Kapitel 4: Quasioptische Komponenten (dritter Teil)

4 Quasioptische Komponenten
−15
isolator alone
theory
isolator in AMSOS
Isolation [dB]
−20
−25
−30
−35
−40
170
175
180
185
190
195
Frequency [GHz]
Abbildung 4.29: Unterdrückung resp. Isolation bei einem quasioptischen Isolator bei
183 GHz. Die Messung der Isolation des Isolators allein und im eingebauten Zustand wird verglichen mit der Theorie. (Messung von V.Vasic)
4.2.5 Frequenzabhängige Gitter
Es ist auch möglich ein Gitter zu realisieren, dessen Reflektivität für eine Polarisation
parallel zu den Drähten nicht eins wird. Dadurch kann das Gitter wie ein Abschwächer
oder ein Leistungsteiler funktionieren. Diese Eigenschaft weisen Gitter auf, deren Drahtabstand vergleichbar mit λ/2 wird. Es zeigt sich jedoch, dass Gitter bei denen das
Verhältnis aus Drahtabstand zu Wellenlänge, g/λ, klein gegenüber eins ist, die Reflektivität und das Transmissionsvermögen frequenzabhängig werden. Es gibt verschiedene
Modelle für die Beschreibung eines Gitters unter diesen Bedingungen. Ein beliebtes
Modell beschreibt die Wechselwirkung der einfallenden Welle mit dem Gitter mittels
Impedanzen der Gitterdrähte, die für parallele Polarisation induktiv wirken. Dieses Modell liefert quantitativ vernünftige Werte, doch werden viele Effekte nicht korrekt wieder
gegeben und falls die Einfallsrichtung nicht senkrecht auf dem Gitter ist, wird die Beschreibung schwierig. Das Modell für parallele Polarisation stammt von Marcuwitz und
basiert auf dem Verhältnis der Impedanz des Gitters Zg zu derjenigen des freien Raumes
Zf s = Z0 = 120πΩ. Für runde Gitterdrähte mit Radius a gilt
!g " ! g "
Zg
=j
ln
.
Zf s
λ
2πa
(4.116)
Setzen wir noch
x=
2Zg
,
Zf s
82
(4.117)
4 Quasioptische Komponenten
so erhalten wir für den Reflexionskoeffizienten r und den Transmissionskoeffizienten t
des Feldes:
−1
r=
(4.118)
1+x
x
t=
.
(4.119)
1+x
Die Transmission nimmt zu mit zunehmendem Drahtabstand und abnehmender Drahtdicke. Die Transmission nimmt auch zu wenn die Frequenz zunimmt, aber geht nur
asymptotisch gegen eins für eine unendliche Frequenz.
Wir wollen hier ein anderes Modell angeben, das realistischere Werte angibt. Die hier
gegebene Beschreibung basiert auf einer unveröffentlichten Arbeit von Derek Martin,
welche auf dem sog. Depine Grating Code basiert.
parallele Polarisation
Wir betrachten ein Gitter, wobei q das Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand, und n das Verhältnis von Drahtabstand zu Wellenlänge beschreibe. Die einfallende
Welle trete unter einem Winkel θ auf das Gitter ein. Die Einfallsebene stehe senkrecht auf
der Gitterebene. Dann gilt für den komplexen Reflexionsfaktor rpar und den komplexen
Transmissionskoeffizienten tpar für das Feld:
rpar (q, n, θ) =
2Xx − x2 − 1
2Xx − x2 + 1 + 2i(X − x)
ppar (q, n, θ) = 2i
X
.
2Xx − x2 + 1 + 2i(X − x)
(4.120)
(4.121)
Dabei wurden die Hilfsgrössen X und x verwendet:
#
$ +∞
&'
%
1
1
1
1
X(q, n, θ) = cos(θ)n 1n +
−
πq 2 m=−∞ (m2 + 2mn sin θ − n2 cos2 θ)1/2 | m |
(4.122)
2 2
x(r, n, θ) = cos(θ)nπ q .
