Klausur Spieltheorie
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Klausur Spieltheorie (WS 2014/2015)
-1-
Prof. Klaus M. Schmidt
Klausur Spieltheorie
Die Klausur dauert 90 Minuten. Insgesamt können 90 Punkte erreicht werden.
Bearbeiten Sie alle Aufgaben! Als Hilfsmittel dürfen Sie nur einen nichtprogrammierbaren Taschenrechner und Zeichenmaterial verwenden. Die Bedingungen zweiter
Ordnung müssen Sie nicht überprüfen. Viel Erfolg!
Aufgabe 1
(30 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Spiel:
Spieler 1
T
M
B
Spieler 2
l
m
1, 2
0, 1
0, 0
b, b
−1, 5 −1, 5
r
5, −1
5, −1
a, a
a) Wie lautet die Menge der Spieler, I?
• I = {1, 2}
b) Wie lautet der Menge der reinen Strategien von Spieler 1, S1 ?
• S1 = {T, M, B}
c) Wie lautet die Nutzenfunktion von Spieler 1, u1 ?
• u1 (T, l) = 1, u1 (T, m) = 0, u1 (T, r) = 5, u1 (M, l) = 0, u1 (M, m) = b,
u1 (M, r) = 5, u1 (B, l) = −1, u1 (B, m) = −1, u1 (B, r) = a
Seien nun 1 ≤ a ≤ 10 und b = 4.
d) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a alle strikt dominierten Strategien!
• r wird strikt dominiert von l und m für a < 5. B wird strikt dominiert von T
und M für a < 5.
e) Sei Rationalität common knowledge. Führen Sie in Abhängigkeit von a die
iterierte Elimination strikt dominierter Strategien durch!
• r wird strikt dominiert von l und m für a < 5. B wird strikt dominiert von T
und M für a < 5. Keine weitere Strategie kann eliminiert werden.
f) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien in Abhängigkeit
von a!
• (T, l) und (M, m) sind Nash-GGe. Falls a ≥ 5, ist auch (B, r) eines.
g) Für welche Werte von a werden alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien pareto-dominiert? Begründen Sie kurz intuitiv, warum im Gleichgewicht in
diesen Fällen die Spieler ihre Strategien nicht so wählen, dass sie die jeweils
pareto-dominierende Allokation erreichen!
• Für a ∈ (4, 5) pareto-dominiert (B,r) alle Nash-GGe. Allerdings werden B und
r jeweils strikt dominiert, die Spieler haben also keinen Anreiz, B oder r zu
spielen.
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Seien nun a = 4 und 1 ≤ b ≤ 10.
h) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte, in denen beide Spieler jeweils zwei
Aktionen mit einer strikt positiven Wahrscheinlichkeit wählen!
• B und r werden mit Wahrscheinlichkeit 0 gespielt, da sie strikt dominiert werden. Sei p bzw. q die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 bzw. 2 T bzw. l spielt.
b
.
Spieler 2 ist indifferent zwischen l und m, wenn 2p = 1p + b(1 − p) ⇒ p = 1+b
b
Spieler 1 ist indifferent zwischen T und M, falls 1q = b(1 − q) ⇒ q = 1+b . Das
b
b
b
b
, 1 − 1+b
, 0), ( 1+b
, 1 − 1+b
, 0)).
Nash-GG ist somit (( 1+b
Das obige Spiel werde nun zweimal hintereinander gespielt. Der gemeinsame Diskontfaktor betrage δ = 1. Es gelte weiterhin a = 4 und 1 ≤ b ≤ 10.
i) Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien, in dem Spieler
1 in der ersten Runde B spielen wird? Falls nein, begründen Sie kurz, warum
nicht! Falls ja, geben Sie eine solche gleichgewichtige Strategienkombination
an und berechnen Sie, wie hoch b mindestens sein muss, um das von Ihnen
angegebene Gleichgewicht zu stützen!
• Ja, gibt es: Die Spieler spielen " Spiele B bzw. r in Periode 1. Falls (B,r) in
Periode 1 gespielt worden ist, spiele M bzw. m. Ansonsten spiele T bzw. l."
In der zweiten Periode wird ein Nash-GG gespielt. In der ersten Periode sollte
Spieler 1 dann nicht abweichen, wenn 4 + b ≥ 5 + 1. ⇔ b ≥ 2. In der ersten
Periode sollte Spieler 2 dann nicht abweichen, wenn 4 + b ≥ 5 + 2. ⇔ b ≥ 3.
⇒ b muss mindestens 3 betragen.
j) Gibt es ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien, in dem Spieler
1 in der zweiten Runde auf dem Gleichgewichtspfad B spielen wird? Falls nein,
begründen Sie kurz, warum nicht! Falls ja, geben Sie eine solche gleichgewichtige
Strategienkombination an und berechnen Sie, wie hoch b mindestens sein muss,
um das von Ihnen angegebene Gleichgewicht zu stützen!
