1 Kristallmodifikationen
10
Si
C
PSfrag replacements
kubisch
hexagonal
Abbildung 3: Stapelformen im SiC-Kristall. Die Bindungen zweier Si-C-Doppelschichten können entweder parallel (links) oder um 60 gedreht (rechts) angeordnet sein. Daraus ergibt sich eine kubische bzw. hexagonale Kristallstruktur.
periodisch fortsetzenden Stapel entstehen eine Vielzahl von verschiedener Kristallstrukturen. Es
sind über 200 solcher SiC-Kristallmodifikationen theoretisch möglich [12,1]. Die zwei Grenzfälle sind die kubische Kristallstruktur (Zinkblendestruktur), in der die Doppelschichten entlang der
(111)-Richtung mit kubischen Stapelform geschichtet sind, und die hexagonale Kristallstruktur
(Wurtzitstruktur), mit einer rein hexagonalen Stapelform entlang der (0001)-Richtung (c-Achse).
Diese werden in der Ramsdell-Notation [13] mit 3C-SiC bzw. 2H-SiC bezeichnet. Die Notation
zur Klassifizierung der Kristallmodifikationen beruht auf der Stapelfolge der hexagonalen Si-CDoppelschichten. In diesem Zusammenhang wird die kubische Kristallmodifikation durch eine
hexagonale Elementarzelle beschrieben, die sich entlang der Stapelrichtung (c-Achse) über 3
Doppelschichten erstreckt. Die Stapelfolge ist damit ABC(AB. . . ). Daraus resultiert die Bezeichnung „3C-SiC“, in der die „3“ die Anzahl der Doppelschichten wiedergibt und „C“ die kubische
Kristallstruktur symbolisiert. Für die rein hexagonale Stapelform ergibt sich entlang der Stapelrichtung (c-Achse) eine Periodizität über 2 Doppelschichten mit der Stapelfolge AB(AB. . . ).
Daraus folgt die Bezeichnung „2H-SiC“ in der „H“ die hexagonale Kristallstruktur symbolisiert. Weitere Kristallmodifikationen sind 4H-SiC, in der sich die kubische mit der hexagonalen
Stapelform abwechselt und 6H-SiC, in der nach jeweils 2 kubisch gestapelten Schichten eine
mit hexagonaler Stapelform folgt. Die zugehörigen Stapelfolgen sind ABCB(AB. . . ) bzw. ABCACB(AB. . . ). Bekannte Modifikationen sind ebenfalls 8H, 9R und 15R. Das „R“ in den beiden
letzteren steht für eine resultierende rhomboedrische Kristallstruktur. Die Stapelfolgen einiger
wichtiger Modifikationen sind in Abbildung 4 dargestellt.
Die Mechanismen, die zu Strukturen mit solchen großen Periodizitätslängen führen, sind
bisher nicht endgültig geklärt. Eine Erklärung für das Auftreten verschiedener Modifikationen
ergibt sich aus den geringen energetischen Unterschieden der verschiedenen Kristallmodifikationen. Welche der Modifikationen beim Kristallwachstum entsteht, hängt von den jeweiligen
Wachstumsbedingungen ab [14,12]. Eine wichtige Rolle spielt dabei die Temperatur. Zusätzlich
sind aber auch Transformationen zwischen den verschiedenen Kristallmodifikationen möglich.
Ein Beispiel ist die temperaturabhängige Phasentransformation 3C
6H [12]. 6H wird oft als
2.1 Kristallmodifikationen
11
A
6H-SiC
4H-SiC
0001
C
A
¯
1120
B
B
A
h
c-Achse
¯
1100
2H-SiC
C
A
B
B
B
c
C
c
A
h
B
A
h
Sfrag replacements
B
c
C
h
A
3C-SiC
A
h
B
c
B
h
c
C
c
A
h
B
h
A
A
C
c
A
B
c
B
A
¯
1120
C
C
111
Si
B
C
A
110
¯ -Ebene.
Abbildung 4: Stapelfolgen der SiC-Kristallmodifikationen 6H, 4H, 2H und 3C, dargestellt in der 11 20
h und c bezeichnen hexagonalen bzw. kubischen gestapelten SiC-Doppelschichten. Im Bild rechts unten ist eine
Ansicht der 0001 bzw. 111 Ebene mit den Positionen der Atome in den mit A, B und C bezeichneten Schichten
skizziert.
energetischer Grundzustand betrachtet.
Zur Charakterisierung der verschiedenen Kristallmodifikationen werden diese häufig sortiert
2.2 Elektronische Struktur
12
nach ihrer Hexagonalität H:
H
h
(2.1)
h c
Darin sind h und c jeweils die Anzahl der hexagonal bzw. kubisch gestapelten SiC-Doppelschichten. 6H-SiC ist charakterisiert durch eine 33%’ige Hexagonalität, während 4H- und 2H-SiC eine
Hexagonalität von 50% bzw. 100% aufweisen.
2.2 Elektronische Struktur
Die verschiedenen Kristallmodifikationen ergeben für SiC unterschiedliche elektronische und,
damit zusammenhängend, auch optische Eigenschaften. Für die genauere Untersuchung der optischen Eigenschaften ist die elektronische Bandstruktur in der Umgebung der Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband von großem Interesse. In den letzten Jahren wurden in einer
Reihe von theoretischen Arbeiten z. B. mit Hilfe der Dichte-Funktional-Theorie (DFT, density functional theorie) mit einer lokalen-Dichte-Näherung (LDA, local density approximation)
zur Beschreibung der Elektron-Elektron-Wechselwirkungen [15] die Bandstrukturen berechnet
[16,17,18,19,20,21]. Zur Veranschaulichung ist für die SiC-Modifikationen 3C, 2H, 4H und 6H
die Bandstruktur zwischen verschiedenen Punkten hoher Symmetrie der Brillouin-Zone (Abb. 5)
als Ergebnis einer Rechnung von Person [22] in Abbildung 6 dargestellt. Die energetische Lage
der Bänder in solchen Berechnungen unterscheidet sich mitunter stark von experimentellen Daten (z. B. winkelaufgelöste Photoemission) oder anderen Rechenmethoden (z. B. QP, quasiparticle calculation). Für DFT-LDA-Rechnungen ist eine Unterschätzung des Bandabstandes zwischen
30% und 60% typisch [15, 22]. Die Dispersion der Bänder zeigt jedoch häufig eine weitgehende Übereinstimmung. Oftmals genügt es daher, die Abweichung durch eine Verschiebung der
Bänder um einen konstanten Energiewert zu korrigieren.
PSfrag replacements
A
Γ
Λ
Σ
H
L
∆
U
K W
∆
L
Γ
T
X
K
M
Abbildung 5: Brillouin-Zonen der kubischen Zinkblende- (links) und der hexagonalen Wurtzitstruktur (rechts).
Mit den Übergangsmatrixelementen für Dipolanregungen der Elektronen aus Valenzbandzuständen in Zustände der Leitungsbänder läßt sich die dielektrische Funktion aus der elektronischen Bandstruktur berechnen [15]. Dadurch ist ein direkter Vergleich zwischen der expe-
2.2 Elektronische Struktur
13
Abbildung 6: Elektronische Bandstrukturen der SiC-Modifikationen 3C, 2H, 4H und 6H (--------) ermittelt aus einer
DFT-LDA-Rechnung [22]. Für die Modifikationen 3C und 2H sind die Ergebnisse von zwei verschieden Potentialansätzen dargestellt ((--------), ( )).
rimentell, z. B. aus einer ellipsometrischen Messung gewonnenen, dielektrischen Funktion und
der entsprechenden Funktion aus der berechneten elektronischen Bandstruktur möglich. Durch
die Anisotropie der hexagonalen Kristallstruktur erhält die dielektrische Funktion einen Tensorcharakter mit zwei unabhängigen Komponenten senkrecht ε und parallele ε zur c-Achse. Die
beiden Komponenten müssen in diesem Fall separat betrachtet werden. Für den Vergleich von experimentellen Daten mit der berechneten dielektrischen Funktion ist es deshalb notwendig, die
Orientierung des untersuchten Kristalls zur Polarisation des Lichtes zu kennen. Die kristalline
Struktur senkrecht zur c-Achse ist in allen SiC-Kristallmodifikationen sehr ähnlich. Unterschiede in der dielektrischen Funktion sind deshalb vorzugsweise in der Komponente ε zu erwarten.
Alle SiC-Kristallmodifikationen sind indirekte Halbleiter, deren fundamentale Bandlücke
zwischen 2 eV und 4 eV variiert (Tab. 1). Das Minimum der Leitungsbänder befindet sich abgesehen von 2H-SiC bei allen hexagonalen Modifikationen in der Umgebung des M-Punktes
oder zwischen M- und L-Punkt der hexagonalen Brillouin-Zone (Abb. 5). In der Brillouin-Zone
2.2 Elektronische Struktur
14
der kubischen Zinkblendestruktur ist das Minimum am X-Punkt (Abb. 6). Es ergibt sich ein
annähernd linearer Zusammenhang zwischen der Größe der fundamentalen Bandlücke und der
Hexagonalität. Dieser ist in Abbildung 7 zusammen mit den zugehörigen Symmetriepunkten in
der Brillouin-Zone dargestellt.
3C-SiC
C.Persson (theo. ) [22] (a)
1,30
C.Persson (theo. ) [22] (b)
2,04
H.L.Harrison (exp. ) [23]
2,40
W.R.L.Lambrecht (theo. ) [17]
1,34
W.R.L.Lambrecht (exp. ) [17]
2,40
6H-SiC
1,97
2,69
3,10
2,07
3,03
4H-SiC
2,17
2,90
3,29
2,30
2,27
2H-SiC
2,11
3,11
3,33
2,35
3,33
Tabelle 1: Fundamentale Bandabstände Eg (eV) von 3C-, 6H-, 4H-, und 2H-SiC. Die theoretischen Werte (a), (b)
gehören zu den berechneten Bandstrukturen aus Abbildung 6 ((--------), ( ))
9R
8H 6H15R 4H
3C
15R’
2H
4.0
Sfrag replacements
3.5
L
M
M-L
L
K
M
Eg (eV)
M
M
3.0
Abbildung 7: Fundamentaler Bandabstand als Funktion der Hexagonalität H. Die
Buchstaben M, L, U, und K an den einzelnen Punkten bezeichnen die Position des
Leitungsbandminimums in der BrillouinZone.
-Bandabstand (theo. ) [17],
- Γv1 M1c (theo. ) [17],
- Bandabstand (exp. ) [17],
- Bandabstand (theo. ) [22],
(- - -) - Ausgleichsgerade durch die Punkte
des berechneten Γv1 M1v -Bandabstandes
Xkub
2.5
2.0
0
20
40
60
80
100
Hexagonalität (%)
Kristalle wie 4H-, 6H- und 15R-SiC besitzen sehr große Elementarzellen mit vielen Atomen.
Dies führt zu einer vielfachen Faltung von Valenz- und Leitungsband in einer kleinen BrillouinZone. Eine eindeutige Zuordnung von Strukturen der dielektrischen Funktion zu Punkten in der
Brillouin-Zone mit hoher kombinierter Zustandsdichte ist deshalb schwierig. Für die 3C-SiCModifikation ist eine solche Zuordnung in einer Arbeit von Lambrecht [24] durchgeführt worden (Abb. 8). Übergänge an kritischen Punkten mit hoher Symmetrie werden darin mit Gradientenänderung im Kurvenverlauf von ε2 verbunden. Die berechnete dielektrische Funktion ist um
1 eV zu höheren Energien verschoben worden, um den minimalen indirekten Bandabstand an experimentelle Werte anzupassen. Tabelle 2 listet die aus verschiedenen Bandstrukturrechnungen
oder experimentellen Untersuchungen gewonnenen Energien von einigen Interbandübergängen
2.2 Elektronische Struktur
15
Sfrag replacementsan
Symmetriepunkten in der Brillouin-Zone mit hoher kombinierter Zustandsdichte für 3C-SiC
auf.
30
8
Γc15
Γc1
Energie (eV)
6
4
Lc3
Lc1
Γv15PSfrag
X1c
0
replacements
ε2
Γv15
Lv3
15
X5v
10
- 2
X5v
Γc15
Lc3
Lv3
Γc1
X1c
5
- 4
Γ
X3c
Γv15
Lc1
Lv3
20
X3c
2
X5v
25
Γ
KW X
0
WU X
L
5
6
7
8
9
10
11
12
Photonenenergie (eV)
Abbildung 8: Im Bild rechts ist der Imaginärteil ε2 der dielektrischen Funktion (DFT-LDA) von 3C-SiC dargestellt
und die Lage einiger Interbandübergänge an Punkten der Brillouin-Zone mit hoher kombinierter Zustandsdichte
markiert [24]. Zum Vergleich ist im Bild links die Bandstruktur von 3C-SiC mit den zugehörigen Punkten dargestellt
[22].
X5v
Theo. [24]
Theo. [25]
Theo. [19]
Theo. [17]
Exp. [17]
Exp. [26]
X1c
5,62
5,99
5,79
5,6
5,8
5,96
Γv15
Γc1
7,59
7,67
7,81
7,56
7,4
7,43
Lv3
Lc1
7,64
7,87
7,87
7,71
7,5
7,73
X5v
X3c
8,52
8,72
8,66
8,3
8,3
8,40
Γv15
Γc15
8,74
8,96
8,97
8,7
9,0
9,03
Lv3
Lc3
9,36
9,87
9,79
9,4
9,4
9,49
Tabelle 2: Berechnete und gemessene Energien (eV) einiger wichtiger Interbandübergänge in der kubischen
Brillouin-Zone von 3C-SiC. Die experimentellen Ergebnisse resultieren aus einer Reflexionsmessung [17] bzw. aus
einer ellipsometrischen Messung, die mit dem in dieser Arbeit verwendeten VUV-Ellipsometer zuvor angefertigt
wurde [26].
16
3 Grundlagen der Ellipsometrie
3.1 Funktionsprinzip der Ellipsometrie mit rotierendem Analysator
Die spektroskopische Ellipsometrie bestimmt die Änderung des Polarisationszustandes von Licht
einer bestimmten Wellenlänge durch die Reflexion an einer Probe. In dieser Arbeit wurde dazu
ein Ellipsometer mit rotierendem Analysator eingesetzt. Der prinzipielle Aufbau ist in Abbildung 9 dargestellt. Licht, das an einer Oberfläche reflektiert wurde, ist im allgemeinen elliptisch
χ
αt
D
PSfrag replacements M
φ
P
A
S
Abbildung 9: Prinzipieller Aufbau eines Ellipsometers mit rotierendem Analysator. Das Licht einer monochromatischen Quelle M wird durch einen Eingangspolarisator P in einem Winkel χ zur Einfallsebene polarisiert und an
der Probe S unter dem Einfallswinkel φ reflektiert. Die durch den rotierenden Analysator modulierte Lichtintensität
wird dann am Detektor D als Funktion des Analysatorwinkels α t gemessen
polarisiert. Durch die kontinuierliche Rotation des Analysators wird die Polarisationsellipse abgetastet. Am Detektor erhält man dadurch ein sinusförmiges Intensitätssignal I als Funktion des
Drehwinkels α (Abb. 10).
I α t I0 C2 cos 2α t S2 sin 2α t I0 1 c2 cos 2α t s2 sin 2α t (3.1)
Die durch eine Fourier-Analyse berechneten normierten Fourier-Koeffizienten c 2 und s2 der
zweiten harmonischen Näherung sind die eigentlichen Meßgrößen der Ellipsometrie. Sind der
Polarisationszustand des einfallenden Lichtes (definiert z.B. durch einen Polarisator) und die
Wirkung aller optischer Komponenten bekannt, können die Fourier-Koeffizienten mit den Probeneigenschaften verknüpft werden. Der dafür verwendete Mueller-Matrix-Formalismus wird in
den folgenden Abschnitten erläutert.
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
3.2.1 Der Stokes-Vektor
Ein beliebiger Lichtstrahl, der aus ebenen monochromatischen Wellen zusammengesetzt ist,
kann zerlegt werden in einen vollkommen polarisierten und einen vollständig unpolarisierten
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
17
Intensität
Ers
αt
Erp
Transmissionsachse
αt
0
0
180
PSfrag replacements
360
Abbildung 10: Das von der Probe reflektierte Licht ist allgemein elliptisch polarisiert. Die Projektion des EFeldvektors auf eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung beschreibt dann eine Ellipse. Diese wird durch den
rotierenden Analysator abgetastet (Abb. 9) und als Intensitätsverteilung in Abhängigkeit von dem Analysatorwinkel α t gemessen (oben). Ist das reflektierte Licht zirkular polarisiert, wird am Detektor eine konstante Intensität
gemessen (unten links). Bei linearer Polarisation ist das Signal dagegen maximal moduliert (unten rechts).
Anteil. Stokes zeigte 1852 [27, 28], daß zur Beschreibung des Polarisationszustandes ein Satz
von 4 Parametern notwendig und hinreichend ist. Dies können z. B. die 4 nachfolgenden Parameter sein:
1. I pol : Intensität des vollständig polarisierten Lichtanteils
2. γ: Elliptizität definiert durch das Verhältnis der Halbachsen der Polarisationsellipse
(vgl. Abb. 11)
3. χ: Winkel zwischen der großen Halbachse der Polarisationsellipse (Polarisationsebene)
und der Achse eines gewählten Koordinatensystems (z. B Achse in der Einfallsebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) (vgl. Abb. 11)
4. Iunpol : Intensität des vollständig unpolarisierten Lichtanteils
Stokes schlug zur Charakterisierung vier reelle Parameter mit der Dimension einer Intensität
vor. Die als Stokes-Parameter bezeichneten Größen sind in einem Koordinatensystem, dessen
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
18
y
v
u
γ
Ey
Eu
Ev
χ
PSfrag replacements
x
Ex
Abbildung 11: Polarisationsellipse, dargestellt in einem beliebigen rechtwinkligen Koordinatensystem x, y sowie
in einem Koordinatensystem u, v, dessen Achsen mit den Halbachsen der Ellipse zusammenfallen. E x y bzw. Eu v
sind die maximalen Komponenten des elektrischen Feldvektors in den jeweiligen Koordinaten. Die Elliptizität ist
definiert durch das Verhältnis der Halbachsen γ arctanEu Ev . χ ist der Azimut der großen Halbachse der Ellipse
bezüglich des gewählten Koordinatensystems x, y.
z-Achse parallel zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes liegt, definiert durch [29]:
S0
S1
S2
I
Ix Iy
I π 4 I
S3
Il
(3.2)
π 4
Ir
Ix Iy I π 4 I π 4 Il und Ir sind Intensitätsanteile, die durch einen linearen Polarisator in x-, y
, π 4- und π 4-Richtung bzw. durch ein links- und ein rechtszirkulares Polarisationsfilter
transmittieren würden. Die Gesamtintensität I setzt sich aus den jeweils senkrecht zueinander
stehenden Polarisationsrichtungen zusammen:
I
Ix
Iy
I
π 4
I
π 4
Il
Ir
(3.3)
Berechnet man die Intensitätsanteile aus den zugehörigen Komponenten des elektrischen Feldvektors, dann können nach einer umfangreichen Rechnung die Stokes-Parameter durch die oben
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
19
definierten Größen I pol , Iunpol , γ und χ ausgedrückt werden [28, 30, 11]:
S0
Ex2
Ey2
S1
Ex2
S2
S3
2Ex Ey cos δ
2Ex Ey sin δ
Ey2
I
I P cos 2γ cos 2χ
(3.4)
I P cos 2γ sin 2χ
I P sin 2γ
¯ und δ ist deren relative Phase.
Ex und Ey sind die Komponenten des elektrischen Feldvektors E,
Der Polarisationsgrad P ist definiert durch:
P
I pol
Iunpol
I pol
I pol
I
(3.5)
3.2.2 Mueller-Matrix-Formalismus
H. Mueller schlug 1848 vor, die Stokes-Parameter in einem Stokes-Vektor zusammenzufassen 1
[31].
S¯ S0 S1 S2 S3 (3.6)
Der Stokes-Vektor eines beliebig polarisierten Lichtstrahls hat dann mit Gleichung 3.4 folgende
Form:
(3.7)
S¯ I 1 P cos 2γ cos 2χ P cos 2γ sin 2χ P sin 2γ Die Änderung des Polarisationszustandes durch ein optisches Element kann dann durch eine
4 4-Matrix mit reellen Komponenten beschrieben werden [31, 32]. Soll der Einfluß eines Systems optischer Elemente durch die sogenannten Mueller-Matrizen M̂ dargestellt werden, müssen die Mueller-Matrizen M̂n der einzelnen Elemente in der Reihenfolge, in der sie im System
angeordnet sind, auf den Stokes-Vektor S¯in des einfallenden Lichtes angewendet werden:
S¯out
M̂n M̂n
1 M̂1 S¯in
M̂System S¯in
(3.8)
Um eine einfache Darstellung der optischen Elemente zu erhalten, werden die jeweiligen
Matrizen in ihrem Eigensystem formuliert. Die Symmetrieachsen des optischen Elements fallen dann mit den Koordinatenachsen zusammen. Dadurch wird es notwendig, den Stokes-Vektor
des einfallenden Lichtes zuvor in das jeweilige Koordinatensystem zu transformieren. Es handelt sich um Drehungen in der Ebene parallel zu den Feldvektoren. Die Gesamtintensität und
die Intensität des zirkular polarisierten Anteils werden dabei nicht verändert. Unter Berücksichtigung der 180 -Symmetrie der Intensität von polarisiertem Licht, ist die Mueller-Matrix für eine
1 Ein
Spaltenvektor wird durch geschweifte Klammern symbolisiert
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
20
Koordinatenrotation gegeben durch:
1
0
M̂R
0
0
0
0
0 cos 2θ sin 2θ 0
sin 2θ cos 2θ 0 0
0
1
(3.9)
θ ist der Winkel, um den die Koordinatensysteme gegeneinander verdreht sind. Ein idealer linearer Polarisator wird in seinem Eigensystem (Polarisation in x-Richtung) durch die Matrix
1 1 0 0 1 1 1 0 0
2 0 0 0 0
0 0 0 0
M̂Pi (3.10)
repräsentiert. Ein Polarisator mit einem Polarisationsvermögen P̃ kleiner als 1 ist definiert durch
die Transmissionskoeffizienten tx parallel zur x-Achse und ty parallel zur y-Achse:
ty tx tan ψP :
P̃ :
tx2 ty2
tx2 ty2
cos 2ψP
Polarisationsvermögen
(3.11)
Die Mueller-Matrix eines „nicht idealen“ Polarisators hat die Form:
M̂Pn i tx2
ty2
2
1
cos 2ψP
0
0
cos 2ψP
1
0
0
0
0
sin 2ψP
0 0
0
0
sin 2ψP
(3.12)
Die Darstellung eines Reflexionspolarisators ist identisch, wenn an Stelle der Transmissionskoeffizienten tx , ty die Reflexionskoeffizienten rx und ry verwendet werden. Ein idealer sogenannter
„Retarder“, der die relative Phase der Komponenten des elektrischen Feldvektors um ∆ R verschiebt, ist gegeben durch die Matrix:
1 0
M̂Ret
0 1
0 0
0 0
0
0 0
0
cos ∆R sin ∆R sin ∆R cos ∆R
(3.13)
Durch eine Kombination der Matrizen des nicht idealen linearen Polarisators (Gl. 3.12) und
des idealen Retarders (Gl. 3.13) kann, abgesehen von einer depolarisierenden Wirkung, jedes
optische Element bezüglich seines Einflusses auf den Polarisationszustand beschrieben werden.
