12. Übungsblatt

Übungsblatt 12 zur Theoretischen Physik II: Elektrodynamik
Prof. N. Kaiser, P. Springer, C. Wellenhofer
15.1.16
1. Ein lineares, isotropes Medium mit Materialkonstanten und µ hat die (konstante) elektrische
~ = 0 E,
~ B
~ = µ µ0 H
~ und ~j = σ E
~ sowie ρ = 0.
Leitfähigkeit σ. Es gelten die Beziehungen: D
a) Entkoppeln Sie die makroskopischen Maxwell-Gleichungen durch Herleiten von Differential~ und B.
~ Lösen Sie die Gleichung für E
~ mit dem Ansatz
gleichungen 2. Ordnung für die Felder E
einer ebenen, linear polarisierten Welle mit komplexen Wellenvektor ~k = k k̂, wobei k̂ die reelle
Ausbreitungsrichtung ist. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen k und der (reellen) Frequenz
~ und k̂ ein? Berechnen Sie das zu E
~ gehörige B-Feld
~
ω her. Welchen Winkel schließen E
und leiten
Sie eine Beziehung zwischen den elektrischen und magnetischen Amplitudenbetragsquadraten ab.
b) Setzen Sie k = ω(n+iγ)/c und geben Sie n2 und γ 2 als Funktion von , µ, σ, ω an. Beschreiben
Sie das raumzeitliche Verhalten der Welle. Berechnen Sie die relative Energieabnahme der Welle
~
auf einer Strecke a in Richtung k̂ aus dem zeitlich gemittelten Poynting-Vektor hSi.
2. Zeigen Sie mit Hilfe der Fresnel’schen Formeln, dass bei senkrechtem Einfall (θ = θ0 = 0) auf die
Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Materialkonstanten , µ und 0 , µ0 für die Beträge der
gemittelten Energiestromdichten von einfallender, transmittierter und reflektierter Welle gilt:
hSiein = hSitrans + hSirefl .
~ einer ebenen, linear polarisierten Welle im Medium durch AusHinweis: Drücken Sie zuerst hSi
breitungsrichtung, Frequenz, Materialkonstanten und elektrische Feldamplitude aus.
3. a) Gegeben sei eine Grenzfläche z = d zwischen zwei dielektrischen Medien (Indizes j = 1, 2)
√
mit den Brechungsindizes nj = j . In beiden Medien gibt es ebene elektromagnetische Wellen
~ j (z, t) = [E + ei(kj z−ωt) + E − ei(−kj z−ωt) ]~ex mit vorwärts und rückwärts laufenden Komponenten,
E
j
j
die senkrecht auf die Grenzfläche auftreffen. Zeigen Sie, dass die Stetigkeitsbedingungen für die
~ und H
~ auf folgenden linearen Zusammenhang zwischen den komplexen
transversalen Felder E
Feldamplituden führen:
+ +
∗
n1 − n2 i(k1 +k2 )d
n1 + n2 i(k2 −k1 )d
E1
E2
α12 β12
e
, β12 =
e
.
=
, α12 =
−
−
∗
E1
β12 α12
E2
2n1
2n1
b) Betrachten Sie die Brechung und Reflexion einer in Medium 1 in positive z-Richtung laufenden,
auf die Grenzfläche treffenden Welle (es gilt somit E2− = 0). Berechnen Sie die Amplitudenverhältnisse E1− /E1+ und E2+ /E1+ sowie das Reflexionsvermögen R = hS1− i/hS1+ i und das Transmissionsvermögen T = hS2+ i/hS1+ i als Funktion von n1 , n2 . Zeigen Sie, dass R + T = 1 gilt.
c) Gegeben seien nun zwei parallele Grenzflächen zwischen drei Medien mit den Brechungsindizes:
n1 für z < 0, n2 für 0 < z < d und n3 für z > d, wobei n1 < n2 < n3 oder n3 < n2 < n1 gilt. Für
die Felder in den verschiedenen Medien gilt folgende Beziehung:
+ +
∗
n1 + n2 n2 + n3 i(k3 −k2 )d n1 − n2 n2 − n3 i(k2 +k3 )d
α13 β13
E1
E3
e
+
e
.
=
, α13 =
−
−
∗
E1
β13 α13
E3
2n1
2n2
2n1
2n2
Bestimmen Sie im Fall E3− = 0 das Transmissionsvermögen T = hS3+ i/hS1+ i als Funktion der
Brechungsindizes n1 , n2 , n3 und der Dicke d. Bestimmen Sie die kleinste Dicke d0 , für welche das
Transmissionsvermögen maximal wird. Zur Kontrolle: Tmax = 4n1 n22 n3 /(n1 n3 + n22 )2 . Für welche
Wahl von n2 bei gegebenem n1 , n3 , d0 wird Tmax maximal? Wie groß ist dieser Maximalwert?
4. Zeigen Sie: Für µ = µ0 lässt sich für in der Einfallsebene linear polarisierte ebene elektromagnetische Wellen das Amplitudenverhältnis von reflektierter und einfallender Welle schreiben als:
00 E0
sin 2θ − sin 2θ0
tan(θ − θ0 )
=
=
.
E0 k sin 2θ + sin 2θ0
tan(θ + θ0 )
Gehen Sie von dem in der Vorlesung hergeleiteten allgemeinen Ergebnis aus und benutzen Sie
das Brechungsgesetz und trigonometrische Relationen: sin 2θ ± sin 2θ0 = 2 sin(...) cos(...).