Formeln

Einige wichtige mathematische Relationen
Einiges zu komplexen Zahlen und Funktionen:
z = x + iy ∈ C , x, y ∈ R
eix
∗
= e−ix
,
z ∗ = x − iy
=⇒
eix = cos(x) + i sin(x) ,
,
|z| =
√
z∗ z ∈ R ,
sin(ix) = i sinh(x) ,
1
z∗
= 2
z
|z|
cos(ix) = cosh(x)
Ebene Wellen in 1D:
ψ = e−iωt+ikx =⇒ ∂t ψ = −iωψ
∂x ψ = ikψ
Eigenfunktion zum Operator ∂t
Eigenfunktion zum Operator ∂x
Fourier-Reziprozitätstheorem:
f (x) =
Z
∞
−∞
dk
√ eikx f˜(k)
2π
f˜(k) =
⇐⇒
äquivalent zu
Z
Z
∞
−∞
dx
√ e−ikx f (x)
2π
∞
dk eikx = 2πδ(x)
−∞
Dirac’sche δ-Distribution:
Definition
Z
∞
−∞
Limit
salopp
δ(g(x))
dx′ δ(x − x′ )f (x′ ) = f (x)
2
− xǫ2
exp
1
√
δ(x) = lim δǫ (x) , z.B. δǫ (x) = θ(ǫ − |x|) oder δǫ (x) =
ǫ→0
2ǫ
ǫ π
Z
δ(x) = 0 für x 6= 0 &
dx δ(x) = 1
x0 :
=⇒
g(x
von g
Z 0 ) = 0 = einzige Nullstelle
Z
1
dg
δ(g)f
(x(g))
=
f (x0 ) ,
dxδ (g(x)) f (x) =
g′
g ′(x0 )
←→
3D:
kartesich
Z
δ (g(x)) =
g′ =
dg
dx
δ(x − x0 )
g ′ (x0 )
d3 r ′ δ 3 (r − r′ )f (r′) = f (r) ,
δ 3 (r − r′ ) = δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ )
Vektoren, Produkte, Ableitungen in 3D
Vektor:
a = ax ex + ay ey + az ez = (ax , ay , az )
Skalarprodukt:
a·b = ax bx + ay by + az bz
Vektorprodukt:
a×b = (ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx )
X
ǫαβγ aβ bγ ≡ ǫαβγ aβ bγ , ǫαβγ = total antisymm. Tensor
(a×b)α =
eα ·eβ = δαβ , α, β ∈ {x, y, z}
,
βγ
ǫαβγ = −ǫαγβ = −ǫβαγ
,
a×b = −b×a
a×a = 0
=⇒
Eigenschaften:
ǫxyz = +1
ǫxyz = ǫyzx = ǫzxy = +1 ,
=⇒
ǫxzy = ǫzyx = ǫyxz = −1 ,
sonst = 0
a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)
a×(b×c) = (a·c)b − (a·b)c
(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d) − (a·d)(b·c)
Ort:
r = (rx , ry , rz ) ≡ (x, y, z) = xex + yey + zez
Nabla:
∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) = ex ∂x + ey ∂y + ez ∂z
Gradient:
∇f = (∂x f, ∂y f, ∂z f )
Laplace:
∆ = ∇·∇ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2
f = f (r) = f (x, y, z)
,
Partielle Integration:
Z
b
a
b Z b
dxf ∂x g
dx(∂x f ) g = (f g) −
a
a
,
Z
Integrale mit der Gauß-Funktion:
=⇒
=⇒
r
Z ∞
∞
dx(∂x f ) g = (f g) −
dxf ∂x g
−∞
−∞
−∞
| {z }
∞
i.A.
=0
2
π
k
, ℜ{λ} > 0
exp −
dx e
exp −λx =
λ
4λ
−∞
r
2 Z ∞
π
k n
n
2
dx x exp −λx =
(−i∂k ) exp −
λ
4λ k=0
−∞
r
Z ∞
Z ∞
π (2n − 1)!!
2n
2
2n+1
2
dx x exp −λx =
,
dx
x
exp
−λx
=0
λ (2λ)n
−∞
−∞
Z
∞
−ikx
2
(2n − 1)!! = 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ ... ∗ (2n−1)
Sphärische Koordinaten r, ϑ, ϕ
Definition:
x = r sin(ϑ) cos(ϕ) , y = r sin(ϑ) sin(ϕ) , z = r cos(ϑ) ,
Basisvektoren:
r ∈ [0, ∞) , ϕ ∈ [0, 2π) , ϑ ∈ [0, π] .






sin(ϑ) cos(ϕ)
cos(ϑ) cos(ϕ)
− sin(ϕ)











er = 
 sin(ϑ) sin(ϕ)  , eϑ =  cos(ϑ) sin(ϕ)  , eϕ =  cos(ϕ)  .
cos(ϑ)
− sin(ϑ)
0
Gradient:
∇ = er
Laplace:
∆ = ∆r +
Volumenelement:
d3 r = d2 Ω dr r 2 , d2 Ω = dϕ d(cos ϑ) = sin ϑ dϑ dϕ
δ(r − r ′ )
δ(cos ϑ − cos ϑ′ )δ(ϕ − ϕ′ )
δ 3 (r − r′ ) =
r2
Z
δ(r − r ′ )
f (rϑϕ) = d(cos ϑ)dϕdrr 2
δ(cos ϑ−cos ϑ′ )δ(ϕ−ϕ′ )f (r ′ϑ′ ϕ′ )
r2
Deltafunktion:
1 ∂
1
∂
∂
+ eϑ
+ eϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin(ϑ) ∂ϕ
∂2
l̂2
1
∂
1
∂
sin(ϑ)
+
=
∆
−
r
r 2 sin(ϑ) ∂ϑ
∂ϑ r 2 sin2 (ϑ) ∂ϕ2
~2 r 2
2
2
1 ∂
1 ∂
∂
2 ∂
∂
∆r = 2 r 2
=
r
=
+
r ∂r ∂r
r ∂r 2
∂r 2 r ∂r
Permutationen:
Permutation = Abbildung (1...N) in andere Reihenfolge: P =
1 2 ... N
p1 p2 ... pN
Transposition = Vertauschen zweier Zahlen i ↔ j in (1...N): Pij =
Pij−1
!
1 2 ... i ... j ... N
1 2 ... j ... i ... N
!
Für Transpositionen gilt: Pij Pij = 1 ←→
= Pij
Jede Permutation kann aus einer Kette von Transpositionen zusammengesetzt werden. Das
(trans)
kann auf verschiedenen Wegen geschehen. Aber: Die Anzahl der Transpositionen NP
ist
immer gerade für alle Wege oder immer ungerade.
(trans)
Signum einer Permutation: SgP = (−1)NP
(trans)
SgP ist eindeutig, weil NP
immer gerade oder immer ungerade