(4.123)
Es reicht, wenn die Summation nur von etwa −25 bis 25 geht und der Wert 0 ausgelassen
wird. Figuren 4.30 und 4.31 zeigen die Abhängigkeit von Reflexion, Transmission und
zugehöriger Phase vom Verhältnis des Drahtabstandes zur Wellenlänge für den Fall wo
das elektrische Feld parallel zu den Gitterdrähten liegt.
senkrechte Polarisation
Hier erhalten wir für die entsprechenden Koeffizienten rper und tper :
rper (q, n, θ) =
2Bb + b2 + 1
−2Bb − b2 + 1 + 2i(B + r)
83
(4.124)
4 Quasioptische Komponenten
3
Phase der Transmission
Transmission der Leistung
E−Feld parallel zu den Gitterdrähten
1
0.8
q=0.05
0.6
0.1
0.4
0.2
0.2
0
0.3
0
0.2
0.4
0.6
0.5
0.8
2
1
0
−1
−2
−3
1
0
0.2
Drahtabstand/λ
0.6
0.8
1
0.8
1
3
Phase der Reflexion
Reflexion der Leistung
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.4
Drahtabstand/λ
2
1
0
−1
−2
−3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
Drahtabstand/λ
0.2
0.4
0.6
Drahtabstand/λ
Abbildung 4.30: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das parallel zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 0° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
84
4 Quasioptische Komponenten
Phase der Transmission
Transmission der Leistung
E−Feld parallel zu den Gitterdrähten
1
0.8
0.6
q=0.05
0.4
0.1
0.2
0.2
0.3
0
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
1
0
−1
0.5
0
0.1
Drahtabstand/λ
0.3
0.4
0.5
3
Phase der Reflexion
Reflexion der Leistung
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
Drahtabstand/λ
2
1
0
−1
−2
−3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
Drahtabstand/λ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Drahtabstand/λ
Abbildung 4.31: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das parallel zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 45° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
85
1
0.4
0.3
0
0.2
Phase der Transmission
Transmission der Leistung
4 Quasioptische Komponenten
0.8
−0.05
q=0.5
0.6
−0.1
0.4
−0.15
0.2
−0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
Drahtabstand/λ
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
Drahtabstand/λ
−1.6
Phase der Reflexion
Reflexion der Leistung
1
0.8
−1.65
0.6
−1.7
0.4
−1.75
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
Drahtabstand/λ
Drahtabstand/λ
Abbildung 4.32: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das senkrecht zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 0° einfällt. Parameter q ist das
Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
86
4 Quasioptische Komponenten
Phase der Transmission
Transmission der Leistung
E−Feld senkrecht zu den Gitterdrähten
1
0.3
0.8
0.4
q=0.5
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0.5
0
0.1
Drahtabstand/λ
0.3
0.4
0.5
−1.6
Phase der Reflexion
Reflexion der Leistung
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
Drahtabstand/λ
−1.7
−1.8
−1.9
−2
−2.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
Drahtabstand/λ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Drahtabstand/λ
Abbildung 4.33: Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Leistung mit zugehöriger
Phase für ein elektrisches Feld, das senkrecht zu den Gitterdrähten polarisiert ist und unter einem Winkel von 45° einfällt. Parameter q ist
das Verhältnis von Drahtdurchmesser zu Drahtabstand.
87
4 Quasioptische Komponenten
tper (q, n, θ) = 2i
−2Bb −
b2
B
.
