Modellbildungen zum Kugelstoßen

1
Bernhard Ubbenjans
Mühlenberg 7
26904 Börger
Hümmling – Gymnasium
Leistungskurs Mathematik
Sögel
Facharbeit im Leistungsfach Mathematik
zum Thema
Modellbildungen zum Kugelstoßen
Verfasser: Bernhard Ubbenjans
2
Gliederung
Seite:
1.
Ausgangssituation im Kugelstoßsport
2.
Erstellung des Bahnmodells bei Vernachlässigung
1
des Luftwiderstandes
3.
Der optimale Abstoßwinkel
3.1.
4.
3
3.2.
Bildung der 1. Ableitung der Zielfunktion zur Bestimmung
6
lokaler Extrema
3.3.
Bildung der 2. Ableitung zur Untersuchung der Zielfunktion
10
auf ein absolutes Extremum
Interpretation der Ergebnisse
4.1.
4.2.
5.
Erstellung der Zielfunktion für die Wurfweite in
Abhängigkeit vom Abstoßwinkel
1
Vergleich des errechneten, optimalen Winkels mit den
tatsächlich geworfenen Winkeln
14
Vergleich der errechneten Werte für die Wurfweite
mit den tatsächlichen Wurfweiten
14
Literaturnachweis
16
3
1. Ausgangssituation im Kugelstoßsport
In sehr vielen Sportarten, so auch im Kugelstoßsport zeigt sich, dass die jeweilige
Sportart nicht nur zum Spaß oder zur Körperertüchtigung ausgeübt wird, sondern dass
es oft um die Karriere eines Sportlers oder um Geld geht. Dies ist Grund genug dazu,
Versuche zu unternehmen, die die sportlichen Ergebnisse auf ein Optimum bringen.
Dazu gibt es natürlich die unterschiedlichsten Ansatzpunkte, wie z.B. das Aufbessern
der eigenen Kondition, allerdings auch das Ausfeilen der angewandten Technik. Hier
kann man nun auch mit mathematischen Berechnungen versuchen, die eigenen
Ergebnisse zu steigern. Beim Thema Kugelstoßen heißt das konkret, den optimalen
Abwurf der Kugel zu berechnen, damit diese möglichst weit fliegt.
2. Erstellung der Kugelbahn-Gleichung
Der erste Ansatz zur mathematischen Beschreibung wäre nun, die Wurfbahn der Kugel
in einer mathematischen Gleichung zu erfassen:
Man muß sich dabei denken, dass beim Wurf der Kugel, diese auf einer parabolischen
Bahn fliegt, deren Graph man errechnen kann, wenn man sich die Kugel als Punkt und
die Bahn als Graph in einem Koordinatensystem vorstellt (siehe Abbildung 1)
Abbildung 1
(Flugkurve der Bahn,
wobei h die
Abwurfhöhe, W die
Wurfweite, und H den
Punkt darstellt, an
dem die Kugel die
Hand verlässt. β
markiert hier den
Abflugwinkel und v0
die Abwurfgeschwindigkeit)
Man kann sich die komplizierte Bewegung der Kugel mit der Geschwindigkeit v0 als
überlagerte Bewegung einer einfachen waagerechten und senkrechten Bewegung
vorstellen. Diese beiden Bewegungen laufen scheinbar ungestört und unabhängig
voneinander ab und addieren sich vektoriell zur Gesamtbewegung. 1
4
Geometrisch lässt sich dieser Zusammenhang an einem Parallelogramm verdeutlichen
(siehe Abbildung 2)
Abbildung 2
Aufteilung der Anfangsgeschwindigkeit v0 in
eine horizontale Komponente v0x und eine
vertikale Komponente v0y.
Weil sich die Geschwindigkeiten vektoriell addieren, gilt:
v0 x + v0 y = v0
Da es sich allerdings nur sehr schwer mit Vektoren rechnen lässt, bilden wir bei unserer
Berechnung den Betrag der Geschwindigkeit. Aus dem Parallelogramm lassen sich
folgende Zusammenhänge erkennen:
sin (β ) =
v0
v0
∧ cos(β ) =
v0 x
v0
(1)
In x-Richtung gilt das Gesetz für eine gleichförmige Bewegung, da die Geschwindigkeit
konstant ist.
Also:
s x = v0 x ⋅ t
cos(β ) =
Aus (1) folgt:
v0 x
v0
⇒ v0 x = v0 ⋅ cos(β )
Setzen wir dies nun in die Bewegungsgleichung für die x-Richtung ein:
s x = v 0 ⋅ cos(β ) ⋅ t
(2)
In y-Richtung gilt das Gesetz des lotrechten Wurfs. Das heißt es erfolgt zunächst eine
gleichförmige Bewegung nach oben, also,
s y1 = v 0 y ⋅ t
sin (β ) =
Aus (1) folgt:
v0 y
v0
⇒
v 0 y = v0 ⋅ sin (β )
Setzen wir dies nun in die Gleichung für die Bewegung nach oben ein:
s y1 = v0 ⋅ sin (β ) ⋅ t
(3)
5
In Folge der Schwerkraft erfolgt aber auch eine beschleunigte Bewegung nach unten,
also in entgegengesetzte Richtung und daher mit Minuszeichen:
1
s y 2 = − gt 2
2
(4)
Diese beiden Bewegungen ( (3) und (4) ) addieren sich vektoriell und es ergibt sich
eine Weg – Zeit-Gleichung für die y-Richtung:
s y = v0 ⋅ sin (β ) ⋅ t −
1 2
gt
2
(5)
Um nun die Gleichung der Bahnkurve zu erhalten, die der Form x→y sein soll, muß
man die Zeit t aus den Weg-Zeit-Gleichungen (2) und(5) elliminieren, indem man
Formel (2) nach t auflöst und in Formel (5) einsetzt. Aus (2) folgt:
s x = v0 ⋅ cos(β ) ⋅ t
⇔
t=
sx
v 0 ⋅ cos(β )
(6)
(6) in (5) einsetzten und so weit wie möglich zusammenfassen:
s y = tan (β ) ⋅ s x −
2
s
g
⋅ 2 x 2
2 v0 ⋅ cos (β )
(7)
Man hat nun eine mathematische Gleichung geschaffen, die die Flugkurve der Kugel
beschreibt.
3. Der optimale Abstoßwinkel
3.1. Erstellung der Zielfunktion für die Wurfweite in Abhängigkeit vom
Abstoßwinkel
Bei der Optimierung beim Kugelstoßen kommt es allerdings darauf an, dass die
Wurfweite möglichst groß wird. Deßhalb muß nun eine Gleichung für die Weite W
erstellt werden. Zuerst ist die Zeit zu bestimmen, an der die Kugel den Boden berührt.
Dies wird durch Gleichung (5) für den lotrechten Wurfs beschrieben:
s y = v0 ⋅ sin (β ) ⋅ t −
1 2
gt
2
Wir setzen für sy den Wert –h, also die Abwurfhöhe, ein, was aus Abbildung 1
deutlich wird, denn hier berührt die Kugel den Boden:
− h = v0 ⋅ sin (β ) ⋅ t −
1 2
gt
2
 2
⋅  − 
 g
6
⇔
2h 2 2v0
=t −
⋅ sin (β ) ⋅ t
g
g
Um die Gleichung nach t auflösen zu können, müssen wir diese quadratisch ergänzen:
2
 v 2 ⋅ sin 2 (β ) 
2h  v0 ⋅ sin 2 (β )  2 2v0 ⋅ sin (β )

