Skript zur Vorlesung am 29.11.2016 (Seiten 220–224)

220
© R. Plato
Teil IX
Somit stellen die Funktionen
2
un .x; t/ WD sin . n L
x / e .nc=L/ t
für 0 x L; t 0; n D 1; 2; : : : ;
³
(81.15)
jeweils Lösungen der Diffusionsgleichung dar, die zudem alle die Nullrandbedingungen aus (81.1) auf Seite 218 erfüllen.
81.3 Superposition – Anpassung an die Anfangsbedingung
Auf Grund der Linearität der vorliegenden Differenzialgleichung und der auftretenden Nullrandbedingungen sind endliche Linearkombinationen der Funktionen
un für n D 1; 2; : : : ebenfalls Lösungen der betrachteten Differenzialgleichung, die zugleich wie gefordert an
den beiden Rändern verschwinden. Es ist naheliegend,
auch Funktionen von der Form
u.x; t/ D
1
X
nD1
x/ e
bn sin . n L
.nc=L/2 t
mit s 2 N ist (81.17) mit der Wahl bs D 1 und bn D 0
für n D 1; 2 : : : mit n ¤ s erfüllt. Die Lösung des betrachteten Anfangs-Randwertproblems für die Diffusionsgleichung (siehe (81.1) auf Seite 218) ist damit in
diesem Fall gemäß (81.15) auf dieser Seite von der einfachen Form
x/ e
u.x; t/ D sin . s L
u.x; 0/ D
nD1
1
....
.........
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.......
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.............. ............. ...............
....... ..... ......... ..................
........... ....... .........
.............................................
............................
...................................................
.......................
....
t D 0; 06
für 0 x L; t 0
Š
für 0 x L; t 0:
t D0
(81.16)
x / D u0 .x/ für 0 x L:
bn sin . n L
.sc=L/2 t
Der räumliche Verlauf der Lösung ist in Abbildung 187
für die fünf Zeiten t D k t; k D 0; : : : ; 4 dargestellt,
wobei t D 0; 06 gewählt ist. Die auftretenden Parameter sind hierbei L D c D s D 1.
M
t D 0; 12
zu betrachten. Hierbei wird zunächst ohne weitere Diskussion Konvergenz der auftretenden Reihe sowie hinreichend gute Differenzierbarkeitseigenschaften der
Grenzfunktion u angenommen.
Für t D 0 erhält man dann aus dem Superpositionsansatz (81.16) an die Koeffizienten b0 ; b1 ; : : : die Bedingung
1
X
Transport und Diffusion
t D 0; 18
0
t D 0; 24
0
x
1
Abb. 187: Der räumliche Verlauf von u.; t/ für fünf
Zeiten t .
(81.17)
Die Betrachtungen über Fourier-Reihen im folgenden
Abschnitt werden zeigen, dass die Anfangsbedingung
(81.17) bei hinreichender Glattheit der Funktion u0 W
Œ 0; L ! R mit der Setzung
bn D
2
L
RL
0
y dy; n D 1; 2; : : : ; (81.18)
u0 .y/ sin n L
erfüllt ist und damit die Funktion aus (81.16) auf dieser
Seite die gesuchte Lösung des betrachteten AnfangsRandwertproblems für die Diffusionsgleichung (siehe
(81.1) auf Seite 218) liefert.
Beispiel 81.1. In einfachen Situationen kann man die
Koeffizienten bn in (81.17) direkt ablesen. Im Fall
u0 .x/ D sin.s L
x/ für 0 x L
82
Einführung in die Theorie der
Fourier-Reihen
Gegenstand des vorliegenden Abschnitts ist die Approximation reellwertiger Funktionen durch Überlagerung
von Sinus- und Cosinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen. Dies geschieht auf einem festgelegten Intervall, wobei die Länge des Intervalls bei periodischen Funktionen durch die Periodenlänge festgelegt ist.
Wir beginnen die Betrachtungen für das Intervall
Œ ; , für das die Darstellungen am einfachsten sind.
Allgemeine Intervalle werden anschließend betrachtet.
