Verschränkung, Gemischte Zustände, Verschränkungs

Verschränkung,
Gemischte Zustände,
Verschränkungs-Reinigung
Vortrag von
Gesine Jahnz
am 9. Januar 2004
Verschränkungsreinigung
1. Teil: Verschränkte Zustände
2. Teil: Gemische
3. Teil: Verschränkungsreinigung
1
1. Teil:
Verschränkung
Wir gehen vom Hilbertraum H = HA ⊗ HB
zweier Spin 1/2’s aus.
Schritt 1:
Spin A sei auf Teilchen Alice lokalisiert.
Spin B sei auf Teilchen Bob lokalisiert.
Zustand z.B.: | ↑, ẑiA ⊗ | ↑, ẑiB
Schritt 2: Alice und Bob werden zusammengeführt. Die Spins A und B werden in folgendem Zustand |Si präpariert:
|Si = √1 ( | ↑, ẑiA| ↓, ẑiB − | ↓, ẑiA| ↑, ẑiB )
2
Schritt 3: Alice und Bob werden getrennt.
Dabei sollen ihre Spins völlig unberührt
(unverändert) bleiben.
2
Schritt 4:
Alice nimmt ihren Spin A mit nach Amsterdam.
Bob nimmt seinen Spin B mit nach Berlin.
Da die Spinfreiheitsgrade in Schritt 3 völlig
unberührt bleiben, sind sie auch in 1000 km
Entfernung im Zustand |Si.
3
1. Messung: Alice misst ihren Spin in ẑ-Richtung.
Messung σz
Alice:
| ↑, ẑiA
| ↓, ẑiA
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
Annahme: Alice hat | ↑, ẑi gemessen.
⇒
Bob:
Messung σz
| ↓, ẑiB
Wahrscheinlichkeit
100 %
Messung σx
| ↑, x̂iB
| ↓, x̂iB
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
4
2. Messung: Alice misst ihren Spin in x̂-Richtung.
Messung σx
Alice:
| ↑, x̂iA
| ↓, x̂iA
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
Annahme: Alice hat | ↑, x̂i gemessen.
⇒
Bob:
Messung σx
| ↓, x̂iB
Wahrscheinlichkeit
100 %
Messung σz
| ↑, ẑiB
| ↓, ẑiB
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
5
3. Messung: Alice misst ihren Spin nicht.
⇒
Messung σx
Bob:
| ↑, x̂iB
| ↓, x̂iB
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
Messung σy
| ↑, ŷiB
| ↓, ŷiB
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
Messung σz
| ↑, ẑiB
| ↓, ẑiB
Wahrscheinlichkeit
50 %
50 %
⇒
Bobs Messergebnisse hängen davon ab,
ob und wie Alice gemessen hat, obwohl
beide weit voneinander entfernt sind.
Beeinflusst eine Messung an einem Teilchen in oben gezeigter Weise den Zustand eines anderen Teilchens, so spricht
man von verschränkten Teilchen.
6
Aufgrund der Entfernung wechselwirken die
Teilchen nicht miteinander.
Trotzdem tritt eine Veränderung am zweiten
Teilchen als Folge eines Eingriffs am ersten
Teilchen auf!
Einstein befremdete dieses Phänomen derart,
dass er von
spukhafter Fernwirkung “
”
sprach.
7
Cartoon Verschränkte Zustände
B
A
B.B.
B.B.
2
1
B.B.=Black box,
in dem sich verschränkte
Spin 1/2-Teilchen befinden
|Si = c(| ↑iA | ↓iB − | ↓iA | ↑iB )
Zwei verschränkte Teilchen A
und B verlassen die Box. Sie
befinden sich im Zustand |Si.
Ihre Spins haben keine feste
Orientierung.
MESSUNG
B
A
Nach der Messung befinden
sich die Teilchen nicht mehr
3
Durch die Messung an A
kollabiert die Wellenfunktion |Si. Die Orientierung des
Spins von Teilchen A ist dadurch eindeutig festgelegt.
