Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke
Aufgabe:
Zeichne ein Dreieck aus a : b : c = 4 : 5 : 6 und c = 7,5 cm.
Merke:
Abbildungen, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen
zusammensetzen lassen, heißen Ähnlichkeitsabbildungen. Dabei heißen zwei
Figuren F und F’ ähnlich ( F ∼ F ' ), wenn es eine Ähnlichkeitsabbildung gibt, die F in
F’ überführt.
1. Ähnlichkeitssatz:
Stimmen Dreiecke in den Verhältnissen entsprechender Seitenlängen überein, so
sind sie ähnlich.
2. Ähnlichkeitssatz:
Stimmen Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem eingeschlossenen
Winkel überein, so sind sie ähnlich.
3. Ähnlichkeitssatz:
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, so sind sie ähnlich.
4. Ähnlichkeitssatz:
Stimmen Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Gegenwinkel der
größeren Seite überein, so sind sie ähnlich.
Lösung der Aufgabe:
Zeichne ein Dreieck aus a : b : c = 4 : 5 : 6 und c = 7,5 cm.
Konstruktion:
Nach dem ersten Ähnlichkeitssatz ist durch
das Verhältnis a : b : c die Gestalt des
Dreiecks festgelegt.
(1) Das ähnliche Dreieck A’B’C’ aus
a’ = 4 cm, b’ = 5 cm, c’ = 6 cm zeichnen.
(2) Gerade g = (A’B’) ziehen.
(3) Kreis k1 um A mit Radius r = c zeichnen.
(4) Kreis k1 schneidet Gerade g im Punkt B.
(5) A’C’ über C’ hinaus durch f1 verlängern.
(6) Parallele p1 zu B’C’ durch B ziehen.
(7) p1 schneidet f1 im Punkt C1.
(8) Kreis k2 um B’ mit Radius r = c zeichnen.
(9) Kreis k2 schneidet Gerade g im Punkt A.
(10) B’C’ über C’ hinaus durch f2 verlängern.
(11) Parallele p2 zu A’C’ durch A ziehen.
(12) p2 schneidet f2 im Punkt C2.
(13) Lösung: Dreieck A’BC1 bzw.
Dreieck AB’C2.