2. Kennzahlen der beiden Gruppen: Kommentar: Je nach Software

2. Kennzahlen der beiden Gruppen:
GRUPPE A
Umfang n
Minimum
Unteres Quartil
Median
Oberes Quartil
Maximum
Mittelwert
Quartilsabstand
Standardabweichung
Standardfehler
Varianz
GRUPPE B
13
1.760
2.000
2.220
2.460
2.590
2.218
0.460
0.255
0.071
0.065
Umfang n
Minimum
Unteres Quartil
Median
Oberes Quartil
Maximum
Mittelwert
Quartilsabstand
Standardabweichung
Standardfehler
Varianz
10
2.190
2.485
2.680
2.923
3.240
2.697
0.438
0.306
0.097
0.094
Magnesiumgehalt
3.5
Kommentar: Je nach Software sind
die Boxplots verschieden definiert;
ausser den vorgeschlagenen Boxplots
wären auch zwei Strichdiagramme
sinnvoll (dagegen sind hier für
Histogramme die Stichprobenumfänge zu klein).
3.0
2.5
2.0
1.5
A
B
theoret. Quantile
2
Kommentar: Der Normality Plot
zeigt für beide Gruppen kein Indiz
gegen die Linearität (also kein Indiz gegen Normalverteilung), und,
da diese Linien etwa die gleiche
Steigung haben, auch kein Indiz
gegen unterschiedliche Standardabweichungen.
❛
1
0
❛
-1
❛
-2
1.5
❛
A ❛
❛
❛
❛
❛
❛
❛
q
❛
q
❛
q
q
q
q
q
q B
q
q
2.0
2.5
3.0
Magnesiumgehalt
3.5
Der Shapiro-Francia-Test ergibt für Gruppe A: r = 0.990 > 0.932 = r0.05
(mit n = 13) und für Gruppe B: r = 0.996 > 0.918 = r0.05 (mit n = 10).
Bei beiden Gruppen liefert der Test also kein Indiz gegen die Annahme der
Normalverteilung.
• Gruppe A: n = 13, somit ν = 12 und t = 2.179 (zu p = 0.95, Tabelle
7.2), also ist das 95-%-Vertrauensintervall für µA :
2.218 ± 2.179 · 0.071 = (2.06, 2.37)
1
Gruppe B: n = 10, somit ν = 9 und t = 2.262, also ist das 95-%Vertrauensintervall für µB :
2.697 ± 2.262 · 0.097 = (2.48, 2.92)
• Testproblem: Vergleich der Mittelwerte von zwei ungepaarten Stichproben; H0 : µA = µB , H1 : µA = µB ;
unverbundener t-Test, da die Voraussetzungen, wie oben untersucht,
dazu erfüllt sind; die Testgrösse
2.218 − 2.697
t= 12 · 0.065 + 9 · 0.094
21
13 · 10
= −4.097
23
ist unter H0 t-verteilt mit ν = 21 Freiheitsgraden, also t0.975 = 2.080;
wegen | − 4.097| > 2.080 wird die Nullhypothese abgelehnt,
d.h. der mittlere Magnesiumgehalt der Gruppen A und B sind signifikant
verschieden, und zwar in dem Sinne, dass der Mittelwert der Gruppe A
signifikant kleiner ist als derjenige der Gruppe B.
Die statistische Software liefert p < 0.001.
• Es gilt (wie in Problem 1, Seite 57)
2.50 − 2.218
2.10 − 2.218
p=Φ
−Φ
0.255
0.255
= Φ(1.106) − Φ(−0.461) = 0.866 − (1 − 0.677) = 0.543
• Es gilt
x0.10 − 2.218
= Φ(z0.10 ) = 0.10 = p
0.255
und z0.10 = −1.282, also (x0.10 − 2.218)/(0.255) = −1.282 und somit
x0.10 = 1.89.
Allgemein gilt: xp = σ · zp + µ.
Φ
2