© R. Plato
Abschnitt 82 Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen
82.1 Orthogonalität trigonometrischer Monome
221
Lemma 82.3. Für u 2 R gelten die folgenden Identitäten:
Grundlage für die vorzustellende Theorie der FourierReihen bilden die folgenden Orthogonalitätseigenschaften der trigonometrischen Monome. Die Bezeichnung Orthogonalität wird in Bemerkung 82.6 auf der
nächsten Seite erläutert.
cos2 u D 12 .1 C cos.2u//;
(82.4)
sin2 u D 12 .1
(82.5)
sin u cos u D
1
2
cos.2u//;
sin.2u/:
(82.6)
Lemma 82.1. Es gilt
R
R R
R
cos nx cos mx dx D 0; n; m D 0; 1; : : :; n ¤ m;
sin nx sin mx dx D 0;
......
sin nx cos mx dx D 0
für n; m D 0; 1; : : :;
cos2 nx dx D
R
sin2 nx dx D für n D 1; 2; : : :;
R
2
cos 0x dx D 2;
2
Lemma 82.2. Für u; v 2 R gelten die folgenden Identitäten:
cos u cos v D 12 .cos.u C v/ C cos.u
v/
v//;
(82.1)
cos.u C v//:
(82.2)
sin u cos v D 21 .sin.u C v/ C sin.u
v//:
(82.3)
Beweis. Das bereits vorgestellte Additionstheorem
cos.uCv/ D cos u cos v sin u sin v (siehe (19.6) auf Seite 39) angewendet mit v anstelle v liefert cos.u v/ D
cos u cos v C sin u sin v . Eine Addition beziehungsweise
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt (82.1) beziehungsweise (82.2).
Das ebenfalls bereits vorgestellte Additionstheorem
sin.uCv/ D sin u cos vCcos u sin v (siehe (19.5) auf Seite 39) angewendet mit v anstelle v liefert sin.u v/ D
sin u cos v
cos u sin v . Eine Addition dieser beiden
Gleichungen ergibt unmittelbar (82.3).
Aus Lemma 82.2 erhält man unmittelbar die folgenden
Additionstheoreme:
cos nx cos mx dx
1
2
D
sin 0x dx D 0:
Die Aussagen von Lemma 82.1 lassen sich mit Hilfe der folgenden Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen nachweisen.
sin u sin v D 21 .cos.u
Beweis (von Lemma 82.1). Wir befassen uns zunächst
mit den ersten drei Identitäten und nehmen dazu
n; m 2 N0 mit n ¤ m an. Das Additionstheorem (82.1)
angewendet mit u D nx und v D mx ergibt
R
sowie trivialerweise
R
Beweis. Das folgt direkt aus Lemma 82.2 angewendet
mit v D u.
wegen
R
R
cos..n C m/x/ C cos..n
cos kx dx D
sin kx ˇˇ xD
xD k
m/x/ dx D 0
D 0 .0 ¤ k 2 Z/: (82.7)
Genauso liefert die Additionsregel (82.2) angewendet
mit u D nx und v D mx die Identitäten
R
sin nx sin mx dx
1
2
D
R
.cos..n C m/x/
cos..n
m/x// dx D 0:
Die dritte Identität in Lemma 82.1 erhält man aus Additionsregel (82.3) angewendet mit u D nx und v D mx :
R
sin nx cos mx dx
D
1
2
R
R
.sin..n C m/x/ C sin..n
m/x// dx D 0
wegen
sin kx dx D 0 für k 2 Z. Letzteres ergibt
sich direkt durch Integration oder alternativ durch den
Umstand, dass der Sinus ungerade bezüglich des Ursprungs ist.
Mit den Identitäten (82.4) und (82.5) angewendet mit
u D nx erhält man schließlich er
R
cos2 nx dx D
R
sin2 nx dx D
1
2
R
R
1
2
1 C cos.2nx/ dx D ;
1
cos.2nx/ dx D ;
wobei nochmals (82.7) verwendet wurde.
222
© R. Plato
Teil IX
82.2 Fourier-Reihen reeller Funktionen
1
Im Folgenden werden Fourier-Reihen eingeführt.
0
Definition 82.4. Die 2 -periodische Fourier-Reihe einer integrierbaren Funktion f W Œ ;  ! R besitzt
die Form
a0
2
C
1
X
.an cos nx C bn sin nx/
bn WD
für n D 0; 1; : : : .
