PHYSIK III Serie 12, Musterlösung

PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
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Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Serie 12, Musterlösung
1. Reflexion
Die Fresnel’schen Formeln lauten:
n1 cos θi − n22 − n21 sin2 θi
E0
=
E0
n1 cos θi + n22 − n21 sin2 θi
E0
2n1 cos θi
=
E0
n1 cos θi + n22 − n21 sin2 θi
,
.
a) Der Reflexionskoeffizient ist genau dann gleich 1, wenn E0 und E0 betragsmässig gleich
gross sind. Das ist für n1 > n2 genau dann der Fall, wenn der Realteil des Wurzelausdrucks verschwindet:
!
n2
n1
sin θi ≥
!
⇔
θi ≥ arcsin
n2
n1
.
Wir definieren daher den Grenzwinkel θg durch
θg := arcsin
n2
n1
.
Für θi ≥ θg ist R = 1.
b) Das Brechungsgesetz von Snellius lautet n1 sin θi = n2 sin θt . Daraus folgt:
n21 sin2 θi = n22 1 − cos2 θt
⇔ n22 cos2 θt = n22 − n21 sin2 θi
⇔
cos2 θt = 1 −
n21
sin2 θi
2
sin
θ
=
1
−
i
n22
sin2 θg
Für θi > θg ist cos2 θt negativ. Für cos θi können wir demnach schreiben:
sin2 θi
cos θt = i
−1 .
sin2 θg
verwenden wir einen Ausdruck aus Aufgabe 2 der Serie
c) Für die Energiestromdichte S
11:
· n = 0 c2 E
= 0 c2 E
×B
×B
· n
S
S
⇒
.
t
t
t
t
und B
reelle Felder. Da die Energiestromdichte nicht linear in den Feldern
Dabei sind E
ist, müssen wir aufpassen, wenn wir mit komplexen Feldern rechnen.
Seien a und b zwei Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit, d.h. a(r, t) = a0 (r)e−iωt
und b(r, t) = b0 (r)e−iωt . Dann gilt:
{Re(a )} × {Re(b )}
t
1
1
∗
= Re a0 × b0
2
.
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Damit ist
S · n
t
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2 ∗ × B
× Re(B)
· n = 0 c Re E
0 · n = 0 c2 Re(E)
0
t
2
0 c2
=
|E0 | 2 Re k · n 2ω
und der Transmissionskoeffizient lautet
St · n |E | 2
t = 0
T = |E0 | 2
i · n S
Re(k cos θt )
Re(k cos θi ) .
t
Für θi ≥ θg verschwindet der Realteil von cos θt und somit wird T = 0. Es wird also
keine Energie transmittiert, wie es bei der Totalreflexion auch zu erwarten ist.
2. Ausbreitungsgeschwindigkeit
Elektromagnetische Wellen in einem Medium werden durch die makroskopischen MaxwellGleichungen in der Materie beschrieben. Die vierte Maxwell-Gleichung lautet
+
1 ∂(E
rotB = µ0 (Jf rei + Jm ) + 2
c
∂t
P
)
0
.
= Jm und setzen P = χe 0 E
und die Approximation
Wir benutzen die Beziehung rotM
1
in die vierte Maxwell-Gleichung ein. Mit Jf rei = 0 erhalten wir
= χm B
M
µ0
⇒
+ 1 ∂ E (1 + χe )
= χm rotB
rotB
c2 ∂t
= 1 + χe 1 ∂ E .
rotB
1 − χm c2 ∂t
ein, so erhält
Leitet man diese Gleichung einmal nach der Zeit ab und setzt − ∂∂tB = ∇ × E
man die Wellengleichung für E:
=
E
1 + χe 1 ∂ 2 E
1 − χm c2 ∂t2
.
= ∇(∇ · E)
− E
= −E,
denn wir haben
Dabei haben wir verwendet, dass ∇ × ∇ × E
= 0. Aus der Wellengleichung können wir die
hier keine freien Ladungen und damit ∇ · E
Ausbreitungsgeschwindigkeit ablesen:
1 − χm
v=
c .
1 + χe
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3. Beugung am Spalt
a) In der Kirchhoffschen Näherung gilt:
eikr
1
cos α
u(r, α) =
iλ
r
s0 /2
−s0 /2
ik sin α x
e
dx
∞
−∞
dy
∞
ik sin α x s0 /2
1
eikr
1
=
cos α
· e
dy
−s0 /2
iλ
r ik sin α
−∞
eikr
1
s0 ∞
1
cos α
· 2i sin k sin α
dy ,
=
iλ
r ik sin α
2
−∞
∞
∞
1 eikr s0 /2
1 eikr
u(r, α = 0) =
· s0
dx
dy =
dy .
iλ r −s0 /2
iλ r
−∞
−∞
Damit ist
| u(r, α) |
| u(r, 0) |
2
2
· (2i)2 sin2 k sin α s20
=
s20
sin2 k sin α s20
4 · cos2 α · sin2 k sin α s20
∼ =
2
s20 k 2 sin2 α
k sin α s0
cos2 α
2
1
ik sin α
.
2
b) Um die Spaltbreite zu bestimmen, betrachten wir die Beugungsminima, die im Negativ
als Intensitätsmaxima auftreten. Beugungsminima ergeben sich für Beugungswinkel α,
die s0 sin α = zλ mit z = ±1, ±2, ... erfüllen. z ist die Ordnung der Interferenz, s0 die
Spaltbreite und λ die Wellenlänge.
Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehen, verlaufen nach dem Durchgang durch die Linse
parallel zur Linsenachse. Die Grösse des Beugungsmusters auf dem Negativ entspricht
deshalb genau jener auf der Linse selbst. Wenn s den Abstand des ersten Beugungsminimums auf dem Negativ von der Mitte des Negativs bezeichnet, gilt für den zugehörigen
Winkel α, dass tan α = fs . Für kleine Winkel α lassen sich sowohl sin α als auch tan α
durch den Winkel α selbst approximieren. Mit dieser Näherung erhalten wir s0 = z fsλ .
In unserem Fall ist s0 ≈ 39 µm.
4. Ebene Wellen
a) Wir betrachten die vierte Maxwell-Gleichung:
+
= µ0 σ E
rotB
1 ∂E
c2 ∂t
= 0 sein. Die Welle kann also
Damit alle Terme für σ → ∞ endlich bleiben, muss E
nicht in den Raum x ≥ 0 eindringen, an der Grenzfläche tritt Totalreflexion auf.
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b) In Teilaufgabe a haben wir gesehen, dass die einfallende Welle an der Grenzfläche total
reflektiert wird. Als Ansatz für die Welle im Bereich x ≤ 0 empfiehlt sich daher eine
Überlagerung einer einfallenden und einer ausfallenden Welle:
E(x)
= Eeikx + E e−ikx e−iωt · ey .
Das zugehörige Magnetfeld erhalten wir, indem wir die Beziehung
= ± 1 E · ez
= 1 k × E
B
ω
c
auf die beiden Anteile des elektrischen Feldes anwenden:
1 ikx
Ee − E e−ikx e−iωt · ez
B(x)
=
c
.
Die Randbedingung für das elektrische Feld an der Grenzfläche erhalten wir aus dem
= − ∂ B : die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der
Faraday-Gesetz rotE
∂t
Grenzfläche ist null. Daraus folgt, dass E = −E:
r, t) = 2iE sin(kx)e−iωt · ey
E(
,
r , t) = 2E cos(kx)e−iωt · ez
B(
c
,
r , t) = 2E cos(kx) cos ωt · ez
Re B(
c
.
Die physikalischen Felder sind reell:
r , t) = 2E sin(kx) sin ωt · ey
Re E(
.
Sie sind räumlich und zeitlich jeweils um π/2 phasenverschoben.
Skizze:
innen − B
aussen ) = µ0 δj, wobei δ die Dicke der Grenzschicht
c) An der Grenzfläche gilt n ×(B
innen = 0, und die Flächenstromdichte jF = δj lautet:
bezeichnet. Wegen σ = ∞ ist B
0
1
0
= 0) = −2E
jF = − ex × B(x
cos(ωt)(ex × ez ) = 2E
cos(ωt) · ey .
µ0
µ0
µ0
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5. Beugung an N Spalten
Wir beginnen mit der Formel für u(r, α) aus dem Skript und erkennen, dass es sich hierbei
um eine geometrische Reihe handelt. Für kd sin(α) schreiben wir der Einfachheit halber β:
u(r, α) = u0 (r, α) ·
N
−1
l=0
iβ N
N
−1
e
−1
l
l
eikd sin α = u0 (r, α) ·
eiβ = u0 (r, α) ·
iβ
e −1
l=0
Nun interessieren wir uns für die Intensität, die sich aus dem Betragsquadrat ergibt:
eiβN − 1 e−iβN − 1
2 − 2 cos(βN)
· −iβ
= |u0 (r, α)|2 ·
iβ
e −1
e −1
2 − 2 cos(β)
2 kd sin(α)N
2 βN
sin
sin 2 )
2
2
.
(r,
α)|
·
= |u0 (r, α)|2 ·
=
|u
0
2 β
kd
sin(α)
2
sin 2
sin
|u(r, α)|2 = |u0 (r, α)|2 ·
2
Damit ergibt sich:
sin2
2
kd sin(α)N
2
I(α)
|u0 (r, α)|
·
= 2
I(α = 0)
N |u0 (r, 0)|2 sin2 kd sin(α)
2
5
.
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6. Fresnel-Interferenz
Da der Refexionskoeffizient ρ klein ist gegenüber dem
Transmissionskoeffizienten, folgt für die Amplituden der
reflektierten Teilstrahlen Ψ1 und Ψ2 , dass A1 ≈ A2 =
ρA. Die Phase einer Welle ist φ = ωt − kR = ωt − 2πR
=
λ
2πnR
ωt − λ0 , wobei λ0 die Vakuumwellenlänge und n der
Brechungsindex ist. Wir betrachten nun die Phasendifferenz zwischen Ψ1 und Ψ2 in den Punkten D1 und D2 :
−2π
φ2 − φ1 =
n2 (BC + CD2 ) − n1 BD1 + π .
λ0
Der Term π stammt vom Phasensprung um 180◦ bei der Reflexion am dichteren Medium. Wir
schreiben nun die Distanzen BC, CD2 und BD1 als Funktion von d und der Winkel α und β:
d
, BD1 = BD2 sin α = 2d tan β sin α .
cos β
sin β
n1
Mit dem Gesetz von Snellius n2 = sin α lässt sich der letzte Ausdruck weiter vereinfachen:
BC = CD2 =
n1 tan β sin α = n1
sin β
sin2 β
sin α = n2
cos β
cos β
.
Damit lautet die Phasendifferenz:
−2π 2dn2
−4πn2 d
2
φ2 − φ1 =
(1 − sin β) + π =
cos β + π
λ0 cos β
λ0
.
Für die Gesamtintensität gilt also:
I1+2 = I1 + I2 + 2
I1 I2 · cos φ = 4A2 ρ2 sin2
6
φ
2
mit φ =
4πn2 d
cos β
λ0
.