+ 1 + 2i(B + b)
(4.125)
Hier werden die Hilfsgrössen B(q, n, θ), b(q, n, θ), A1 (q, n, θ) und A2 (q, n, θ) verwendet:
1
B(q, n, θ) = A1 (q, n, θ)
2n cos(θ)
(
2
πq
)2
b(q, n, θ) = 2n cos(θ)
und
(πqn cos θ)2
A1 (q, n, θ) = 1 +
2
+∞ *
%
m=−∞
(
− n cos(θ)
! πq "2
3
+ ln
4
2
(
1
πq
! πq "2
2
1
A2 (q, n, θ)
1
A2 (q, n, θ)
))
+
#(
πqn cos θ
2
(4.127)
)2 '
1
1
√
−
2
2
2
m + 2mn sin θ − n cos θ | m |
(πqn cos θ)2
A2 (q, n, θ) = 1 +
2
(
11
− ln
4
(
1
πq
))
(4.126)
+
(4.128)
1 ! πq "2 ! πq "2
−
6 2
2
(
)
+∞
%
m2 + 2mn sin θ − n2 cos2 θ
2
2
2
1/2
|m|+
− 2(m + 2mn sin θ − n cos θ)
.(4.129)
|
m
|
m=−∞
+
Auch hier reicht es, wenn die Summation über m nur von etwa −25 bis 25 verläuft und
der Wert m = 0 ausgelassen wird. Figuren 4.32 und 4.33 zeigen die Abhängigkeit von
Reflexion, Transmission und zugehöriger Phase vom Verhältnis des Drahtabstandes zur
Wellenlänge für den Fall wo das elektrische Feld parallel zu den Gitterdrähten liegt.
4.2.6 Jones Vektoren
Gitter spielen eine wichtige Rolle in vielen quasioptischen Systemen. Für eine kompakte analytische Beschreibung eines Systems bedient man sich häufig einer MatrixSchreibweise. Wir haben solch eine Schreibweise bereits im Abschnitt 2.2 über MatrixOptik kennen gelernt. Für polarisierende Komponenten werden häufig spezielle Vektoren
und Matrizen verwendet, die sog. Jones-Vektoren.
Signale in einem quasioptischen System können durch den Polarisationsvektor des
elektrischen Feldes beschrieben werden.
(
)
−
→
−
→
−
→
EV
E =
= EV V + EH H
(4.130)
EH
−
→
−
→
V und H sind Einheitsvektoren in vertikaler und horizontaler Richtung. Mit vertikal
−
→
−
→
ist im Folgenden immer gemeint vertikal zur Ebene des optischen Aufbaus. V und H stehen senkrecht aufeinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es handelt sich also
88
4 Quasioptische Komponenten
nicht um ein festes Koordinatensystem, sondern um ein System, das mit der Ausbrei−
→
tungsrichtung mit geht. Die dominierende Achse ist die vertikale Achse. Der E -Vektor
−
→
wird deshalb, zerlegt in die beiden Komponenten, mit E = (EV , EH ) geschrieben und
nicht wie man natürlicherweise annehmen würde mit (EH , EV ), analog einer x- und einer
y- Komponente. Dies kann zur Verwirrung führen, wenn verschiedene Literatur konsultiert wird. Wir halten uns hier an die Nomenklatur von Lesurf14 . Entsprechend werden
Winkel bezüglich der vertikalen Achse definiert. Ein kohärentes Signal der Frequenz f
werde für eine bestimmte Ebene geschrieben als
EV = a · ei2πf t
(4.131)
EH = b · ei2πf t+ϕ
(4.132)
a und b beschreiben die Amplitude der beiden Komponenten und die Phase wird durch
−
→
ϕ beschrieben. Der Effekt einer optischen Komponente A auf ein Signal E kann in
Matrixschreibweise formuliert werden, so dass das Ausgangssignal gegeben ist durch
−
→
−
→
O = AE .
(4.133)
Falls es sich um eine Transmission handelt, schreiben wir AT , für eine Reflexion AR .
Bei mehreren optischen Komponenten, erhält man das resultierende Signal durch Matrixmultiplikation von links, z.B.
−
→
−
→
O = CT BT AR E .
(4.134)
Wir wollen nun die A Matrix für ein Polarisationsgitter herleiten, dessen Drähte gegenüber der vertikalen Achse um den Winkel ϑ geneigt sind. Wir verwenden zuerst die
übliche Schreibweise für x, y- Koordinatensysteme bei Rotationen um den Winkel α.
−
→
Damit der Effekt des Gitters G auf das E-Feld E bestimmt werden kann, wird zuerst der E-Feld-Vektor in eine horizontale und eine vertikale Komponente bezüglich der
Gitterdrähte zerlegt:
(
) (
)(
)
E#
cos α sin α
EH
=
.