M̂
rx2
ry2
2
1
cos 2ψP
cos 2ψP
1
0
0
0
0
0
0
0
0
sin 2ψP cos ∆R sin 2ψP sin ∆R sin 2ψP sin ∆R sin 2ψP cos ∆R
(3.14)
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
21
3.2.3 Beschreibung des Ellipsometers mit rotierendem Analysator durch den MuellerMatrix-Formalismus
Der Strahlengang des Lichtes durch ein Ellipsometer mit rotierendem Analysator ist in Abbildung 12 skizziert (vgl. Abs. 3.1 bzw. Abb. 9). Das einfallende Licht, dessen Polarisationszustand
v
y
v
u
PSfrag replacements
x
Probe
χ
ψ ∆
u
φ
z
z
y
φ
αt
x
n̄
S̄in
Einfallsebene
z
Analysator
ψ A ∆A
αt
Detektor
S̄out
Abbildung 12: Schema zur mathematischen Beschreibung eines Ellipsometers mit rotierendem Analysator [33]
z. B. durch einen Eingangspolarisator oder die Lichtquelle bestimmt ist, wird repräsentiert durch
den Stokes-Vektor S¯in :
S¯in
I0 I0 P cos 2γ 0 I0 P sin 2γ (3.15)
Dieser ist definiert in einem Koordinatensystem (u, v, z) dessen u-Achse mit der Polarisationsrichtung bzw. mit der großen Halbachse der Polarisationsellipse bei nicht ideal linear polarisiertem Licht zusammenfällt (Eigensystem des Polarisators). Die z-Achse wird durch die Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls definiert. Die Reflexion an der Probe wird in dem Koordinatensystem (x, y, z), dessen x-Achse parallel zur Einfallsebene liegt, beschrieben (Eigensystem der
Probe). Aus Gleichung 3.14 folgt dann für die Matrix der Reflexion an einer Probe :
M̂S
r p2
rs 2
2
1
cos 2ψ
0
0
cos 2ψ
1
0
0
0
0
0
0
sin 2ψ cos ∆ sin 2ψ sin ∆ sin 2ψ sin ∆ sin 2ψ cos ∆
(3.16)
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
22
Die Mueller Matrix eines Polarisators wird im allgemeinen in einem Koordinatensystem definiert, dessen x-Achse parallel zur Transmissionsachse liegt (Gl. 3.14). Dagegen wird die Matrix der Reflexion an einer Probe M̂S in einem System definiert, dessen x-Achse parallel zur
Einfallsebene und damit senkrecht zur „Transmissionsachse“ liegt. Das bedeutet, daß ψ durch
90 ψ ersetzt werden muß, bzw. sich das Vorzeichen der Matrixelemente M̂S1 2 und M̂S2 1 ändert
(Gl. 3.16). Die Änderung der Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls wird im Mueller-MatrixFormalismus nicht berücksichtigt, da in den Stokes-Vektoren keine Information darüber enthalten ist. Die Transmission durch den Analysator, der als ein nicht idealer Polarisator angenommen
werden soll (vgl. Gl. 3.14), wird repräsentiert durch:
M̂A
tp
2
ts
2
2
1
cos 2ψA
cos 2ψA
1
0
0
0
0
0
0
0
0
sin 2ψA cos ∆A sin 2ψA sin ∆A sin 2ψA sin ∆A sin 2ψA cos ∆A
(3.17)
M̂A ist definiert in einem Koordinatensystem, dessen x-Achse um den Winkel α t gegenüber der
Einfallsebene verdreht ist (Eigensystem des Analysators).
Zur Berechnung des Stokes-Vektor S¯out am Detektor aus dem Stokes-Vektor des einfallenden
Lichtstrahls S¯in sind folgende Schritte notwendig :
1. Drehung des Stokes-Vektors S¯in in das Eigensystem der Probe, M̂R
χ
2. Reflexion an der Probe, M̂S
3. Drehung in das Analysatorsystem (zeitabhängig), M̂R α t 4. Transmission durch den Analysator, M̂A
5. Rückdrehung in das Probensystem, M̂R
S¯out
M̂R
α t
α t M̂AM̂R α t M̂S M̂R
χ S¯in
(3.18)
Der Detektor ist im allgemeinen unempfindlich gegenüber einer Polarisation des Lichtes. Er
mißt nur die Intensität und damit die 1. Komponente von S¯out . Die letzte Drehung zurück in das
Probensystem kann deshalb vernachlässigt werden, und der Phasenschub ∆ A des Analysators
verschwindet aus der Rechnung. Aus Gleichung 3.18 ergibt sich die am Detektor gemessene
Intensität (Anhang A.1):
I α t
S0
r2p
rs2 t p2 ts2 I0
4
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
cos 2ψ cos 2ψA cos 2α t P cos 2γ cos 2ψA cos 2χ cos 2α t P cos 2ψA sin ∆ sin 2γ sin 2ψ sin 2α t P cos ∆ cos 2γ cos 2ψA sin 2ψ sin 2χ sin 2α t (3.19)
3.2 Mathematische Beschreibung des Ellipsometers
23
Durch einen Koeffizientenvergleich mit Gleichung 3.1 erhält man daraus die normierten Fourierkoeffizienten, die bei einer ellipsometrischen Messung bestimmt werden (vgl. Abs. 3.1) [33].
P cos 2γ cos 2χ cos 2ψ
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
sin ∆ sin 2γ cos ∆ cos 2γ sin 2χ
P cos 2ψA sin 2ψ
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
c2
cos 2ψA
(3.20)
s2
Die gesuchten Probeneigenschaften werden durch die beiden Winkel ψ und ∆ repräsentiert
(Abs. 3.3.1). Aus Gleichung 3.20 erhält man schließlich (Anhang A.2):
cos 2ψA
cos 2ψA
tan ψ
cos ∆
mit
Ω
c2
c2
s2 cos 2γ sin 2χ
1 P cos 2γ cos 2χ
1 P cos 2γ cos 2χ
sin 2γ
P2 Ω 2 Φ
s22
(3.21)
PΩΦ
c22 cos2 2ψA
P2 cos2 2γ cos2 2χ
1
Φ
cos2 2γ sin2 2χ
sin2 2γ
Das Signal am Detektor ist abhängig vom Vorzeichen des Faktors sin ∆. Bei der Berechnung
von cos ∆ aus Gleichung 3.20 wird das Vorzeichen von sin ∆ durch ein „ “ in Gleichung 3.21
berücksichtigt.
Wird ein ideal polarisierender Eingangspolarisator bzw. Analysator verwendet (P 1 γ 0
und ψA 0), ergeben sich die bekannten Beziehungen:
tan ψ id
1
1
c2
tan χ c2
cos ∆ id
s2
1
c22
sgn χ
(3.22)
3.3 Dielektrische Funktion
24
3.3 Dielektrische Funktion
3.3.1 Ellipsometrische Winkel und die dielektrische Funktion
Betrachtet man die Reflexion an der Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Medien (z. B.
Luft und Probe), dann wird diese charakterisiert durch die komplexen Reflexionskoeffizienten
r p und rs . Für den reflektierten Lichtstrahl berechnen sich die Komponenten des elektrischen
Feldvektors durch:
Er p
r p Eip
r p eiδ p Eip Ers
rs Eis
rs eiδs Eis
(3.23)
Die Reflexionskoeffizienten sind über die Fresnel’schen Gleichungen mit den komplexen Brechungsindizes n und n0 bzw. den dielektrischen Funktionen ε und ε0 von der Probe und Umgebung verknüpft:
rp
n cos φ n0 cos φre f r
n cos φ n0 cos φre f r
n1 sin φ
n0 cos φ n cos φre f r
n0 cos φ n cos φre f r
rs
n2 sin φre f r Brechungsgesetz
ε
(3.24)
n
Das komplexe Verhältnis aus r p und rs kann in den Betrag und die Phase zerlegt werden.
Daraus ergibt sich dann folgende Definition:
ρ:
rp
rs
r p eiδ p
iδ
rs e s
r p i δp
e
rs δs
rp i ∆
e
rs : tan ψ ei∆
(3.25)
Die Winkel ψ und ∆ werden als „ellipsometrische Winkel“ bezeichnet (Abb. 13). Sie sind identisch mit den Größen ψ und ∆, die in der Mueller-Matrix für die Reflexion an einer Probe
(Gl. 3.16, 3.21) verwendet wurden. Mit den Beziehungen aus Gleichung 3.25 und 3.24 kann
nun die dielektrische Funktion der Probe aus den durch eine Messung bestimmten ellipsometrischen Winkeln (Gl. 3.21) berechnet werden. Der Brechungsindex n0 der Umgebung wird mit
n0 1 angenommen.
1 ρ 2
ε sin2 φ 1 tan2 φ
(3.26)
1 ρ
In dem hier benutzten 2-Phasen-Modell werden zwei Medien mit einer vollkommen planen
Grenzfläche betrachtet, die sich in den jeweiligen Halbraum unendlich fortsetzen. Effekte durch
eine Oberflächenrauhigkeit oder eine Deckschicht (Oxide) bzw. durch die Untersuchung dünner Schichten sind in diesem einfachen Modell nicht berücksichtigt (Abs. 3.3.2). Die aus den
Fourierkoeffizienten berechnete dielektrische Funktion ist deshalb eine effektive dielektrische
Funktion ε .
3.3 Dielektrische Funktion
25
Erp
Eip
ψ
χ
PSfrag replacements
Ers
Eis
φ
φ
∆
rp
rs
Abbildung 13: Licht, das unter einem Einfallswinkel φ
0 an einer Probe reflektiert wird, ändert durch die
verschiedenen Reflexionskoeffizienten r p (parallel) und rs (senkrecht zur Einfallsebene) seinen Polarisationszustand.
Ist das einfallende Licht linear polarisiert und χ 45 (Eip Eis ), dann wird das Verhältnis von Erp zu Ers des
E
r p Eip
reflektierten Strahles direkt durch die Probeneigenschaften ψ und ∆ wiedergegeben : Errsp
tan ψ ei∆
rs Eis
3.3.2 Oxidschichten und Oberflächenrauhigkeit
Sollen die optischen Eigenschaften eines Schichtsystems untersucht werden, reicht das im vorherigen Abschnitt beschriebene 2-Phasen-Modell nicht aus. Ein typisches Problem ist z. B. eine
Oxidschicht auf der Oberfläche einer Probe. Ein solches System aus Umgebung (0), Schicht (1)
und Substrat (2) wird durch das sogenannte 3-Phasen-Modell beschrieben. Das komplexe Verhältnis ρ berechnet sich dann durch [30, 34]:
ρ:
1
r12 p ei 2β 1 r01s r12s ei 2β
r01 p r12 p ei 2β r01s r12s ei 2β
r01 p
(3.27)
Die Reflexionskoeffizienten r01 p s und r12 p s für die Reflexion an der Grenzfläche UmgebungSchicht bzw. Schicht-Substrat berechnen sich aus den jeweiligen dielektrischen Funktionen ε 0 ,
εSchicht sowie εSubstr durch die Fresnel’schen Gleichungen (Gl. 3.24). Der Phasenschub β ist
gegeben durch:
dSchicht
β
εSchicht ε0 sin2 φ
(3.28)
λ
Darin ist λ die Wellenlänge des Lichtes im Vakuum, dSchicht die Schichtdicke und φ der Einfallswinkel. Die resultierende effektive dielektrische Funktion der Probe ergibt sich aus ρ mit
Gleichung 3.26. Für die Beschreibung von Mehrschichtsystemen wird ein allgemeinerer Formalismus verwendet, der auf einer Matrizendarstellung der einzelnen Reflexionen an den Grenzschichten beruht [35, 28, 30].
Oberflächenrauhigkeiten mit einer Größenordnung kleiner als die Wellenlänge des Lichtes
(Grenzwert langer Wellenlänge) werden näherungsweise ebenfalls mit dem 3-Phasen-Modell
3.3 Dielektrische Funktion
26
beschrieben. Die rauhe Oberfläche wird dabei durch eine Schicht gebildet, die sich aus der Umgebung (Luft, ε0 ) und dem Substratmaterial (εS ) in einem Verhältnis f zusammensetzt. In der
Effektive-Medium-Theorie von Bruggemann [36] (EMA, Effective Medium Approximation)
wird die effektive dielektrische Funktion ε dieser Schicht berechnet aus [34]:
0
f
ε0 ε
ε0 2 ε
1
f
εS ε
εS 2 ε
(3.29)
Als Schichtdicke kann beispielsweise die RMS-Rauhigkeit dRMS (RMS-roughness, Root Mean
Square roughness) verwendet werden. Diese wird aus dem Höhenprofil der Probenoberfläche
berechnet. Zur Bestimmung des Höhenprofils kann eine Raster-Kraft-Mikroskop (AFM, AtomicForce-Microscope) benutzt werden. Eine ausführlichere Betrachtung des Problems findet sich
z. B. in [37].
3.3.3 Kramers-Kronig-Konsistenz
Die dielektrische Funktion bzw. eine Komponente des dielektrischen Tensors von uniaxialen
Kristallen ist eine komplexe Größe, die die optischen Eigenschaften eines Materials beschreibt.
Real- und Imaginärteil sind voneinander abhängige Größen, die für Halbleiter und Nichtleiter
durch die Kramers-Kronig-Relationen miteinander verbunden sind.
ε1 ω ε2 ω 1
2
P
π
2ω
P
π
0
∞
0
∞
ω2
ω
ω
1
2
ω2
ε2 ω dω
ω2
ε1 ω 1 dω
(3.30)
Diese Verknüpfung von Real- und Imaginärteil gilt jedoch nur eingeschränkt für die gemessene
effektive dielektrische Funktion ε [38]. Die Überprüfung der Kramers-Kronig-Konsistenz der
beiden Größen bietet eine Möglichkeit, eventuelle Fehler in der Interpretation der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion zu finden. Aus den Kramers-Kronig-Relationen kann außerdem
eine Verknüpfung des Imaginärteiles der dielektrischen Funktion mit dem Grenzwert ω 0 des
Realteiles hergeleitet werden. Ausführliche Erläuterungen zu den Kramers-Kronig-Relationen
befinden sich im Anhang B.
27
4 Experimentelles
4.1 Beschreibung der Meßapparatur
Luft absorbiert Licht oberhalb einer Photonenenergie von 6,5 eV. Für spektroskopische Untersuchungen oberhalb von 6,5 eV muß deshalb im Vakuum gearbeitet werden. Dieser Spektralbereich wird daher als Vakuum-Ultaviolett-Spektralbereich (VUV) bezeichnet. Für die Messungen bis 25 eV wird ein Ellipsometer mit rotierendem Analysator verwendet, dessen Lichtquelle eine Elektronenspeicherringanlage für Synchrotronstrahlung ist (vgl. 4.1.1) [33, 39]. Die
Vakuumapparatur besteht im wesentlichen aus den in Abbildung 14 dargestellten Komponenten. Das vom Monochromator einfallende Licht ist in der Speicherring-Ebene sehr stark li-
PSfrag replacements
Analysatorkammern
Drehachse
Fenster
Fenster
zum
Monochromator
Transfersystem
Drehdurchführung
Pumpe
P
Sh
S
RA1
RA2
F
D
Abbildung 14: Schematische Darstellung des VUV-Ellipsometers (Aufsicht). P - optionaler Eingangspolarisator
(MgF2 -Rochon-Prisma), Sh - verstellbare Abdeckung für Dunkelstrommessungen, S - Probe, RA1 - Rotierender
Analysator (MgF2-Rochon-Prisma), RA2 - Rotierender Analysator (Dreifach-Reflexionspolarisator), F - optionales
LiF-Filter, D - Detektor (Photodioden)
4.1 Beschreibung der Meßapparatur
28
near polarisiert (Abs. 4.1.1, Abs. 4.4). Bis zu einer Photonenenergie von 8 eV wird zur Verbesserung des Polarisationsgrades zusätzlich ein MgF2 -Rochon-Prisma als Eingangspolarisator
(Abs. 4.1.2) in den Strahlengang gebracht. Das einfallende Licht ist dann mit einem Polarisationsgrad von über 99,9998% nahezu ideal linear polarisiert. Von der Probe wird das Licht in
eine der beiden Analysatorkammern reflektiert. Bis 9,8 eV wird unter einem Einfalls- bzw. Reflexionswinkel von φ 67 5 ein rotierendes MgF2 -Rochon-Prisma als Analysator verwendet.
Oberhalb von 9,8 eV steigt die Absorption von MgF2 stark an und das Polarisationsvermögen
verschlechtert sich. Deshalb wird für höhere Photonenenergien ein goldbeschichteter DreifachReflexionspolarisator verwendet (Abs. 4.1.2). Die Reflexion in die Analysatorkammer des Reflexionspolarisators erfolgt unter einem Einfallswinkel von φ 45 . Ab 8 eV wird auf einen
Eingangspolarisator verzichtet, weil die starke Absorption durch den vorhandenen optionalen
MgF2 - bzw. einen denkbaren Reflexionspolarisator zu große Intensitätsverluste verursacht. Zur
Filterung von Licht der 2. Beugungsordnung des Monochromators wird in dem entsprechenden
Spektralbereich zusätzlich ein Quarz- bzw. LiF-Filter in den Strahlengang gebracht. LiF ist bis
12 eV transparent. Das Quarz-Filter ist bis 4 eV transparent. Als Detektor wird in beiden
Analysatorkammern eine Si-Photodiode verwendet [40]. Die Polarisationsebene des einfallenden Lichtes ist durch den Speicherring und den Monochromator festgelegt. Für die Ellipsometrie
ist es notwendig, zur Veränderung des Winkels zwischen der Einfallsebene und der Polarisationsebene die gesamte Apparatur um den einfallenden Lichtstrahl zu drehen.
Das Meßsignal besteht aus einer der Lichtintensität am Detektor proportionalen Spannung
und einem durch die Elektronik bedingten Untergrund. Während einer ellipsometrischen Messung wird deshalb nach jedem Meßpunkt eine Abdeckung in den Strahlengang des einfallenden
Lichtstrahls geschwenkt und eine Dunkelstrommessung vorgenommen. Die daraus gewonnene
Spannung wird vom Meßsignal subtrahiert.
4.1.1 Lichtquelle und Monochromator
Für die Experimente wird die Synchrotronstrahlung an der Elektronenspeicherringanlage BESSY I in Berlin-Wilmersdorf genutzt2 . Zur spektralen Zerlegung steht dort ein 2m Seya-Namioka
Monochromator zur Verfügung (Abb. 15). Neben der hohen und kontinuierlichen Intensität ist für
die Ellipsometrie von besonderer Bedeutung, daß die in der Speicherringebene emittierte Synchrotronstrahlung linear polarisiert ist. Außerhalb der Ringebene emittierte Anteile sind jedoch
zunehmend elliptisch polarisiert. Durch die endliche Akzeptanz des ersten Spiegels (SP I) enthält
das in den Monochromator eintretende Synchrotronlicht deshalb elliptisch polarisierte Anteile.
Durch die Konstruktion des Monochomators in der sogenannten s-Geometrie, bei der für alle Reflexionen die Einfallsebene senkrecht zur Polarisationsebene liegt, wird der Transmissionsgrad
r p , vgl. Abb. 19 S. 31). Insgesamt
maximiert und der lineare Polarisationsgrad verstärkt ( rs hat das spektral zerlegte Licht nach dem Monochromator einen linearen Polarisationsgrad von
über 99%.
Die spektrale Auflösung des Monochromators berechnet sich aus dessen Geometrie und der
2 Berliner
Berlin
Elektronenspeichering-Gesellschaft für Synchrotronstrahlung m.b.H. BESSY, Lentzeallee 100, 14195
4.1 Beschreibung der Meßapparatur
29
Abbildung 15: Schematische Darstellung des 2m Seya-Namioka Monochromators [41]. Alle Längenmaße sind in
mm angegeben. SPI-III - Spiegel, ES AS - Ein- und Austrittsspalt, F - Fokus, MF SF - Meridial- und Sagittal-Fokus
Gitterkonstanten durch die Formel [42]:
∆λ ∆λ2E ∆λ2A
(4.1)
dE A g cos ϑ
mit
∆λE A mr
Darin ist dE A die Breite von Ein- und Austrittsspalt, g die Gitterkonstante, ϑ der Beugungswinkel, m die Beugungsordnung und r der Abstand zwischen Gitter und Spalt. Im Spektralbereich
von 2,5 eV bis 25 eV wird ein mechanisch geritztes Gitter mit g 610 mm 1 benutzt. Die Umrechnung in Einheiten der Photonenenergie (eV) ergibt sich durch:
E2
∆λ
(4.2)
1239 nm eV
In Abbildung 16 ist die spektrale Auflösung als Funktion der Photonenenergie für die minimal
bzw. maximal verwendeten Spaltbreiten (dE dA : d) und die erste Beugungsordnung (m 1)
dargestellt (ϑ 35 25 r 1 633m).
∆E 4.1.2 Polarisatoren und Analysatoren
In dem oben beschriebenen Ellipsometer werden zwei verschiedene Polarisatortypen verwendet.
