Polynomringe Bemerkung Satz Bemerkung Definition Anmerkung

Martin Gubisch
Lineare Algebra I
WS 2007/2008
Polynomringe
Bemerkung
In (1.2) haben wir zu den reellen Zahlen künstlich ein neues Element
i2 = −1
bilden. Formal haben wir dies bewerkstelligt, indem wir für
(a, b) ∈ R2
Paar
i hinzugefügt, welches die Beziehung
erfüllt. Auf diese Weise haben wir die komplexen Zahlen erhalten, welche wieder einen Körper
a, b ∈ R
die komplexe Zahl
Wir wollen nun zu den reellen Zahlen (oder allgemeiner zu einem Körper
X
a + bi
durch das
modelliert haben.
hinzufügen, welches
keine
K ) künstlich ein neues Element
Beziehungen erfüllt. Auf diese Weise werden wir den Polynomring über
den reellen Zahlen erhalten, der einen Integritätsring, aber keinen Körper bildet.
a0 , ..., an ∈ R das Polynom an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0
(a0 , a1 , ..., an−1 , an , 0, 0, 0, ...) modellieren. Dies ist nur ein bisschen aufwendiger als bei
Formal könnte man dazu für
durch die
Folge
den kom-
plexen Zahlen.
Man kann dann folgende Tatsache beweisen:
Satz
Sei
K
ein Körper. Dann gibt es einen Integritätsring
K[X],
genannt
folgenden Eigenschaften:
(1)
K[X]
(2)
X
umfasst den Körper
ist ein Element von
K
a0 , ..., an ∈ K
(1) Dabei steht
X
gilt:
natürlich für
a0 , ..., an , b0 , ..., bn ∈ K
(2) Für
K
Seien
Falls
aus
i Faktoren
z
}|
{
X · X · ... · X .
gilt:
K.
a0 , ..., an ∈ K .
an 6= 0,
Dann heiÿt
so sagt man,
Weiter bezeichnet man
an
mit
an X n + an−1 X n−1 + ... + a1 X + a0 = 0 ⇒ a0 = ... = an = 0.
an X n + ... + a0 = bn X n + ... + b0 ⇔ a0 = b0 , ..., an = bn .
ein Körper. Die Elemente von
zienten
K,
an X n +an−1 X n−1 +...+a1 X +a0 mit a0 , ..., an ∈ K .
Definition
Sei
über
K[X].
Bemerkung
i
X
in
und setzt dessen Verknüpfungen fort.
(3) Die Elemente von K[X] sind alle von der Form
(4) Für alle
Polynomring
an X
nennt man
Polynome
in der
Unbestimmten X
-te Koezient
a X + ... + a
+ ... + a
Grad n
deg(f ) = n
höchsten Koezienten
Leitkoezienten a
ai
n
K[X]
der
i
des Polynoms
0 habe den
n
n
Koe-
0.
und schreibt
als den
mit
.
oder
n
von
nX
+ ... + a0 .
Grad
m + n.
Anmerkung
Seien
K
ein Körper und
f, g ∈ K[X].
Hat
f
Grad
m
und
g
Grad
n,
dann hat
fg
Bemerkung
Der Mangel eines Integritätsrings gegenüber einem Körper ist, dass man bei Division zweier Elemente zu
einem gröÿeren Rechenbereich, dem Quotientenkörper, übergehen muss. Die hier betrachteten Polynomringe verfügen allerdings (wie die ganzen Zahlen) auch über eine Art von Division, die sich innerhalb des
Ringes abspielt. Dies ist eine
Division mit Rest
.
In den ganzen Zahlen besagt die Tatsache, dass sich
gerade, dass es einen Quotienten
K[X]
q∈Z
m∈Z
und einen Rest
lautet die entsprechende Aussage wie folgt:
durch
r∈Z
n ∈ Z\{0} mit Rest
m = qn + r
gibt mit
dividieren lässt,
und
|r| < |n|.
In
Satz
K ein Körper und seien f, g ∈ K[X], g 6= 0. Dann gibt es q, r ∈ K[X] mit f = qg + r,
r = 0 gilt (das heiÿt die Division geht auf ) oder r einen kleineren Grad hat als g .