1
1
R
R
9
f .y/ cos ny dy; =
f .y/ sin ny dy; ;
0
(82.8)
M
a0
2
C
1
X
. an cos nx C bn sin nx /
(82.9)
nD1
verwendet. Dabei bedeutet das Symbol , dass die Koeffizienten in (82.9) von der Form (82.8) sind.
Bemerkung 82.5. Wir nehmen für den Moment an,
dass in (82.9) Gleichheit für alle x 2 Œ ;  vorliegt. Dann liefert dies eine Darstellung von f als Superposition harmonischer Schwingungen, wobei deren
Frequenzen mit wachsendem n zunehmen: es besitzt
dabei der n-te Summand die Periodendauer 2n beziehungsweise die Frequenz n= 2 . Man beachte, dass diese Perioden 2n jeweils Teiler von 2 beziehungsweise
die auftretetenden Frequenzen 2n alle Vielfache von 21
sind.
Die Fourier-Koeffizienten an und bn sind dabei die
(vorzeichenbehafteten) Amplituden. Die Größen ihrer
Beträge bestimmen, zu welchem Anteil die entsprechenden harmonischen Schwingungen in f vertreten
sind.
Darstellungen der Funktionen sin W R ! R,
und cos W R ! R werden in Abbildung 17 auf
Seite 38 präsentiert. In den Abbildungen 188 und
189 finden Sie Darstellungen für sin.2x/; cos.2x/ und
sin.3x/; cos.3x/.
M
Bemerkung 82.6. a) Die rechte Seite von (82.9) ist eine 2 -periodische Funktion. Daher wird die FourierEntwicklung (82.9) häufig für 2 -periodische Funktionen f W R ! R betrachtet.
sin 2x
0
2
......
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.... ... .... ...
.......... ...........
.......... .........
.....
...
....
cos 3x
2
Als Kurzschreibweise für die Fourier-Reihe der reellwertigen Funktion f wird die Notation
f .x/ cos 2x
....................
x
4
1
Abb. 188: Darstellung von sin.2x/ und cos.2x/ für
x .
nD1
an WD
....
........
. ...........
...............
................ ...................
.... ....................
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.....
.. ..
.................. .....................
.............. ..................
2
1
mit den Fourier-Koeffizienten
Transport und Diffusion
0
sin 3x
2
......................
x
4
1
Abb. 189: Darstellung von sin.3x/ und cos.3x/ für
x .
b) Anwendung finden Fourier-Reihen – neben der
technischen Anwendung zur Lösung partieller Differenzialgleichungen – z. B. in der Spektralanalyse und
der Datenkompression.
c) Bei (82.9) handelt es sich tatsächlich um eine
Fourier-Entwicklung im Sinne von Satz 34.4 auf Seite 74. Der zugrunde liegende Vektorraum V ist
hier – etwas vereinfacht formuliert – der Raum
der integrierbaren Funktionen f . Auf diesem Funktionenraum V R betrachtet man das Skalarprodukt
h f ; g i D 1 f .x/g.x/ dx . Das Funktionensystem 1; sin x; cos x; sin 2x; cos 2x; sin 3x; : : : bildet hierfür ein (unendliches) Orthonormalsystem, wobei sich
die paarweise Orthogonalität direkt aus Satz 82.3 auf
der vorherigen Seite ergibt.
M
Als Vorbereitung für die nachfolgende Bemerkung stellen wir noch eine Definition vor.
Definition 82.7. Für Parameter t; s 2 R nennt man
ıt s D
²
1 für t D s;
0 sonst :
das Kronecker-Symbol.
Bemerkung 82.8. Die Setzungen (82.8) für die FourierKoeffizienten sind vernünftig. Hierzu nehmen wir an,
dass mit irgendwelchen reellen Koeffizienten an und
bn in (82.9) Gleichheit vorliegt, d. h. dort durch D
ersetzt werden kann. Darüberhinaus soll nach einer Integration der rechten Seite Integration und Summation
vertauschbar sein. In dieser Situation gelten auf Grund
der in Lemma 82.1 auf Seite 221 vorgestellten Orthogonalitätsbeziehungen notwendigerweise die Identitäten
© R. Plato
Abschnitt 82 Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen
(82.8). Das erhält man für die Koeffizienten an folgendermaßen,
R
die Partialsummen
a0
fs .x/ D
f .y/ cos ny dy
2
C
2ı
D
a0
2
ƒ
cos ny dy
C
1
X
mD1
am
‚
D ımn
…„
R
C bm
D an :
s
X
. an cos nx C bn sin nx /
(82.10)
nD1
0n
R …„
‚
223
ƒ
cos my cos ny dy
R
„
sin my cos ny dy
ƒ‚
D0
…
Die Darstellung in (82.8) für die Fourier-Koeffizienten
bn erhält man auf vergleichbare Weise.