Bis 8 eV bzw. 9,8 eV können MgF2 -Rochon-Prismen (Abb. 17) benutzt werden. Diese haben ein
4.1 Beschreibung der Meßapparatur
d
Auflösung (meV)
100
30
750µm
d
250µm
10
PSfrag replacements
1
5
10
15
20
25
Photonenenergie (eV)
Abbildung 16: Spektrale Auflösung des 2m Seya-Namioka Monochromators berechnet für eine maximale (--------)
und eine minimale (- - -) Spaltbreite.
Polarisationsvermögen von 99,998% [43].
β
Sfrag replacements
o
PSfrag replacements
α
α
ao
Abbildung 17: Prinzipieller Aufbau und Wirkungs-
Abbildung 18: Schematische Darstellung eines
weise eines MgF2 -Rochon-Prismas. Der einfallende
Lichtstrahl wird durch den unterschiedlichen Brechungsindex an der Grenzfläche der beiden senkrecht
orientierten Kristalle in einen ordentlichen- o und einen
außerordentlichen Strahl ao geteilt und so polarisiert.
Der außerordentlichen Strahl ao wird anschließend ausgeblendet.
Dreifach-Reflexionspolarisators. Durch die Reflexionen
an drei mit Gold beschichteten Flächen wird das einfallende Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisiert.
Um bei großem Transmissionsvermögen eine maximale Polarisation zu erreichen, werden Einfallswinkel α
67 5 und β 45 nahe dem Pseudo-Brewster-Winkel
φB benutzt.
Für den Spektralbereich oberhalb von 10 eV existieren keine transparenten Materialien mit
doppelbrechenden Eigenschaften. Für diesen Bereich wird deshalb ein goldbeschichteter Dreifach-Reflexionspolarisator verwendet (Abb. 18 und Abb. 19). Die Begrenzung auf nur drei Re-
4.1 Beschreibung der Meßapparatur
31
φB
β
α
6
1.0
Au
(20 eV)
0.8
5
Rs
Rp
4
PSfrag replacements
R p Rs
0.6
3 Rs
Rp
0.4
2
Rs
0.2
1
Rp
0.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
90
φ
Abbildung 19: Reflexionskoeffizienten Rs und R p und deren Quotient Rs R p als Funktion des Einfallswinkels
φ einer Goldoberfläche bei 20 eV berechnet aus den optischen Eigenschaften von Gold [44]. Markiert sind der
Pseudo-Brewster-Winkel sowie die Reflexionswinkel α und β im Dreifach-Reflexionspolarisator (Abb. 18).
flexionen ist ein Kompromiß zwischen der Forderung nach einem möglichst guten Polarisationsvermögen und der Verschlechterung des Transmissionsgrades. Die Transmissionskoeffizienten
des Reflexionspolarisators ergeben sich als Produkt der einzelnen Reflexionskoeffizienten:
tp
r pα r pβ r pα
ts
r sα r sβ r sα
(4.3)
Aus diesen kann das Polarisationsvermögen P̃ und der Transmissionsgrad T berechnet werden
(vgl. Gl. 3.12 und Gl. 3.17):
P̃
t p2 ts2
t p2 ts2
: cos 2ψA
T
t p2
ts2
ts2
(4.4)
Die spektrale Abhängigkeit der aus den optischen Eigenschaften von Gold [44] berechneten
Werte sind in Abbildung 20 dargestellt.
Die Rotation der beiden Analysatoren erfolgt durch frequenzstabilisierte Gleichstrommotoren bei 5Hz. Die Schwankungen der Rotationsfrequenz sind kleiner als 0,1% und können vernachlässigt werden. Die aktuelle Position des Analysators wird über eine Winkel-Kodierscheibe
erfaßt. Pro Umdrehung werden an den Meßrechner ein Referenzpuls und 100 Winkelpulse gesendet und damit die Analog-Digital Wandlung der gemessenen Intensität gesteuert.
4.2 Kalibrierung des Ellipsometers
32
1.00
0.30
0.98
0.25
0.20
0.96
0.15
P̃ 0.94
T
0.10
0.92
0.05
0.90
0.00
PSfrag replacements
0
5
10
15
20
25
30
35
Photonenenergie (eV)
Abbildung 20: Polarisationsgrad P̃ (--------) und Transmissionsgrad T (- - -) des goldbeschichteten DreifachReflexionspolarisators, berechnet aus den optischen Eigenschaften von Gold [44].
4.2 Kalibrierung des Ellipsometers
Für jede Probe wird der Azimut χ0 der Polarisationsebene und der Azimut α0 des Analysators
durch eine Kalibrierung bestimmt [10]. Der Azimut α0 ist der Winkel zwischen der Einfallsebene und der Polarisationsebene des Analysators im Moment des Referenzpulses (vgl. Abs. 4.1.2).
χ0 ist der Winkel zwischen der Polarisationsebene des einfallenden Lichtes und der Nullposition (χT
0) des Ellipsometers. Beide Winkel sind veränderlich, da die Einfallsebene von
der Probenjustage abhängig ist. Der Schwenkwinkel χT wird durch einen fest mit der VakuumKammer verbundenen elektronischen Winkelmesser definiert, der mittels eines Kraftsensors den
Schwenkwinkel bezüglich der Horizontalen mit Hilfe der Erdgravitation sehr präzise bestimmt.
Zusätzlich muß noch der elektronische Dämpfungsparameter η ermittelt werden. Dieser resultiert aus dem Frequenzverhalten der Elektronik, die den kleinen Photodiodenstrom verstärkt.
Aus einem Schwenkwinkel χT ergibt sich nach der Bestimmung von χ0 der Winkel χ, der
die tatsächliche Verkippung von Einfalls- und Polarisationsebene charakterisiert, durch die Beziehung:
χ χ T χ0
(4.5)
Der in Abschnitt 3.2.3 bzw. Gleichung 3.1 definierte Winkel α des Analysators hat seinen Null-
4.2 Kalibrierung des Ellipsometers
33
punkt in der Einfallsebene. Ist α0 ungleich 0 fällt der Referenzpuls nicht mit dem Moment zusammen, in dem die Einfallsebene und die Polarisationsebene des Analysators parallel sind. Die
aus einer Messung ermittelten Fourierkoeffizienten c2 und s2 sind dann phasenverschoben. Die
erforderliche Korrektur, in die der Dämpfungsparameter η als Faktor eingeht, erhält man mit:
η c2 cos 2α0
η s2 cos 2α0
c2
s2
s2 sin 2α0 c2 sin 2α0 (4.6)
Die lineare Polarisation von Licht bleibt nach der Reflexion an einer nicht depolarisierenden
Probenoberfläche erhalten, wenn die Polarisation des einfallenden Lichtes parallel oder senkrecht zur Einfallsebene liegt. Ein Maß für den Grad der linearen Polarisation ist das sogenannte
Residuum R χT [10]:
(4.7)
R χT 1 c22 χT s22 χT Zur Kalibrierung werden die Fourierkoeffizienten c2 , s2 und aus diesen das Residuum R in Abhängigkeit vom Schwenkwinkel der Anlage χT , also für verschiedene Winkel zwischen Einfallsebene und Polarisationsebene des einfallenden Lichtes, bestimmt. Aus dem Kurvenverlauf von
R χT wird dann χ0 und α0 bestimmt.
Im Spektralbereich bis 8 eV werden sowohl der MgF2 -Eingangspolarisator als auch der
MgF2 -Analysator verwendet (Abs. 4.1 und 4.1.2). In diesem Bereich ist deshalb eine sehr gute
lineare Polarisation des einfallenden Lichtes bzw. ein sehr gutes Polarisationsvermögen des Analysators gegeben. Die Kalibrierung erfolgt also unter „idealen“ Bedingungen. Für die Bestimmung von χ0 und α0 ohne Eingangspolarisator sowie mit dem Dreifach-Reflexionspolarisator,
sind diese Voraussetzungen nicht erfüllt. Für den Spektralbereich oberhalb von 9,8 eV müssen
deshalb bei einer Kalibrierung der Polarisationsgrad P und die Elliptizität γ des einfallenden
Lichtes sowie das Polarisationsvermögen P̃ cos 2ψA des Analysators berücksichtigt werden.
4.2.1 Kalibrierung unter „idealen“ Bedingungen
Unter der Voraussetzung der idealen linearen Polarisation des einfallenden Lichtes ist das reflektierte Licht für χT χ0 wieder ideal linear polarisiert. In der Position χT χ0 fallen Polarisationsebene und Einfallsebene zusammen. R χT ist in der Umgebung dieses Punktes näherungsweise eine Parabel mit einem Minimum bei χT χ0 . In der Kalibrierung wird R in Abhängigkeit
von χT bei einer festen Photonenenergie bestimmt und aus der Parabel analytisch das Minimum
und damit der exakte Wert von χ0 ermittelt (Abb. 21). Der Azimut des Analysators α0 ist für den
Schwenkwinkel χT χ0 gegeben durch (Anhang A.3):
0 c2 s2 oder s2 0 c2 :
s
1
arctan 2
α0
(4.8)
2
c2
0
c2 s2 oder c2
0
s2 :
α0
s
1
arctan 2
2
c2
90
(4.9)
4.2 Kalibrierung des Ellipsometers
34
60
0.13
55
0.12
50
0.11
s2
c2
R 0.10
rag replacements
40
1
2
α0
arctan
45
0.09
35
0.08
R χ0
30
χ0
0.07
-8
-6
25
-4
-2
0
2
Schwenkwinkel χT ( )
Abbildung 21: Ergebnis einer Kalibrierung am Beispiel von 4H-SiC bei einer Photonenenergie von 6 eV.
Für den Schwenkwinkel χT χ0 ist das reflektierte Licht linear in der Einfallsebene polarisiert. Dies bedeutet, daß s2 0 und c2 1 ist. Durch die Verstärkerelektronik wird jedoch das
modulierte Intensitätssignal gedämpft und damit c2 1. Der Dämpfungsparameter ist definiert
durch [10]:
1
1
η
(4.10)
c2
1 R χ0 4.2.2 Kalibrierung unter „nicht idealen“ Bedingungen
Sind das Polarisationsvermögen P̃ des Analysators sowie der Polarisationsgrad P und die Elliptizität γ des einfallenden Lichtes ungleich 1 bzw. 0, dann fallen die gemessene Schwenkposition
im Minimum von R χT und der Azimut χ0 der Polarisationsebene nicht mehr zusammen. Mit
einer Reihenentwicklung von R χT um den Winkel χ0 erhält man aus Gleichung 3.20 die Näherung [45]:
χ0 χT min γ cot ∆
(4.11)
4.3 Erweiterungen der Meßapparatur
35
Für den Azimut des Analysators ergibt sich dann:
0 c2 s2 oder s2 0 c2 :
s
1
arctan 2
α0
2
c2
0
c2 s2 oder c2
0
γ
cot ψ
sin ∆
(4.12)
s2 :
α0
s
1
arctan 2
2
c2
90
γ
cot ψ
sin ∆
(4.13)
Das Polarisationsvermögen cos 2ψA und der Polarisationsgrad P haben in dieser Näherung keinen Einfluß. Der Fehler von χ0 und α0 ist jedoch abhängig von den Probeneigenschaften repräsentiert durch die ellipsometrischen Winkel ψ und ∆ (Gl. 3.25). Durch eine geeignete Wahl
der Photonenenergie kann, wenn die optischen Eigenschaften näherungsweise bekannt sind, der
Fehler minimiert werden.
4.3 Erweiterungen der Meßapparatur
4.3.1 Reflexionsmessungen
Die Absorption durch den Eingangspolarisator und den Analysator verringert die Intensität des
einfallenden Lichtes. Besonders bei schlecht reflektierenden Proben muß deshalb Ein- und Austrittsspalt des Monochromators sehr groß gewählt werden, um eine ausreichende Intensität am
Detektor zu erhalten. Dadurch verringert sich jedoch die spektrale Auflösung (vgl. Abb. 4.1), so
daß feine Strukturen in der dielektrischen Funktion nicht mehr beobachtet werden können. Deshalb wurde zusätzlich die Möglichkeit einer einfachen Reflexionsmessung geschaffen, die auf
die Intensität verringernde optische Komponenten weitgehend verzichtet.
Dazu wurde an Stelle der Abdeckung Sh (Abb. 14) eine schwenkbare Si-Photodiode montiert, die entweder direkt in den einfallenden oder in den bei einem Einfallswinkel von etwa
3 von der Probe reflektierten Lichtstrahl gedreht werden kann. In den beiden Positionen wird
nacheinander die Intensität des einfallenden und des reflektierten Lichtes in Abhängigkeit von
der Photonenenergie als Spannung UR bzw. UE an der Photodiode gemessen. Diese Intensitäten werden mit der zur Intensität des einfallenden Lichtstrahles proportionalen zeitabhängigen
Stromstärke I t der Elektronen im Speicherring normiert, die vom BESSY als Referenzgröße
zur Verfügung gestellt wird. Die Reflektivität R der Probe ist dann gegeben durch die Beziehung:
UE I tE (4.14)
UR I tR Mit diesem einfachen Aufbau kann natürlich nur die relative spektrale Abhängigkeit der Reflektivität von der Photonenenergie bestimmt werden. Die Messung von absoluten Werten ist durch
die unterschiedliche Ausleuchtung der Photodiode in den beiden Meßpositionen nicht möglich.
Zur Filterung der 2. Beugungsordnung wird der MgF2 -Eingangspolarisator oder ein LiFFenster zwischen dem Monochromator und der Meßapparatur benutzt. Zur Bestimmung des
Dunkelstroms in einer ellipsometrischen Messung (Abs. 4.1) wird nun die Rückseite der Photodiode als Abdeckung in den Strahlengang geschwenkt.
R
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der Lichtquelle
36
4.3.2 Streulichtkorrektur
In dem vom Monochromator einfallenden Licht wurden in verschiedenen Messungen große
„Streulichtanteile“ beobachtet. Es handelt sich dabei um Licht der 0. Beugungsordnung, das
an den Edelstahlwänden des Monochromators reflektiert wird. Das Streulicht enthält deshalb
vorzugsweise Anteile aus dem sichtbaren Spektralbereich, da kurzwelligeres Licht an den Edelstahlwänden stärker diffus gestreut wird. Die Intensität ist stark von der jeweiligen Monochromatoreinstellung abhängig.
Zusätzlich zur Photodiode für die Reflexionsmessung wurde deshalb ein Quarzfilter an den
Schwenkmechanismus der Photodiode montiert, das in den Strahlengang des einfallenden Lichtes gedreht werden kann. Das Quarzfilter ist bis etwa 5 eV transparent und wird in ellipsometrischen Messungen oberhalb von 5 eV als Abdeckung in der Dunkelstrommessung verwendet
(Abs. 4.1). Der unerwünschte Streulichtuntergrund wird dadurch als Dunkelstrom gemessen und
kann durch das Meßprogramm kompensiert werden. Das Streulicht ist durch die Reflektion an
den Wänden und der Probe teilweise polarisiert und verursacht eine Modulation des Dunkelstromsignals. Die Auswertung der Dunkelstrommessung muß deshalb eine Fourieranalyse beinhalten. Die gewonnenen Fourierkoeffizienten c2S s2S werden dann von den zuvor bestimmten
Fourierkoeffizienten subtrahiert.
c2
c2 I0 c2S IS
I0 IS
s2 I0 s2S IS
I0 IS
s2
(4.15)
I0 bzw. IS ist die jeweilige mittlere Intensität am Detektor.
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der
Lichtquelle
Im Spektralbereich oberhalb von 8 eV wird, wie in Abschnitt 4.1 beschrieben, ohne Eingangspolarisator gearbeitet. Dies bedeutet, daß der einfallende Lichtstrahl nicht vollständig linear polarisiert ist und unpolarisierte sowie elliptisch polarisierte Anteile enthält. Außerdem zeigt die
Lage der Polarisationsebene bezüglich der Horizontalen eine spektrale Abhängigkeit. Durch den
in Abschnitt 3.2 vorgestellten Mueller-Matrix-Formalismus können diese „Nichtidealitäten“ in
der Berechnung der ellipsometrischen Winkel aus den gemessenen Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden. Dazu ist es jedoch erforderlich, die Parameter P, γ und χ 0 zu bestimmen, die den
Polarisationszustand der Lichtquelle beschreiben. Eine Möglichkeit besteht darin, die Lichtquelle mit einem Polarimeter zu untersuchen [46]. Dazu muß jedoch das VUV-Ellipsometer vom
Meßplatz entfernt werden, wodurch diese Methode sehr aufwendig wird. In dieser Arbeit wurde
ein anderer Ansatz verfolgt, der auf den in [33, 47] beschriebenen „Schwenkstudien“ beruht.
Als Schwenkstudie wird eine erweiterte Kalibrierung bezeichnet, bei der wiederum das Ellipsometer und damit die Einfallsebene bei einer festen Photonenenergie um die Polarisationsebene
des einfallenden Lichtes gedreht wird. Hier jedoch in einem möglichst großen Schwenkwinkelbereich. Daraus erhält man die Fourierkoeffizienten c2 s2 als Funktion des Schwenkwinkels χT .
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der Lichtquelle
37
Theoretisch wird diese Funktion durch Gleichung 3.20 (χ χT χ0 ) beschrieben und ist mit allen Systemparametern verknüpft. Aus der Anpassung der berechneten Kurve an die gemessenen
Fourierkoeffizienten werden die gesuchten Parameter des Polarisationszustandes ermittelt. Das
Resultat einer solchen Anpassung ist in Abbildung 22 dargestellt. Für die Kurvenanpassung wird
der Levenberg-Marquardt-Algorithmus benutzt [48]. Der Kurvenverlauf einer Schwenkstudie
1.0
0.8
c2
s2
0.6
c 2 s2
0.4
0.2
0.0
-0.2
PSfrag replacements
-0.4
χ0
-0.6
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Schwenkwinkel χT ( )
Abbildung 22: Ergebnis einer Schwenkstudie an GaN bei 6 eV (cos∆
0 56, tanψ 0 18). Dargestellt sind
die gemessenen Fourierkoeffizienten c2 ( ) und s2 ( ) sowie die angepaßten Funktionen (--------).
wird entscheidend durch die Probeneigenschaften bei der gewählten Photonenenergie bestimmt.
Bei Werten von cos ∆ nahe cos ∆ 0 bzw. ∆ 90 verschwindet der zweite Fourierkoeffizient s2
fast vollständig (Abb. 23). Für die Bestimmung des Polarisationszustandes durch eine Schwenkstudie müssen also die optischen Eigenschaften ψ und ∆ der verwendeten Probe bekannt sein.
Anderenfalls müssen diese in der Anpassung der berechneten Funktion an die Meßwerte als
weitere freie Parameter behandelt werden. Außerdem kann durch die Wahl einer Probe mit geeigneten optischen Eigenschaften die Meßgenauigkeit einer Schwenkstudie erhöht werden. Für
den Spektralbereich unterhalb von 9,8 eV wurde GaN gewählt.
Zur Bestimmung der Polarisationsparameter des Lichtes am 2m Seya-Namioka Monochromator wurden zunächst Schwenkstudien im Spektralbereich von 3 eV bis 9 eV ohne Eingangspolarisator durchgeführt (Abb. 24). Für diese Photonenenergien kann das MgF2 -Rochon-Prisma
als idealer Analysator verwendet werden (cos 2ψA 1). Die Größen ψ und ∆ wurden in der
Kurvenanpassung als freie Parameter berücksichtigt.
Bis 8 eV können die Probeneigenschaften mit dem MgF2 -Eingangspolarisator sehr exakt be
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der Lichtquelle
38
χ0
1.0
0.8
c2
c 2 s2
0.6
0.4
0.2
PSfrag replacements
s2
0.0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Schwenkwinkel χT ( )
Abbildung 23: Ergebnis einer Schwenkstudie an GaN bei 9 eV (cos∆
0 01, tanψ 0 42). Dargestellt sind
wiederum die gemessenen Fourierkoeffizienten c2 ( ) und s2 ( ) sowie die angepaßten Funktionen (--------).
stimmt werden. Für diesen Bereich wurde die Anpassung unter Verwendung der gemessenen
Probeneigenschaften wiederholt und die Ergebnisse mit denen aus Abbildung 24 verglichen. Es
zeigen sich dabei nur geringe Abweichungen (Abb. 25).
Ab 10 eV wird als Analysator der goldbeschichtete Dreifach-Reflexionspolarisator verwendet. Das bedeutet, daß als freier Parameter zusätzlich das Polarisationsvermögen P̃ cos 2ψA in
die Kurvenanpassung einbezogen werden muß. Insgesamt sind also 6 Parameter zu berücksichtigen. In den an Saphir (Al2 O3 ) durchgeführten Schwenkstudien zeigte sich jedoch, daß die Kurvenanpassung damit nicht mehr eindeutig ist. Deshalb wird das in Abs. 4.1.2 aus den bekannten
optischen Eigenschaften von Gold berechnete Polarisationsvermögen des Dreifach-Reflexionspolarisators benutzt, um die Anzahl der variablen Parameter auf 5 zu reduzieren (Abb. 20).
In Abbildung 26 sind die am 2m Seya-Namioka Monochromator gemessenen Polarisationsparameter im Spektralbereich von 3 eV bis 25 eV dargestellt.
Das Vorzeichen der Elliptizität γ, kann aus den Schwenkstudien nicht ermittelt werden, weil
es mit dem ebenfalls unbekannten Vorzeichen des ellipsometrischen Winkels ∆ der Probe gekoppelt ist (Gl. 3.20). Bei der Berechnung der ellipsometrischen Winkel aus den Fourierkoeffizienten
bleibt deshalb das Vorzeichen des Faktors sin 2γ in Gleichung 3.21 unbestimmt. Welches Vorzeichen benutzt werden muß, wird durch eine Anpassung von cos ∆ an die Werte entschieden, die
mit dem Eingangspolarisator gemessen wurden.
Es zeigte sich weiter, daß die aus den Schwenkstudien ermittelten Werte für γ, P und χ 0 von
4.4 Schwenkstudien zur Bestimmung der Polarisationseigenschaften der Lichtquelle
3
Abbildung 24: Azimut der Polarisations-
ebene χ0 , Polarisationsgrad P und Elliptizität
γ des Lichtes am 2m Seya-Namioka Monochromator zwischen 3 eV und 9 eV, bestimmt
durch Schwenkstudien an GaN ( ). Die optischen Eigenschaften ψ und ∆ von GaN wurden als freie Parameter behandelt. Durch die
einzelnen Meßpunkte sind geglättete Interpolationskurven gelegt (--------).