Instantan ist somit der Spin
von B festgelegt.
in einem verschränkten Zustand; Die Messung zerstört
die Verschränkung.
8
2. Teil:
Reine Zustände
Einem reinen Zustand kann man stets einen
Zustandsvektor |Ψi zuordnen:
P
|Ψi = ck |Ψk i
Gemisch
Ein Gemisch besteht aus Untermengen von
Teilchen verschiedenen Zustands:
Untermenge 1: Gewichtsfaktor p1,
Hilbertvektor |Ψ1i
Untermenge 2: Gewichtsfaktor p2,
Hilbertvektor |Ψ2i
u.s.w.
Ein Gemisch (gemischtes Ensemble) kann aufgefasst werden als eine Mischung von reinen
Zuständen |Ψni.
9
Da es nicht möglich ist, einen Zustandsvektor
|Ψi zu finden, der das Gemisch beschreibt,
wird der Dichteoperator ρ zur Beschreibung
des Systems eingeführt:
ρgem = p1 |Ψ1ihΨ1| + p2 |Ψ2ihΨ2| + · · ·
Eigenschaft des Gemischs:
Eine Messung an Teilchen A, das sich im Zustand Ψ1 befindet, hat keine Auswirkungen
auf den Zustand Ψn eines anderen Teilchens.
10
3. Teil:
Verschränkungsreinigung
Verschränkungsreinigung kann man sich wie
eine Destillation vorstellen: Ausgehend von
einem Reservoir von verschränkten Paaren
niedriger Güte (Konzentration) werden wenige Paare hoher Güte erzeugt.
11
Photon a1 und b1
sowie
Photon a2 und b2
sind gering miteinander verschränkt
Ziel ist es, zwei voll verschränkte Photonen
a3 und b3 zu erhalten.
Weg der Photonen:
a1, a2 −→ PBS von Alice
b1, b2 −→ PBS von Bob
four-case modes: Der Experimentator wählt
nur die Fälle aus, bei denen an jedem Ausgang der PBS genau 1 Photon anzutreffen
ist.
12
Wirkungsweise des PBS
Polarizing Beam Splitter
PBS:
transmittiert horizontal (H) polarisiertes
Licht,
reflektiert vertikal (V) polarisiertes Licht
13
Ziel ist es, ein verschränktes Photonenpaar
an a3 und b3 zu erhalten.
−→ Folglich darf an a3, b3 keine Messung
durchgeführt werden.
Gemessen wird demnach an: a4, b4
Was wird an a4, b4 gemessen?
14
An a4, b4 wird die Polarisationsrichtung nicht
in der Basis |Hi, |Vi (horizontal, vertikal),
sondern
in der Basis |+i, |−i gemessen.
|+i = √1 ( |Hi + |Vi )
2
|−i = √1 ( |Hi − |Vi )
2
Warum diese Basiswahl?
−→ Antwort nachfolgende Rechnung
Abhängig vom Messergebnis an a4, b4 führt
Alice eventuell eine kleine Schönheitskorrektur (phasen-flip) durch, um letztendlich 2 verschränkte Photonen an a3 und b3 zu erhalten.
15
Rechnung:
4 Bellzustände:
|Φ+iab = √1 ( |Hia|Hib + |Via|Vib )
2
|Φ−iab = √1 ( |Hia|Hib − |Via|Vib )
2
|Ψ+iab = √1 ( |Hia|Vib + |Via|Hib )
2
|Ψ−iab = √1 ( |Hia|Vib − |Via|Hib )
2
In unserem Beispiel sei |Φ+iab der gewünschte Zustand, der mit dem unerwünschten Zustand |Ψ−iab verunreinigt ist:
ρab = F |Φ+iabhΦ+| + (1 − F )|Ψ−iabhΨ−|
ρ: Dichteoperator
F : entanglement fidelity
(Güte der Verschränkung)
16
ρab = F |Φ+iabhΦ+| + (1 − F )|Ψ−iabhΨ−|
Wahl des Dichteoperators:
Ohne allgemeine Gültigkeit zu verlieren,
wählen wir diesen Dichteoperator, um die
nachfolgende Diskussion zu vereinfachen.