• Nein, gibt es nicht. B wird im einstufigen Spiel strikt dominiert und es gibt
keine nachfolgende Periode, also sollte Spieler 1 nie B in Periode 2 spielen.
Aufgabe 2
(30 Punkte)
Betrachten Sie folgende Wettbewerbssituation: Es gibt zwei Läden, Eiskaltes Eis (E)
und Freezing Frozen Yogurt (F), die den Münchner Markt für potenziell milchhaltige
kalte Desserts bedienen. Die Nachfrage xi beträgt für Unternehmen i ∈ {E, F }
xi = 60 − 20pi + 10pj ,
wobei pi der von Laden i gewählte Preis sei und pj , j 6= i der vom anderen Laden
gewählte Preis. Nehmen Sie an, dass die variablen Kosten der Läden c = 0 betragen.
Die Läden wählen die Preise gleichzeitig.
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a) Stellen Sie die Gewinnfunktion πE (pE , pF ) für Laden E auf!
• πE (pE , pF ) = pE (60 − 20pE + 10pF )
b) Stellen Sie die Reaktionsfunktion p∗E (pF ) für Laden E auf!
• p∗E (pF ) = 1, 5 + 0, 25pF
c) Welche Preis setzt der Laden F im Nash-Gleichgewicht im statischen Fall? Welchen Gewinn erzielt er dabei?
• Symmetrie und die Reaktionsfunktion führen zu pE = pF = 2. Somit ist der
Gewinn πE∗ = 2 ∗ 40 = 80.
Das Spiel werde nun unendlich oft wiederholt.
d) Berechnen Sie den Gewinn, die Läden zusammen maximal pro Periode erzielen
können (wenn der Diskontfaktor δ nahe genug bei 1 liegt)!
• πE (pE , pF ) + πF (pF , pE ) = pE (60 − 20pE + 10pF ) + pF (60 − 20pF + 10pE ) BEO:
60 − 40pi + 20pj = 0 Mit Symmetrie folgt dann pE = pF = 3 und πE∗ + πF∗ =
3 ∗ 30 + 3 ∗ 30 = 180.
e) Geben Sie eine teilspielperfekte Strategienkombination an, bei dem beide Läden
zusammen diesen Gewinn pro Periode erzielen (wenn der Diskontfaktor δ nahe
genug bei 1 liegt)!
• Beide Läden spielen: "Wähle pi = 3 , solange beide Läden in allen Perioden
davor einen Preis von 3 gewählt haben. Ansonsten wähle pi = 2."
f) Berechnen Sie den Diskontfaktor δ, der mindestens notwendig ist, um das von
Ihnen angegebene teilspielperfekte Gleichgewicht zu stützen!
• Optimales Abweichen bedeutet mit der Reaktionsfunktion, pi = 2, 25 zu wählen.
Der Gewinn ist dann 2, 25∗(60−45+30) = 101, 25. Abweichen lohnt sich nicht,
9
9
⇒ δ = 17
.
wenn 90 ≥ (1 − δ) ∗ 101, 25 + δ ∗ 80 ⇔ δ ≥ 17
g) Berechnen Sie den Diskontfaktor δ̂, der mindestens notwendig ist, um das von
Ihnen angegebene teilspielperfekte Gleichgewicht zu stützen, wenn die Läden
ihre Gewinne und mögliche Abweichung des anderen Ladens nicht direkt am
Ende der Periode beobachten können, sondern erst am Ende der übernächsten
Periode!
• Optimales Abweichen bedeutet mit der Reaktionsfunktion, dreimal pi = 2, 25
zu wählen. Abweichen lohnt sich nicht, wenn
δ) ∗ 101, 25 + δ(1 − δ) ∗
q 90 ≥ (1 −q
101, 25 + δ 2 (1 − δ) ∗ 101, 25 + 80δ 3 ⇔ δ ≥
3
9
17
⇒δ=
3
9
.
17
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Aufgabe 3
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(30 Punkte)
Betrachten Sie folgendes Markteintrittsspiel: Spieler 1 muss entscheiden, ob er in den
Markt eintritt (E) oder nicht (NE). Spieler 2 muss gleichzeitig entscheiden, ob er ein
neues Produkt einführt (P) oder nicht (NP). Dabei kann Spieler 2 niedrige oder hohe
Kosten haben. Spieler 2 kennt diese Kosten, Spieler 1 weiß nur, dass die Kosten mit
Wahrscheinlichkeit s niedrig sind und mit Wahrscheinlichkeit 1 − s hoch.