2
1
χ0
39
0
1.000
0.998
P
0.996
0.994
0.992
2.0
1.5
1.0
γ
Sfrag replacements
0.5
0.0
3
4
5
6
7
8
9
Photonenenergie (eV)
1.000
0.0
P
cos ∆
0.996
0.992
-0.2
-0.4
-0.6
0.988
-0.8
2.0
0.4
1.5
1.0
γ
tan ψ
Sfrag replacements
PSfrag replacements
0.5
0.3
0.2
0.1
0.0
3
4
5
6
7
8
Photonenenergie (eV)
9
3
4
5
6
7
8
9
Photonenenergie (eV)
Abbildung 25: Test der Eindeutigkeit einer Schwenkstudie, in der die Probeneigenschaften GaN als freie Parameter behandelt werden. Dazu wurden zunächst die Probeneigenschaften zwischen 3 eV und 8 eV unter Verwendung
des Eingangspolarisators bestimmt. In der anschließenden Schwenkstudie ohne Eingangspolarisator wurde dann die
Kurvenanpassung einmal mit den nun bekannten Probeneigenschaften (linkes Bild ( )) und einmal mit den Probeneigenschaften als freie Parameter (linkes Bild ( ), (--------)) durchgeführt. Im rechten Bild ist der Vergleich zwischen
den gemessenen Probeneigenschaften (--------) und den aus der Schwenkstudie ermittelten Werten ( ) dargestellt.
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
2.5
Abbildung 26: Azimut der Polarisations-
ebene χ0 , Polarisationsgrad P und Elliptizität γ des Lichtes am 2m Seya-Namioka Monochromator zwischen 2,5 eV und 25 eV,
bestimmt durch Schwenkstudien an GaN
und Al3 O2 . Im schraffierten Spektralbereich
werden die Messungen durch Streulicht und
Licht der zweiten Beugungsordnung des
Monochromators verfälscht. Für diesen Bereich werden deshalb für weitere Berechnungen Extrapolationen aus den umliegenden Werten benutzt (- - -). Die dargestellten
Kurven sind geglättete Interpolationskurven
aus den einzelnen Schwenkstudien.
2.0
1.5
χ0
1.0
0.5
0.0
-0.5
2.0
1.5
γ
40
1.0
0.5
0.0
1.00
0.99
P
0.98
0.97
0.96
Sfrag replacements
0.95
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Photonenenergie (eV)
der Justage des Monochromators und der Lage des Elektronenstrahls im Speicherring abhängig
sind. Die Änderungen zwischen den verschiedenen Schwenkstudien können im wesentlichen
durch einen Skalierungsfaktor beschrieben werden. Bei der Auswertung ellipsometrischer Messungen werden deshalb diese Skalierungsfaktoren in die Rechnung einbezogen und, wie das Vorzeichen von γ, durch eine Anpassung an Daten, die mit Eingangspolarisator gewonnen werden,
bestimmt.
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
Die Meßgenauigkeit des VUV-Ellipsometers ist stark abhängig von den optischen Komponenten,
die in den verschiedenen Spektralbereichen benutzt werden. Eine Auflistung dieser Bereiche mit
den zugehörigen optischen Komponenten erfolgt in Tabelle 3. Bis etwa 8 eV ist die Meßgenauigkeit vergleichbar mit konventionellen Ellipsometern. In Abbildung 27 ist eine Vergleichsmessung
an GaAs dargestellt. Als Referenz wurden Daten von Aspnes [49] benutzt.
In Abhängigkeit von dem Reflexionsvermögen der Probe muß ab einer Photonenenergie von
ungefähr 8 eV auf den Eingangspolarisator verzichtet werden. In der Auswertung der ellipsome-
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
Spektralbereich
2.5 - 3.8 eV
3.8 -
Optische
Komponenten
MgF2 -Polarisator,
MgF2 -Analysator,
Quarzfilter
8 eV MgF2 -Polarisator,
MgF2 -Analysator,
8 - 9.8 eV MgF2 -Analysator
9.8 - 12 eV
12 - 25 eV
41
P
γ
χ0
1
0
K
1
0
K
E E
t t
DreifachReflexionsanalysator, E E
LiF-Filter
t t
DreifachReflexionspolarisator, E E
t t
E
t
E
t
E
t
P̃ Bemerkung
Meßgenauigkeit ist
1 vergleichbar mit konventionellen Ellipsometern
1
-Polarisations1 zustand des einfallenden Lichtes muß
berücksichtigt werden
Großer statistischer
E Fehler durch geringe
Lichtintensität
12 - 14 eV:
E Verfälschung der
Meßwerte durch
2. Beugungsordnung
K - Konstanter Wert
E - Energieabhängiger Wert
t - Zeitliche Änderung (Justageabhängig)
Tabelle 3: Durch die spektral begrenzte Einsatzfähigkeit der verschiedenen optischen Komponenten und die Notwendigkeit einer Filterung des Lichtes der 2. Beugungsordnung des Monochromators ist der Meßbereich des VUVEllipsometers in 5 Abschnitte aufgeteilt. In der Tabelle sind die verschiedenen Spektralbereiche mit den jeweiligen
optischen Komponenten aufgelistet. Zusätzlich sind die durch die unvollständige lineare Polarisation des einfallenden Lichtes bzw. durch das unvollständige Polarisationsvermögen des Analysators notwendigen Parameter in den
einzelnen Bereichen tabelliert.
trischen Spektren müssen dann die aus Schwenkstudien bestimmten Parameter der Polarisation
P, γ und χ0 des einfallenden Lichtes berücksichtigt werden. Die Auswirkungen der nicht idealen
linearen Polarisation auf die gemessenen dielektrischen Funktionen und deren Korrektur durch
die Parameter aus den Schwenkstudien werden in Abbildung 28 am Beispiel von GaN illustriert.
Im Spektralbereich von 4 eV bis 8 eV wurde die dielektrische Funktion aus einer Messung mit
MgF2 -Eingangspolarisator sowie einer ohne Eingangspolarisator bestimmt. Die Auswertung der
letzteren Meßdaten erfolgte zunächst unter der Annahme, daß nach dem Monochomator ideal
linear polarisiertes Licht zur Verfügung steht. Der Nullpunkt χ0 des Schwenkwinkels war darin eine Konstante, die aus einer Kalibrierung bei einer geeigneten Photonenenergie resultierte.
Das Ergebnis beider Messungen zeigt in Abhängigkeit von der Photonenenergie große Differenzen in den Absolutwerten von ε1 und ε2 . Durch die Berücksichtigung der Parameter aus
den Schwenkstudien wird insbesondere im oberen Energiebereich (>7 eV) der Testmessung bei
Verwendung eines negativen Vorzeichens des Faktors sin 2γ in Gleichung 3.21 eine deutliche
Annäherung an die „idealen“ Werte erreicht. Besonders interessant für die weitere Auswertung
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
42
25
20
GaAs
15
ε1
10
5
0
-5
2. Beugungsordnung
-10
25
20
ε2
15
10
5
PSfrag replacements
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Photonenenergie (eV)
Abbildung 27: Zur Überprüfung der Meßgenauigkeit wurde mit dem VUV-Ellipsometer am BESSY die dielektrische Funktion einer GaAs-Probe gemessen (--------) [50]. Die Probenoberfläche war durch eine amorphe AsDeckschicht geschützt, die im UHV durch thermische Desorption vor der Messung entfernt wurde. Der Vergleich
mit Referenzdaten von Aspnes [49] (--------) zeigt in einem großen Spektralbereich eine sehr gute Übereinstimmung.
Unterhalb von 3,8 eV wird die Messung am VUV-Ellipsometer durch die 2. Beugungsordnung des Monochromators
verfälscht. Für diesen Spektralbereich muß deshalb zusätzlich ein Quarzfilter verwendet werden.
ellipsometrischer Spektren ist die spektrale Lage von Strukturen in der dielektrischen Funktion.
In dem hier betrachteten Beispiel ergeben sich Abweichungen in der Lage des ε 2 -Maximum von
etwa 30 meV. Dies liegt in der Größenordnung der spektralen Auflösung des Monochromators.
Der Einfluß der nicht idealen linearen Polarisation des einfallenden Lichtes auf die Berechnung
der dielektrischen Funktion ist abhängig von den Probeneigenschaften. Weitere Untersuchungen
ergaben, daß die in dem vorgestellten Beispiel auftretenden Abweichungen der korrigierten Werte von den mit MgF2 -Eingangspolarisator gemessen sich nicht wesentlich von anderer Proben
unterscheiden. Für den Spektralbereich zwischen 8 eV und 9,8 eV kann deshalb ein Fehler in der
Größe der hier dargestellten Werte angenommen werden.
Ab 9,8 eV steigt die Absorption durch MgF2 stark an und das Polarisationsvermögen verschwindet. Anstelle des MgF2 -Analysators wird deshalb der goldbeschichtete Dreifach-Reflexionspolarisator in der Funktion als Analysator benutzt. Für den Korrekturfaktor cos 2ψ A werden
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
43
Abbildung 28: Auswirkungen der nicht idealen linearen Polarisation des einfallenden Lichtes auf eine ellipsometrische Messung. Dargestellt ist die dielektrische Funktion von GaN im
Spektralbereich von 4 eV bis 8 eV, mit (--------) und
ohne (--------) Eingangspolarisator gemessen. Beide Spektren sind unter der Annahme einer idealen linearen Polarisation des einfallenden Lichtes (P 1 γ 0) ausgewertet. Die Messung ohne Eingangspolarisator ist außerdem mit den aus
den Schwenkstudien ermittelten Werten für P und
γ sowie einem energieabhängigen χ0 ausgewertet.
Dabei wurde der Faktor sin 2γ in Gleichung 3.21
einmal mit positivem ( ) und einmal mit negativem (- - -) Vorzeichen verwendet.
7
6
5
4
ε1
3
2
1
9
9
7
8
7
6,8
30 meV
7,0
5
6
ε2
5
4
3
Sfrag replacements
2
1
4
5
6
7
8
Photonenenergie (eV)
die aus den optischen Eigenschaften von Gold berechneten Werte benutzt. Zusammen mit dem
größeren statistischen Fehler der Parameter P, γ und χ0 werden dadurch die Abweichungen in der
dielektrischen Funktion größer. Da sich jedoch die lineare Polarisation des Lichtes vom Monochromator im oberen Spektralbereich verbessert (vgl. Abb. 26), sollten die Abweichungen nicht
wesentlich größer sein als die in Abbildung 28 dargestellten Unterschiede zwischen den „idealen“ Werten und den aus einer Messung ohne Eingangspolarisator bestimmten unkorrigierten
Werten. Vergleichsmessungen konnten in diesem Bereich nicht angefertigt werden, weil zu keiner der vorhandenen Proben Referenzdaten zur Verfügung standen.
Die Auswirkungen des statistischen Fehlers der Größen χT , φ, α und η auf die dielektrische
Funktion am VUV-Ellipsometer wurden ausführlich von Fuchs [47] untersucht. Eine daraus
resultierende Abschätzung des Maximalfehlers von ε ist in Abbildung 29 dargestellt.
4.5 Meßgenauigkeit des Ellipsometers
44
InP 110
ε2
2. Beugungsordnung, Streulicht
ε2
ε1
frag replacements
ε1
ε1
ε2
25
Photonenenergie (eV)
Abbildung 29: Abschätzung des Maximalfehlers von ε aus dem statistischen Fehler der Parameter χ T , φ, α und
η am Beispiel von InP [47].
45
5 Messungen und Ergebnisse
5.1 Proben
Die dielektrische Funktion von SiC wurde an einer Reihe von Proben der Kristallmodifikationen
4H-, 6H-, und 3C-SiC untersucht. Vorgestellt werden jeweils zwei Proben für jede dieser Modifikationen. Eine 2H-SiC-Probe, deren Kristallstruktur als Grenzfall mit einer rein hexagonalen
Stapelform der Si-C-Doppelschichten für einen Vergleich sehr interessant ist, war nicht erhältlich. In der Literatur konnte auch kein Hinweis gefunden werden, ob das Wachstum von 2H-SiCEinkristallen in ausreichender Größe und Qualität möglich ist.
In Tabelle 4 sind die Bezeichnungen der untersuchten Proben und einige Eigenschaften aufgeführt. Die hexagonalen Proben 4H-B (4H SiC) und 6H-A (6H-SiC) sind kommerziell erhältliche SiC-Wafer der Firma Cree3 . Die Proben 4H-A (4H-SiC) und 6H-B (6H-SiC) sowie die
kubische Probe 3C-A (3C-SiC) sind epitaktisch auf einem 4H-SiC- bzw. Si-Substrat gewachsene
einkristalline Schichten die von der Universität Linköping in Schweden 4 zur Verfügung gestellt
wurden. 3C-A zeigt eine besonders hohe n-Dotierung mit ND NA 1E19. Die zweite 3C-SiCProbe 3C-B ist ebenfalls eine epitaktische Schicht auf einem Si-Substrat. Diese wurde vom PDI
für Festkörperelektronik in Berlin zur Verfügung gestellt 5 . Alle Proben mit hexagonaler Kristallstruktur sind so orientiert, daß die c-Achse senkrecht zur Oberfläche liegt. Die aus einer el
Probenname
4H-A
4H-B
6H-A
6H-B
3C-A
3C-B
KristallDicke Substrat
Modifikation
µm
4H-SiC
40
4H-SiC
4H-SiC
6H-SiC
6H-SiC
40
4H-SiC
3C-SiC
10
Si
3C-SiC
1
Si
Dotierung Rauhigkeit
cm 1 nm
n: 8E14
0,2
0,7
0,8
n: 3E14
2
n: 1E19
0,2
8
XRC
arcmin
120
Tabelle 4: Bezeichnungen und einige Eigenschaften der in dieser Arbeit untersuchten Proben.
lipsometrischen Messung bestimmte effektive dielektrische Funktion wird wie in Abschnitt 3.3.2
beschrieben, durch eine Oberflächenrauhigkeit in der Größenordnung unter der Wellenlänge beeinflußt. Deshalb wurde die Oberfläche der Proben mit einem Raster-Kraft-Mikroskop (AFM,
Atomic-Force-Microscope) untersucht und aus der daraus ermittelten Oberflächenstruktur die
RMS-Rauhigkeit dRMS (RMS-roughness, Root Mean Square roughness) bestimmt [51]. In Abbildung 30 sind die Höhenprofile der vorgestellten Proben als Grauwertbilder dargestellt. Die
RMS-Rauhigkeit wurde an verschiedenen Abschnitten der Probenoberfläche von 2 2 µm Größe
bestimmt und daraus der Mittelwert gebildet (Tab. 4). Die beiden SiC-Wafer 4H-B und 6H-A
zeigen deutliche Kratzspuren auf der Oberfläche, die beim Polieren der Proben entstanden sind.
3
Cree Research INC
Linköpings Universitet, S-581 83 Linköping, Schweden
5 Paul-Drude-Institut für Festkörperelektronik, Hausvogteiplatz 5-7, D-10117 Berlin
4 IFM/Materiefysik,
5.1 Proben
46
Solche lokal abgegrenzten Strukturen haben nur einen geringen Einfluß auf die gemessene effektive dielektrische Funktion. Die RMS-Rauhigkeit wurde deshalb an Punkten ohne oder mit
nur wenigen Kratzspuren bestimmt. Die Probe 6H-B fällt durch ausgeprägte parallele Strukturen
auf, die an verschiedenen Stellen der Oberfläche gefunden wurde. Solche Strukturen könne Unterschiede in der gemessenen dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung
des Lichtes hervorrufen. In den ellipsometrischen Messungen konnte jedoch kein Unterschied
bei verschiedener Probenpositionierung festgestellt werden. Auf der Oberfläche der Probe 3C-A
zeigen sich schon mit bloßem Auge erkennbare Strukturen, die sich in Abbildung 30 links unten
in großen Flächen gleicher Höhe fortsetzen. Diese makroskopische Rauhigkeit verursacht eine
starke Lichtstreuung und führt zu starken Intensitätsverlusten bei den ellipsometrischen Messungen. Sie hat aber ebenfalls nur geringen Einfluß auf die gemessene effektive dielektrische
Funktion. Die RMS-Rauhigkeit dRMS von 3C-A bestimmt aus Flächen von 2 2 µm Größe ist
dagegen sehr klein ( 0 2 nm). Die Oberfläche der 3C-Probe 3C-B in Abbildung 30 rechts unten
ist sehr unregelmäßig. Dies deutet auf eine mögliche polykristalline Deckschicht hin.
5.1 Proben
47
Abbildung 30: Topographie der Probenoberflächen ermittelt durch AFM-Messungen (AFM, Atomic-ForceMicroscope). In den Abbildungen wurden verschiedene Maßstäbe gewählt, damit die charakteristischen Strukturen
der Oberfläche sichtbar werden. Weiße Stellen markieren in der Grauwertdarstellung Erhebungen auf der Oberfläche.
5.2 Ellipsometrische Messungen
48
5.2 Ellipsometrische Messungen
Mit dem in Abschnitt 4 beschriebenen Ellipsometer wurde die dielektrische Funktion der verschiedenen SiC-Kristallmodifikationen bei Raumtemperatur ( 300 K) bestimmt. Alle Proben
sind, bevor sie in die UHV-Kammer gebracht wurden, schrittweise mit Aceton, deionisiertem
Wasser und Isopropanol gereinigt worden, um organische Verunreinigungen auf der Oberfläche
zu entfernen.
30
25
4H-SiC (4H-A)
20
15
ε1 , ε 2
ε1
10
ε2
5
ε2
0
ε1
-5
5
5
20
4H-SiC (4H-B)
15
Sfrag replacements
ε1 , ε 2
ε1
10
5
ε2
ε2
0
ε1
-5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
5
20
5
22
24
Photonenenergie (eV)
Abbildung 31: Real- und Imaginärteil der effektiven dielektrischen Funktion ε (--------) von zwei verschiedenen
4H-SiC Proben bei Raumtemperatur (300 K) (4H-A (oben), 4H-B (unten)). Von etwa 12 eV bis 14 eV werden die
Messungen durch die 2. Beugungsordnung des Monochromatorgitters verfälscht (--------) (vgl. Abs. 4.5). Die entstehende Lücke von 2 eV ist durch eine unterbrochene Linie (- - -) markiert, die aus interpolierten Werten besteht.
Eine weitere Interpolationskurve ist für die Probe 4H-B im Bereich um 10 eV eingezeichnet, weil die gemessenen
Strukturen in diesem Bereich auf Meßfehler zurückzuführen sind.
Die Abbildungen 31 und 32 zeigen den Real- und Imaginärteil der gemessenen effektiven
dielektrischen Funktion ε für die Kristallmodifikationen 4H bzw. 6H im Spektralbereich von
2,5 eV bis 25 eV. Die Spektren der dielektrischen Funktion setzen sich, bedingt durch die apparativen Gegebenheiten, aus verschiedenen Messungen der in Tabelle 3, Seite 41 aufgelisteten
5.2 Ellipsometrische Messungen
49
20
6H-SiC (6H-A)
15
ε1
10
ε1 , ε 2
5
ε2
ε2
5
0
ε1
-5
20
5
6H-SiC (6H-B)
15
ε1 , ε 2
Sfrag replacements
ε1
10
5
ε2
ε2
0
ε1
-5
2
4
6
8
10
12
14
16
5
18
5
20
22
24
Photonenenergie (eV)
Abbildung 32: Real- und Imaginärteil der effektiven dielektrischen Funktion ε (--------) von von zwei verschiedenen 6H-SiC Proben bei Raumtemperatur (300 K) (6H-A (oben), 6H-B (unten)). Zwischen etwa 11,5 eV und 14 eV
werden die Messungen wiederum durch die 2. Beugungsordnung des Monochromatorgitters verfälscht (--------) (vgl.
Abs. 4.5). Die entstehende Lücke von 2,5 eV ist durch eine unterbrochene Linie (- - -) markiert, die aus interpolierten Werten besteht.
Spektralbereiche zusammen. In der Auswertung der Messungen oberhalb von 8 eV wurden die
durch Schwenkstudien (Abs. 4.4) ermittelten Polarisationseigenschaftem des einfallenden Lichtes (Abb. 26 S. 40) verwendet. Bis 12 eV ergeben sich damit die gezeigten stetig zusammenhängenden Spektren. Wie in Abschnitt 4 schon erläutert wurde, ist oberhalb von etwa 12 eV
eine Filterung der 2. Beugungsordnung des Monochromatorgitters nicht möglich. Bis ungefähr
14 eV werden die Messungen deshalb durch Strahlungsanteile mit doppelter Photonenenergie
verfälscht. Die genaue Auswertung der Meßdaten ergab weiterhin, daß die gemessene dielektrische Funktion der Probe 4H-B im Spektralbereich von 9,5 eV bis 11 eV durch einen fehlerhafte Justierung der Apparatur verfälscht wird. Eine Wiederholung der Messungen war aufgrund der beschränkten Meßzeiten am BESSY bis zu Fertigstellung dieser Arbeit nicht möglich.
Oberhalb von 8 eV wurden in allen Messungen eine Ein- bzw. Austrittsspaltbreite des Monochromators von 750 µm und unterhalb von 8 eV von maximal 450 µm verwendet. Daraus ergibt
5.2 Ellipsometrische Messungen
50
sich eine monochromatorbedingte spektrale Auflösung von etwa 200 meV bzw. 20 meV (vgl.
Abb. 16 S. 30). Die wesentlichen Strukturen der dielektrischen Funktion dieser beiden Kristallmodifikationen befinden sich im Spektralbereich von 4 eV bis etwa 10 eV und liegen damit in
dem Bereich der größten Genauigkeit des VUV-Ellipsometers. In Abbildung 33 ist die dielektrische Funktion der 4H- und 6H-SiC-Proben noch einmal in diesem Spektralbereich zusammen mit
der dielektrischen Funktion der 3C-SiC-Proben 3C-A und 3C-B dargestellt. Aufgrund der („makroskopischen“ ) Rauhigkeit der 3C-SiC-Proben und den daraus resultierenden Intensitätsproblemen waren für diese Messungen im Spektralbereich oberhalb von 10 eV nicht möglich. Beide
Proben wurden bei der maximalen ein Ein- bzw. Austrittsspaltbreite von 750 µm untersucht. Die
monochromatorbedingte spektrale Auflösung liegt damit zwischen 10 meV und 100 meV.
