Lösung der Aufgabe 2.1.7 Lösung

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 2.1.7
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Lösung der Aufgabe 2.1.7
Überarbeitet von: FR 03.06.2008
Aufgabe wie in der Klausur
Eine elektrische Leitung besteht aus einem kreiszylindrischen Innenleiter mit Radius a (Querschnitt Si ) und einem sehr dünnen koaxialen Hohlzylinder vom Innendurchmesser 2b > 2a und
Außendurchmesser 2c > 2b (Querschnitt Sa ). Auf den beiden Zylindern fließen entgegengesetzt gleich große Ströme ±J. Die Leitfähigkeit des Zylindermaterials ist σ. Die Achsen der
Zylinder sind mit der z-Achse eines Koordinatensystems identisch. Im Ursprung des Koordinatensystems wird die Spannung U zwischen Innen- und Außenleiter gemessen. Gesucht ist die
magnetische Feldstärke im gesamten Raum.
Zusatzfragen für die Übung
a) Skizzieren Sie die Anordnung im Quer- und Längsschnitt (x-y- und x-z-Ebene).
b) Welche Stromdichte herrscht jeweils im Innen- und Außenleiter?
c) Wie lautet die Integralform des Ampere’schen Gesetzes?
~ im gesamten Raum?
d) Was folgt für H
Lösung
a)
Abbildung 1: Koaxialkabel mit verlustbehafteten Leitern.
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Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung der Aufgabe 2.1.7
b) Der Strom ist homogen im jeweiligen Querschnitt verteilt.
Annahme: Strom im Innenleiter in +z- Richtung, im Außenleiter entgegengesetzt.
~ji = ji · ~ez
~ja = −ja · ~ez
Innenleiter:
ZZ
ZρZ2π
~ji ◦ d2~r =
Ji {ρ} =
ji ρ dρ dφ = ji πρ2
0 0
Es gilt Ji {a} = J, also
ji = J
Ji {ρ} = J
1
πa2
ρ2
a2
Außenleiter:
ZZ
Ja {ρ} =
ZρZ2π
j~a ◦ d ~r =
2
−ja ρ dρ dφ = −ja π(ρ2 − b2 )
b 0
Für ρ = c ist Ja {c} = −J, also
ja = J
1
π(c2 − b2 )
Ja {ρ} = −J
ρ2 − b2
c2 − b2
c)
I
ZZ
~ ◦ d~` =
H
CS
~j ◦ d2~r = JS
S
wobei JS den Strom durch die Fläche S darstellt.
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d) Aus Biot-Savart folgt, dass ein Strom in z- Richtung nur ein Feld in azimutaler Richtung
erzeugt.
~ = H · e~φ
H
Kreisfläche mit Radius ρ:
I
Z2π
~ ◦ d~` =
H
Hρ dφ = H2πρ
0
Bereich I: 0 ≤ ρ ≤ a
JS = Ji {ρ}
HI 2πρ = Ji {ρ}
ρ2
= J 2
a
HI =
J ρ
2πa a
Bereich II: a ≤ ρ ≤ b
JS = J
HII =
J
2πρ
Bereich III: b ≤ ρ ≤ c
JS = J + Ja {ρ}
(c2 − ρ2 )
(ρ2 − b2 )
=J 2
HIII 2πρ = J − J 2
(c − b2 )
(c − b2 )
HIII =
J (c2 − ρ2 )
2πρ (c2 − b2 )
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Bereich IV: ρ ≥ c
JS = J − J = 0, also
HIV
= 0