Aus dem Dichteoperator lässt sich folgendes
ablesen:
I
II
III
Paar 1 u. 2 sind im Zustand
|Φ+ia1b1 |Φ+ia2b2
|Ψ−ia1b1 |Ψ−ia2b2
|Ψ−ia1b1 |Φ+ia2b2
|Φ+ia1b1 |Ψ−ia2b2
Wahrsch.keit
F2
(1 − F )2
F (1 − F )
Welche Kombinationen (I, II, oder III) führen
nun zum four-case mode?
17
zu I:
|Φ+ia1b1 |Φ+ia2b2 =
1 ( |Hi |Hi
a1
b1 + |Via1 |Vib1 )·
2
( |Hia2|Hib2 + |Via2|Vib2 ) =
1 ( |Hi |Hi |Hi |Hi )
a1
a2
b1
b2
2
H
H
H
H
a3
a1
b1
b3
a4
a2
b2
b4
H
H
four-case mode
H
H
1 ( |Hi |Hi |Vi |Vi )
+2
a1
a2
b1
b2
H
H
a1
b1
a2
b2
V
V
+1
2 ( |Via1 |Vib1 |Hia2 |Hib2 )
V
V
a1
b1
a2
b2
H
H
+1
2 ( |Via1 |Vib1 |Via2 |Vib2 )
V
V
V
V
a3
a1
b1
b3
a4
a2
b2
b4
V
V
four-case mode
V
V
18
Somit erhalten wir für die Fälle, die zum fourcase mode führen:
|Φ+ia1b1 |Φ+ia2b2 −→
1 ( |Hi |Hi |Hi |Hi + |Vi |Vi |Vi |Vi )
a1
a2
a1
a2
b1
b2
b1
b2
2
zu II:
analog zu I erhalten wir
|Ψ−ia1b1 |Ψ−ia2b2 −→
1 ( |Hi |Vi |Hi |Vi + |Vi |Hi |Vi |Hi )
a1
a2
a1
a2
b1
b2
b1
b2
2
19
zu III:
|Ψ−ia1b1 |Φ+ia2b2 =
1 ( |Hi |Vi
a1
b1 − |Via1 |Hib1 )·
2
( |Hia2|Hib2 + |Via2|Vib2 ) =
1 ( |Hi |Vi |Hi |Hi )
a1
a2
b1
b2
2
H
V
a1
b1
a2
b2
H
H
+1
2 ( |Hia1 |Vib1 |Via2 |Vib2 )
H
V
a1
b1
a2
b2
V
V
1 ( |Vi |Hi |Hi |Hi )
−2
a1
a2
b1
b2
V
H
a1
b1
a2
b2
H
H
1 ( |Vi |Hi |Vi |Vi )
−2
a1
a2
b1
b2
V
H
a1
b1
a2
b2
V
V
Hier finden wir keinen four-case mode.
20
Somit:
Die Fälle, die zu III gehören, werden von
Alice und Bob weggeworfen, da sie nicht zu
einem four-case mode führen.
Welche Kombinationen (I, II oder III) führen
nun zum four-case mode?