(4.135)
E⊥
− sin α cos α
EV
Transmittiert wird E⊥ wogegen −E# reflektiert wird. Für die weitere Rechnung soll aber
−
→
−
→
das resultierende Signal wieder ausgedrückt werden, durch Komponenten in V und H .
Ergo gilt für die transmittierten Komponenten:
( T )
(
)
EH
− sin α · E⊥
=
(4.136)
EVT
cos α · E⊥
(
)(
)
sin2 α
− sin α cos α
EH
=
.
− sin α cos α
cos2 α
EV
14
J.Lesurf, Millimetre-wave Optics, Devices and Systems, Adam Hilger, New York, 1990
89
4 Quasioptische Komponenten
Ersetzt man den Winkel α durch den Winkel ϑ und ändert man noch die Reihenfolge
der Komponenten, so erhält man
(
EVT
T
EH
)
=
(
sin2 ϑ
− cos ϑ sin ϑ
− cos ϑ sin ϑ
cos2 ϑ
)(
EV
EH
)
(4.137)
resp.
AT =
(
sin2 ϑ
− cos ϑ sin ϑ
− cos ϑ sin ϑ
cos2 ϑ
)
.
(4.138)
Für die reflektierte Komponente erhält man durch analoge Überlegungen:
(
R
EH
EVR
)
=
(
cos α · E#
− sin α · E#
)
=
(
cos2 α
sin α cos α
− sin α cos α − sin2 α
)(
EH
EV
)
.
(4.139)
Dabei ist zu beachten, dass das reflektierte Signal um 180° gedreht wird, was zwei Vorzeichenwechsel zur Folge hat. Weil aber auch die Blickrichtung ändert, ergibt dies nur
ein Vorzeichenwechsel für die vertikale Komponente. Somit gilt
(
EVR
R
EH
)
=
(
− cos2 ϑ − sin ϑ cos ϑ
cos ϑ sin ϑ
sin2 ϑ
)(
EV
EH
)
(4.140)
resp.
AR =
(
− cos2 ϑ − cos ϑ sin ϑ
cos ϑ sin ϑ
sin2 ϑ
)
.
(4.141)
Für ein horizontales Gitter ist ϑ = 90°, für ein vertikales Gitter ist ϑ = 0°.
Wir bestimmen nun die häufigsten Matrizen für horizontale, vertikale und 45°-Gitter
sowie für einen Planspiegel, Dachspiegel und eine Strecke d.
90
4 Quasioptische Komponenten
horizontales Gitter
vertikales Gitter
Gitter unter 45°
Gitter unter −45°
Transmission
(
)
1 0
HT =
( 0 0)
0 0
VT =
0 (1
)
1 −1
PT = 1/2
1
( −1 )
1 1
NT = 1/2
1 1
Planspiegel
Dachspiegel mit Dachlinie
horizontal
Dachspiegel mit Dachlinie
vertikal
Strecke der Länge d
Dachspiegel mit Dachlinie
unter dem Winkel θ
Reflexion
(
)
0 0
HR =
( 0 1 )
−1 0
VR =
0( 0
)
−1 −1
PR = 1/2
1)
( 1
−1 1
NR = 1/2
−1) 1
(
−1 0
M=
( 0 1
)
−1 0
RH =
0 −1
(
)
1 0
RV =
0 −1
(
)
1 0
− i2πd
d=e λ
0 1
(
)
cos 2θ − sin 2θ
R=
sin 2θ cos 2θ
4.3 Interferometer
Durch geschickte Anordnung von Gittern und Dachspiegeln ist es möglich ein Interferometer aufzubauen. Interferometer basieren auf dem Prinzip, dass zwei oder mehr Strahlen miteinander interferieren können. Dabei wird ausgenützt, dass die erzielte Phasendifferenz von der Wellenlänge resp. der Frequenz abhängt. Interferometer können z.B. als
Filter oder als Diplexer verwendet werden. Man unterscheidet Zwei-Strahl-Interferometer
und Mehr-Strahl-Interferometer. Beim Zwei-Strahl-Interferometer wird ein einfallender
Strahl aufgeteilt und nach dem Durchlaufen unterschiedlicher Weglängen wieder zusammengefügt. Dabei kann sich die Aufteilung auf die Amplitude oder die Polarisation beziehen. Das klassische Beispiel solch eines Interferometers ist das Michelson Interferometer.