+
=t −
⋅t +  0



2
2
g 
g
g
g




Jetzt können wir nach der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:
2hg + v0 ⋅ sin 2 (β )  v 0 ⋅ sin (β ) 

⇔
=  t −
g
g2


2
2
Es gibt nun zwei Lösungen:
⇔
1
v ⋅ sin (β )
2
⋅ 2hg + v0 ⋅ sin 2 (β ) = t1 − 0
g
g
∨
v ⋅ sin (β ) 

1
2

⋅ 2hg + v0 ⋅ sin 2 (β ) = − t 2 − 0
g
g


Die Gleichungen nach der Zeit t auflösen:
⇔
t1 =
v0 ⋅ sin (β ) 1
2
+ ⋅ 2 gh + v0 ⋅ sin 2 (β )
g
g
∨
t2 =
v 0 ⋅ sin (β ) 1
2
− ⋅ 2 gh + v0 ⋅ sin 2 (β )
g
g
Es kommt nur die Lösung von t1 in Frage, da bei der Lösung von t2 negative Werte
entstehen, wenn man für v0 und β realistische Werte einsetzt. Wir setzen nun den Therm
für t1 in die Weg-Zeit-Gleichung (2) für die x-Richtung ein, um die Wurfweite zu
erhalten. Es ergibt sich:
W = v 0 ⋅ cos(β ) ⋅ t1
 v ⋅ sin (β ) 1