Antwort:
|Φ+ia1b1 |Φ+ia2b2
und
|Ψ−ia1b1 |Ψ−ia2b2
21
Nehmen wir nun an, die beiden Paare befänden
sich im Zustand
|Φ+ia1b1 |Φ+ia2b2 −→
1 ( |Hi |Hi |Hi |Hi + |Vi |Vi |Vi |Vi ) ,
a1
a2
a1
a2
b1
b2
b1
b2
2
dann ist dieser Zustand analog zu
|Φ+ia3b3 |Φ+ia4b4 −→
1 ( |Hi |Hi |Hi |Hi + |Vi |Vi |Vi |Vi )
a3
a4
a3
a4
b3
b4
b3
b4
2
H
H
H
H
a3
a1
b1
b3
a4
a2
b2
b4
H
H
H
H
V
V
V
V
a3
a1
b1
b3
a4
a2
b2
b4
V
V
V
V
22
Weitere Annahme:
Messung: a4: |+i
b4: |+i
Zustand an a3, b3 = ?
Antwort: Durch Projektion von h+|a4 h+|b4
auf |Φ+ia3b3 |Φ+ia4b4
23
Projektion von h+|a4 h+|b4 auf |Φ+ia3b3 |Φ+ia4b4:
mit h+|a4 =
√1
2
( hH|a4 + hV|a4 )
h+|a4 h+|b4 [ |Hia3|Hib3|Hia4|Hib4 +
|Via3|Vib3|Via4|Vib4 ]
= √1 ( |Hia3|Hib3 + |Via3|Vib3 )
2
= |Φ+ia3b3
−→ verschränktes Photonenpaar!
24
Nach der Reinigung erhalten Alice und Bob
den
Zustand
|Φ+ia3b3
|Ψ+ia3b3
mit einer Wa.keit
F 2/2
(1 − F )2/2
Nach Wiederholung der Prozedur ergibt sich
ein neuer Dichteoperator ρ0:
ρ0ab = F 0 |Φ+iabhΦ+| + (1 − F 0)|Ψ−iabhΨ−|
mit F 0 =
F2
F 2 +(1−F )2
für den gewünschten Zustand |Φ+i.
F0 > F
für
F >
1
2
25
Ergänzungen zu Seite 5
1
| ↑, ẑi = √ ( | ↑, x̂i + | ↓, x̂i )
2
1
√
| ↓, ẑi =
( | ↑, x̂i − | ↓, x̂i )
2
√
2 |Si = ( | ↑, ẑiA| ↓, ẑiB − | ↓, ẑiA| ↑, ẑiB )
=1
2 [( | ↑, x̂iA + | ↓, x̂iA)(| ↑, x̂iB − | ↓, x̂iB )−
( | ↑, x̂iA − | ↓, x̂iA)(| ↑, x̂iB + | ↓, x̂iB )]
= | ↑, x̂iA| ↓, x̂iB + | ↓, x̂iA| ↑, x̂iB
= | ↑, ẑiA| ↓, ẑiB − | ↓, ẑiA| ↑, ẑiB
26
Referenzen
1. Teil:
❍ Brandt, Einführung in die Grundlagen des Quantencomputers, Vorlesungsskript aus Bibliothek der Physikalischen
Institute der Universität Hamburg
❍ G.-L. Ingold, Quantentheorie, Grundlagen der modernen
Physik, C.H. Beck 2002
2. Teil:
❍ J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley
1994
❍ W. Nolting, Grundkurs theoretische Physik 5, Quantenmechanik, Teil 1: Grundlagen, Vieweg 1997
3. Teil:
❍ J.-W. Pan, S. Gasparoni, R. Ursin, G. Weihs, A. Zeilinger, Experimental entanglement purification of arbitrary unknown states, Natur 423 (2003) 417
❍ J.-W. Pan, C. Simon, C. Brukner, A. Zeilinger, Entanglement purification for quantum communication, Natur 410
(2001) 1067, preprint quant-ph/0012026
❍ H. Aschauer, H.J. Briegel, Sauber verschränkt, Physik Journal Nr. 7/8 (2003) 18
27
Weiterführende Literatur
❍ D. Bruß, Quanteninformationstheorie, Vorlesungsskript Universität Hannover, Wintersemester 2001/2002,
http://jari.iqo.uni-hannover.de/download/qitskript.pdf
28