Die effektive dielektrische Funktion von allen untersuchten SiC-Proben weist einen für die
jeweilige Kristallmodifikation charakteristischen Kurvenverlauf auf. Der Imaginärteil der dielektrischen Funktion von 4H-SiC wird dominiert von einem ausgeprägten, scharfen Maximum bei
6,9 eV auf das zwei breite Schultern bei 7,3 eV bzw. 8,6 eV folgen. 6H-SiC zeigt dagegen um
7 eV eine Dreifachstruktur bestehend aus zwei Maxima bei 6,7 eV und 7,0 eV sowie einer flachen Schulter bei 7,3 eV. Eine weitere ausgeprägte, breite Struktur befindet sich bei 9,1 eV. Die
dielektrische Funktion der Kristallmodifikation 3C zeigt eine noch deutlichere Aufteilung der
beiden Strukturen. Das Maximum in ε2 ist gegenüber den Modifikationen 4H und 6H zu noch
höheren Photonenenergien verschoben und wird durch eine breite Struktur bei 7,2 eV definiert.
Es folgt ein weiteres breites Maximum bei 9,3 eV. Außerdem weist 3C-SiC eine ausgeprägte
Schulter bei 6,0 eV auf. Diese Struktur findet sich sehr viel kleiner auch für 4H-SiC bei etwa
5,7 eV. Unabhängig von der jeweiligen Kristallmodifikation zeigen einige Messungen bei etwa
5 eV eine Schulter im Imaginärteil der dielektrischen Funktion.
Zusätzlich zu den Messungen bei Raumtemperatur ( 300 K) wurden an den Proben 4HB, 6H-A und 3C-A ellipsometrische Messungen bei 150 K durchgeführt. Die Proben wurden
dazu über einen Wärmekontakt mit flüssigem Stickstoff gekühlt. Der Vergleich der Messungen
(Abb. 34) zeigt für die untersuchten Proben eine Verschiebung des Maximums im Imaginärteil
der dielektrischen Funktion zwischen 0,03 eV und 0,09 eV zu höheren Photonenenergien bei
tiefen Temperaturen. Außerdem ist insbesondere bei den Proben 4H-B und 3C-A ein Absinken
des Absolutwertes im Maximum des Imaginärteils der dielektrischen Funktion zu beobachten.
5.2 Ellipsometrische Messungen
30
25
20
15
51
4H-A
4H-SiC
4H-B
ε1
ε2
10
5
0
-5
20
6H-A
15
6H-B
ε1
6H-SiC
ε2
10
ε1 , ε 2
5
0
-5
25
3C-A
20
3C-SiC
3C-B
15
Sfrag replacements
ε1
10
5
0
-5
ε2
-10
3
4
5
6
7
8
9
10
Photonenenergie (eV)
Abbildung 33: Real- und Imaginärteil der effektiven dielektrischen Funktion ε von 4H-, 6H- und 3CSiC bei Raumtemperatur (300 K). Die Probe 3C-B (unten) zeigt unterhalb von 5 eV ausgeprägte Fabry-PerotOszillationen.
5.2 Ellipsometrische Messungen
Sfrag replacements
52
25
Abbildung 34: Real- und Imaginärteil
4H-SiC
20
ε1
15
ε1
10
5
0
-5
20
15
ε1
6H-SiC
ε1
10
ε1 , ε 2
5
0
-5
25
20
ε1
15
3C-SiC
ε1
10
5
0
-5
-10
5
der effektiven dielektrischen Funktion von
4H-SiC (Probe 4H-B), 6H-SiC (Probe 6HA) und 3C-SiC (Probe 3C-A) bei 300 K
(--------) und bei 150 K (--------)
6
7
8
Photonenenergie (eV)
9
53
6 Diskussion
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion
Für eine Diskussion der Ergebnisse ist es zunächst notwendig die gemessene effektive dielektrische Funktion mit den gesuchten optischen Eigenschaften des idealen Kristalls zu verknüpfen. Wie in den einleitenden Abschnitten schon beschrieben wurde, ist die durch die ellipsometrischen Messungen bestimmte dielektrische Funktion eine effektive dielektrische Funktion,
welche die optischen Eigenschaften der Probe in der gewählten räumlichen Orientierung beschreibt [52]. Diese wird nicht nur durch optischen Eigenschaften des idealen Kristalls bestimmt,
sondern beinhaltet auch Beiträge einer Vielzahl weiterer Probeneigenschaften. Dazu gehört z. B.
die Oberflächenbeschaffenheit, die Dotierungen und der Einfluß von Verspannungen im Kristall.
Der Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion eines „idealen“ Halbleiters (Dielektrikum) ist durch die Kramers-Kronig-Relationen miteinander verknüpft (Abs. 3.3.3 bzw. Anh. B).
Die Kramers-Kronig-Konsistenz ist deshalb eine notwendige Voraussetzung für die Interpretation der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion als Eigenschaft der SiC-Kristallmodifikation. Eine Überprüfung der Kramers-Kronig-Konsistenz ist damit auch ein Test der Qualität der
Meßergebnisse.
In den nachfolgenden Abschnitten wird der Einfluß der Oberfläche und der verschiedenen
Komponenten des dielektrischen Tensors bei den anisotropen hexagonalen Kristallmodifikationen 6H- und 4H-SiC auf die gemessene effektiven dielektrischen Funktion diskutiert. Außerdem folgt ein Abschnitt zur Kramers-Kronig-Konsistenz der Meßergebnisse.
6.1.1 Einfluß der Oberfläche
Die gemessene effektive dielektrische Funktion setzt sich neben den zu untersuchenden Materialeigenschaften auch aus Beiträgen von eventuell vorhandenen Deckschichten oder einer Oberflächenrauhigkeit (vgl. Abs. 3.3.2) zusammen. Im Falle von SiC ist eine dünne, passivierende
SiO2 -Schicht auf der Oberfläche möglich [1]. Die Oberflächenrauhigkeit wurde durch AFMMessungen bestimmt und wird durch die daraus berechnete RMS-Rauhigkeit d RMS beschrieben.
Um den Einfluß einer Oxidschicht abschätzen zu können, wurde mit Hilfe des 3-Phasen-Modells
aus den Meßdaten der 4H-SiC-Probe 4H-B und den optischen Eigenschaften von SiO 2 [53] die
effektive dielektrische Funktion für eine SiO2 -bedeckte Probe berechnet (Abb. 35, (- - -)). Die
Dicke der SiO2 -Schicht wurde dabei zwischen 1 nm und 10 nm variiert. Analog dazu wurde
auch die effektive dielektrische Funktion für eine zusätzliche Oberflächenrauhigkeit mit dem 3Phasen-Modell berechnet (Abb. 35, (--------)). Die rauhe Oberfläche wird durch eine Deckschicht
definiert, deren Dispersion im Rahmen der Bruggeman-Effektive-Medien-Näherung (EMA, Effective Medium Approximation) bestimmt ist. In der EMA wird eine Matrix aus Untergrundmaterial mit 50% Luft angenommen. Oberflächenrauhigkeit und Oxidschicht zeigen einen sehr
ähnlichen Einfluß auf die gemessene dielektrische Funktion. Für beide ergeben sich schon ab
einer Schichtdicke bzw. ab einer simulierten RMS-Rauhigkeit dRMS von 1 nm deutliche Abweichungen der Absolutwerte der dielektrischen Funktion. Die energetische Lage der Strukturen
ändert sich nur wenig.
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion
54
15
SiO2 /4H-SiC
10
ε1
5
0
-5
20
15
ε2
10
5
PSfrag replacements
0
4
5
6
7
8
9
Photonenenergie (eV)
Abbildung 35: Einfluß einer SiO2 -Schicht und Oberflächenrauhigkeit auf die dielektrische Funktion von 4H-SiC.
Aus der gemessenen dielektrischen Funktion der Probe 4H-B (--------) wurde mit dem 3-Phasen-Modell eine effektive
dielektrische Funktion für eine zusätzliche SiO2 -Schicht von 1 nm, 2 nm, 5 nm und 10 nm Dicke (- - -) bzw. für
zusätzliche Oberflächenrauhigkeiten (--------) berechnet. Die unterschiedlichen Oberflächenrauhigkeiten wurden durch
Deckschichten der Dicke 1 nm, 2 nm, 5 nm und 10 nm, bestehend aus einer Matrix von 50% Luft in 4H-SiC, im
Rahmen der Bruggeman-Effektive-Medium-Näherung berechnet.
Für die 3C-SiC-Probe 3C-A ergab sich aus den AFM-Messungen eine sehr geringe RMSRauhigkeit von dRMS 0 2 nm. Für diese Probe wurde wiederum eine effektive dielektrische
Funktion mit einer zusätzlichen Oberflächenrauhigkeit berechnet und mit der gemessenen dielektrischen Funktion der 3C-SiC-Probe 3C-B verglichen (Abbildung 36). Für die Probe 3C-B
ergaben die AFM-Messung eine RMS-Rauhigkeit von dRMS 8 nm. Es zeigt sich, daß die großen
Unterschiede in den Absolutwerten der dielektrischen Funktion beider Proben schon durch die
unterschiedlichen Rauhigkeiten erklärt werden können. Die Annahme einer zusätzlichen RMSRauhigkeit von etwa 5 nm auf der Oberfläche der Probe 3C-A liefert in diesem Modell die beste
Übereinstimmung mit der Probe 3C-B.
Für die Proben 4H-A, 6H-A und 3C-B wurde aus der gemessenen effektiven dielektrischen
Funktion mit der Bruggeman-EMA und der jeweiligen RMS-Rauhigkeiten der Imaginärteil der
dielektrischen Funktion für eine „glatte“ Probenoberfläche berechnet (Abb. 37). In der EMA
wurde wiederum eine Matrix aus Untergrundmaterial mit 50% Luft angenommen. Für die Proben 4H-A und 3C-A mit einer sehr glatten Oberfläche sind die Unterschiede erwartungsgemäß
gering. Für die 6H-SiC-Probe 6H-A ergibt sich eine deutliche relative Verschiebung der Absolutwerte der beiden Maxima bei 6,7 eV bzw. 7,0 eV. Die Annahme eines 3-Phasen-Modells in
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion
20
55
Abbildung 36: Die 3C-SiC-Probe 3C-A
hat eine sehr geringe Oberflächenrauhigkeit
von dRMS
0 2 nm. Aus der gemessenen
dielektrischen Funktion (--------) wurde eine
effektive dielektrische Funktion für zusätzliche Oberflächenrauhigkeiten mit dRMS
2 nm, 5 nm, und 10 nm (--------) berechnet. Für
die 3C-SiC-Probe 3C-B (- - -) wurde eine
Rauhigkeit von dRMS 8 nm bestimmt. Der
Vergleich zeigt, daß die Unterschiede in den
Meßdaten zu großen Teilen durch die verschiedenen Oberflächenrauhigkeiten erklärt
werden.
3C-SiC
15
10
ε1
5
0
-5
25
20
15
ε2
Sfrag replacements
10
5
0
4
5
6
7
8
9
Photonenenergie (eV)
Kombination mit der Bruggeman-EMA zur Beschreibung einer Oberflächenrauhigkeit ist jedoch
nur eine Näherung. Für die weitere Diskussion werden deshalb die unkorrigierten Meßergebnisse
verwendet.
6.1.2 Einfluß der Komponenten des dielektrischen Tensors auf die gemessene effektiven
dielektrischen Funktion
Im Abschnitt 2.2 wurde bereits darauf hingewiesen, daß die dielektrische Funktion der hexagonalen Kristallmodifikationen nicht isotrop ist. Der zur Beschreibung der dielektrischen Funktion
verwendete Tensor besteht aus zwei unabhängigen Komponenten ε und ε welche die Beiträge
senkrecht bzw. parallel zur c-Achse des Kristalls beschreiben. Alle hexagonalen Proben sind so
orientiert, daß die c-Achse senkrecht zu deren Oberfläche liegt. Die ellipsometrischen Messungen erfolgten jedoch unter einem Einfallswinkel von 67,5 bzw. 45 und enthalten deshalb Anteile aus beiden Tensorkomponenten. Für eine erste Abschätzung, wie groß der jeweilige Anteil
an der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion ist, werden aus dem Brechungsindex und
dem Brechungsgesetz die Komponenten des elektrischen Feldvektors in der Probe und daraus
die Intensitätsanteile des einfallenden Lichtes senkrecht und parallel zur c-Achse berechnet [50].
Diese Intensitätsanteile sind abhängig von der Photonenenergie. Für den Bereich von 2,5 eV bis
10 eV ergibt sich mit dem Einfallswinkel von 67,5 für 4H-SiC ein Verhältnis von 1 : 0 16, das
sich ab etwa 7 eV zu einem Verhältnis 1 : 1 bei 10 eV verschiebt. Eine genauere Abschätzung
der Zusammensetzung der gemessenen dielektrischen Funktion ε¯in biaxialen Kristallstrukturen
wird von Aspnes [54] beschrieben. Eine experimentelle Überprüfung ist durch einen Vergleich
mit der unter nahezu senkrechtem Lichteinfall gemessenen Reflektivität (vgl. Abs. 4.3.1) möglich. Dazu wurde aus der effektiven dielektrischen Funktion die Reflektivität für senkrechten
Lichteinfall berechnet. In Abbildung 38 ist die aus ε berechnete sowie die gemessene Reflektivität der 4H-SiC-Probe 4H-B dargestellt. In dem betrachteten Spektralbereich zwischen 4,5 eV
und 9,5 eV zeigt sich eine weitgehende Übereinstimmung im Kurvenverlauf. Theoretische Ar
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion
30
Abbildung 37: Für die Proben 4H-
4H-SiC (4H-A)
25
56
A, 6H-A und 3C-B wurde die RMSRauhigkeiten dRMS =0,2 nm, dRMS =0,8 nm
und dRMS =0,2 nm aus AFM-Messungen bestimmt. Mit Hilfe der Bruggeman-EMA und
dem 3-Phasen-Modell wurde aus der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion (--------) die dielektrische Funktion für eine
„glatte“ Probenoberfläche (--------) berechnet.
20
15
10
5
0
6H-SiC (6H-A)
20
15
ε2
10
5
0
25
3C-SiC (3C-A)
20
15
Sfrag replacements
10
5
0
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
Photonenenergie (eV)
beiten [55] sagen für die Tensorkomponenten parallel zur c-Achse eine sehr viel deutlicheres
Maximum zwischen 5 eV und 6 eV voraus. Der Vergleich der beiden Messungen unter 67,5 und
senkrechtem Lichteinfall ergibt zwischen 5 eV und 6 eV keine wesentlichen Unterschiede. Auch
die um 9 eV festzustellenden Differenzen im Kurvenverlauf lassen sich unter Berücksichtigung
der theoretischen Arbeiten nicht durch einen Beitrag der Parallelen Tensorkomponente erklären.
Die gemessene dielektrische Funktion kann also im wesentlichen als senkrechte Komponente ε interpretiert werden werden.
6.1.3 Kramers-Kronig-Konsistenz
An allen Proben wurde die Kramers-Kronig-Konsistenz von Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion überprüft (Abs. 3.3.3 bzw. Anh. B) und eine gute Übereinstimmung im Spektralbereich von 2,5 eV bis etwa 9 eV gefunden. Oberhalb von 9 eV ergaben sich jedoch bis ungefähr 15 eV deutliche Abweichungen (Abb. 39 oben). In diesem Spektralbereich wird ohne
Eingangspolarisator und mit dem goldbeschichteten Dreifach-Reflexionsanalysator gearbeitet
(vgl. Abs. 4.1, Tab. 3 S. 41). Die berechnete dielektrische Funktion ist deshalb abhängig von
den aus Schwenkstudien ermittelten Parametern der Polarisation des einfallenden Lichtes bzw.
6.1 Interpretation der effektiven dielektrischen Funktion
57
0.6
Reflektivität
0.5
0.4
0.3
PSfrag replacements
5
6
7
8
9
Photonenenergie (eV)
Abbildung 38: Reflektivität von 4H-SiC (Probe 4H-B) bestimmt durch eine Reflexionsmessung unter senkrechtem Lichteinfall (--------) und eine ellipsometrische Messung mit einem Einfallswinkel von 67,5 aus der anschließend
die Reflektivität für senkrechten Lichteinfall berechnet wurde (- - -). Beide Kurven zeigen eine weitgehende Übereinstimmung in ihrem Kurvenverlauf. Mit der in Abschnitt 4.3.1 beschriebenen einfachen Anordnung zur Messung
der Reflektivität können nur relative Strukturen im Kurvenverlauf der Reflektivität ermittelt werden. Die Messung
des Absolutwertes ist nicht möglich.
des Polarisationsvermögens des Analysators. Diese sind mit einem relativ großen Fehler behaftet. Außerdem werden die ellipsometrischen Messungen in diesem Spektralbereich durch die 2.
Beugungsordnung des Monochromatorgitters verfälscht. Bis etwa 11,5 eV wird dies durch die
Verwendung eines LiF-Filters verhindert. Oberhalb von 11,5 eV ist dies nicht mehr möglich. Für
die Berechnung von ε1 und ε2 aus ε2 bzw. ε1 wurden deshalb interpolierte Werte für den
Spektralbereich zwischen 11,5 eV und 14 eV angenommen. Außerdem zeigt sich am Beispiel
der Probe 4H-A in Abbildung 39 unten, daß die bei einigen Proben auftretende Stufe bei 5 eV im
Imaginärteil der gemessenen dielektrischen Funktion nicht Kramers-Kronig-Konsistent mit dem
Realteil ist. Der aus dem gemessenen Realteil der dielektrischen Funktion durch die KramersKronig-Relationen berechnete Imaginärteil zeigt zwischen 5 eV und 6 eV lediglich eine kleine
Unstetigkeit im Anstieg. Ursachen für diese Diskrepanz sind möglicherweise kleine Fehler in
den bei der Kalibrierung bestimmten Werten χ0 , α0 und η (vgl. Abs. 4.2). Der Einfluß dieser
Größen auf die Berechnung der dielektrischen Funktion aus den Fourierkoeffizienten nimmt in
diesem Spektralbereich, in dem ε2 gegen 0 geht, stark zu und könnte dadurch die beobachteten
Unterschiede bewirken.
6.2 Vergleich mit experimentellen Daten
58
Abbildung
20
39:
Kramers-KronigKonsistenz der effektiven dielektrischen
Funktion von 6H- (6H-A) und 4H-SiC
(4H-A). Dargestellt ist der Real- und
Imaginärteil der gemessenen dielektrischen
Funktion ε1 bzw. ε2 (--------) und die
daraus jeweils durch die Kramers-KronigRelationen berechneten Funktionen ε2
bzw. ε1 ( ). Für den durch die 2. Beugungsordnung des Monochromatorgitters
verfälschten Spektralbereich zwischen
11,5 eV und 14 eV wurden zur Berechnung
interpolierte Werte angenommen (- - -).
6H-SiC
15
ε2
10
ε1 , ε 2
5
0
ε1
-5
30
4H-SiC
25
20
15
ε1 , ε 2
ε2
10
5
Sfrag replacements
0
ε1
-5
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Photonenenergie (eV)
Die Unterschiede an den Positionen von scharfen Maxima (Abb. 39 oben) und unterhalb von
4 eV werden durch die endliche Anzahl an Stützstellen bei der numerischen Integration bzw.
durch den beschränkten spektralen Integrationsbereich hervorgerufen (Anh. B).
6.2 Vergleich mit experimentellen Daten
Die vorhandenen experimentellen Daten über die optischen Eigenschaften der verschiedenen
SiC-Kristallmodifikationen resultieren fast ausschließlich aus Reflexionsmessungen. Für einen
Vergleich wurde die Reflektivität der Proben 4H-A, 6H-A und 3C-A aus der gemessenen dielektrischen Funktion berechnet. In Abbildung 40 ist diese zusammen mit einigen Literaturwerten
dargestellt. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung im Kurvenverlauf der Reflektivität der einzelnen experimentellen Arbeiten. Auffällig ist eine deutliche Verschiebung der Maxima von 6Hund 3C-SiC um etwa 0,2 eV im oberen Photonenenergiebereich zwischen den aus dieser Arbeit
berechneten Reflektivitäten und den Werten aus den Reflexionsmessung von Wheeler [56]. Außerdem zeigt sich für 6H-SiC ein deutlicher Unterschied im Absolutwert der Reflektivität. Die
Reflexionsmessung von Wheeler ergeben hier eine maximale Reflektivität von 80 % bei 7,8 eV.
Dieser Wert erscheint im Vergleich mit der entsprechenden Messung für 3C-SiC und mit den in
6.2 Vergleich mit experimentellen Daten
59
dieser Arbeit berechneten maximalen Reflektivitäten von ungefähr 60 % zu hoch. Die Unterschiede bezüglich des Absolutwertes der Reflektivität werden, abgesehen von der Kristallqualität, bei Reflexionsmessungen durch die sehr starke Abhängigkeit der Meßergebnisse von der
Oberflächenbeschaffenheit der Probe und der Justage des Spektrometers verursacht. Die Ellipsometrie als eine indirekte Meßmethode ermöglicht hier eine genauere Bestimmung.
0.6
Abbildung 40: Reflektivität berechnet
4H-SiC
aus der dielektrischen Funktion der Proben 4H-A, 6H-A und 3C-A (--------) im Vergleich mit Literaturwerten. (--------) - Reflexionsmessungen [56], (- - -) - Reflexionsmessungen [57], ( - -) - Aus DFT-LDABandstrukturrechnung ermittelt, mit +1 eV
Energieverschiebung zur Anpassung des indirekten Bandabstandes an experimentelle
Werte [57]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.8
Reflektivität
0.7
6H-SiC
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.6
3C-SiC
0.5
0.4
Sfrag replacements
0.3
0.2
5
6
7
8
9
10
Photonenenergie (eV)
Eine direkte Messung von Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion ist oberhalb
von 6,5 eV nur für die SiC-Kristallmodifikationen 6H und 3C bekannt. Diese Messungen wurden
in einer früheren Arbeit ebenfalls am VUV-Ellipsometer von Logothetidis und Mitarbeitern [7]
durchgeführt. Der Vergleich der Ergebnisse von Logothetidis mit den Messungen der vorliegenden Arbeit ergibt eine sehr gute Übereinstimmung im Kurvenverlauf der dielektrischen Funktion
(Abb. 41). Die in der vorliegenden Arbeit ermittelten größeren Absolutwerte und schärferen
Strukturen in ε2 weisen auf eine bessere Probenqualität bezüglich der Kristallstruktur und Oberflächenrauhigkeit der Proben hin.
