5 Gemischte Aufgaben 6 Freunde, Fremde und Cliquen

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Gemischte Aufgaben
1. G sei ein nichtzusammenhängender Graph. Beweise, dass sein Komplement, G, zusammenhängend ist.
2. Sei G ein zusammenhängender Graph. Eine Kante e heißt Brücke, wenn der Graph beim
Entfernen von e auseinanderfällt. Zeige, dass e keine Brücke ist dann und nur dann wenn e
zu einem Zyklus gehört.
3. Ein Graph heißt planar wenn man ihn so zeichnen kann, dass Kanten sich nur an Knoten
schneiden.
(a) Stelle fest, dass K5 und K3,3 nicht planar sind.1
(b) Ein planarer Graph G ohne Mehrfachkanten habe n ≥ 3 Knoten. Zeige, dass G maximal
3n − 6 Kanten hat. (Hinweis: Sieht ein planarer Graph nicht etwa wie ein Polyeder aus?)
4. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit einer geraden Anzahl an Knoten. Zeige,
dass man eine Teilmenge von Kanten aus E wählen kann, sodass jeder Knoten mit einer
ungeraden Anzahl an gewählten Kanten verbunden ist.
5. (Italien, Vorwahl 2007) Es sei n eine positive, ungerade ganze Zahl. Es gibt n Computer
und je zwei Computer sind durch genau ein Kabel verbunden. Valencia hat die Aufgabe
bekommen, die Computer und die Kabel so zu färben, dass erstens keine zwei Computer
dieselbe Farbe haben, zweitens keine zwei Kabel, die zu demselben Computer führen,
dieselbe Farbe haben und drittens kein Computer dieselbe Farbe hat wie ein Kabel, das mit
ihm verbunden ist. Zeige, dass dies mit n Farben möglich ist.
6. Die Zahl χ(G) sei die minimale Anzahl an Farben, die nötig ist, um die Knoten des Graphens
G = (V, E) so zu färben, dass keine zwei benachbarten Knoten dieselbe Farbe haben. Sei m
die Anzahl an Kanten in G, d.h. |E| = m. Zeige, dass folgendes gilt:
1
χ(G) ≤ +
2
�
1
2m + .
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Man nennt χ(G) die chromatische Zahl von G.
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Freunde, Fremde und Cliquen
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und U eine Teilmenge von V. Man
bezeichnet U als Clique von G, wenn für je zwei beliebige verschiedene Knoten v und w aus U gilt,
dass sie durch eine Kante miteinander verbunden sind. Diese Definition ist wichtig in gewissen
Matheolympiade-Aufgaben, die Freunde und Fremde beinhalten.
1. (Alberta 2007) Sei n eine positive ganze Zahl. Eine Schülergruppe hat eine Prüfung geschrieben, die aus n Aufgaben bestand. Für jede Aufgabe gilt, dass genau drei Schüler sie lösen
konnten, aber kein Schüler hat es geschafft alle Aufgaben zu lösen. Außerdem gilt, dass zu
je zwei Aufgaben es genau einen Schüler gibt, der sie beide gelöst hat. Was kann n maximal
sein?
2. Sei n eine positive ganze Zahl. In einem Verein mit 2n + 1 Mitgliedern werden je zwei als
Freunde oder Fremde gekennzeichnet. Für jede Teilmenge S mit maximal n Vereinsmitgliedern, gibt es genau eine Person außerhalb von S, die mit allen in S befreundet ist. Zeige,
dass es in dem Verein wenigsten eine Person geben muss, die mit allen befreundet ist.
3. Satz von Turán Sei G ein Graph mit n Knoten und m eine ganze Zahl mit 2 ≤ m ≤ n.
Angenommen, G habe keine Clique der Größe m. Zeige, dass die Anzahl der Kanten in G
maximal die folgende ist:
�
�
n2
1
1−
.
2
m−1
1 Der Satz von Kuratowski sagt, dass ein Graph G planar ist dann und nur dann wenn es kein K oder K
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3,3 enthält (als
Teilgraphen).