Ein Mehr-Strahl-Interferometer entsteht beispielsweise durch Mehrfachreflexion an halbdurchlässigen Spiegeln. Dies führt dann z.B. auf ein Fabry-Perot-Interferometer. Bei allen
Interferometer kann Beugung eine Rolle spielen und muss entsprechend berücksichtigt
werden. Im Submillimeter-Bereich wird häufig ein sog. Martin-Puplett Interferometer
verwendet. Dieses funktioniert im Prinzip wie ein Michelson-Interferometer, wobei jedoch nicht eine Aufteilung der Amplitude des Strahles mit halbdurchlässigen Spiegeln
realisiert wird, sondern der Polarisationszustand mit Polarisationsgittern. Wir wollen
deshalb zuerst die Funktionsweise eines Michelson-Interferometers studieren.
91
4 Quasioptische Komponenten
4.3.1 Michelson-Interferometer
Spiegel
Leistungsteiler
l1
Spiegel
Input
l2
Output
Abbildung 4.34: Michelson Interferometer, aufgebaut mit zwei Spiegeln und einem
Strahlteiler.
Beim Michelson-Interferometer wird ein Strahl durch einen halbdurchlässigen Spiegel
resp. im Submillimeter-Bereich durch ein Dielektrikum aufgespalten. Die beiden Anteile
laufen dann zu einem Spiegel, wo sie reflektiert werden, gehen zurück zum Strahlteiler, der sie wieder zusammenfügt. Jeder Strahl erfährt so eine Transmission und eine
Reflexion am Strahlteiler (vgl. Figur 4.34). Ein Phasenunterschied kommt durch unterschiedliche Weglängen zu den Spiegeln zustande. Diese seien l1 und l2 . Somit ist der
gesamte Weglängenunterschied
∆ = 2(l2 − l1 ).
(4.142)
Wenn wir am Eingang eine ebene Welle betrachten und Beugung vernachlässigen, so
gilt für die Transmission T der Leistung (bezüglich des Eingangssignals) des Signals am
Ausgang15
,
(
)2π∆
2 2
T = 2|r| |t| 1 + cos
(4.143)
λ
wobei für die Reflexions- und Transmissions-Koeffizienten r und t der Amplitude gilt
|r|2 + |t|2 = 1.
Damit lässt sich die Transmission auch schreiben als
,
(
)2π∆
2
2
T = 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
.
λ
15
wir nehmen an, dass der beam splitter verlustfrei und die Spiegel ideal sind
92
(4.144)
(4.145)
4 Quasioptische Komponenten
Wir erhalten Maxima der Transmission für Weglängenunterschiede
∆max = Mλ
(4.146)
∆min = (M + 0.5)λ
(4.147)
und Minima für
wobei M eine ganze Zahl ist. Bei einem verlustfreien Strahlteiler gilt für den Anteil der
Leistung des reflektierten Ausgangssignals
,
(
)2π∆
2
2
R = 1 − 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
.
(4.148)
λ
Dabei ist zu beachten, dass das reflektierte Ausgangssignal in dieser Anordnung einfach zurück zur Quelle geht. Falls das Eingangssignal eine spektrale Verteilung aufweist, so kann man zeigen, dass das transmittierte Ausgangssignal als Funktion des
Weglängenunterschiedes die Fourier-Transformation des Eingangsspektrums darstellt.
Durch Fourier-Transformation des Ausgangssignals, mit der Weglänge als Parameter,
kann dann die spektrale Verteilung des Eingangsspektrums bestimmt werden.
Wie bereits erwähnt, spielen Beugungseffekte bei einem Interferometer eine Rolle.
