Grundwissen: Mathematik (6

EvBG Spardorf:
Grundwissen Mathematik
9. Jahrgangsstufe
Wissen und Können
Aufgaben, Beispiele, Erläuterungen
1. Reelle Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen besteht aus
- den rationalen Zahlen (endliche und
unendliche, periodische Dezimalzahlen)
- den irrationalen Zahlen (unendliche,
nichtperiodische Dezimalzahlen)
n-te Wurzeln
n
a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren
n-te Potenz den Wert a hat.
n
a ist nur für a  0 definiert!
Beispiele für
1
rationale Zahlen: -4; 0; 22;
2
;
2
; -1, 47
3
3
2 ; - 5 ;  ; 2,1010010001....
irrationale Zahlen:
5
32 = 2 , da 25 = 32 .
Rechnen mit Quadratwurzeln:
50 
2 = 50  2 = 100 = 10 ;
6
=
2
6 2
2 2
=
3
8
27 ;
4
1 ;
0,0625 [1a]
12 : 3 = 12 : 3 = 4 = 2
(teilweise radizieren) .
8 = 42 =2 2
Die 2. Wurzel heißt Quadratwurzel:
2
a schreibt man kurz a .
Berechne:
48 ;
[1b]
4x y 3
15 3x 2
6 2
= 3 2 (Nenner rational machen)
;
5
2
x
[1c]
Potenzschreibweise für Wurzeln:
n
a =a
1
n
n
m
a =a
m
n
x2  x4  x3 = x9 ;
5
1
2
4
1
 ( ) 2 = ( 5 
4
1
(3 4 ) 2 = 3 2 = 9 ;
1
Vereinfache:
2. Binomische Formeln
(2x + 3) 2 = 4x 2 + 12x + 9
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
1
5
1
2,5 2  10 2 ;
5
1
) 2 = 4 2 =
Rechengesetze für Potenzen: (x,yQ)
ax  ay = ax+y
ax : ay = ax-y
(ax)y = axy
ax  bx = (a  b)x
ax : bx = (a : b)x
0,64 2 : 0,64 1,5 ;
1
4
=
3 4
1
1
1
7 = ( 7 4 ) 3 = 7 12 =
12
7
1
2
3
(9 2 ) 4 ;
5
32
[1d]
3
( 2 + 5 )( 2 – 5 ) = ( 2 ) 2 – ( 5 ) 2 = 2 – 5 = -3
Faktorisieren:
25r 2 – 70rs + 49s 2 = (5r – 7s) 2 ;
1
4
x 2 – 100 = (
1
2
x + 10)(
1
2
x – 10)
3. Quadratische Funktionen y=ax²+bx+c
Der Graph einer quadr. Funktion ist eine
Parabel. Um Lage und Form der Parabel
zu bestimmen, kann man die Funktionsgleichung mittels quadratischer Ergänzung
in die Scheitelform y=a(x–d)2+e bringen.
Koordinaten des Scheitels: S(de).
Bestimme den
Scheitel:
y = 4x 2 + 4x – 1
y=
1
3
x 2 – 2x + 4
[3]
Der Graph der Funktion y=x² heißt Normalparabel. Der Graph der allgemeinen
quadr. Funktion y=ax²+bx+c ist für a>0
nach oben, für a<0 nach unten geöffnet;
er ist für a>1 enger, für a<1 weiter als
die Normalparabel.
y = 0,5x 2 – 2x + 5 = 0,5 (x 2 – 4x) + 5 = 0,5 (x 2 – 4x + 2 2 – 2 2 ) + 5 =
0,5 [(x – 2) 2 – 4] + 5 = 0,5 (x – 2) 2 + 3
 S(23)
4. Quadratische Gleichungen
Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 (a  0)
heißen quadratische Gleichungen.
Ihre Lösungen sind die Nullstellen der
quadratischen Funktion y=ax²+bx+c.
Folglich kann eine quadratische Gleichung
zwei Lösungen (Graph der zug. quadr.
Funktion schneidet die x-Achse), eine
Lösung (Graph der zug. quadr. Funktion
berührt die x-Achse) oder keine Lösung
(Graph der zug. quadr. Funktion verläuft
nur oberhalb oder nur unterhalb der xAchse) haben.
x 2 – 4x + 3 = 0
L = {1;3}
x 2 + 4x + 4 = 0
L = {-2}
x 2 – 8x + 16 = 0
L={ }
Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung ax²+bx+c=0 ergibt sich
aus der Diskriminante D = b² – 4ac
folgendermaßen:
D>0 : zwei Lösungen
D=0 : eine Lösung
D<0 : keine Lösung.
2x 2 + 3x – 9 = 0
Für D>0 sind die beiden Lösungen
Lösung durch Probieren (ganzzahlige Teiler von -6):
x 1, 2 =  b 
2
b  4ac
2a
Anzahl der Lösungen: D = 32 – 4  2  (-9) = 81 > 0  zwei Lösungen !
39
 3  81
=
4
22
2
x +x–6=0
x 1, 2 =
Satz von Vieta:
; x 1 = 1,5
x 1  x 2 = c = -6
;
x 2 = -3
;
L = {1,5 ; -3}
x 1 + x 2 = -b = -1
L = {-3 ; 2}
(Lösungsformel) Achtung: Manchmal geht´s auch einfacher:
x 2 – 25 = 0
x 2 – 7x = 0
(x – 5) (x + 1,5) = 0
L = {-1,5 ; 5}
Sind x1 und x2 Lösungen der quadratischen Gleichung ax²+bx+c=0 , so lässt
sich der Term ax²+bx+c als Produkt von
Linearfaktoren schreiben:
ax²+bx+c = a(x – x1)(x – x2)
x 2 = 25
L = {  5}
5. Gleichungssysteme
A(-16), B(10) und C(23) liegen auf der Parabel y=ax²+bx+c.
Sind von einer Parabel drei verschiedene
Punkte A, B und C gegeben, so lassen
sich die Variablen a, b und c der Parabelgleichung y=ax²+bx+c durch Lösen eines
Gleichungssystems mit drei Gleichungen
und drei Unbekannten bestimmen.
(I) 6 = a – b + c
(II) 0 = a + b + c
(III) 3 = 4a + 2b + c
(II) – (I): -6 = 2b  b = -3 (II’)
(III) – (I): -3 = 3a + 3b
(III’)
(II’) in (III’): a = -1 – b = 2
6. Mehrstufige Zufallsexperimente
x (x – 7) = 0
L = {0 ; 7}
Bestimme die Lösungsmenge:
2x 2 – 3x – 14 = 0 ; -x 2 + 4x – 5 = 0 ;
0,5x 2 – 2x + 2 = 0
[4]
a, b in (I): c = 6 – a + b = 1
Die Gleichung der gesuchten Parabel
lautet y = 2x2 – 3x + 1 .
Welche Parabel geht durch A(10,5),
B(-211) und C(0-2)?
[5]
In einer Urne befinden sich drei rote und zwei schwarze Kugeln.
Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) zwei schwarze Kugeln zu ziehen (Ereignis A)?
b) eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen (Ereignis B)?
Zur Veranschaulichung dienen Baumdiagramme. Dabei gelten folgende
Pfadregeln:
- Die Summe der Wahrscheinlichkeiten
auf den Ästen, die von einem VerP(A) = 0,4  0,25 = 10%
zweigungspunkt ausgehen, ist immer 1.
r
- Die Wahrscheinlichkeit eines ErgebP(B) = 0,6  0,5 + 0,4  0,75
nisses ist gleich dem Produkt der

Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad,
= 60%
der zu diesem Ergebnis führt.
s
- Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus der oben beschriebenen Urne
Wahrscheinlichkeiten für die zugehöbeim dreimaligen Ziehen ohne Zurücklegen genau zwei rote und eine
rigen Ergebnisse.
schwarze Kugel zu ziehen?
[6]
7. Die Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras:
2
2
In einer 20 cm langen (a), 12 cm breiten (b) und 9 cm hohen (c) Schachtel soll ein Stab verpackt werden. Wie lang darf der Stab höchstens sein,
damit er in die Schachtel passt?
Satz des Pythagoras zur Berechnung
der Länge der Grundflächendiagonale e:
e2 = a2 + b2 ; e = a²  b² = 23,3 cm
Satz des Pythagoras zur Berechnung
der Länge der Raumdiagonale f:
f2 = e2 + c2 ; f = e²  c² = 25 cm
2
a +b =c
In einem rechtwinkligen Dreieck hat das
Quadrat über der Hypotenuse den
gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate
über den beiden Katheten zusammen.
Der Stab darf 25 cm lang sein.
Konstruiere eine Strecke der Länge
15 cm.
Lösung:
Auch die Umkehrung ist richtig: Gilt für die Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit c = 5 cm und p = 3 cm.
Seiten eines Dreiecks obige Gleichung, so Zeichne dazu [AB] und markiere den Lotfußpunkt F der Höhe h durch
ist es rechtwinklig.
Abtragen von p. Das Lot zu [AB] in F schneidet den Thaleskreis über
[AB] im Punkt C.
Kathetensatz: a2 = c  p , b2 = c  q
Nach dem Kathetensatz gilt: a2 = c  p = 15 cm2.
Also hat die Kathete a die Länge 15 cm.
Höhensatz:
h2 = p  q
8. Trigonometrie
In einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC gilt: a = 4,2 cm und
Berechne b und c.
4,2cm
a
a
sin  
 c=
=
= 8,4 cm
c
sinα
sin30
b
cos  
 b = c  cos  = 7,3 cm
c
in einem rechtwinkligen Dreieck werden
folgende Seitenverhältnisse betrachtet:
sin  
cos  
tan  
Gegenkathete von 
Hypotenuse