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4. (APMO 1990) Auf einer Party mit n Leuten werden je zwei Gäste als Freunde oder Fremde
gekennzeichnet. Die folgenden Aussagen gelten:
• Keiner ist mit allen befreundet.
• Je zwei beliebigen Gäste, die fremd sind, haben genau einen gemeinsamen Freund.
• Keine beliebigen drei Gäste sind alle untereinander befreundet.
Zeige, dass jeder dieselbe Anzahl an Freunden hat.
5. Sei n eine positive ganze Zahl. Für eine Menge S an 2n reellen Zahlen, finde die maximale
mögliche Anzahl an paarweise (positiven) Differenzen zwischen zwei Elementen in S, die
in dem Intervall (1, 2) sind.
6. (IMO 2001, Washington, USA) Wir definieren eine k-Clique als eine Menge mit k Menschen
so dass je beliebigen zwei von ihnen einander kennen. Auf einer bestimmten Feier haben
je beliebigen zwei 3-Cliquen minimal eine Person gemeinsam und es gab keine 5-Cliquen.
Zeige, dass es zwei oder weniger Menschen auf der Party gibt, die durch das Verlassen der
Party verursachen können, dass es keine 3-Clique mehr auf der Party zu finden ist.
7. Sei G ein Graph mit n Knoten und m Kanten, der keine 4er Kreise hat. Zeige, dass folgendes
gilt:
√
n
m ≤ (1 + 4n − 3).
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8. (APMO 1989) Sei G ein Graph mit n Knoten und m Kanten. Zeige, dass der Graph genau
m(4m − n2 )
3n
3er Kreise enthält.
9. Es gibt 2n Menschen beim Konzert. Jeder Konzertbesucher hat eine gerade Anzahl an Freunden, die beim Konzert anwesend sind. Zeige, dass es zwei Konzertbesucher gibt, die eine
gerade Anzahl an gemeinsamen Freunden unter den Konzertbesuchern haben.
10. In einer Gruppe mit n Menschen kann man je beliebigen zwei von ihnen entweder als
Freunde oder Fremde beschreiben. Egal wie man die Menschen auf zwei Boote verteilt, es
gibt auf beiden Booten jeweils zwei Menschen, die miteinander befreundet sind. Zeige, dass
es eine Person gibt, die mit maximal 2n/5 der Menschen in der Gruppe befreundet ist.
11. (IMO 2002, Glasgow, Schottland) 120 Musiker sitzen in einem Konzertsaal und unter ihnen
sind je zwei entweder Freunde oder Fremde. Man bezeichnet eine Menge von vier Musikern
als ein schwaches Quartett wenn genau zwei von vier in dem Quartett einander kennen. Finde
die maximale mögliche Anzahl an schwachen Quartetten in dem Konzertsaal.
(Hinweis: Zeige, dass in einem Graphen, wo die maximale mögliche Anzahl an schwachen
Quartetten vorhanden ist, der Graph aus einer disjunkten Vereinigung von kompletten
Graphen besteht, z.B. wenn x, y benachbart sind und y, z benachbart sind, dann sind x, z
benachbart.)
12. (IMO 2007, Hanoi, Vietnam) In einem mathematischen Wettbewerb sind einige Teilnehmende miteinander befreundet. Freundschaft beruhe auf Gegenseitigkeit. Eine Gruppe von
Teilnehmenden heiße Clique, wenn je zwei von ihnen befreundet sind. (Insbesondere ist jede
Gruppe von weniger als zwei Teilnehmenden eine Clique.) Die Größe einer Clique ist die
Anzahl ihrer Mitglieder. Die maximale Größe einer Clique in diesem Wettbewerb sei gerade.
Man beweise, dass die Teilnehmenden so auf zwei Räume aufgeteilt werden können, dass
die maximale Größe einer Clique in einem Raum gleich der maximalen Größe einer Clique
im anderen Raum ist.
(Hinweis: Sei C die größte Clique. Setze jeden in ein Raum und fange an Leute von C
in den anderen Raum zu lagern, einen nach dem anderen bis die Differenz der maximalen
Cliquen-Größe in den beiden Zimmern entweder Null oder 1 ist. Wenn Null sind wir soweit.
Sonst?)
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