Das Spiel sieht wie folgt aus:
Falls Spieler 2 niedrige Kosten hat:
Spieler 2
P
NP
Spieler 1
E
-2,3 2,1
N E 0,5 0,3
Falls Spieler 2 hohe Kosten hat:
Spieler 2
P
NP
Spieler 1
E
-2,0 2,1
N E 0,4 0,3
a) Begründen Sie (kurz), warum Spieler 2 in jedem Bayesianischen Nash-Gleichgewicht
immer das neue Produkt einführt, wenn er niedrige Kosten hat!
• Dies ist dann eine dominante Strategie.
b) Zeigen Sie, dass es für s = 32 ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht gibt, in
dem Spieler 2 auch das neue Produkt einführt, wenn er hohe Kosten hat!
• Wenn Spieler 2 immer das neue Produkt einführt, ist die Auszahlung für Spieler
1 bei E −2 und bei NE 0. Also ist es optimal für Spieler 1, NE zu wählen. Wenn
Spieler 1 immer NE wählt, ist es optimal für Spieler 2, immer P zu wählen, da
5 > 3 und 4 > 3. Damit liegt ein BNGG vor.
c) Wie hoch darf s höchstens sein, damit ein solches Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
existiert?
• Dies gilt für beliebiges s.
2
3
d) Zeigen Sie, dass es für s =
in reinen Strategien gibt!
kein weiteres Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
• Offensichtlich wird, wenn 2 immer P wählt, 1 nie E wählen. Spieler 2 mit niedrigen Kosten wird immer P wählen (siehe a)). Wenn 1 immer E wählt, wird 2
nicht P wählen, wenn er hohe Kosten hat. Also verbleibt als einziger Kandidat für ein BNGG in reinen Strategien (E,(P NP)). Für 1 ist E optimal, wenn
−2s + 2(1 − s) ≥ 0 ⇔ s ≤ 21 . Also gibt es kein weiteres BNGG in reinen
Strategien für s = 23 .
e) Zeigen Sie, dass es für s =
reinen Strategien gibt!
1
3
ein weiteres Bayesianisches Nash-Gleichgewicht in
• Wir haben in d) gezeigt, dass E für 1 für s ≤ 12 optimal ist, wenn 2 (P NP)
spielt. (P NP) ist für 2 optimal, da 3 > 1 und 1 > 0. Also haben wir mit (E,(P
NP)) ein weiteres BNGG in reinen Strategien.
f) Wie hoch darf s höchstens sein, damit dieses Bayesianisches Nash-Gleichgewicht
existiert?
• s darf höchstens
1
2
sein.
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g) Bestimmen Sie für s = 13 ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, in welchem
nicht nur reine Strategien benutzt werden!
• Sei p bzw. q die Wahrscheinlichkeit, dass 1 bzw. 2 mit hohen Kosten E bzw. P
spielt. 1 ist indifferent, wenn −2 ∗ 31 − 2 ∗ 23 ∗ q + 2 ∗ 23 ∗ (1 − q) = 0 ⇔ q = 14 . 2
mit hohen Kosten ist indifferent, wenn 4(1 − p) = 1p + 3(1 − p) ⇔ p = 12 . Also
lautet ein solches BNGG (( 21 , 12 ), P ( 14 , 34 )).
h) Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn für Spieler 1 in diesem Bayesianischen
Nash-Gleichgewicht! (Sie können dies unabhängig davon tun, ob Sie Teilaufgabe
g) gelöst haben.)
• Der Gewinn beträgt 0, da 1 mischt und indifferent zwischen E und NE ist (und
NE 0 gibt).
Betrachten Sie nun folgende Variation des obigen Spiels: Bevor Spieler 1 entscheiden kann, ob er in den Markt eintritt oder nicht, muss er zuerst Kontakte zu
potenziellen Zulieferern aufnehmen. Dies kostet ihn K ≥ 0 und ist von Spieler 2
beobachtbar. Anschließend wird obiges Spiel gespielt.
i) Argumentieren Sie, wieso Spieler 1 für s =
tiven Kosten K profitieren kann!
1
3
unter Umständen von strikt posi-
• Falls K > 0, wäre der Gewinn von Spieler 1 negativ, wenn ein Gleichgewicht
gespielt würde, in dem er nicht immer eintritt. Daher sollte Spieler 2 annehmen,
dass Spieler 1 vorhat, immer einzutreten, wenn dieser Kontakte zu potenziellen
Zulieferern aufnimmt (Vorwärtsinduktion). In diesem Gleichgewicht macht 1
einen strikt positiven Gewinn, wenn K nicht zu hoch ist. Falls K = 0, kann
Spieler 2 nicht aus der Kontaktaufnahme zu Zulieferern schließen, was Spieler 1
machen wird, und somit kann auch kein Gleichgewicht ausgeschlossen werden,
in dem Spieler 1 Nullgewinne macht.
