(plus eins)
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SPEZIAL 2/2005 €8,90 SPECIALS (plus eins) Huberts Hotel Russells Barbier Peanos Himmelsleiter Cantors Diagonale Plancks Konstante I N H A L T : U N E N D L I C H ( P L U S 1) S.60 Das Kontinuum Was ist nach der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen das nächstgrößere Unendliche? Kurt Gödel (links) nahm die Antwort auf die Kontinuumshypothese vorweg Rekursive Verfahren S.16 Es genügt, dem Computer zu sagen, wie man eine Karte richtig in einem bereits sortierten Stapel einsteckt. Damit ist das Sortierungsproblem schon in voller Allgemeinheit gelöst-theoretisch wie praktisch Editorial 3 Impressum 31 Das Paradox von Jules Richard 40 Es ist erstaunlich schwer, eine Zahl mit Worten zu definieren Erster Vorstoß ins Unendliche: Bijektion 6 Der Albtraum des Bibliothekars 43 Muss man das Auswahlaxiom auswählen? 44 Zwei Mengen sind »gleich groß«, wenn man die eine mit der anderen abzählen kann Nein. Die Mathematik ist mit dem Auswahlaxiom so Induktion: Die Leiter ins Unendliche 10 widerspruchsfrei wie ohne Mit endlichen Mitteln unendlich viel auf einmal aussagen Der unendliche Abstieg Rekursive Verfahren: praktizierte Induktion 46 Sind Sie sicher? 47 16 Diskret Der Schritt von nnach n+1, ausgeführt vom Computer Leonhard Eulers unendliche Summen Das Paradox der Biografie 15 19 Cantors Diagonale 48 Ein einziges Argument zerstört den Traum von der Einheit- Dem Hexenmeister der Analysis über die Schulter geschaut lichkeit des Unendlichen - und von der Unbegrenztheit Die bizarre Welt der links-unendlichen Zahlen 24 unserer Erkenntnismöglichkeiten Unendlich viele Ziffern vor dem Komma - warum nicht? Unendlich plus eins Es gibt ein Leben nach dem Ende der natürlichen Zahlen Verschieden und doch gleich 52 Die rationalen Zahlen sind abzählbar 53 32 SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT SPEZIAL 2/05: UNENDLICH (PLUS 1) Das niemals ausgebuchte Hotel Von den rationalen zu den reellen Zahlen S. 76 54 Gegen die »harte« Unendlichkeit der reellen Zahlen hilft keine Schon aus touristischen Gründen sollte man dem Induktion. Andere Hilfsmittel wie Grenzwerte, Intervallschach- Hotel Hubert mit seinen abzählbar unendlich vielen telungen und Stetigkeit sind heranzuziehen Zimmern einen Besuch abstatten Das Kontinuum: Labyrinth der Vernunft 60 Es gibt einen Zeitpunkt, aber nicht den unmittelbar benachbarten Zeitpunkt. Wie soll man das verstehen? Wie viel wiegen die rationalen Zahlen? 64 Nichts! Vor der Übermacht der namenlosen reellen Zahlen verblasst alles, was man mit Brüchen ausdrücken kann, zur Bedeutungslosigkeit Triumph des Diskreten: Plancks Konstante 70 Physik ist kontinuierlich - dachten die Physiker. Da musste Max Planck sie wider Willen eines Besseren belehren Bijektion Das Hotel Hubert S. 6 76 Alle Zimmer sind belegt? Das macht nichts. Ein kleiner Umzug - Alle Plätze belegt, und keiner mehrfach: Dieser und abzählbar viele neue Gäste finden Platz Traum des Theaterdirektors lässt sich auch an abstrakten, unendlichen Schauplätzen realisieren Aufgaben und Lösungen SPEKTRUM DER W I S S E N S C H A F T 69/81 SPEZIAL 2 / 0 5 : UNENDLICH (PLUS 1) Zum Titelbild: Mit einer geschickt gewählten Projektion lässt sich eine unendliche Anzahl von Würfeln in einem endlichen Sechseck unterbringen. Einige der zentralen Würfel »tanzen aus der Reihe« - aus künstlerischen Gründen. BILO: ALEXANDER KOEWIUS