2
⇔ W = v 0 ⋅ cos(β ) ⋅  0
+ ⋅ 2gh + v0 ⋅ sin 2 (β ) 
g
g


(8)
Es bietet sich nun an, die beiden Größen g und v0 auszuklammern. Damit dies allerdings
geht muß erst noch v0 aus der hervorgehobenen Wurzel gelöst werden:
2 gh + v 0 ⋅ sin (β ) =
2
2
2 gh ⋅ v 0
v0
2
2
+ v 0 ⋅ sin 2 (β )
2

2 gh
2  2 gh
= v 0 ⋅  2 + sin 2 (β ) = v 0
+ sin 2 (β )
2
v

v0
 0

7
Setzen wir das Ergebnis nun in Gleichung (8) ein so ergibt sich:
 v ⋅ sin (β ) v0

2 gh
2

(
)
W = v0 ⋅ cos(β ) ⋅  0
sin
+ ⋅
+
β
2


g
g
v
0


Nun kann man g und v0 ausklammern und es ergibt sich:
2

v0 ⋅ cos(β ) 
2 gh
2

(
)
W =
sin
⋅ sin (β ) +
+
β
2


g
v0


(9)
Man sieht nun, dass die Größen v0, h, g und der Winkel β auf die Flugweite Einfluß
nehmen. Die Größen g und h sind konstant und die Abstoßgeschwindigkeit v0 hängt von
der Kondition des Sportlers ab und ist somit ebenfalls nicht zu beeinflussen.Die einzige
Größe, die der Sportler verändern kann, ist der Abstoßwinkel β. Es ist nun interessant,
wie sich die Wurfweite in Abhängigkeit vom Winkel β ändert, und bei welchem Winkel
die Weite für eine Person mit festen Größen v0 und h am größten wird. Um das
herauszufinden müssen wir die Ableitung der Funktion (9) bilden!
Damit diese Ableitung nicht so schwer zu bilden ist, muß Formel (9) erst noch etwas
vereinfacht werden.
Wir klammern zunächst einfach aus:
W (β ) =
v 0 ⋅ cos(β ) ⋅ sin (β ) v 0 ⋅ cos(β ) 2 gh
+
⋅
+ sin 2 (β )
2
g
g
v0
2
2
(10)
Den Therm cos(β)⋅sin(β) lässt sich durch das Additionstheorem (vgl.[2] )vereinfachen.
Es heißt allgemein:
sin (α + β ) = sin (α ) ⋅ cos(β ) + cos(α ) ⋅ sin (β )
In unserem Fall ist α=β:
sin (2 β ) = sin (β ) ⋅ cos(β ) + cos(β ) ⋅ sin (β )
⇔
sin (2 β ) = 2 ⋅ sin (β ) ⋅ cos(β ) ⋅
⇔
1
⋅ sin (2 β ) = sin (β ) ⋅ cos(β )
2
1
2
(11)
(12)
8
Den Wert 1/2⋅sin(2β) können wir nun für cos(β)⋅sin(β) in die Gleichung (10) einfügen:
2 1
v 0 ⋅ ⋅ sin (2 β )
2
v ⋅ cos(β ) 2 gh
2
W (β ) =
+ 0
⋅
+ sin 2 (β )
2
g
g
v0
(13)
3.2. Bildung der 1. Ableitung
Nun können wir die Gleichung (13) für die Wurfweite, also die Zielfunktion ableiten,
damit wir später nach lokalen Extrema suchen können.
Nach der Summen- und der Produktregel gilt für die Ableitung:
′
 2 1

(
)
v
sin
2
â
⋅
⋅
 0
  v 2 ⋅ cos( â) ′ 2 gh
2
 ⋅

 + 0
W ′( â) =
+ sin 2 ( â)
2

g
g

 
v0





′
2

v0 ⋅ cos( â)  2gh
2
+
⋅
+ sin (β ) 
 v 2

g
0


Den letzten, etwas vervorgehobenen Therm kann man nach der Kettenregel ableiten:
′
 2 gh

1
′

+ sin 2 ( â)  =  sin 2 ( â) ⋅
2
 v

2 gh
 0

2
+ sin 2 ( â)
2
v0
Für die Ableitung von sin2(β) ergibt sich widerum:



′
sin 2  â  = cos( â) ⋅ sin ( â) + sin ( â) ⋅ cos( â) = 2 ⋅ cos( â) ⋅ sin ( â)
Fasst man nun alles zusammen, so erhält man die kommplette Ableitung:
W ′( â) =
v0 ⋅ 2
v
v
2 gh
2 ⋅ sin ( â) ⋅ cos( â)
cos(2 â) − 0 sin ( â) ⋅
+ sin 2 ( â) + 0 cos( â) ⋅
2
g ⋅2
g
g
2 gh
v0
2
+ sin 2 ( â)
2
v0
2
2
2
Man kann nun v02 und g ausklammern:


v0 
2 gh
W ′(β ) =
cos(2 β ) − sin (β ) ⋅
+ sin 2 (β ) + cos 2 (β ) ⋅
2

g
v0


2


sin (β )


2 gh
2

(
)
sin
+
β
2
v0

9
Man kann nun den zweiten und den dritten Therm der Summe innerhalb der Klammer
auf einen gemeinsamen Nenner bringen, indem man den zweiten Therm im Nenner und
im Zähler mit dem Wurzelausdruck aus dem Nenner des dritten Therms multipliziert:


 2 gh

2


(
)
â
sin
+


2
v 2

2
v0 

(
)
cos
â
 + sin ( â) ⋅
W ′( â) =
⋅ cos(2 â) − sin ( â) ⋅  0

g 
2 gh
2 gh
2
2
+ sin ( â)
+ sin ( â) 
2
2


v0
v0




 2 gh

2

 + sin ( â) ⋅ cos 2 ( â) 
(
)
(
)
â
â
sin
sin
+

2

v 2
v0 

 0

⇔ W ′( â) =
⋅ cos(2 â) −

g 
2 gh
2

+ sin ( â)
2


v0


Man kann im Zähler nun -sin(β) ausklammern:


2 gh
2
2
(
)
(
)
sin
cos
+
β
−
β


2
2
v0 
v0

⇔ W ′(β ) =
⋅ cos(2 β ) − sin (β ) ⋅

g
2 gh
2 (β )


sin
+
2


v0
Den im Zähler stehenden Ausdruck sin2( )-cos2( ) kann man wie folgt vereinfachen:
Allgemein gilt das Additionstheorem (vgl. [2]):
cos(α + β ) = cos(α ) ⋅ cos(β ) − sin (α ) ⋅ sin (β )
Wenn
=
ist, gilt:
cos(2 β ) = cos(β ) ⋅ cos(β ) − sin (β ) ⋅ sin (β )
⇔ cos(2 β ) = cos 2 (β ) − sin 2 (β ) ⋅ (− 1)
⇔ − cos(2 β ) = sin 2 (β ) − cos 2 (β )
Man kann nun sin2( )-cos2( ) durch –cos(2
) ersetzen:


2 gh
(
)
cos
2
−
β


2
2
v0 
v0

W ′(β ) =
⋅ cos(2 β ) − sin (β ) ⋅

g 
2 gh
2

+ sin (β ) 
2


v0
10
Man hat nun die 1.Ableitung so weit wie möglich vereinfacht und kann sie nun mit null
gleichsetzen um nach lokalen Extrema zu suchen:


2 gh
(
)
cos
2
â
−


2
2
v0 
v0

0=
⋅ cos(2 â) − sin ( â) ⋅

g
2 gh
2


(
)
sin
â
+
2


v0
2 gh
0 = cos(2 β ) − sin (β ) ⋅
v0
2 gh
2 gh
⇔ sin (β ) ⋅
v0
− cos(2 β )
2
2 gh
v0
2
+ sin 2 (β )
2
g
v0
2
2 gh
− cos(2 β )
2
v0
⋅
v0
+ sin (β ) ⋅
+ sin (β )
2
2 gh
2
v0
= cos(2 β )
⋅
 2 gh