Für die SiC-Kristallmodifikation 4H wurde oberhalb von 6,5 eV bisher keine direkte experimentelle Bestimmung von Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion veröffentlicht.
6.3 Vergleich mit Bandstrukturrechnungen
60
30
Abbildung 41: Imaginärteil der dielek-
4H-SiC
25
trischen Funktion der Proben 4H-A, 6HA und 3C-A (--------) im Vergleich mit
Literaturwerten. ( - -) Aus DFT-LDABandstrukturrechnung mit +1 eV Energieverschiebung zur Anpassung des indirekten Bandabstandes an experimentelle Werte [17], ( ) Aus DFT-LDABandstrukturrechnung (ohne „Quasipartikelkorrektur“) [55], (- - -) - Vorherige Messungen mit dem VUV-Ellipsometer am
BESSY [7]
20
15
10
5
0
25
6H-SiC
20
15
ε2
10
5
0
50
3C-SiC
40
30
20
Sfrag replacements
10
0
5
6
7
8
9
10
Photonenenergie (eV)
6.3 Vergleich mit Bandstrukturrechnungen
In Abbildung 41 ist der Imaginärteil der gemessenen dielektrischen Funktion der Proben 4H-A,
6H-A und 3C-A im Vergleich mit Daten aus theoretischen Arbeiten dargestellt. Die von Adolph
[55] sowie Lambrecht [17] und Mitarbeitern aus Bandstrukturrechnungen (DFT-LDA) ermittelten dielektrischen Funktionen (ε2 ) geben die Struktur der Meßdaten nur ungefähr wieder. Die
für DFT-LDA-Bandstrukturrechnungen typische Unterschätzung des Bandabstandes zwischen
besetzten und unbesetzten Bändern wird in der Arbeit von Lambrecht durch eine Verschiebung
der berechneten dielektrischen Funktion um 1 eV zu höheren Photonenenergien ausgeglichen
und damit der minimale indirekte Bandabstand an experimentelle Daten angepaßt. In der Arbeit
von Adolph wird dieses Problem durch „Quasipartikelkorrekturen“ berücksichtigt und eine gute
Übereinstimmung des minimalen indirekten Bandabstandes mit experimentelle Daten erreicht.
Die besten Übereinstimmungen zwischen den berechneten und der gemessenen dielektrischen Funktion ergibt sich erwartungsgemäß (Abs. 2.2) für 3C-SiC. Die beiden charakteristischen breiten Maxima bei 7,2 eV und 9,3 eV im Imaginärteil der dielektrischen Funktion lassen
sich hier eindeutig entsprechenden Strukturen in den berechneten Funktionen zuordnen. Diese
sind jedoch zu kleineren Photonenenergien verschoben. Eine genau Zuordnung der einzelnen
6.4 Temperatureffekt
61
Strukturen in den berechneten dielektrischen Funktionen zu den entsprechenden Maxima in gemessenen Spektren ist für die Kristallmodifikationen 4H und 6H nur bedingt möglich. Die drei
Maxima im Imaginärteil der gemessenen dielektrischen Funktion von 4H-SiC bei 6,9 eV, 7,3 eV
und 8,6 eV können z. B durch die drei vergleichbaren Strukturen in den berechneten Kurven repräsentiert werden, wenn diese um etwa 1 eV zu niedrigeren Photonenenergien verschoben wird.
Die Zuordnung von Strukturen in der dielektrischen Funktion zu Punkten in der BrillouinZone mit hoher kombinierter Zustandsdichte wird für 3C-SiC in [24, 58, 26] ausführlich diskutiert (vgl. Abb. 8 S. 15). In der Arbeit von Petalas und Mitarbeitern [26] wurde an den früheren
Meßergebnissen, die mit dem VUV-Ellipsometer am BESSY gewonnen wurden [7], eine Kurvenanalyse der zweiten Ableitung von ε durchgeführt und aus dem Vergleich mit Bandstrukturrechnungen eine Zuordnung der Strukturen abgeleitet. In Abbildung 42 ist diese Zuordnung auf
die Meßergebnisse der vorliegenden Arbeit übertragen worden. Im Vergleich mit Ergebnissen
aus anderen Untersuchungen [24, 17] ist die Zuordnung von Petalas im Photonenenergiebereich
oberhalb von 8 eV jedoch nicht widerspruchsfrei. Hier sind noch weitere Untersuchungen bzw.
Sfrag replacements
detailliertere theoretische Berechnungen notwendig.
Lc1
20
Γv15PSfrag
X1c
0
X1c
X5v
X3c
2
Lv3
Lc1
X5v
X3c
Lc3
replacements
ε2
Lv3
15
Lc3
Energie (eV)
4
Γc1
Lv3
Γc1
6
Γv15
25
Γc15
Γc15
Γv15
8
10
- 2
X5v
5
- 4
Γ
KW X
Γ
L
WU X
0
5
6
7
8
9
10
Photonenenergie (eV)
Abbildung 42: Im Bild rechts ist der Imaginärteil ε2 der dielektrischen Funktion von 3C-SiC (3C-A) dargestellt
und die Lage einiger Interbandübergänge markiert. Die Zuordnung der Strukturen basiert auf einer Kurvenanalyse
von Petalas und Mitarbeitern [26]. Zum Vergleich ist im Bild links die Bandstruktur von 3C-SiC mit den Bezeichnungen der zugehörigen Punkte in den Energiebändern dargestellt [22].
6.4 Temperatureffekt
Neben den Messungen bei Raumtemperatur, also ungefähr bei 300 K, wurden für einige Proben
auch Messungen bei 150 K durchgeführt (Abb. 34 S. 52).
Für tiefere Temperaturen wird eine Verschiebung der Strukturen in der dielektrischen Funktion zu höheren Energien erwartet [34]. Verursacht wird dieser Effekt durch die mit der Temperatur abnehmenden Gitterkonstante, was zu einer größeren Aufspaltung der elektronischen
Bänder führt. Eine weitere Ursache ist in der Elektron-Phonon-Wechselwirkung zu finden. Die
6.4 Temperatureffekt
62
ellipsometrischen Messungen bei 300 K und 150 K ergaben eine Energieverschiebung des
Maximums im Imaginärteil der dielektrischen Funktion zwischen 0,03 eV und 0,09 eV für alle
drei SiC-Kristallmodifikationen. Ein zweiter typischer Effekt ist die Dämpfung und Verbreiterung der Strukturen in der dielektrischen Funktion bei steigender Temperatur. In den ellipsometrischen Messungen ist ein solcher Effekt jedoch nicht zu beobachten.
Das Temperaturverhalten der energetischen Lage E T von Interbandübergängen wird gut
durch die empirische Varshni-Formel wiedergegeben [59]:
E T
E 0
αT 2
T β
(6.1)
Die Parameter α und β werden im Allgemeinen durch eine Kurvenanpassung an experimentelle
Daten definiert. Eine Bestimmung der dielektrischen Funktion für mehrere verschiedene Temperaturen war in der am BESSY zur Verfügung stehenden Meßzeit jedoch nicht möglich. Für
eine obere Abschätzung der Energieverschiebung bis 0 K wird deshalb eine lineare Extrapolation der beobachteten Verschiebung zwischen 300 K und 150 K angenommen. Daraus ergibt sich
eine maximal zu erwartende Verschiebung des Maximums im Imaginärteil der dielektrischen
Funktion bis 0 K in der Größenordnung von +0,2 eV.
63
7 Ausblick
Alle untersuchten hexagonalen SiC-Kristallmodifikationen sind mit der c-Achse senkrecht zur
Probenoberfläche orientiert. Der elektrische Feldvektor des an der Probenoberfläche reflektierten
Lichtes liegt deshalb näherungsweise senkrecht zur c-Achse, so daß hauptsächlich die senkrecht
zur c-Achse liegenden Komponenten des dielektrischen Tensors untersucht wurden. Die Kristallstruktur der verschiedenen Modifikationen unterscheidet sich in dieser Ebene parallel zu den
hexagonalen Si-C- Doppelschichten nur wenig. Größere Unterschiede zwischen den verschiedenen Modifikationen sind für die Komponente des dielektrischen Tensors parallel zur c-Achse,
daher entlang der Stapelrichtung, zu erwarten. Untersuchungen hierzu werden für 6H-SiC, das
als Volumenkristall erhältlich ist, angestrebt.
Ein anderer Schwerpunkt der weiteren Arbeit ist die ausführlichere Untersuchung der Probeneigenschaften. Es sind z. B. Röntgen-Strukturuntersuchungen zur Analyse der Kristallqualität
vorgesehen. Eventuelle Deckschichten auf der Oberfläche, wie z. B. eine SiO 2 -Schicht können
durch Flußsäure (HF) entfernt werden [60], dabei muß jedoch beachtet werden, daß dies eine
Aufrauhung der Oberfläche bewirkt. Hier sind beide Effekte gegeneinander abzuwägen.
64
8 Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurde die dielektrische Funktion der SiC-Modifikationen 4H, 6H und
3C durch spektroskopische Ellipsometrie im Spektralbereich zwischen 2,5 eV und 25 eV untersucht. Die c-Achse aller Proben mit hexagonaler Kristallstruktur lag dabei parallel zur Oberflächennormalen, so daß im wesentlichen die Komponente des dielektrischen Tensors senkrecht zur
Oberfläche gemessen wurde. Durchgeführt wurden die Messungen mit einem Ellipsometer am
Berliner Elektronenspeicherring für Synchrotronstrahlung (BESSY).
Die untersuchten Proben der verschiedenen SiC-Modifikationen zeigten charakteristische
Strukturen im Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion im Spektralbereich zwischen
5,5 eV und 10 eV, die eine klare Unterscheidung der Kristallmodifikationen erlauben. Dabei
wurde eine gute strukturelle Übereinstimmung zu früheren Untersuchungen an 6H- und 3C-SiC
festgestellt, die ebenfalls mit dem VUV-Ellipsometer durchgeführt wurden. Durch apparative
Erweiterungen und die gute Probenqualität konnten diese früheren Messungen weiter verbessert
werden. Für die SiC-Modifikation 4H ist keine vorherige ellipsometrische Untersuchung der optischen Eigenschaften oberhalb von 6,5 eV bekannt. Die Ergebnisse aus dieser Arbeit wurden außerdem mit der berechneten dielektrischen Funktion aus verschiedenen Bandstrukturrechnungen
verglichen. Abweichungen der theoretischen Daten zeigen, daß die zugrunde liegenden Modelle noch optimiert werden müssen um die experimentellen Befunde hinreichend zu beschreiben
und eine Zuordnung der beobachteten Strukturen zu Interbandübergängen zu ermöglichen. Eine
solche Zuordnung findet sich in der Literatur nur für die Kristallmodifikation 3C-SiC.
Zur Interpretation der gemessenen effektiven dielektrischen Funktion wurde der Einfluß von
Oxidschichten und Oberflächenrauhigkeiten diskutiert. Begleitend wurden dazu AFM-Messungen zur Oberflächenanalyse durchgeführt. Außerdem wurde das Temperaturverhalten durch einen
Vergleich der Raumtemperaturmessungen ( 300K) mit Messungen bei ( 150K) untersucht.
Die Ellipsometrie im VUV-Spektralbereich unter Verwendung von Synchrotronstrahlung ist
verbunden mit einigen experimentellen Besonderheiten. In diesem Zusammenhang wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem durch „Schwenkstudien“ die Polarisationseigenschaften der Lichtquelle bestimmt werden. Mit Hilfe des Mueller-Matrix-Formalismus zur mathematischen Beschreibung der Meßapparatur werden diese in der Auswertung berücksichtigt.
65
A Herleitungen
A.1
Berechnung der Intensität am Detektor durch den Mueller-MatrizenFormalismus
Zur Berechnung der Intensität am Detektor aus dem Stokes-Vektor des einfallenden Lichtstrahls
(Abs. 3.2.3) werden nacheinander die Mueller-Matrizen der optischen Komponenten auf den
Stokes-Vektor des einfallenden Lichtstrahles angewendet. Dies sind die Mueller-Matrix der Probe M̂S und die Mueller-Matrix des Analysators M̂A .
- Stokes-Vektor des einfallenden Lichtes:
S¯in
- Mueller-Matrix der Probe:
M̂S
r p2
rs 2
2
I0 I0 P cos 2γ 0 I0 P sin 2γ 1
cos 2ψ
0
0
cos 2ψ
1
0
0
(A.1)
0
0
0
0
sin 2ψ cos ∆ sin 2ψ sin ∆ sin 2ψ sin ∆ sin 2ψ cos ∆
(A.2)
- Mueller-Matrix des Analysators:
M̂A
tp
2
ts
2
2
1
cos 2ψA
cos 2ψA
1
0
0
0
0
0
0
0
0
sin 2ψA cos ∆A sin 2ψA sin ∆A sin 2ψA sin ∆A sin 2ψA cos ∆A
(A.3)
Die Mueller-Matrizen von Probe und Analysator sowie des Stokes-Vektor des einfallenden Lichtstrahles sind in ihrem jeweiligen Eigensystem definiert und müssen deshalb vor ihrer Anwendung
durch eine Drehmatrix M̂R in das Bezugssystem transformiert werden.
- Drehmatrix:
1
M̂R χ
0
0
0
0
0
0 cos 2χ sin 2χ 0
sin 2χ cos 2χ 0
0
0
1
(A.4)
Da aus der Intensität am Detektor anschließend die Probeneigenschaften berechnet werden sollen, wird als Bezugssystem das Eigensystem der Probe gewählt. Es sind damit die folgenden
Schritte auszuführen (vgl. Abb. 12 S. 21):
1. Drehung des Stokes-Vektors S¯in in das Eigensystem der Probe: M̂R
2. Reflexion an der Probe: M̂S
3. Drehung in das Analysatorsystem (zeitabhängig): M̂R α t χ
A.1 Berechnung der Intensität am Detektor durch den Mueller-Matrizen-Formalismus
66
4. Transmission durch den Analysator: M̂A
5. Rückdrehung in das Probensystem: M̂R
α t
Der Stokes-Vektor am Detektor ist dann definiert durch :
S¯out
M̂R
α t M̂AM̂R α t M̂S M̂R
χ S¯in
(A.5)
Es gilt :
M̂R χ S¯in
I0 I0 P cos 2γ cos 2χ M̂S M̂R
χ S¯in
I0
I0 P cos 2γ sin 2χ I0 P sin 2γ r2p
rs2
2
1 P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ P sin 2γ sin ∆ sin 2Ψ P cos 2γ cos ∆ sin 2χ sin 2Ψ P cos ∆ sin 2γ sin 2Ψ
M̂R α t M̂S M̂R
P cos 2γ sin ∆ sin 2χ sin 2Ψ
χ S¯in
I0
r2p
(A.6)
rs2
2
1 P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ cos 2α t P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ sin 2α t P sin 2γ sin ∆ sin 2Ψ P cos 2γ cos ∆ sin 2χ sin 2Ψ cos 2α t P sin 2γ sin ∆ sin 2Ψ P cos 2γ cos ∆ sin 2χ sin 2Ψ sin 2α t P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ P cos ∆ sin 2γ sin 2Ψ
P cos 2γ sin ∆ sin 2χ sin 2Ψ
Die Intensität am Detektor wird durch die erste Komponente von S¯out beschrieben, so daß es
genügt, diese zu berechnen. Auf die abschließende Drehung durch M̂R α t kann verzichtet
werden, da sie die erste Komponente eines Stokes-Vektors unverändert läßt.
M̂A M̂R α t M̂S M̂R χ S¯in 1
r2p rs2 t p2 ts2 I0
1 P cos 2γ cos 2χ cos 2Ψ 2
2
cos 2α t P cos 2γ cos 2ψA cos 2χ cos 2ψA cos 2Ψ sin 2α t P cos 2ψA sin 2γ sin ∆ sin 2Ψ
I
S¯out1
P cos 2γ cos ∆ cos 2ψA sin 2χ sin 2Ψ (A.7)
A.2 Die ellipsometrischen Winkel ψ und ∆ als Funktion der normierten Fourierkoeffizienten c 2
und s2
67
A.2
Die ellipsometrischen Winkel ψ und ∆ als Funktion der normierten
Fourierkoeffizienten c2 und s2
Die aus einer ellipsometrischen Messung gewonnenen Meßgrößen sind die normierten Fourierkoeffizienten c2 und s2 (Gl. 3.1 S. 16, Gl. 3.20 S. 23):
P cos 2γ cos 2χ cos 2ψ
c2 cos 2ψA
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
(A.8)
sin ∆ sin 2γ cos ∆ cos 2γ sin 2χ
s2 P cos 2ψA sin 2ψ
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
Daraus werden die ellipsometrischen Winkel ψ und δ berechnet.
- tan ψ:
c2
c2
c2 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ cos 2ψA cos 2ψ
P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ c2 P cos 2γ cos 2χ cos 2ψA cos 2ψ
c2 P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ
cos 2ψ
c2 P cos 2γ cos 2χ cos 2ψA
1 cos 2ψ
1 cos 2ψ
mit tan ψ
tan ψ
c1 P cos 2γ cos 2χ
c2 P cos 2γ cos 2χ
tan ψ
tan ψ
tan ψ
- cos ∆:
cos 2ψA c2
cos 2ψA c2
P cos 2γ cos 2χ c2
P cos 2γ cos 2χ c2
c2
c2
P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ
P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ
cos 2ψA cos 2ψA c2
c2
cos 2ψA cos 2ψA cos 2ψA P cos 2γ cos 2χ 1
cos 2ψA P cos 2γ cos 2χ 1
cos 2ψA
cos 2ψA
c2
c2
(A.9)
1 P cos 2γ cos 2χ
1 P cos 2γ cos 2χ
s2
sin ∆ sin 2γ cos ∆ cos 2γ sin 2χ
P cos 2ψA sin 2ψ
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
(A.10)
Mit der Beziehung sin ∆
1
cos2 ∆ und der Substitution
a : s2
b 1 cos2 ∆ c cos ∆
P cos 2ψA sin 2ψ sin 2γ
b:
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
P cos 2ψA sin 2ψ cos 2γ sin 2χ
c:
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
x : cos ∆
(A.11)
A.2 Die ellipsometrischen Winkel ψ und ∆ als Funktion der normierten Fourierkoeffizienten c 2
und s2
68
erhält man aus Gleichung A.10:
a
b
b2 1
x2
x2 x2
0
1
a2
cx
b 1
c2 x2
cx
2c a a2 b2
x
b 2 c2
b 2 c2
1 4c2 a2
b 2 c2
4 b 2 c2 2
ca
1
c2 a 2
2
2
2
b c
b c2
ca
b b 2 c2 a 2
b 2 c2
b 2 c2
a2 b2
b 2 c2
x1 2
a
2c x a
ca
x1 2
x2
a2
(A.12)
b2 b2
c2 x
b b 2 c2
b 2 c2
ca
cos ∆
a2
Für b gilt mit A.9 :
b
P cos 2ψA sin 2γ 1 cos2 2ψ
1 P cos 2γ cos 2ψ cos 2χ
1
c2 P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ 2
c2 P cos 2γ cos 2χ cos 2ψA 2
A cos 2γ cos 2χ
P cos 2γ cos 2χ cc22 P Pcoscos2γ2ψ
cos 2χ cos 2ψA
P cos 2ψA sin 2γ
1
P cos 2ψA sin 2γ c2 P cos 2γ cos 2χ cos 2ψA 2 c2 P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ c2 P cos 2γ cos 2χ cos 2ψA P cos 2γ cos 2χ c2 P cos 2ψA cos 2γ cos 2χ P cos 2ψA sin 2γ
P sin 2γ
c22 P2 cos2 2γ cos2 2χ
cos 2ψA
c22 P2 cos2 2γ cos2 2χ
cos2 2ψA
b P sin 2γ
c22
P2 cos2 2ψA cos2 2γ cos2 2χ
P2 cos2 2γ cos2 2χ cos 2ψA
1
cos2 2ψA P2 cos2 2γ cos2 2χ
P2 cos2 2γ cos2 2χ
c22 cos2 2ψA
P2 cos2 2γ cos2 2χ
2
1
1
1
(A.13)
A.3 Bestimmung des Analysatorazimut α0
69
Zwischen b und c besteht der Zusammenhang:
b
sin 2γ
c
cos 2γ sin 2χ
(A.14)
Sei
c22 cos2 2ψA
P2 cos2 2γ cos2 2χ
Ω:
Φ : cos 2γ sin 2χ
2
2
cos ∆
A.3
(A.15)
1
sin 2γ
dann ergibt sich aus Gleichung A.13:
s2 cos 2γ sin 2χ
2
sin 2γ
P2 Ω 2
s22
PΩΦ
(A.16)
Bestimmung des Analysatorazimut α0
Wenn die Einfallsebene und die Polarisationsebene des einfallenden Lichtes zusammenfallen,
ist das von der Probe reflektierte Licht linear in der Einfallsebene polarisiert. Der Azimut des
Analysators (Abs. 4.2) ist nun durch die Lage des ersten Maximums der Intensität am Detektor
festgelegt, da in dieser Position die Einfallsebene und die Polarisationsebene des Analysators
übereinstimmen (Abb. 43). Der Intensitätsverlauf am Detektor ist gegeben durch:
I I0 1 c2 cos 2α s2 sin 2α (A.17)
Die Positionen mit einem relativen Extremum in der Intensität sind gegeben durch die Nullstellen der ersten Ableitung:
0: I
I0
2c2 sin 2α 2s2 cos 2α c2 sin 2α s2 cos 2α
(A.18)
s2
1
s2
tan 2α
bzw. α
arctan
c2
2
c2
Die periodische Lösung kann in zwei Fälle aufgespalten werden:
1. Fall :
S2
C2
2. Fall :
S2
C2
0
0
0
45
α
n 90
n 90
45
α
0
0
n ε Z
n 90
Die Bedingung für ein Maximum lautet:
0 I I 0 I0
4c2 cos 2α I
c2 cos 2α I 0 s2 sin 2α I 0
n 90
n ε Z
4s2 sin 2α I
0
(A.19)
Für die Positionen der Maxima lassen sich in Abhängigkeit vom Vorzeichen der Fourierkoeffizienten 4 Fälle unterscheiden:
A.3 Bestimmung des Analysatorazimut α0
Iα
70
I0
PSfrag replacements
α0
0
90
180
αt
270
Abbildung 43: Intensität am Detektor. Fallen Einfallsebene und Polarisationsebene des einfallenden Lichtes zu-
sammen, ist das von der Probe reflektierte Licht in der Einfallsebene linear polarisiert. Der Azimut α 0 des Analysators ist dann durch die Lage des ersten Maximums der Intensität am Detektor festgelegt
1. Fall : 0
c 2 s2
0
c 2 s2
90
2. Fall : 0
0
s2
45
0
c2
45
0
n 180
90
α0
n 180
n 180
135
α0
n 180
45
α0
4. Fall : s2
n 180
3. Fall : c2
α0
n 180
n 180
n 180
Gesucht wird das erste Maximum. Wird als Lösung der Funktion arctan s 2 c2 der vom Betrag
her kleinste Wert benutzt, ergeben sich die Positionen des ersten Maximus und damit α 0 für die
4 Fälle durch:
1. Fall : 0
2. Fall : 0
3. Fall : c2
4. Fall : s2
c 2 s2
α0
S2
1
2 arctan C2
c 2 s2
α0
S2
1
2 arctan C2
0
0
s2
α0
S2
1
2 arctan C2
c2
α0
S2
1
2 arctan C2
90
90
71
B Kramers-Kronig-Relation
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR)
B.1.1
Allgemeine Formulierung einer Dispersionsbeziehung
Allgemein läßt sich eine sogenannte Dispersionsbeziehung zwischen zwei reellen Größen formulieren, die ein lineares, zeitunabhängiges und kausales System bilden. Betrachtet man ein lineares System aus einer den Systemzustand charakterisierenden Funktion Z und einer Anregung
E, dann kann man dieses beschreiben durch [61]:
∞
Z r t ∞
∞
G r r t t E r t dr dt
∞
(B.1)
Die Gewichtsfunktion G muß ebenfalls eine reelle Größe sein und entspricht einer Greenschen
Funktion. Fordert man nun, daß die Gewichtsfunktion zeit- und ortsunabhängig ist, dann sind
lediglich die Differenzen von r und r sowie t und t relevant. Es gilt:
Z r t ∞
∞
∞
Gr
∞
rt
t E r t dr dt
(B.2)
Wird weiter gefordert, daß die Anregung in einem Punkt nicht von seiner Umgebung abhängig
ist, also das System lokal im Ort ist, dann erhält man die Beziehung 6 :
∞
Z r t ∞
Gt
t E r t dt
(B.3)
Ein solches System erfüllt nun auch das Superpositionsprinzip. Der Faltungssatz für FourierIntegrale [62] besagt, daß Gl. B.3 in der Fourierdarstellung die folgende Form annimmt, in der
die Funktionen z r ω ,e r ω und g ω die jeweils fouriertransformierten Größen Z r t , E r t und G t t sind:
z r ω g ω e r ω
∞
(B.4)
g ω
G τ eiωτ dτ mit τ : t t
∞
Soll es sich um einen physikalischen Zusammenhang handeln, muß zusätzlich noch die Kausalität gefordert werden. Die Gewichtsfunktion G t t verschwindet also für t
t bzw. für τ 0.