M
Beispiel 82.9. In einfachen Situationen kann man die
Fourier-Koeffizienten an und bn aus (82.8) direkt bestimmen. So gelten z. B. im Fall
f .x/ D A sin.sx/ für x 2 R
mit A 2 R und s 2 N nach Lemma 82.1 die Identitäten
an D 0 für n D 0; 1; : : : und bn D 0 für n D 1; 2 : : :
mit n ¤ s sowie bs D A. Die Fourier-Reihe von f besteht in diesem Fall aus einem einzigen Summanden,
die Frage nach der Konvergenz der Fourier-Reihe stellt
sich hier also nicht. Dieser Summand ist identisch mit
der Funktion f .
Ähnlich verhält es sich im Fall
f .x/ D A cos.sx/ für x 2 R
mit A 2 R und s 2 N. Hier gelten wieder nach Lemma 82.1 die Identitäten bn D 0 für n D 1; 2; : : : und
an D 0 für n D 0; 1 : : : mit n ¤ s sowie as D A.
M
Bemerkung. Die Fourier-Koeffizienten an D an .f /
und bn D bn .f / hängen linear von der betrachteten
Funktion f ab: es gilt an .˛f C ˇg/ D ˛an .f / C ˇan .g/
für n D 0; 1; : : : und Entsprechendes für die Koeffizienten bn . Diese Eigenschaft ist für praktische Berechnungen hilfreich.
M
der 2 -periodischen Fourier-Reihe in (82.9) auf der vorherigen Seite approximiert wird. Die Anteile f , deren
Frequenz größer als s=.2/ ausfällt, werden bei fs in
(82.10) also weggelassen.
Wir beschränken uns dabei auf zwei Resultate.
Satz 82.10. Ist die Funktion f W R ! R 2 -periodisch
und einmal stetig differenzierbar, so konvergiert die 2 periodische Fourier-Reihe (82.9) der Funktion f im folgenden Sinne gegen f :
ˇ
a0
sup ˇ f .x/
x2R
2
C
s
X
nD1
ˇ
. an cos nx C bn sin nx / ˇ ! 0
für s ! 1. Die Fourier-Koeffizienten
der Funktion f
P1
sind absolut-summierbar, d. h. nD1 .jan j C jbn j/ < 1.
Beweis. Der Beweis wird hier nicht geführt.
Die in Satz 82.10 vorliegende Art der Konvergenz
wird als gleichmäßige Konvergenz bezeichnet.
Die Fourier-Koeffizienten einer 2 -periodischen
Funktion f fallen mit wachsendem Index n umso
schneller, je glatter die Funktion f ist; hohe Frequenzen sind in f dann weniger stark vertreten:
Proposition 82.11. Ist die Funktion f W R ! R 2 periodisch und r -mal stetig differenzierbar mit r 0,
so gilt mit einer Konstanten K 0
jan j C jbn j Kn
r
für n D 1; 2; : : : :
(82.11)
Beweis. Wir betrachten hier zunächst eine komplexwertige Variante. Wiederholte partielle Integration liefert
.an
ib n / D
R
iny
f .y/e
dy
D 0
D
Ein nichttriviales Beispiel für eine Fourier-Entwicklung
finden Sie auf Seite 224.
D
82.3 Konvergenz von Fourier-Reihen
D
Im Folgenden gehen wir der Frage nach, auf welche
Weise eine gegebene Funktion f W Œ ;  ! R durch
D
1
in
…„
ƒ
‚
iny f .y/e
j C
1
. in /2
1
. in /
3
R
R
::: D
f 00 .y/e
iny
f .3/ .y/e
1
. in /
r
1
in
dy
iny
R
R
f 0 .y/e
dy
f .r/ .y/e
iny
dy:
iny
dy
224
© R. Plato
Teil IX
a) Ist f gerade bezüglich des Intervallmittelpunkts
x D 0, d. h.