2 gh
+ sin 2 (β )
⇔ sin (β ) ⋅  2 − cos(2 β ) = cos(2 β ) ⋅
2
v

v0
 0

2 gh
v0
2
− cos(2 β )
2
+ sin 2 (β )
+ sin 2 (β )
Quadrieren
2
 2 gh

 2 gh

⇔ sin (β ) ⋅  2 − cos(2 β ) = cos 2 (2 β ) ⋅  2 + sin 2 (β )
v

v

 0

 0

2
Auflösen der quadratischen Gleichung durch die zweite binomische Formel und
ausklammern:
⇔ sin
2
(β ) ⋅ 4 g
2
v0
= cos 2 (2 β ) ⋅
h2
4
−
2 gh
v0
2
⇔ sin (β ) ⋅
4g 2 h 2
⇔ sin 2 (β ) ⋅
2 gh
2
v0
v0
2
4
4 gh
⋅ sin 2 (β ) ⋅ cos(2 β ) + sin 2 (β ) ⋅ cos 2 (2 β )
2
v0
+ cos 2 (2 β ) ⋅ sin 2 (β )
−
4 gh
v0
2
− cos 2 (2 β ) ⋅ sin 2 (β )
⋅ sin (β ) ⋅ cos(2 β ) = cos (2 β ) ⋅
2
2
2 gh
− 2 sin 2 (β ) ⋅ cos(2 β ) = cos 2 (2 β )
Ausklammern von 2sin2( ):
 gh

⇔ 2 sin 2 (β ) ⋅  2 − cos(2 β ) = cos 2 (2 β )
 v0

(14)
v0
2
2
v
⋅ 0
2 gh
11
Den Ausdruck 2sin2( ) kann man umformen.
Allgemein gilt das Additionstheorem (vgl. [2] ):
cos(α + β ) = cos(α ) cos(β ) − sin (α )sin (β )
Wenn α=β ist, gilt demnach:
cos(2 β ) = cos(β ) cos(β ) − sin (β )sin (β )
⇔ cos(2 β ) = cos 2 (β ) − sin 2 (β )
+ sin 2 (β ) − cos(2 β )
⇔ sin 2 (β ) = cos 2 (β ) − cos(2 β )
(15)
Es gilt ebenfalls allgemein (vgl. [2] ):
sin 2 (β ) + cos 2 (β ) = 1
Formt man diese Gleichung nach cos2( ) um, so ergibt sich:
cos 2 (β ) = 1 − sin 2 (β )
Setzt man nun diesen Wert für cos2( ) in Gleichung (15) ein, so erhält man:
sin 2 (β ) = 1 − sin 2 (β ) − cos(2 β )
+ sin 2 (β )
⇔ 2 sin 2 (β ) = 1 − cos(2 β )
Nun haben wir unser Ziel erreicht, und einen Ausdruck für 2sin2( ) geschaffen. Wir
setzen ihn gleich in Formel (14) ein:
 gh

cos 2 (2 β ) = (1 − cos(2 β )) ⋅  2 − cos(2 β )
 v0

Ausmultiplizieren:
cos 2 (2 β ) =
⇔ 0=
⇔
gh
v0
2
− cos(2 β ) −
gh
v0
2
cos(2 β ) + cos 2 (2 β ) − cos 2 (2 β )
gh
gh
− cos(2 β ) − 2 cos(2 β )
2
v0
v0
gh
gh
= 2 cos(2 β ) + cos(2 β )
2
v0
v0
+ cos(2 β ) +
gh
cos(2 β )
2
v0
12
Nun klammern wir cos(2 ) aus:
 gh 
 gh 
gh
= cos(2 β ) ⋅  2 + 1
÷  2 + 1
2
v0
 v0

 v0

gh
gh
gh
⇔ cos(2 β ) =
= 2
=
2
 v0 ⋅ gh
gh + v0
2
2  gh
+
v
v0 ⋅  2 + 1
0
2
v0
 v0

⇔
Wir wollen nun die Gleichung nach
 gh 

⇔ 2 β = arccos
2 
+
gh
v
0 

 gh 
1

⇔ β = arccos
2 
2
gh
v
+
0 

⋅
auflösen:
1
2
(0°≤β≤90°)
(16)
Nun ist die notwendige Bedingung für innere Extremstellen erfüllt, denn es gilt: f´(x)=0
2.3. Bildung der 2. Ableitung
Um sicher zu gehen, dass es sich bei dem errechneten Winkel auch tatsächlich um ein
Maximum handelt, muß neben der notwendigen Bedingung auch die hinreichende
Bedingung erfüllt sein, welche lautet:
 f ′( x0 ) = 0 ∧ f ′′( x0 ) < 0
Maximum
Wenn
, dann ist f ( x0 ) ein lokales 
.
 Minimum 
 f ′( x0 ) = 0 ∧ f ′′( x0 ) > 0
Die erste Ableitung lautete:


2 gh
− cos(2 β ) 

2
v 
v

W ′(β ) = 0 ⋅ cos(2 β ) − sin (β ) ⋅ 0

g
2 gh
2

+ sin (β ) 
2


v0
2
Um nun die Arbeit etwas zu erleichtern, schreiben wir:
g
~
W ′(β ) = W ′(β ) ⋅ 2
v0
Diese Maßnahme hat den Vorteil, dass die 2. Ableitung etwas einfacher zu bilden ist,
weil nun bei der 1. Ableitung die unhandliche Klammer mit dem Vorfaktor wegfällt:
2 gh
− cos(2 β )
2
v0
~
W ′(β ) = cos(2 β ) − sin (β ) ⋅
2 gh
+ sin 2 (β )
2
v0
13
Die Ableitung bildet man hier am besten in drei Schritten, da sie sonst zu
unübersichtlich werden würde.
Als erstes leitet man mit der Summenregel ab:


2 gh

− cos(2 β ) 
2


v
~
W ′′(β ) = −2 sin (2 β ) +  − sin (β ) 0

2 gh
2

+ sin (β ) 
2


v0


′
Als zweites leitet man den Teil in der Klammer nach der Produktregel ab:
<− − − − − − − A1 − − − − − −− >
′
′




 2 gh

gh
2
gh
2


− cos(2 β )
− cos(2 β ) 
 2 − cos(2 β ) 
2
v 2



v0
 v

0


− sin (β ) ⋅  0
 − sin (β )
 = − cos(β ) ⋅

2 gh
2 gh
2 gh
2
2
2




(
)
(
)
(
)
+
sin
sin
sin
+
+
β
β
β
2
2
2




v
v
v
0
0
0



Drittens leitet man den Therm in der eckigen Klammer nach der Quotientenregel ab:






′

(
)
cos
2
β
−

2
v0

 =
2 gh
2
+ sin (β ) 
2

v0
2 gh
2 sin (2 β ) ⋅
2 gh
v0
2
 2 gh

2sin(β )cos(β )
+ sin 2 (β ) −  2 − cos(2 β ) ⋅
v

 0
 2 ⋅ 2 gh + sin 2 (β )
2
v0
2 gh
+ sin 2 (β )
2
v0
Der hervorgehobene Teil 2sin(β)cos(β) ist gleich sin(2β), siehe dazu Formel (11). Nun
können wir im Zähler sin(2β) ausklammern:
< − − − − − − − − − − Ω − − − − − − − − − −− >







(
)
cos
2
β
−

2
v0


2 gh
2

(
)
sin
β
+
2

v0
2 gh
′


2 gh
2⋅
+ sin 2 (β ) 
2

  2 gh

v0
1

−  2 − cos(2 β ) ⋅
1

  v0
 2 ⋅ 2 gh + sin 2 (β )
2


v0


= sin (2 β )
2 gh
+ sin 2 (β )
2
v0
14
Wir wollen nun auch
1
2 gh
2⋅
+ sin 2 ( β )
v0 2
aus dem Zähler ausklammern, wobei man allerdings
2⋅
erst Ω im Zähler und im Nenner mit






2 gh
+ sin 2 ( β )
v0 2
erweitern muß:
A − − − − − − − − − − − − − − − −− >
2
  2 gh
  2 gh


2 gh
2


4 2 + sin (β ) −  2 − cos(2 β )
− cos(2 β ) 
2
v
v
v0
sin (2 β ) ⋅ A2
sin (2 β )
  0
  0

 =
⋅
=
3

 2 gh

2 gh
2 gh
2
2
 2 gh
2
 2 + sin 2 (β )
+ sin (β )
2⋅
+ sin (β ) 
2
2
2
v

2 2 + sin (β )
v0
v0

v

 0

 0

<− − − − − − − − − − − − − − − − − −
′
Nun können wir die komplette 2.Ableitung aus allen drei Einzelschritten bilden:
~
W ′′(β ) = −2 sin (2 β ) − cos(β )
A1
2 gh
v0
2
+ sin (β )
− sin (β ) ⋅ sin (2 β )
A2
Wir ersetzen den Winkel β durch den errechneten Wert aus Formel (16).
Es ergibt sich nun folgendes Bild:
Für A1 gilt:
A1 =
2 gh
− cos(2 β )
2
v0
Wir setzen nun den errechneten Therm für βein:
A1 =
 1