g ω
0
∞
G τ eiωt dτ
(B.5)
ω
(B.6)
Da G τ eine reelle Größe ist, gilt mit Gl. B.5:
g ω
6 Die
g
Ortsunabhängigkeit und die Lokalität im Ort ist nicht zwingend notwendig, soll an dieser Stelle aber zur
Vereinfachung angenommen werden.
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR)
72
Wenn nach weiteren Aussagen über die Eigenschaften von g ω gesucht wird, ist es zweckmäßig,
ω als eine komplexe Größe ω ω1 iω2 zu betrachten. Für Gl. B.5 und deren erste Ableitung
gilt dann:
∞
G τ eiω1 τ e
g ω1
dg
dω
iω2 0
ω1 iω2
∞
i τ G τ eiω1 τ e
0
ω2 τ
dτ
ω2 τ
(B.7)
dτ
0 für τ ∞, da
Die erste Ableitung von g ω existiert (ist endlich) für alle ω2 0, wenn G τ
ω
τ
7
2
e
0 für
schneller gegen 0 strebt als der Faktor i τ gegen Unendlich . Die Bedingung „ G τ
τ ∞“ beinhaltet die physikalische Forderung, daß nur endlich lang zurückliegende Anregungen
den momentanen Systemzustand beeinflussen können. Es muß sich also um ein stabiles System
handeln. Aus dieser Betrachtung folgt, daß g ω in der gesamten oberen komplexen Halbebene
eine analytische Funktion ist. Für eine geschlossene Kurve K um einen Punkt ω in einem einfach
zusammenhängenden Gebiet gilt für analytische Funktionen die Cauchysche Integralformel [62]:
1
gω
(B.8)
dω
g ω
2πi K ω ω
Wird für einen Punkt ω auf der reellen Achse der Integrationsweg wie in Abb. 44 gewählt, dann
erhält man für g ω :
g ω
1
2πi
1
2πi gω
dω
ω
K ω
gω
1
dω
ω ω
2πi gω
dω
ω ω
(B.9)
Das Integral über den oberen Halbkreis verschwindet für R
∞, wenn g ω
0 für ω
∞.
Ist dies nicht der Fall, und strebt g ω z.B. gegen g0 für ω
∞, dann kann an Stelle von g ω
auch die Differenz g ω g0 betrachtet werden8 . Dies führt zu den sogenannten subtrahierten Dispersionsbeziehungen [63]. Die Forderung g ω
0 für ω ∞ ist identisch mit der Bedingung
G τ
0 für τ 0 (G τ 0 für τ 0) und läßt sich so physikalisch verstehen, daß das System
erst nach einer endlich kleinen Zeit auf eine Anregung reagiert und damit auch nur Anregungen mit einer endlichen Frequenz folgen kann. Es muß also ein träges System (Inertialsystem)
betrachtet werden. Diese Bedingung wird durch physikalische Zusammenhänge erfüllt, da diese
allgemein keine Fernwirkung zulassen.
Das Integral entlang der reellen Achse läßt sich zerlegen in ein Hauptwert-Integral und ein
Integral 0∞x τ eiω1 τ konvergiert gegen einen endlichen Wert, wenn x τ
0 für τ
8 Ergibt das Integral über den oberen Halbkreis einen Ausdruck der Form g
0 g1 ω auch g0 g1 ω subtrahiert werden
7 Das
∞
, dann kann anstatt g0
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR)
73
ω2
K
PSfrag replacements
∞
R
ω
ω1
Abbildung 44: Integrationsweg K, zusammengesetzt aus einem Halbkreis im Unendlichen der oberen komplexen
Halbebene, der reellen Achse von ∞ bis ∞ und einem infinitesimal kleinen Halbkreis um die Polstelle bei ω
Integral über einen infinitesimal kleinen Halbkreis um die Polstelle bei ω.
g ω
1
2πi 1
P
2πi
gω
dω
ω ω
P
∞
∞
gω
dω
ω ω
∞
∞
gω
dω
ω ω
ω ε
lim
ε
0
∞
gω
dω
ω ω
1
2πi gω
dω
ω ω
(B.10)
∞
ω
gω
dω
ω
εω
Der Wert des Integrals über den infinitesimalen Halbkreis um ω ergibt sich durch die Substitution
ω ω ρ eiϕ , dω iρ eiϕ dϕ:
1
2πi gω
dω
ω ω
0g
1
lim
ρ 0 2πi
g ω
2π
π
ρ eiϕ ω iρ eiϕ
dϕ
ρ eiϕ
g ω
2
0
dϕ
π
(B.11)
Aus Gl. B.10 und Gl. B.11 folgt:
g ω
1
P
iπ
∞
∞
gω
dω
ω ω
(B.12)
Diese lineare Beziehung verknüpft nun den Real- und Imaginärteil der fouriertransformierten
Gewichtsfunktion:
∞ Im g ω 1
Re g ω P
dω
π
ω
ω
∞
(B.13)
∞ Re g ω 1
P
dω
Im g ω π
ω ω
∞
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR)
Aus Gl: B.6 folgt:
74
Re g ω Re g ω (B.14)
Im g ω Im g ω Damit lassen sich die Beziehungen aus Gl. B.13 als Integrale über ausschließlich positive Frequenzen schreiben, und man erhält eine physikalisch interpretierbare Form:
Re g ω
Im g ω
∞
2
P
π 0
2ω
P
π
ω
ω
ω2
1
2
∞
Im g ω dω
(B.15)
Re g ω dω
ω 2 ω2
Dies sind die sogenannten Dispersionsbeziehungen, die in ihrer allgemeineren Formulierung als
subtrahierte Dispersionsbeziehungen lauten:
0
Re g ω
g0 Im g ω
g0 2
P
π 0
2ω
P
π
∞
ω
ω
0
∞
ω2
1
2
ω2
Im g ω ω2
g0 dω
(B.16)
Re g ω g0 dω
Zur Herleitung der Dispersionsbeziehung wurde schließlich benutzt:
ein lineares System reeller Größen
zeitunabhängig (und ortsunabhängig)
(lokal im Ort)
kausal, G τ
0 für τ
inertial, G τ
stabil, G τ
B.1.2
0 für τ
0 für τ
0
0
∞
Übertragung der Dispersionsbeziehung auf Größen der Elektrodynamik (KKR)
Alle Phänomene der Elektrodynamik werden durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben:
∂B¯
∇ D¯ ρ
∂t
(B.17)
∂D¯
∇ B¯ 0
¯
¯
∇ H J
∂t
¯
Die darin auftretenden Größen E (elektrisches Feld), D¯(dielektrische Verschiebung), B¯(magnetische Induktion), H¯(magnetisches Feld) und J¯(Stromdichte) sind durch die Materialgleichungen
bzw. durch das verallgemeinerte Ohm´sche Gesetz miteinander verknüpft:
∇ E¯
D¯ D¯ E¯ B¯
H¯ H¯ E¯ B¯
J¯ J¯E¯ B¯
(B.18)
B.1 Theoretische Grundlagen der Kramers-Kronig Relation (KKR)
Gτ
75
τ
PSfrag replacements
Abbildung 45: Beispiel einer Gewichtsfunktion, die ein reelles, lineares System definiert, das kausal, inertial und
stabil ist
In den meisten Materialien können nach einer Multipolentwicklung der Ladungsverteilung die
elektrische Quadrupoldichte und alle Beiträge höherer Ordnung vernachlässigt werden. Das Feld
der Ladungsverteilung wird dann bei Anwesenheit äußerer Felder durch die elektrische Dipoldichte (elektrische Polarisation) P bestimmt. Die erste Materialgleichung (Gl. B.18) erhält in der
Fourierdarstellung üblicherweise die Form:
ε0 E¯ω P¯E¯ω ω
ε0 1 χe ω E¯ω ε0 εr ω E¯ω
D¯ ω
ε ω E¯ω
(B.19)
ε bzw. εr (dielektrische Funktion) und die elektrische Suszeptibilität χe sind in der Fourierdarstellung komplexe Skalare oder in anisotropen Materialien auch komplexe Tensoren.
¯ Beide Größen sind reell und bilden ein System,
D¯ ist damit eine lineare Funktion von E.
das zeitunabhängig, inertial und kausal ist. Wenn keine freien Ladungsträger existieren, und die
Absorption einen von 0 verschiedenen Wert hat (gedämpftes System), relaxiert jede Ladungsverteilung nach dem Verschwinden des äußeren Feldes in einer endlichen Zeit wieder in die
ursprüngliche nach außen neutrale Konfiguration. Das so definierte System aus D¯ und E¯erfüllt
alle für die Herleitung der Dispersionsbeziehung notwendigen Bedingungen. Der Real- und der
Imaginärteil der dielektrischen Funktion sind also durch die im vorherigen Abschnitt hergeleiteten Beziehungen (Gl. B.16) miteinander verknüpft.
Re ε ω
Im ε ω
ε0 ε0 2
P
π 0
2ω
P
π
∞
ω
ω
0
∞
2
ω2
ω2
1
Im ε ω ω2
ε0 dω
(B.20)
Re ε ω ε0 dω
B.2 Dispersionsmodelle
76
Die Struktur von Gl. B.19 bedingt, daß es sich um eine subtrahierte Dispersionsbeziehung handelt, da ε ω
ε0 für ω
∞. Üblicherweise wird die dimensionslose Größe εr ω betrachtet
und als dielektrische Funktion bezeichnet. Wird Gl. B.20 durch die elektrische Feldkonstante ε0
geteilt, dann erhält man mit εr ω : ε1 ω iε2 ω die Beziehung:
ε1 ω ε2 ω 1
2
P
π
2ω
P
π
0
∞
ω
ω
1
0
∞
ω2
2
ω2
ε2 ω dω
ω2
ε1 ω 1 dω
(B.21)
Dies sind die von R.L. Kronig (1926) [64] und H.A.Kramers (1927) hergeleiteten KramersKronig-Relationen.
B.2 Dispersionsmodelle
In diesem Abschnitt soll an zwei einfachen Modellen das Verhalten der dielektrischen Funktion
und die Anwendbarkeit der KKR diskutiert werden. Im Lorenz-Modell wird ein Dielektrikum als
Summe verschiedener harmonischer Oszillatoren beschrieben, die für die unabhängigen Dipolübergänge von Anregungszuständen eine gute Näherung sind. Zusätzliche freie Ladungsträger
bzw. Leiter werden durch das Drude-Modell beschrieben. Komplexere Systeme, wie man sie im
Festkörper findet, müssen bei einer genaueren Betrachtung durch ein quantenmechanisches Modell dargestellt werden. Das grundsätzliche Verhalten der meisten Materialien wird jedoch durch
das Lorenz-Modell in Kombination mit dem Drude-Modell sehr gut wiedergegeben, so daß die
Anwendbarkeit der KKR an diesen beiden Modellen untersucht werden kann.
B.2.1
Der harmonische Oszillator (Lorenz-Modell)
Das Oszillatormodell bedient sich einer rein klassischen Beschreibung. Es wird die Auslenkung
eines Elektrons gegenüber dem Atomkern in der Form eines harmonischen Oszillators betrachtet.
Mit einer äußeren Anregung durch ein periodisches E-Feld E t E0 eiωt lautet die Bewegungsgleichung dann:
d2x dx m 2 mγ
Dx eE0 eiωt eE ω
(B.22)
dt
dt
m ist die effektive Masse des Elektrons, γ ein Dämpfungsfaktor und D die Rückstellkraft. Das
aus der Auslenkung resultierende Dipolmoment ist gegeben durch:
p : ex
(B.23)
Für N Atome in einem Volumen V ist die elektrische Dipoldichte (Polarisation) gegeben durch:
P:
N
ex
V
(B.24)
Die Verallgemeinerung vom Dipolmoment eines einzelnen Atoms zu einer Dipoldichte eines
makroskopischen Vielteilchensystems ist in dieser Form nur möglich, wenn die Störung des
B.2 Dispersionsmodelle
77
äußeren Feldes am Ort eines einzelnen Atoms durch seine Nachbarn vernachlässigt werden kann.
Gerade in Festkörpern, in denen die Atome sehr dicht beieinander liegen, ist diese Näherung nur
bedingt möglich.
Mit dem Lösungsansatz x x0 ei ωt φ für die Differentialgleichung B.22 und ω20 : D m gilt:
x ω20
ω2
N e2
V m ω20
P ω
e
E ω
m
iγω 1
ω2
iγω
(B.25)
E ω
Ein Koeffizientenvergleich mit Gl. B.19 ergibt dann:
εr ω Mit der Plasmafrequenz ω2p :
(Abb. 46):
ε1 ω 1
Ne2 εr ω ω2p ω20
ω20
ω2 1
ω20
V mε0 1
2
(B.26)
iγω
[61, 15] erhält man schließlich den Ausdruck
ω2p
ω20
ω2 Ne2
V mε0
ω2
γ2 ω2
ω2
iγω
, ε2 ω (B.27)
ω2p γ
ω20
ω2 2
γ2 ω2
Die auf diese Weise definierte Dispersion bzw. dielektrische Funktion eines harmonischen Oszillators erfüllt alle Forderungen, die zur Formulierung der KKR zwischen Real- und Imaginärteil
notwendig sind.
linear, zeitunabhängig, kausal
inertial, εr ω
1
εr ω 1
0 für ω
∞
stabil, εr ω hat keine Polstellen in der oberen komplexen ω-Halbebene
Der Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion eines harmonischen Oszillators sind also
durch die KKR Gl. B.21 verknüpft.
Befinden sich in einem Volumen V N Atome oder Moleküle mit insgesamt Z Elektronen, und
wird angenommen, daß die Elektronen unterschiedlich an die Atome gebunden sind, dann kann
die Dispersion durch eine Linearkombination verschiedener harmonischer Oszillatoren beschrieben werden (Abb. 47). Daraus folgt die Drude´sche Formel:
εr ω 1
ω2p ∑ f j
j
ω2j
1
ω2
iγ j ω
(B.28)
Die Oszillatorstärken fi müssen dem Summensatz genügen:
∑ fj
j
Z
(B.29)
B.2 Dispersionsmodelle
78
ε1 ω ε 2 ω
ε2
ε1
ε1 0
ε∞
PSfrag replacements
1
ε∞
0
ωp
ω0
0
ω
Abbildung 46: Dielektrische Funktion eines einzelnen harmonischen Oszillators. Auf der ω-Achse sind markiert
die Eigenfrequenz des Oszillators, also die Stelle an der ε1 1 bzw. ε2 sein Maximum besitzt, und ω p . Außerdem
ist auf der ε-Achse ε1 0 1 ω2p ω20 und ε∞ 1 angetragen.
In Abbildung 48 wird das Ergebnis einer numerischen Berechnung von ε1 bzw. ε2 durch die
KKR aus der dielektrischen Funktion zweier harmonischer Oszillatoren und Probleme, die sich
aus der endlichen Stützstellenanzahl sowie dem endlichen Integrationsbereich ergeben, dargestellt.
B.2 Dispersionsmodelle
79
ε1 ω ε 2 ω
ε1 0
ε2
ε1
PSfrag replacements
0
0
ω1
ω
ω2
Abbildung 47: Dielektrische Funktion zweier harmonischer Oszillatoren. Auf der ω-Achse sind wieder die Eigenfrequenzen der Oszillatoren und auf der ε-Achse ε1 0
1 ∑i ω2p ω2i angetragen.
B.2 Dispersionsmodelle
80
ε2
ε1 ω ε 2 ω
ε1
PSfrag replacements
ω
Abbildung 48: Dielektrische Funktion (--------) zweier dicht beieinander liegender harmonischer Oszillatoren. Die
jeweils aus ε1 bzw. ε2 durch die KKR berechneten Kurven (- - -) zeigen im Bereich von lokalen Maxima bzw. Minima Abweichungen, die durch die endliche Anzahl an Stützstellen bei der numerischen Integration hervorgerufen
werden. Außerdem ergeben sich für das aus ε1 berechnete ε2 im oberen und unteren Frequenzabschnitt zunehmende Differenzen. Verursacht werden diese Abweichungen durch den beschränkten Integrationsbereich (dargestellter
Frequenzbereich). Dieser Fehler kann durch einen erweiterten Integrationsbereich oder eine Extrapolation von ε 1
verringert werden.
B.2 Dispersionsmodelle
81
ε1 ω ε 2 ω
ε2
0
ε1
PSfrag replacements
0
ωp
ω
Abbildung 49: Dielektrische Funktion des freien Elektronengases.
B.2.2
Das freie Elektronengas (Drude-Modell)
Das Modell des freien Elektronengases unterscheidet sich vom Oszillatormodell (Gl. B.22) durch
das Fehlen einer Rückstellkraft (D 0). Die Bewegungsgleichung lautet dann:
m
d2x dx
mγ
2
dt
dt
eE0 eiωt
eE ω
(B.30)
Aus dem Lösungsansatz für die Differentialgleichung B.30 läßt sich nun, wie beim Modell
des harmonischen Oszillators, die dielektrische Funktion für das freie Elektronengas herleiten
(Abb. 49). Dazu wird der Verschiebung der Elektronen wieder eine entsprechende Polarisation
zugeordnet.
iω2p
εr ω 1
γω iω2
(B.31)
ω2p
ω2p γ
ε1 ω 1
, ε2 ω ω2 γ
ω3 γ2 ω
Betrachtet man den stationären Fall ω
0 und t
∞, dann ergibt sich aus Gl. B.30 die Bezie-
B.3 Anwendungen der KKR
82
hung:
dx
dt
e
E0
mγ
Durch Multiplikation mit der Elektronenkonzentration n : N V und mit der Elementarladung e
erhält man daraus das Ohm´sche Gesetz:
ne2
E0
mγ
σ0 E0
ne
dx
dt
J
(B.32)
Darin ist σ0 ne2 mγ die Leitfähigkeit. Aus dem Ohm´schen Gesetz (Gl. B.32) folgt für die zu ε
gehörige Funktion G t , daß G t σ0 für t ∞. Damit ist eine Forderung, die zur Formulierung
der KKR für die dielektrische Funktion εr des freien Elektronengases notwendig ist, nicht erfüllt.