Nehmen wir an, dass ein Gauss-Strahl mit einem Taillen-Radius w0 auf ein MichelsonInterferometer falle. Dann werden am Ausgang effektiv zwei Gauss-Strahlen, jeder mit
der halben Leistung, vorliegen, die wegen der unterschiedlichen Weglängen unterschiedlich breit sind. Dies ist in Figur 4.35 dargestellt. Ein Detektor, der ideal den einen
Spiegel
Leistungsteiler
Spiegel
Input w0
+
Output Strahl 1
Output Strahl 2
Abbildung 4.35: Bei einem Michelson Interferometer, das für Gauss Strahlen verwendet
wird, werden die beiden Strahlen am Ausgang wegen unterschiedlicher
Ausbreitung nicht identisch sein.
93
4 Quasioptische Komponenten
Strahl einkoppelt, wird aber den anderen nicht ideal einkoppeln. Für den zweiten Strahl
wird somit der Kopplungsfaktor kleiner als eins sein. Dies ist identisch mit dem früher
diskutierten Kopplungsfaktor bei axialem Versatz. (Siehe Abschnitt 3.2). Für den Feldkopplunsfaktor am Ausgang können wir nun schreiben
,
exp(−j2π∆/λ
c = rt 1 +
.
(4.149)
1 − jλ∆/2πω02
Damit wird der Kopplungsfaktor für die Leistung, K = |c|2 ,
K = |r|2|t|2
2 + α2 + 2[cos(2π∆/λ) + α sin(2π∆/λ)]
1 + α2
(4.150)
wobei ein Beugungsparameter α definiert wurde
α=
λ∆
.
2πω02
(4.151)
Dieser Parameter lässt sich noch mit der konfokalen Distanz zc ausdrücken
α=
∆
.
2zc
(4.152)
Im Falle , wo α → 0, erhalten wir den Transmissionswert von Gleichung 4.145. Beugung
führt also dazu, dass die maximale Transmission kleiner als eins wird und die minimale
Transmission grösser als 0. Falls wir den Weglängenunterschied gleich lassen, wie im
Falle der ebenen Welle, ∆ = Mλ, so erhalten wir für den Kopplungsfaktor der Leistung
Kpw
max
+ α2 /4
= 4|r| |t|
.
1 + α2
2
21
(4.153)
Für Werte von α $ 1 finden wir durch Taylor-Entwicklung
Kpw max
3α2
=1−
.
Tmax
4
(4.154)
Daraus lernen wir, dass Beugungseffekte klein werden, wenn der Weglängenunterschied
einen Bruchteil der konfokalen Distanz ausmacht, d.h. ∆ $ zc . Genau diese Bedingung macht es allerdings aus, dass das Michelson Interferometer im Millimeter und
Submillimeter-Bereich nicht stark verbreitet ist. Ein weiterer Nachteil des klassischen
Aufbaus ist auch, dass nur zwei Tore zur Verfügung stehen, so dass der Aufbau beispielsweise nicht als Diplexer verwendet werden kann. Es gibt allerdings Varianten, die
zu einem Viertor-Zwei-Strahl-Interferometer führen. Eine mögliche Realisation zeigt Figur 4.36. Auf diese Weise wird die nicht transmittierte Ausgangsleistung nicht zurück
zum Eingangstor reflektiert, sondern zu einem weiteren Tor.
Der totale Weglängenunterschied sei
∆ = 2d
94
(4.155)
4 Quasioptische Komponenten
Port 1
Port 2
Port 4
Port 3
d
Abbildung 4.36: Michelson Interferometer, das als Viertor verwendet wird.
oder
∆ = 2(d2 − d1 )
(4.156)
je nach Aufbau des Interferometers. Für die Transmission16 der Leistung bezüglich der
Leistung am Eingang gilt dann für unterschiedliche Tor-Kombinationen T13 resp. T14 :
,
(
)2π∆
2
2
T13 = 1 − 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
(4.157)
λ
2
2
,
T14 = 2|r| (1 − |r| ) 1 + cos
(
2π∆
λ
)-
.