2 gh
 2 ⋅ arccos gh
cos
−
2
 gh + v 2
 2
v0
0


  2 gh
  = 2 − gh 2
 v
gh + v0
0

Ausklammern von gh:
 2
1 

A1 = gh ⋅  2 −
2 
v
gh
v
+
0 
 0
2
 2 gh + v0
⇔ A1 = gh ⋅  2
− 2
2
v
gh
v
v0
+
0
 0
(
)
(
)
2
⇔ A1 = gh ⋅
Bruch auf einen
Nenner bringen
2

v0
2 
gh + v0 
(
)
2
2
2 gh + 2v0 − v0
2 gh + v0
= gh ⋅ 2
>0
2
2
2
v0 gh + v0
v0 gh + v0
(
)
(
3
 2 gh
2
2 2 + sin 2 (β )
v

 0

2
)
15
Für A2 gilt:
 2 gh
  2 gh

A2 = 4 2 + sin 2 (β ) −  2 − cos(2 β )
v
 v


 0
  0
Ausklammern:
⇔ A2 = 8
gh
v0
2
+ 4 sin 2 (β ) −
2 gh
v0
2
+ cos(2 β ) = 4 sin 2 (β ) +
6 gh
v0
2
+ cos(2 β )
Wir setzen nun den errechneten Therm für βein:
 1

 2 ⋅ arccos gh
+
cos
2
 gh + v 2
 2
v0
0


6 gh
gh
>0
⇔ A2 = 4 sin 2 (β ) + 2 +
2
gh + v0
v0
⇔ A2 = 4 sin 2 (β ) +
6 gh




Wir sehen nun, dass A1und A2 beide größer als null sind. Dass bedeutet gleichzeitig:
 gh  
~ 1
 < 0
W ′′ arccos
2 
2
gh
v
+
0 


Damit gilt auch:
1
 gh  
 < 0
W ′′ arccos
2 
2
+
gh
v
0 


Nun ist auch die hinreichende Bedingung für innere Extremstellen erfüllt. Die
Flugweite W besitzt also an der Stelle
 gh 
1