Benutzt man anstelle von G t die Funktion G t σ0 bzw. die fuoriertransformierte Funktion
εr iσ0 ω, sind alle Forderungen erfüllt. Der Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion
des freien Elektronengases wird also durch eine modifizierte KKR verknüpft [65]:
ε1 ω ε2 ω 2
P
π
1
2ω
P
π
0
∞
∞
ω
ω
1
ω2
0
ε2
ω
ω2
ε1 ω 2
ω2
σ0
dω
ω
1 dω
σ0
ω
(B.33)
Aus den Betrachtungen zum freien Elektronengas wird ersichtlich, daß bei Anwesenheit freier Ladungsträger eine Korrektur der KKR notwendig wird (Abb. 50). Diese ist proportional zur
Leitfähigkeit bzw. umgekehrt proportional zur Frequenz. Für große Frequenzen (Frequenzen
weit oberhalb aller Resonanzfrequenzen) verschwindet der Korrektursummand, und die dielektrische Funktion aus dem Drude-Modell sowie aus dem Lorenz-Modell erhalten die einfache
Form:
ω2p
(B.34)
εr ω 1
ω2
B.3 Anwendungen der KKR
B.3.1
Reflektivität und dielektrische Funktion
Neben der dielektrischen Funktion werden zur Beschreibung der optischen Eigenschaften eines
Mediums die komplexe Reflektivität für senkrechten Lichteinfall R̃ ReiΘ bzw. der komple
xe Brechungsindex ñ n ik (n Brechungsindex, k Absorptionskoeffizient) verwendet. In Abbildung 51 ist die Reflektivität eines harmonischen Oszillators zusammen mit der zugehörigen
dielektrischen Funktion dargestellt.
ε1
R
n 1
n 1
2
2
n2
k2
k2
k2
Θ
ε2
arctan
2nk
n2
2k
k2 1
(B.35)
B.3 Anwendungen der KKR
83
ε1 ω ε 2 ω
ε2
0
PSfrag replacements
ε1
0
ω
Abbildung 50: Dielektrische Funktion des freien Elektronengases (--------). Aus ε1 wurde ε2 einmal ohne ( - -)
und einmal mit (- - -) Berücksichtigung der Leitfähigkeit in der KKR berechnet.
Wie für die dielektrische Funktion können auch für die Größen ñ und R̃ Dispersionsbeziehungen
formuliert werden [61, 66]. Besonders wichtig für die praktische Anwendung der KKR ist die
Beziehung:
∞ ln R ω ω
Θ ω
P
dω
(B.36)
π 0 ω 2 ω2
Mit deren Hilfe ist es möglich, aus der Reflektivität R die Phase der komplexen Reflektivität
zu bestimmen und daraus dann die dielektrische Funktion εr bzw. n und k zu berechnen. Auch
hier tritt wieder das Problem auf, daß für eine exakte Berechnung von Θ die Reflektivität im
gesamten Spektrum bekannt sein muß. Im Gegensatz zur KKR zwischen Real- und Imaginärteil
der dielektrischen Funktion ist die Berechnung Θ aus der Reflektivität durch den Logarithmus
in Gl. B.36 stark abhängig von dem Verhalten von R außerhalb des betrachteten Bereiches [66]
(Abb. 52). R muß also in den meisten Fällen geeignet extrapoliert werden.
Das Verhalten der dielektrischen Funktion oberhalb der Plasmafrequenz ω p bzw. oberhalb
der größten Resonanzfrequenz wird, wie im vorherigen Abschnitt dargelegt, im Drude- und im
Lorenz-Modell beschrieben durch Gl. B.34. Für die Reflektivität R folgt damit näherungsweise:
R
ω4p
ω4
B.3 Anwendungen der KKR
84
ε2
ε1 ω ε 2 ω
PSfrag replacements
0
0
Reflektivität (%)
Reflektivität
ε1
0
ωp
ω0
ω
Abbildung 51: Dielektrische Funktion und Reflektivität eines harmonischen Oszillators.
Als mögliche Extrapolationsfunktion wird deshalb häufig die Funktion
R
Rmax
ω4max
ω4
bzw.
R
Rmax
ωmax
ω
p
(B.37)
verwendet (Abb. 53).
B.3.2
Summenregeln
Da ε2 oberhalb der letzten Anregungsfrequenz vergleichsweise schnell gegen Null geht, kann
bei der Berechnung von ε1 aus ε2 durch die KKR die Integration ab einem Wert ωu abgebrochen
werden:
ωu
2
ω
ε1 ω 1
P
ε2 ω dω
2
π 0 ω
ω2
Betrachtet man nur Frequenzen ω
ωu , dann gilt näherungsweise:
ε1 ω Außerdem gilt für ω
1
ωu
2
πω2
0
ω ε2 ω dω
ωu (Gl. B.34)
εr ω 1
ω2p
ω2
(B.38)
B.3 Anwendungen der KKR
85
ε1 ω ε 2 ω
ε2
ε2
0
ε1
PSfrag replacements
ε1
0
ω0
ωp
ω
Abbildung 52: Dielektrische Funktion (--------) des harmonischen Oszillators aus Abb.51 und die aus der zugehörigen Reflektivität des in Abb. 51 dargestellten Energieintervalles berechnete (- - -) dielektrische Funktion. Es zeigt
sich, daß der beschränkte Integrationsbereich nicht ausreicht, um aus der Reflektivität den Real- und Imaginärteil
der dielektrischen Funktion durch die KKR zu berechnen.
Aus Gl. B.38 und Gl. B.34 ergibt sich dann:
ωu
0
π 2
ω
2 p
ω ε2 ω dω
1 n e2
2 m ε0
Darin ist m die freie Elektronenmasse und n die Dichte der Valenzelektronen. Die Valenzelektronendichte n kann aufgespalten werden in eine Atomdichte n at und die Anzahl der Valenzelektronen pro Atom Ne f f . Damit erhält man die Summenregel:
ωu
0
1 nat e2
Ne f f
2 m ε0
ω ε2 ω dω
(B.39)
Diese Beziehung stellt eine direkte Verknüpfung der Valenzelektronendichte mit den optischen
Eigenschaften dar und bietet z. B. die Möglichkeit, die Existenz von weiteren Absorptionsbanden
oberhalb von ωu zu verifizieren. Eine andere Summenregel ergibt sich für ω 0:
ε 0
ε1 0 1
2
π
0
∞ε
ω
dω
ω
2
(B.40)
B.3 Anwendungen der KKR
86
ε1 ω ε 2 ω
ε2
0
PSfrag replacements
ε1
ωp
ω0
0
ω
Abbildung 53: Dielektrische Funktion (--------) des harmonischen Oszillators aus Abb.51, (- - -) dielektrische Funk-
tion berechnet aus der in Abb. 51 dargestellten Reflektivität, die durch R Rmax ω4max ω4 extrapoliert wurde. Die
Abweichungen im Bereich von ω0 können durch eine ausgedehntere Extrapolation weiter ausgeglichen werden. Die
Abweichungen in der Nähe von ω 0 sind auf die endliche Anzahl von Stützstellen zurückzuführen.
Durch diese Beziehung wird der Imaginärteil der Dielektrischen Funktion mit dem Wert des
Realteils für ω
verknüpft und erlaubt damit ebenfalls einen Überprüfung der Existenz von
weiteren Absorptionsbanden.
B.3.3
Numerische Berechnung des Hauptwertintegrales
Zur Berechnung z.B. des Phasenwinkels Θ aus der Reflektivität R muß das Hauptwertintegral
Θ ω
ω
P
π
∞ ln 0
ω
Rω
ω2
2
dω
(B.41)
gelöst werden. Dieses läßt sich umformen in den numerisch lösbaren Ausdruck
Θ ω
1
2π
ωe
ωa
d
ln R ω dω
ω
ln
ω
ω
ω
dω
(B.42)
B.3 Anwendungen der KKR
87
da [62]
1
ω
und
d
dω
ω2
2
d
lim
ω ω dω
ω
ln
ω
ω
ln
ω
ω
ω
ω
ω
(B.43)
0
(B.44)
Die Annahme von endlichen Integrationsgrenzen stellt eine bereits in den vorherigen Abschnitten
diskutierte Näherung dar. Für eine bestimmte Stützstellenanzahl z gilt dann:
i
1 i
z : Θ ω j
1 z
di di
ln R ωi ∑
2π i 1
2
i
1 : Θ ω j
i
z : Θ ω j
1
di di
ln R ωi ∑
2π i 1
2
1 z
ln R ωi di ωi
2π i∑1
ln
di
Für ωi
ω j und ωi
1
ω j ist di
0.
1
ωi
1
2
z
ωi
1 ωi ω j ωi
ωi ω j ωi
ωi
ωi
1
1
1
ωj
ωj
1
ωi
ωi
1
1
ωi (B.45)
LITERATUR
88
Literatur
[1] A. R. V ERMA and P. K RISHNA: Polymorphism and polytypism in crystals. John Wiley
and Sons, New York, 1966.
[2] J. W. PALMOUR, J. A. E DMOND, H. S. KONG, and C.H. C ARTER J R .: 6H-silicon carbide
devices and applications. Physica B, 185:461–465, 1993.
[3] J. E DMOND, H. KONG, A. S OVOROV, D. WALTZ, and C. C ARTER: 6H-silicon carbide
light emitting diods and UV photodiodes. Phys. Stat. Sol. A, 162:481–491, 1997.
[4] J. A. E DMOND, H. KONG, and C. H. C ARTER: Blue LEDs, UV photodiodes and hightemperature rectifiers in 6H-SiC. Physica B, 185:453–460, 1993.
[5] R. F. DAVIS: Thin films and devices of diamond, silicon carbide and gallium nitride. Physica B, 185:1–15, 1993.
[6] S. L OGOTHETIDIS , H. M. P OLATOGLOU, J. P ETALAS, D. F UCHS, and R. L. J OHNSON:
Investigation of the electronic transitions of cubic SiC. Physica B, 185:389–393, 1993.
[7] S. L OGOTHETIDIS and J. P ETALAS: Dielectric function and reflectivity of 3C-silicon carbide and the component perpendicular to the c axis of 6H-silicon carbid in the energy
region 1.5-9.5 eV. J. Appl. Phys., 80:1768–1772, 1996.
[8] P. D RUDE: Ueber die Gesetze der Reflexion und Brechung des Lichtes an der Grenze absorbirender Krystalle. Ann. Phys., 32:584–625, 1887.
[9] P. D RUDE: Bestimmung der optischen Constanten der Metalle. Ann. Phys., 39:481–540,
1890.
[10] D. E. A SPNES and A. A. S TUDNA: High precision scanning ellipsometer. Applied Optics,
14 (1):220–228, 1975.
[11] C. C OBET: Besonderheiten der Ellipsometrie im Vakuum-Ultraviolett-Spektralbereich. Bericht zum Laborpraktikum, Inst. f. Festkörperphysik, TU Berlin, 1998.
[12] N. W. J EPPS and T. F. PAGE: Polytypic transformations in silicon carbide. Progr. Cryst.
Growth Charact., 7:259–301, 1983.
[13] L. S. R AMSDELL: Studies on silicon carbide. Am. Mineralogist, 32:64–82, 1947.
[14] P. K RISHNA: Crystal Growth and Characterisation of Polytype Structurs. Pergamon Ress,
Oxford, 1983.
[15] P. Y. Y U and M. C ARDONA: Fundamentals of Semiconductors. Springer-Verlag, Berlin,
1996.
LITERATUR
89
[16] F. B ECHSTEDT, P. K ÄCKELL, A. Z YWIETZ, K. K ARCH, B. A DOLPH, K. T ENELSEN,
and J. F URTHMÜLLER: Polytypism and properties of silicon carbide. Phys. Stat. Sol. B,
202:35–62, 1997.
[17] W. R. L. L AMBRECHT, S. L IMPIJUMNONG, S. N. R ASHKEEV, and B. S EGALL: Electronic band structure of SiC polytypes: A discussion of theory and experiment. Phys. Stat.
Sol. B, 202:5–33, 1997.
[18] G. W ELLENHOFER and U. R ÖSSLER: Global band structure and near-band-edge states.
Phys. Stat. Sol. B, 202:107–123, 1997.
[19] W. H. BACKES, P. A. B OBBERT , and W. VAN H AERING: Plasmon and quasiparticle band
structures in β-SiC. Phys. Rev. B, 51 (8):4950–4952, 1995.
[20] V. I. G AVRILENKO, S. I. F ROLOV, and N. I. K LYUI: Electronic band structure and optical
properties of cubic silicon carbide crysals. Physica B, 185:394–399, 1993.
[21] M. ROHLFING, P. K RÜGER, and J. P OLLMANN: Quasiparticel band-structure calculations for C, Si, Ge, GaAs and SiC using Gaussian-orbital basis sets. Phys. Rev. B, 48
(24):17791–17805, 1993.
[22] C. P ERSSON and U. L INDEFELT: Relativistic band structure calculation of cubic and
hexagonal SiC polytypes. J. Appl. Phys., 82 (11):5496–5508, 1997.
[23] G. L. H ARRIS: Properties of Silicon Carbide. INSPEC, London, 1995.
[24] W. R. L. L AMBRECHT, B. S EGALL, W. S UTTROP, M. YOGANATHAN, P. DAVATY, W. J.
C HOYKE, J. A. E DMOND, J. A. P OWELL, and M. A LOUANI: Optical reflectivity of 3C
and 4H-SiC polytypes: Theory and experiment. Appl. Phys. Lett., 63 (20):2747–2749,
1993.
[25] B. W ENZIEN, P. K ÄCKELL, F. B ECHSTEDT, and G. C APPELLINI: Quasiparticle band
structure of silicon carbide polytypes. Phys. Rev. B, 52 (15):10897–10905, 1995.
[26] J. P ETALAS, S. L OGOTHETIDIS , M. G IOTI, and C. JANNOWITZ: Optical properties and
temperature dependence of the interband transitions of 3C- and 6H-SiC in the energy region
5-10 eV. Phys. Stat. Sol. B, 209:499–521, 1998.
[27] G. S TOKES. Trans. Cambridge Phil. Soc., 9:399, 1852. [47].
[28] A. R ÖSELER : Infrared spectroscopic ellipsometry. Akademie-Verlag, Berlin, 1990.
[29] O. G ÜNTHER: Kritische Punkte in der elektronischen dielektrischen Funktion von GaAs,
AlAs, und GaAs AlAs-Übergittern. Doktorarbeit, TU Berlin, 1995.
[30] R. M. A. A ZZAM and N. B.BASHARA: Ellipsometry and polarized light. North-Holland
Personal Library, Amsterdam, paperback edition, 1987.
LITERATUR
90
[31] H. M UELLER. J. Opt. Soc. Am., 38:661, 1948. [47].
[32] M. J. WALKER. Am. J. Phys., 22 (4):170, 1954. [47].
[33] J. BARTH, R. L. J OHNSON, and M.C ARDONA: Spectroscopic ellipsometry in the 6-35 eV
region. In E. D. PALIK (editor): Handbook of Optical Constants of Solids, volume II,
pages 213–246. Academic Press, 1991.
[34] W. R ICHTER U. ROSSOW: Spectroscopic ellipsometry. In Optical Characterization of
Epitaxial Semiconductor Layers, pages 68–128. Springer-Verlag.
[35] B. H ARBECKE, B. H EINZ, V. O FFERMANN, and W. T HEISS: Far-infrared spectroscopy.
In Optical Characterization of Epitaxial Semiconductor Layers, pages 68–128. SpringerVerlag.
[36] D. A. G. B RUGGEMANN: Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. Ann. Phys. (Leipzig), 24:636–679, 1935.
[37] D. E. A SPNES, J. B. T HEETEN, and F. H OTTIER: Investigation of effektive-medium models
of surface roughness by spectroscopic ellipsometry. Phys. Rev. B, 20 (8):3292–3302, 1979.
[38] E. G ORGES, P. G ROSSE, and W. T HEISS: The Kramers-Kronig-Relation of effektive dielectric functions. Z. Phys. B, 97:49–54, 1997.
[39] R. L. J OHNSON, J. BARTH, M.C ARDONA, D. F UCHS, and A. M. B RADSHAW: Design
and performance of a VUV ellipsometer. Nucl. Instr. Meth. Phys Res. A., 290:606–612,
1990.
[40] M. K RUMREY, E. T EGELER, J. BARTH, M. K RISCH, F. S CHÄFERS, and R. W OLF: Schottky type photodiodes as detectors in the VUV and soft x-ray range. Applied Optics, 27
(20):4336–4341, 1988.
[41] E. D IETZ und W. P EATMAN: Auslegung eines Astigmatismus- und Koma-korrigierten
Strahlrohrs für einen 2m-Seya-Monochromator bei BESSY. Technischer BerichtTB 62/84
BESSY, Physikalisches Institut der Universität Frankfurt, 1984.
[42] H. K UZMANY: Festkörperspektroskopie Eine Einführung. Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[43] Produktinformation der Firma B. Halle Nachfolger, Berlin.
[44] D. W. LYNCH and W. R. H UNTER: Comments on the optical constants of metals and an
introduction to the data for several metals. In E. D. PALIK (editor): Handbook of Optical
Constants of Solids, volume I. Academic Press, 1985.
[45] D. E. A SPNES: Effects of component optical activity in data reduction and calibration of
rotating-analyzer ellipsometers. J. Opt. Soc. Am., 64 (6):812–819, 1973.
LITERATUR
91
[46] J. BARTH, R. L. J OHNSON, S. L OGOTHETIDIS , M. C ARDONA, D. F UCHS, and A. M.
B RADSHAW: Spectroscopic ellipsometry with syncrotron radiation: Latest developments.
SPI Conference Proceedings, Berlin, 1986.
[47] D. F UCHS: Spektroskopische Ellipsometrie im Vakuum-Ultraviolett-Spektralbereich. Doktorarbeit, TU Berlin, 1990.
[48] W. H. P RESS, S. A. T EULOLSKY, W. T. V ETTERLING , and B. P. F LANNERY: Numerical
Recipes in C, The Art of Scintific Computing. Cambridge University Press, New York, 2.
edition, 1992.
[49] D. E. A SPNES, S. M. K ELSO, and R. A. L OGAN R. B HAT: Optical properties of
Alx Ga1 x As. J. Appl. Phys., 60:754–767, 1986.
[50] T. W ETHKAMP: Optical Properties of Groupe-III-Nitrides in the Visible to VacuuUltraviolet Spectral Range Investigated by Spectroscopic Ellipsometry. Doktorarbeit, TU
Berlin, 1999.
[51] M. BASTIAN: Untersuchung der Morphologie von Oberflächen mittels winkelaufgelöster
elastischer Lichtstreuung. Diplomarbeit, TU Berlin, 1998.
[52] D. E. A SPNES: The accurate determination of optical properties by ellipsometry. In
E. D. PALIK (editor): Handbook of Optical Constants of Solids, volume I, pages 89–112.
Academic Press, 1985.
[53] H. R. P HILIPP: Silicon dioxide (SiC2 ) (glass). In E. D. PALIK (editor): Handbook of
Optical Constants of Solids, volume I. Academic Press, 1985.
[54] D. E. A SPNES: Approximate solution of ellipsometric equations for optically biaxial crystals. J. Opt. Soc. Am., 70 (10):1275–1277, 1980.
[55] B. A DOLPH, K. T ENELSEN, V. I G AVRILENKO, and F. B ECHSTEDT: Optical and loss
spectra of SiC polytypes from ab initio calculation. Phys. Rev. B, 55 (3):1422–1429, 1997.
[56] B. E. W HEELER: The ultra-violet reflectivity of α and β SiC. Solide State Communications, 4:173–175, 1966.
[57] W. R. L. L AMBRECHT, B. S EGALL, M. YOGANATHAN, W. S UTTROP, P. DAVATY, W. J.
C HOYKE, J. A. E DMOND, J. A. P OWELL, and M. A LOUANI: Calculated and measured
uv reflectivity of SiC polytypes. Phys. Rev. B, 50 (15):10722–10726, 1994.
[58] B. A DOLPH, V. I G AVRILENKO, K. T ENELSEN, F. B ECHSTEDT, and R. D EL S OLE:
Nonlocality and many-body effects in the optical properties of semiconductors. Phys. Rev.
B, 53 (15):9797–9808, 1996.
[59] Y. P. VARSHNI: Temperature dependence of the energy gap in semiconductors. Physika
(Utrecht), 34:149–154, 1967.
LITERATUR
92
[60] B. M ATTERN, M. BASSLER, G. P ENSEL, and L. L EY: High resolution photoemission
study of the 6H-SiC/SiO2 interface. 1998.
[61] C. F. K LINGSHIRN: Semiconductor Optics. Springer-Verlag, Berlin, 1997.
[62] I. N. B RONSTEIN, K. A. S EMENDJAJEW , G. M USIOL und H. M ÜHLIG: Taschenbuch der
Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, zweite Auflage, 1995.
[63] W. G REINER: Klassische Elektrodynamik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun,
5. Auflage, 1991.
[64] R. L. K RONIG: On the theory of dispersion of x-rays. J. Opt. Soc. Am., 12:547, 1926.
[65] G. M ARTINEZ: The optical response of semiconductors: An overview. In G. M ARTINEZ
(editor): Optical Properties of Semiconductors, pages 1–26. Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, Netherlands, 1993.
[66] D. L. G REENAWAY and G ÜNTHER H ARBEKE: Optical Properties and Band Structure of
Semiconductors. Pergamon Press, Oxford, 1968.
[67] J. L AMMERS: Optische Eigenschaften und elektronische Strukturen von LaRu 2 Si2 und
U Ru2 Si2 . Diplomarbeit, TU Braunschweig, 1996.
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Mein besondere Dank gilt
Herrn Prof. Dr. W. Richter für die Möglichkeit diese Diplomarbeit in seiner Arbeitsgruppe durchführen zu können und die Unterstützung bei der Durchführung.
Herrn Priv.-Doz. Dr. N. Esser für seine persönliches Interesse an meiner Arbeit und seine vielen
Anregungen und Hilfestellungen.
Dipl.-Phys. K. Wilmers und Dr. T. Wethkamp für ihre engagierte Betreuung und die gute Zusammenarbeit in den gemeinsamen Meßzeiten am BESSY.
Dr. N. V. Edwards vom IFM/Materiefysik, Linköpings Universitet, für die Überlassung von einigen hier vorgestellten Proben.
T. Wehnert für die Hilfe bei der Anfertigung der AFM-Messungen.
Ferner möchte ich allen hier nicht namentlich erwähnten Mitarbeitern der Arbeitsgruppe von
Herrn Prof. Dr. W. Richter für die vielen anregenden Diskussionen auch über nichtphysikalische Themen und die freundliche Arbeitsatmosphäre sowie den Mitarbeiter vom BESSY für ihre
schnelle und unkomplizierte Unterstützung währen der Meßzeiten danken.
Die selbständige und eigenhändige Anfertigung versichere ich an Eides
Statt.
Berlin, den