(4.158)
Es gilt zu beachten, dass der Pfad 2 → 4 identisch ist mit 1 → 3 und entsprechend der
Pfad 2 → 3 und 1 → 4.
Der Pfad 1 → 3 hat Transmissionsmaxima für ∆ = (M − 12 )λ und zwar unabhängig
von r. Transmissionsminima treten auf für ∆ = (M − 1)λ.
Der Pfad 1 → 4 hat Transmissionsminima für ∆ = (M − 12 )λ und zwar unabhängig
von r. Transmissionsmaxima treten auf für ∆ = (M − 1)λ.
Wird möglichst maximale Transmission verlangt, so wählt man Pfad 1 → 3, da dieser
Pfad nicht durch Fluktuationen in r beeinflusst wird.
Genau gleich wie beim klassischen Michelson-Interferometer muss auch in der Variante
mit vier Toren die Beugung resp. das Gauss-Strahl-Verhalten mit berücksichtigt werden.
16
wir betrachten weiterhin den Fall, wo die Amplitude aufgespalten wird. Beide beam splitter seien
identisch und verlustfrei. Die Spiegel seien ideal.
95
4 Quasioptische Komponenten
Für den zugehörigen Leistungs-Kopplungsfaktor gilt
K13 = (1 − |r|2 )2 +
(|r|2 )2
2
2 cos(2π∆/λ) + α sin(2π∆/λ)
−
2|r|
(1
−
|r|
)
.
1 + α2
1 + α2
(4.159)
Falls das Interferometer so eingestellt wird, dass die Transmission ein Extremum erreicht
ohne Beugungseffekte, so erhalten wir
ext
K13
= (1 − |r|2)2 +
(|r|2)2 ± 2|r|2 (1 − |r|2 )
.
1 + α2
(4.160)
Falls |r|2 = 0.5 ist und α $ 1, dann finden wir durch Taylor-Entwicklung
max
K13
=1−
3α2
4
min
and K13
=
α2
.
4
(4.161)
Betrachten wir Gleichung (4.159), so sieht man, dass durch eine andere Einstellung ein
grösseres Maximum resp. ein kleineres Minimum erhalten werden kann. Das heisst, um
das Interferometer optimal zu nutzen, müsste es nachjustiert werden und zwar um den
Wert
λα
δ∆ret =
.
(4.162)
2π
Im Falle eines Diplexers liesse sich das dadurch feststellen, dass mehr Leistung zum Mischer kommt, was dessen Eigenschaften beeinflussen kann. Im Falle eines Seitenbandfilters ist der Effekt schwieriger zu messen. Die häufigste Anwendung eines Interferometers
im Millimeter- und Submillimeterbereich ist diejenige als Diplexer oder als Seitenbandfilter in einem Heterodyn-System.
Verwendung als Diplexer
Im Falle des Diplexers soll gleichzeitig das Signal wie auch der Lokaloszillator zum Ausgang gelangen. Nehmen wir an, das Signal tritt beim Tor 1 ein und gelange zum Mixer
beim Tor 3 und der Lokaloszillator werde beim Tor 2 eingekoppelt, um zum Mixer beim
Tor 3 zu gelangen. Das heisst, dass gleichzeitig die Transmission T13 für die Signalfrequenz und die Transmission T23 für die Frequenz des Lokaloszillators maximal sein
sollten. Setzt man die entsprechenden Bedingungen für den Weglängenunterschied ein
und setzt dann gleich, so erhält man als Forderung für den Weglängenunterschied eines
Diplexers
( )
λif
∼
∆dip = (2n − 1)
.
(4.163)
2
Verwendung als Seitenbandfilter
Falls das Interferometer als Seitenbandfilter verwendet wird, so sollte gleichzeitig die
Transmission T13 für die Frequenz des Signals maximal werden und für die Frequenz des
Seitenbandes minimal. Diese Forderung führt auf die Bedingung
( )
λif
∼
∆ssb = (2n − 1)
.
(4.164)
4
96