Zahlen, Zahlen, Zahlen

Mathematik AG
Zahlen, Zahlen, Zahlen
Natürliche Zahlen
Wir betrachten Anzahlen von Gegenständen:
,
,
N = {1,
{1 2,
2 3,
3 ...}
Damit haben wir die natürlichen Zahlen.
…
Rechnen mit natürlichen Zahlen
Wir können natürliche Zahlen addieren:
+ =
+
=
Die Addition von zwei natürlichen Zahlen ergibt
wieder eine natürliche Zahl!
Nach oben, nach oben!
Gibt es eine größte
natürliche Zahl?
Nein:
Zu jeder Zahl können wir noch eins
addieren und erhalten eine größere Zahl!
+
+
=
=
Unendlich viele Zahlen
Wenn ich zu einer natürlichen Zahl 1
addiere, so habe ich wieder eine
natürliche Zahl
1
+1=
2
3
4
x
x+1
Das Hilbertsche Hotel
Im Hilbertschen Hotel gibt es
unendlich viele Zimmer, für jede
natürliche Zahl eines.
Jedes Zimmer ist mit einem
Gast belegt.
1
2
3
4
5
6
7
8
N = {1,
{1 2,
2 3,
3 ...}
9
10
11
Können wir den neuen Gast noch unterbringen?
Der Trick im Hilbertschen Hotel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
• Gast 1 zieht in Zimmer 2
• Gast 2 zieht in Zimmer 3
• Gast 3 zieht in Zimmer 4
•…
• Der neue Gast zieht nach 1
10
11
Was fehlt uns?
Wir können nicht beliebig subtrahieren:
-
=
=
= ???
Die Null!
Wir führen eine neue Zahl ein, die 0.
N0 = {{0, 1, 2, 3, . . . }
-
=0
= ???
Die ganzen Zahlen
Wir brauchen noch mehr:
Zu jeder Zahl brauchen wir
noch eine Gegenzahl!
Z = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
3 =0
+ -3
= -1
1
-
Sind wir jetzt fertig?
Z = {{−3,, −2,, −1,, 0,, 1,, 2,, 3,, . . . }
Mit den ganzen Zahlen können wir nach Herzenslust
addieren und subtrahieren!
Damit können wir jetzt nach
Hause gehen… oder fehlt uns
noch
h etwas?
t
?
Teilen eines Apfels
Manchmal müssen wir einen
Apfel teilen!
Die rationalen Zahlen
:
=
n
Q = { : n ∈ Z, m ∈ N}
m
Die rationalen Zahlen
n
Q = { : n ∈ Z , m ∈ N}
m
1
2
5
3
2
2
=
=
Unser Zahlenweltbild
Natürliche Zahlen
N = {1,
{1 2,
2 3,
3 ...}
N0
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Z
Q
Das Apfelfeld
1
Wie lang ist denn
da die Diagonale?
1
Die große Krise
Jede Zahl ist in der Form
n
m
darstellbar.
Für die Länge
der Diagonale
gilt das aber
nicht:
√
2∈
/Q
Die irrationalen Zahlen
Nicht jede Zahl ist in der Form
n
m
darstellbar.
√
2 = 1,
1 414213562 . . .
π = 3,
3 1415926535 . . .
Die Kreisszahl π
Bildquelle: de.wikipedia.org
Die Kreiszahl π
Umfang
π = Durchmesser
Die πzza-Methode
Ich bin eine Pizza
… und wir sind SalamiScheiben!
Die πzza-Methode
π≈
5
Die πzza-Methode
π≈
17
5
= 3,, 4
Jetzt mit Smarties
Jetzt mit Smarties
π≈
31
s10
= 3,, 1
Ist „Unendlich“ eine Zahl?
Wenn ich zu einer natürlichen Zahl 1
addiere, so habe ich wieder eine
natürliche Zahl
1
+1=
2
3
4
• Es gibt keine größte Zahl.
• Es gibt „unendlich“ viele natürliche Zahlen.
x
x+1
Wo fängt „Unendlich“ an?
Im Urwald gibt es heute
noch
Eingeborenenstämme, die
nur bis 10 zählen
(können).
viele
viele
viele
Rechnen im Urwald
viele
+
+
+
=
=
=
viele
iele
viele
Zahlen bei uns und im Urwald
Die Zahlen hören bei
10 auf!
f!
viele
+ = viele
Unsere Zahlen hören nicht
auf!
unendlich
+ = unendlich
Aber: Unendlich ist keine „echte Zahl“!
Der Trick im Hilbertschen Hotel
unendlich
1
2
3
4
5
+ = unendlich
6
7
8
9
• Gast 1 zieht in Zimmer 2
• Gast 2 zieht in Zimmer 3
• Gast 3 zieht in Zimmer 4
•…
• Der neue Gast zieht nach 1
10
11