Sei
so dass
Beweis
Wir führen eine
Nullpolynom
Induktion über den Grad von
0 ∈ K[X]
den Grad
−1
f,
wobei wir (nur für die Dauer dieses Beweises) dem
zuordnen.
g hat. Dann leisten q := 0
k := deg(f ) − deg(g) > 0. Bezeichne a den
a k
Leitkoezienten von f und b den von g . Dann ist f − X g ∈ K[X] ein Polynom von kleinerem Grad als
b
f . Wir können also auf dieses Polynom die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten p, r ∈ K[X]
a k
mit f − X g = pg + r , so dass r einen kleineren Grad als g hat.
b
Als Induktionsanfang betrachten wir den Fall, dass
und
r := f
f
einen kleineren Grad als
das Gewünschte. Im Induktionsschritt sei also nun
Setzt man nun
q := ab X k + p,
q
so leisten
und
r
das Gewünschte.
Definition
f = an X n + ... + a0 ∈ K[X] ein Polynom mit Koezienten a0 , ..., an ∈ K . Sei weiter x ∈ K . Da
a0, ..., an durch f eindeutig bestimmt sind, können wir f (x) := an xn + ... + a0 ∈ K denieren. Man
spricht davon, dass x in f eingesetzt wird.
Sei
Ein
x∈K
heiÿt
Nullstelle
f,
von
falls
f (x) = 0
gilt.
Bemerkung
(1) Seien
(2) Sei
f, g ∈ K[X]
x∈K
und
x ∈ K.
eine Nullstelle von
(3) Ein Polynom aus
(4) Jedes Polynom
K[X]\{0}
f ∈ K[X]
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
Dann gilt
f ∈ K[X].
vom Grad
hat höchstens
deniert eine Funktion
Polynom denieren lassen, heiÿen
q ∈ K[X]
Dann gibt es ein
n
und
n
(f g)(x) = (f (x))(g(x)).
mit
f = q(X − x).
verschiedenen Nullstellen in
K→ K
. Funktionen
x 7→ f (x)
Polynomfunktionen
K → K,
K.
die sich durch ein
.
Beachte
Es besteht ein Unterschied zwischen einer Polynomfunktion und dem zugehörigen Polynom. Nimmt man
für
K
F2 , so gibt es sicher unendlich viele Polynome über K . Es
K → K , da es überhaupt nur vier Funktionen K → K gibt.
etwa den zweielementigen Körper
allerdings nur vier Polynomfunktionen
gibt
Bemerkung
Ist
K
ein unendlicher Körper und sind
(das heiÿt
f (x) = g(x)
für alle
x ∈ K),
f, g
Polynome in
dann gilt bereits
K[X], die
f = g.
die selbe Polynomfunktion darstellen
Definition
f = an X n + ... + a0 ∈ K[X] ein Polynom mit Koezienten a0 , ..., an ∈ K . Weiter sei V ein K Vektorraum und Hom(V, V ) der Ring der Endomorphismen von V (mit der Hintereinanderausführung
als Multiplikation) mit ϕ ∈ Hom(V, V ). Da a0 , ..., an durch f eindeutig bestimmt sind, können wir
Sei
f (ϕ) := an ϕn + ... + a0 idV ∈
denieren. Man spricht davon, daÿ der Endomorphismus
ϕ
Hom(V, V
)
in das Polynom
f
eingesetzt wird.
Bemerkung
(1)
ϕi steht dabei
ϕ0 = idV .
i-malige
ϕ...ϕ = ϕ ◦ ... ◦ ϕ und es gilt
| {z }
| {z }
i Faktoren
i Faktoren
ϕ ∈ Hom(V, V ). Dann gilt (f + g)(ϕ) = f (ϕ) + g(ϕ)
Hintereinanderausführung
f, g ∈ K[X], V ein K -Vektorraum
(f g)(ϕ) = (f (ϕ))(g(ϕ)).
(2) Seien
und
natürlich für die
und