β = arccos
2 
2
 gh + v0 
ein lokoles Maximum. Dieses ist im Intervall [0°;90°] auch gleichzeitig globales
Maximum, was man an Formel (7) leicht sehen kann, wenn man hier 0° bzw. 90°
einsetzt und diese Funktionswerte dann mit dem errechneten Maximum vergleicht.
16
4. Interpretation der Ergebnisse
4.1. Vergleich zwischen den optimalen - und den tatsächlichen Winkeln
Wenn man sich das Ergebnis von Formel (16) genauer anschaut, stellt man fest, dass
der optimale Winkel relativ groß ist. Rechnen wir dies einmal an einem Beispiel durch:
Wenn die Abwurfgeschwindigkeit v0 = 13,7 m/s und die Wurfhöhe h =2,25m beträgt,
dann liegt nach Formel (16) der beste Winkel bei 42°, wobei tatsächlich nur Winkel
zwischen 33° und 40° geworfen werden.
Vergleicht man andere errechnete Winkel mit den tatsächlich geworfenen Winkeln, so
wird man fast immer feststellen, dass diese deutlich kleiner sind. Der Grund hierfür ist
einfach, dass man kleinere Winkel mit einer viel höheren Geschwindigkeiten werfen
kann. Diese Tatsache wurde in Formel (9) für die Flugweite nicht mitberechnet.
Letztlich kann man sagen, dass es wohl nicht unbedingt sinnvoll ist, für jeden Sportler
den individuellen Winkel zu errechnen. Man sollte aus dieser ganzen Rechnung
vielmehr ein ganz allgemeines Ergebnis schließen: Jeder Sportler sollte versuchen den
Abflugwinkel so groß wie möglich zu halten, allerdings nur so groß, dass er bei der
Geschwindigkeit keine Einbußen erleidet. Das Problem, dass ein Sportler einen Winkel
wirft, der über dem Optimalen liegt, dürfte normalerweise nicht auftreten, was auch
eigentlich für jedermann einleuchtend ist, der selbst schon einmal eine 7,257kg schwere
Bleikugel geworfen hat.
4.2. Vergleich zwischen den errechneten - und den tatsächlichen Wurfweiten
Es wäre nun interessant zu überprüfen, ob die Formel (9) für die Wurfweite auch
„funktioniert“, dass heißt, ob die errechneten Werte mit den tatsächlichen Werten
übereinstimmen.
Nr.
Name
v0 in m/s h(m) β in ° W(m)(nach Formel) W(m)(gemessen) Tabelle
1 Woods
13,9
2 Woods
13,7
2,2
40
21,69
21,17
2,1
35,7
20,74
21,05
3 Briesenick 14
2,2
39,7
22,04
21,02
4 Woods
2,16 37,7
20,71
20,88
2,1
20,38
21,01
13,6
5 Feuerbach 13,5
38,3
1 Zusammenstellung
einiger Daten von Stößen bei
den Olympischen Spielen von
1972 der Männer nach Bardy [1]
Die Weite wurde jeweils mit
Formel (9) errechnet
Wenn man nun die mit Formel (9) errechneten Werte mit den tatsächlichen Werten
vergleicht, so sieht man teilweise ganz gute Übereinstimmungen, wie z.B. bei Wurf
Nr.4. Wenn man sich allerdings den Wurf Nr.3 anschaut, so ist das Ergebnis etwas
enttäuschend. Man muß sich nun überlegen, woher diese Differenzen stammen könnten.
17
Als erstes sollte man die Meßfehler ansprechen, die bei der Messung der
Geschwindigkeit, der Höhe, des Winkels und natürlich der Wurfweite nicht
auszuschließen sind. Es kommt allerdings noch ein anderer Faktor dazu, der bisher noch
überhaupt nicht überlegt wurde, und zwar der Luftwiederstand. Schaut man sich die
Formel für den Luftwiderstand an, so sieht man dass der Luftwiderstand proportional
zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Betrachtet man die Geschwindigkeiten beim
Kugelstoßen, stellt man fest, dass diese sehr gering sind und man könnte jetzt meinen,
dass der Luftwiderstand kaum einen Einfluß auf die Flugweite nimmt. Bardy[1] kommt
in seiner Arbeit aber zu der Erkenntnis, dass der Luftwiderstand doch einen Einfluß,
wenn auch nur einen sehr kleinen, auf die Wurfweite hat. Man könnte nun, wie Bardy,
ein Bahnmodell entwerfen bei dem der Luftwiderstand mitberücksichtigt wird. Man
kommt dann aber zu einem Punkt an dem man sich fragen muß, ob sich diese
Betrachtung überhaupt lohnt. Am Anfang wollten wir ja durch mathematische
Modellbildungen dem Sportler direkt Ergebnisse liefern können, wie er seine Technik
optimieren kann. Wenn wir jetzt auch noch ein Modell unter Berücksichtigung des
Luftwiderstandes aufstellen würden, so wäre das zwar ein toller Beweis dafür, wie
vielfältig Mathematik einsetzbar ist, aber es würde dem Sportler an sich keine Vorteile
erbringen. Was nützt es dem Sportler, wenn er weiß, dass er mit beispielsweise einer
Geschwindigkeit von 13,7 m/s und einer Höhe von 2,13m am besten einen Winkel von
42,1° wirft. Die Geschwindigkeit ist ja eh keine konstante Größe und wäre beim
nächsten Wurf vielleicht schon wieder kleiner oder größer. Man sollte als Endergebnis
der ganzen Untersuchung das Ergebnis festhalten, welches auch schon in 4.1.
beschrieben wurde, dass der Sportler versuchen sollte, die Kugel verhältnismäßig steil
mit einer hohen Geschwindigkeit abzuwerfen. Ich denke einen genauen Winkel
auszurechnen ist Quatsch, da man diese eh nicht genau einhalte bzw. beim Abstoß
abmessen könnte.
Ein weiteres, eigentlich weitaus wichtigeres Ergebnis, ist, dass Mathematik sehr
vielseitig einsetzbar ist. Wenn man sich umschaut, sind überall Dinge, die man mit
Mathematik erklären kann.
18
5. Literatur
[1]
Bardy, P.:Modellbildungen zum Kugelstoßen – Auszug aus: Beispiele
mathematischer Modellbildung im Sport. – In: Der Mathematikunterricht (MU)
34 (1988), Seite 1-5
[2]
Mirow, Bernd: „Physik Formeln / Sekundarstufe 2“ Dümmler Verlag,
Köln112000, Seite 63
1
Grehn (Hg.), Joachim: „Metzler Physik“, Seite 21 (vgl. [3] )