Daraus folgt
.an2 C bn2 /1=2 2
max
y2Œ ; 
jf .r/ .y/j n
Transport und Diffusion
r
und daraus wiederum die Abschätzung (82.11).
Wir betrachten nun ein Konvergenzresultat unter
schwächeren Voraussetzungen an die gegebene Funktion f .
f . x/ D f .x/ für 0 x ;
so gelten
R die Identitäten bn D 0 für n D 1; 2; : : : und
an D 2 0 f .y/ cos ny dy für n D 0; 1; : : : :
b) Ist f ungerade bezüglich des Intervallmittelpunkts
x D 0 d. h.
f . x/ D f .x/ für 0 < x ;
Satz 82.12. Sei f W R ! R eine 2 -periodische Funktion und x0 2 R.
a) Ist f stetig in x0 , so konvergieren die Partialsummen der 2 -periodischen Fourier-Reihe in x0 gegen den
Funktionswert f .x0 /, d. h.
so gelten
R die Identitäten an D 0 für n D 0; 1; : : : und
2
0 f .y/ sin ny dy für n D 1; 2; : : : :
bn D
Beweis. Übung.
Beispiel 82.14. Für die ungerade Funktion
a0
2
C
s
X
. an cos nx0 C bn sin nx0 / ! f .x0 / für s ! 1:
nD1
b) Falls f unstetig in x0 ist, jedoch die einseitigen
Grenzwerte limx!x0 C f .x/ und limx!x0 f .x/ existieren, so konvergiert die Folge der Partialsummen der
2 -periodischen Fourier-Reihe gegen das arithmetische
Mittel dieser beiden Grenzwerte:
a0
2
C
s
X
C lim f .x/
x!x0
für s ! 1:
In der Umgebung von Sprungstellen der Funktion f
treten bei den Partialsummen verstärkt Oszillationen
auf, was man als gibbsches Phänomen bezeichnet. Die
Situation ist in Beispiel 82.14 veranschaulicht.
82.4 Fourier-Entwicklung gerader und ungerader Funktionen
In dieser Abschnitt werden zwei Klassen von Funktionen vorgestellt, für die die dazugehörigen FourierReihen nur aus Termen mit Cosinus-Funktionen beziehungsweise nur aus Termen mit Sinus-Funktionen bestehen. Das ist im Hinblick auf die am Ende von Abschnitt 80 entstandene Situation bei der Anpassung
von freien Koeffizienten an die vorliegende Anfangsbedingung (siehe (81.17) auf Seite 220) von Bedeutung.
Proposition 82.13. Sei f W Œ ;  ! R eine integrierbare Funktion.
˛;
x<0
˛; 0 x (82.12)
mit ˛ > 0 konstant gilt an D 0 für n D 0; 1; : : : und
bn D
2˛
R
0
2˛
D
D
. an cos nx0 C bn sin nx0 /
nD1
1
! 2 lim f .x/
x!x0 C
f .x/ D
²
n
²
sin ny dy D
. . 1/
4˛
;
n
n
1/ D
2˛
n
ˇyD
cos ny ˇyD0
2˛
.1
n
. 1/n /
falls n ungerade;
0
sonst
für n D 1; 2; : : : beziehungsweise
b2n D 0 für n D 1; 2; : : : ;
b2nC1 D
4˛
1
2n C 1
für n D 0; 1; : : : :
Es gilt damit
f .x/ 4˛
1
X
nD0
1
2n C 1
sin . .2n C 1/x / :
Die Situation ist für ˛ D 2 in Abb. 190 dargestellt, woP20
1
bei dort der Graph der Funktion 8
nD0 2nC1 sin..2nC
1/x/ dargestellt ist; es werden also nur die ersten 21
Summanden der Fourier-Reihe berücksichtigt.
M
82.5 Allgemeine Intervalle
82.5.1 Einführung
Fourier-Reihen für Funktionen mit anderen Definitionsbereichen lassen sich durch einfache Transformationen gewinnen. Für eine gegebene Funktion