4. Folgen und Grenzwerte 4.3 Unendliche Reihen

4. Folgen und Grenzwerte
4.3 Unendliche Reihen
4. Folgen und Grenzwerte
4.3 Unendliche Reihen
Robert Preis
Mathematik für Chemiker
4. Folgen und Grenzwerte
4.3 Unendliche Reihen
Definition
Sei (ak )k ≥0 eine Folge.
Definition 4.22
Die Folge (sn )n≥0 der Partialsummen sn =
unendliche Reihe und wird mit
∞
P
n
P
ak heißt
k =0
ak bezeichnet.
k =0
Ganz entsprechend betrachtet man auch
∞
P
k =n0
ak für (ak )k ≥n0 .
Beispiel 4.23
a)
∞
X
k =0
−k
2
b)
∞
X
k =0
Robert Preis
k
∞
X
1
c)
k
k =1
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Konvergenz
Definition 4.24
Die unendliche Reihe
∞
P
ak heißt konvergent, falls die Folge
k =0
(sn ) der Partialsummen konvergiert. Dann nennt man
∞
P
s = lim sn den Wert der Reihe und schreibt kurz
ak = s.
n→∞
k =0
Sonst heißt die Reihe divergent.
Das Symbol
∞
P
ak steht also sowohl für die Folge der
k =0
Partialsummen (sn ) als auch für den Grenzwert, falls dieser
existiert.
Beispiel 4.25
∞
P
k ist divergent.
k =0
Robert Preis
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Die geometrische Reihe
Satz 4.26
Die geometrische Reihe
∞
X
qk = 1 + q + q2 + q3 + . . .
mit q ∈ C
k =0
hat die Partialsummen

n+1
1 − q
sn =
1−q

n+1
falls q 6= 1
falls q = 1
(sn ) (und damit die geometrische Reihe) ist genau dann
konvergent, wenn |q| < 1 gilt. Dann ist
∞
X
k =0
qk =
1
,
1−q
Robert Preis
|q| < 1.
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Die harmonische Reihe
Satz 4.27
∞
P
Konvergiert die Reihe
ak , so ist (ak ) eine Nullfolge.
k =0
Vorsicht! Aus an → 0 folgt nicht die Konvergenz der Reihe!
Satz 4.28 (Harmonische Reihe)
Die harmonische Reihe
∞
X
1
k
k =1
ist bestimmt divergent.
Robert Preis
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Anhang: Beweis von Satz 4.26
Für q = 1 ist offenbar sn = n + 1, also
∞
P
q k divergent.
k =0
Für q 6= 1 gilt
sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n
q sn =
q + q 2 + . . . + q n + q n+1
=⇒
sn − q sn = 1 − q n+1
=⇒
1 − q n+1
sn =
1−q
1
.
n→∞
n→∞
1−q
Sei nun |q| ≥ 1, q 6= 1. Wäre (sn ) konvergent, so müsste nach
Satz 4.11 auch (q n+1 ) konvergieren. Aus Beispiel 4.14 wissen
wir aber, dass (q n+1 ) divergent ist.
Zusammen: Die geometrische Reihe ist genau dann
konvergent, wenn |q| < 1.
Ist |q| < 1, so folgt lim q n+1 = 0 und daher lim sn =
Robert Preis
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Anhang: Beweis von Satz 4.28
Es ist
∞
P
k =1
1
k
=
1
+ 21
+ 13 +
+ 51 +
=
1
4
1
6
1
2
≥2·
+
1
7
+
1
8
≥4·
+ 91 + · · · +
≥8·
1
+ 17
+ ···
≥ 16
1
16
1
+ 32
1
1
4 = 2
1
1
8 = 2
1
1
16 = 2
1
· 32
= 12
..
.
+···
Für n = 2m gilt deshalb sn ≥ 1 +
divergent gegen +∞.
Robert Preis
m
2,
d.h. (sn ) ist bestimmt
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