a
c
Berechne den Steigungswinkel einer Fahrbahn bei einer Steigung von
20 %.
Ankathete von 
b

Hypotenuse
c
Gegenkathete von 
Ankathete von 

 = 30°.
tan  =
tan 
a
b
Wichtige Beziehungen:
sin   cos(90   ) ; cos   sin(90   )
tan   sin  ; (sin  ) 2  (cos  ) 2  1
cos 
20
= 0,2   = 11,3°
100
Um in ein Fenster in 2,5 m Höhe einsteigen zu können, wird eine 3 m
lange Leiter schräg an die Wand gestellt. Wie groß ist der Neigungswinkel der Leiter?
[8]
9. Raumgeometrie
Allgemeine Bezeichnungen:
Gerades Prisma:
G: Grundflächeninhalt
M: Mantelflächeninhalt (alle Seitenflächen zusammen)
O: Oberflächeninhalt
V: Volumen
h: Höhe des Körpers
r: Kreisradius
m: Mantellinie
O = 2G + M
V=Gh
Gerader Kreiszylinder:
O = 2r (r + h)
m berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: m2 = r2 + h2
V = r2h
Pyramide:
O=G+M
V=
1
3
Eine 6 cm hohe Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der
Seitenlänge 4 cm. Berechne Oberfläche und Volumen der Pyramide.
Gh
[9a]
Gerader Kreiskegel:
O = r (r + m)
1
V =
3
Ein Kegel, dessen Höhe gleich dem Radius des Grundkreises ist, hat
das Volumen 50 cm3. Berechne seinen Radius und seinen
Oberflächeninhalt.
[9b]
r2h
Lösungen:
[1a] 3 ; 1 ; 0,5
[3]
[1b] 4 3 ; 2y xy
S(-0,5ï-2) ; S(3ï1)
[6] 0,6 × 0,5 ×
2
3
+ 0,6 × 0,5 ×
[4]
2
3
O = 66,6 cm2 ; V = 32 cm3
[1c] 3 5 ; 3x x
L = {-2 ; 3,5} ; L = { } ; L = {2}
+ 0,4 × 0,75 ×
[9b]
2
3
= 60%
[8]
56,4°
r = 3,63 cm ; O = 99,9 cm3
[1d]
5 ; 0,8 ; 27 ; 8
[5] a = 3 ; b = -0,5 ; c = -2
[9a] hS = 6,32 cm ;