Lösungen zu Übungsblatt 7

Lösungen zu Übungsblatt 7
Aufgabe 1
γ und β werden nach folgenden Formeln berechnet:
2
⎛1⎞
10 ⋅109 eV
γ = 1+
= 11, 7 ⇒ β = 1 − ⎜ ⎟ = 0,996
6
938 ⋅10 eV
⎝γ⎠
Dann kann man die Gesamtenergie des 10 GeV Protons berechnen:
E = m 0 γc02 = 938 MeV ⋅11, 7 = 10, 98 GeV
Der Impuls ist dann gegeben durch
E 2 = p 2c02 + m02c04 ⇒ pc0 = E 2 − m02 c04 = (10,98⋅109 eV) 2 − (938⋅106 eV)2 = 10,9 GeV ,
und daher
Bρ =
pc0
10,9 ⋅109 eV
=
= 36, 4 Tm .
ec0 e ⋅ 2,998 ⋅108 m
s
Wenn das Feld am Ende der Rampe 1,5 T erreicht, dann erhält man für den Biegeradius:
ρ=
36, 4 Tm
= 24,3m
1,5T
Die Mindestspannung wäre für das Sollteilchen wäre dann:
ˆ sin ( φ ) = LρB
⇒ V
ˆ sin ( φ ) ≥ 8,14kV
V
s
s
Aufgabe 2
Grundlage ist hier der relativistische Ausdruck für die Gesamtenergie des kreisenden
Teilchens:
E 2 = p 2 c 2 + m 02 c 4
In der Vorlesung über Magnete für Kreisbeschleuniger hatten wir bereits die Formel
p = qRB0 ,
wobei R der mittlere Radius der Maschine ist. Die Kreisfrequenz des Teilchens ist
ω0 = 2π
βc βc
.
=
L R
Der Zusammenhang zwischen Energie und Impuls des Teilchens ist gegeben durch
c
E=p .
β
Nun muß man nur noch in die obige Formel einsetzen
( qRB0 )
2
c2
2
= ( qRB0 ) + m 02 c 2 ,
2 2
ω0 R
und beachtet man nun noch, dass
ωHF = hω0
ist, dann erhält man für den Zusammenhang zwischen der HF-Frequenz und der
magnetischen Induktion der Maschine
ωHF ( t ) =
hc
R
B0 ( t )
m2c2
B ( t ) + 20 2
qR
.
2
0
(Der Vorfaktor ist die HF-Frequenz für ein mit Lichtgeschwindigkeit kreisendes
Teilchen)
Aufgabe 3
Fangen wir mit der Drehmoment-Bilanz an:
m1glsin ( φ ) = m 2gr
Nehmen wir zum Beispiel mal an , dass l = 2r und m1 = m2 = m sei. Dann gilt
sin ( φ ) =
und daraus folgt sofort φ = 30° oder150° .
Stabile Lage
φs = 150°
1
,
2
Unstabile Lage φu = 30°
Bewegungsgleichung:
Trägheitsmoment ⋅ Winkelbeschleunigung = Summe aller Drehmomente
I
φ = mglsin ( φ ) − mgr mit I = ml2 + mr 2
Ersetzen r = lsin ( φs ) ⇒
I
φ = mgl ( sin ( φ ) − sin ( φs ) )
Hier handelt es sich um ein genaues Analogon zur Bewegungsgleichung im
longitudinalen Phasenraum.
Energieerhaltungssatz:
Gleichung mit φ multiplizieren, einmal integrieren:
1 2
Iφ + mgl ( cos ( φ ) + φ sin ( φs ) ) = const
2
E kin =
1 2
Iφ , E pot = mgl ( cos ( φ ) + φ sin ( φs ) ) = mgh1 + mgh 2 = V ( φ )
2
Hamilton-Funktion
Kanonische Koordinaten: q φ ( Winkel ) , p L = Iφ ( Drehimpuls )
H ( φ, L ) =
L2
+ V ( φ)
2I
∂H L φ =
= =φ
∂L I
∂H
L = −
= mglsin ( φ ) − mglsin ( φs ) , also L = ∑ Drehmomente
∂φ
Fixpunkte: φ = 0, L = 0
⇒ L = 0 und sin ( φ ) = sin ( φs )
Stabiler Fixpunkt
φstabil = φs
Unstabiler Fixpunkt φu = π − φs
( für m1 = m2 = m,
l = 2r : φs = 150°, φu = 30° )
Separatrix
Grenzkurve zwischen gebundener Bewegung (geschlossene Kurve im Phasenraum) und
ungebundener Bewegung.
unterer Umkehrpunkt φu
Separatrix:
oberer Umkehrpunkt φo
Gleichung der Separatrix
Auf der Trajektorie ist H = const.
φ1 = φu (untererUmkehrpunkt) : L = 0
H Sep = mgl ( cos ( φu ) + φu sin ( φs ) ) = mgl ( − cos ( φs ) + ( π − φs ) sin ( φs ) ) = V ( φ u )
Nun ist H auf der Separatrix bekannt und
L2 ( φ )
2I
+ mgl ( cos ( φ ) + φ sin ( φs ) ) = mgl ( − cos ( φs ) + ( π − φs ) sin ( φs ) ) = HSep
liefert dann die Kurve L(φ) der Separatrix.
Oberer Umkehrpunkt:
cos ( φo ) + φo sin ( φs ) = cos ( φu ) + φu sin ( φs )
Für φs = 150°, φu = 30° fo lg t φo = 220°