Definitionen: Folgen

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Definitionen: Folgen
Zwei mögliche Definitionen:
Definition – Folge (1): Eine unendliche Abfolge von Zahlen (π‘Žπ‘› |𝑛 ∈ ℕ⋆ ) = (π‘Ž1 , π‘Ž2 , … , π‘Žπ‘› , … } heißt
eine unendliche Zahlenfolge, wenn ein β€žBildungsgesetzβ€œ (siehe z.B. Heron’sches
Verfahren) bekannt ist, welches es gestattet, zu jeder natürlichen Zahl 𝑛 =
1,2,3, … das zugehörige Folgenglied anzugeben.
Definition – Folge (2): Eine unendliche Zahlenfolge ist eine Funktion 𝑓: ℕ⋆ ⟢ ℝ|𝑛 ↦ 𝑓(𝑛) = π‘Žπ‘› .
Wichtige Begriffe und Schreibweisen:
(π‘Žπ‘› |𝑛 ∈ ℕ⋆ ) = (π‘Ž1 , π‘Ž2 , … , π‘Žπ‘› , … } = (π‘Žπ‘› )π‘›βˆˆβ„•β‹†
π‘Ž1 … π‘’π‘Ÿπ‘ π‘‘π‘’π‘  πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’π‘›π‘”π‘™π‘–π‘’π‘‘
π‘Ž2 … 𝑧𝑀𝑒𝑖𝑑𝑒𝑠 πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’π‘›π‘”π‘™π‘–π‘’π‘‘
π‘Žπ‘› … 𝑛 βˆ’ 𝑑𝑒𝑠 πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’π‘›π‘”π‘™π‘–π‘’π‘‘ 𝑏𝑧𝑀. π‘Žπ‘™π‘™π‘”π‘’π‘šπ‘”π‘’π‘–π‘›π‘’π‘  𝐺𝑙𝑖𝑒𝑑
𝑛 … (𝑍äβ„Žπ‘™ βˆ’)𝐼𝑛𝑑𝑒π‘₯ (𝑍äβ„Žπ‘™π‘£π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’, πΏπ‘Žπ‘’π‘“π‘£π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’), 𝑔𝑖𝑏𝑑 𝑑𝑒𝑛 π‘ƒπ‘™π‘Žπ‘‘π‘§ 𝑖𝑛 π‘‘π‘’π‘Ÿ πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’ π‘Žπ‘›
𝑛 ∈ ℕ⋆ … (π‘’π‘›π‘’π‘›π‘‘π‘™π‘–π‘β„Žπ‘’)(π‘π‘Žβ„Žπ‘™π‘’π‘› βˆ’)πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’
𝑛 ∈ {1,2,3, … , π‘˜} … π‘’π‘›π‘‘π‘™π‘–π‘β„Žπ‘’ π‘π‘Žβ„Žπ‘™π‘’π‘›π‘“π‘œπ‘™π‘”π‘’ π‘šπ‘–π‘‘ π‘˜ ∈ ℕ⋆ πΊπ‘™π‘–π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘›
𝐸𝑠 𝑔𝑖𝑏𝑑 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒𝑠: 𝑛 ∈ ℕ⋆ π‘œπ‘‘π‘’π‘Ÿ 𝑛 ∈ β„•, 𝑑. β„Ž. 𝑒𝑖𝑛𝑒 πΉπ‘œπ‘™π‘”π‘’ π‘˜π‘Žπ‘›π‘› π‘šπ‘–π‘‘ 𝐼𝑛𝑑𝑒π‘₯ 0 π‘œπ‘‘π‘’π‘Ÿ 1
𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛. 𝐽𝑒 π‘›π‘Žπ‘β„Žπ‘‘π‘’π‘š, π‘€π‘Žπ‘  π‘”π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘’ π‘π‘’π‘ π‘ π‘’π‘Ÿ π‘π‘Žπ‘ π‘ π‘‘.
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