2.4 Geschwindigkeit als Vektor Bisher nur Strecke s entlang

2.4 Geschwindigkeit als Vektor
kap2-
4 e5 07-10-01
Bisher nur Strecke s entlang vorgegebener Richtung betrachtet, dh. eine Zahlenangabe (=Abstand
vom Punkt s=0) genügt zur Festlegung eines Punktes. Jetzt ist ein Ort im dreidimensionalen Raum
zu beschreiben, 3 Angaben erforderlich.
Orthogonale Einheitsvektoren ~ei mit i = x, y, z eingeführt: dann z. B. 3 Koordinaten als Vielfache
dieser Einheitsvektoren angegeben, um vom Koordinatenursprung zum gegebenen Punkt im Raum zu
gelangen (”kartesische Koordinaten”) oder 1 Abstand des Punktes vom Ursprung und 2 Winkel zur
Beschreibung der Lage der Geraden durch Ursprung und Punkt (Polarkoordinaten) etc.
Kartesische Koordinaten eines Vektors ~r : rx , ry , rz oder auch r1 , r2 , r3 bezw. ri mit i =1,2,3,
(ermöglicht kompaktere Schreibweise)
Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ
Zusammenhang: rx = r sin θ cos ϕ, ry = r sin θ sin ϕ, rz = r cos θ
Kurze Wiederholung zu den Vektoren:
3
P
ri~ei allgemein natürlich nicht nur für Ortsvektoren,
~r = rx~ex +ry ~ey +rz ~ez = r1~e1 +r2~e2 +r3~e3 =
i=1
also beliebig ~a =
3
P
ai~ei
i=1
(Anmerkung: Darstellung von Vektoren auch als Zeilen- und Spaltenmatrix üblich: ~r =
rx
ry
rz
)
Addition von Vektoren:
3
3
3
3
3
P
P
P
P
P
(ai + bi )~ei
(ai~ei + bi~ei ) =
bi~ei =
ai~ei +
ci~ei =
~c = ~a + ~b
also: ci = ai +
i=1
bi
i=1
i=1
Ein Vergleich zeigt
i=1
i=1
Skalares Produkt zweier Vektoren:
definiert durch (Mathematiker bitte wegschauen ...)
3
3 P
3
3
P
P
P
ai bk~ei~ek
bk~ek =
ai~ei ·
~a · ~b =
i=1
~a · ~b =|~a| · |~b| cos(α(~a, ~b))
[*]
i=1 k=1
k=1
Da die 3 ~ei orthogonal zueinander sind , folgt aus [*]: ~ei ~ek = 1 für i = k, und ~ei ~ek = 0 für
i 6= k, das schreibt man kompakt mit dem sogenannten Kronecker-Symbol δik als
~ei ~ek = δik mit δik = 1 für i = k, und δik = 0 für i 6= k, und damit weiter:
3 P
3
3
P
P
~a · ~b =
ai bk δik =
ai bi Übereinstimmung dieser Form mit [*] kann an einem einfachen
i=1 k=1
i=1
Fall leicht verifiziert werden:
Annahme: ~a in x-Richtung orientiert, ~b in xy-Ebene, also ~a = a1 ~e1 , a2 = a3 = 0, a1 = |~a| ,
~b = b1 ~e1 + b2 ~e2 , b3 = 0,
b1 = ~b cos(α(~a, ~b) ) → ~a · ~b = a1 b1 = |~a| ~b cos(α(~a, ~b) ) q.e.d.
Bestimmung der i-ten Komponente eines Vektors ~r erfolgt demnach durch einfache Multiplikation
mit ~ei :
3
3
P
P
ri = ~r · ~ei =
rk ~ek~ei =
rk δik = ri q.e.d
k=1
k=1
( In Matrixschreibweise: z.B. zur Bestimmung von r1 : ~r =
r1
,


1
r1 = ~r · ~e1 = r1 r2 r3 ·  0  = r1 · 1 + r2 · 0 + r3 · 0 = r1
0
mal Spaltenelement i rechts und aufaddieren” ))
1
r2
r3
, ~e1 =
1 0 0
( ... ”Zeilenelement i links
Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektor:
Unter analoger Anwendung der in 2.2 und 2.3 verwendeten Definitionen für Geschwindigkeit und
Beschleunigung gilt also jetzt:
v
r
und ~a = d~
~v = d~
dt
dt
3
3
3
P
P
P
dri
r
d
i
~v =
vi~ei = d~
ei durch Vergleich sieht man: vi = dr
und analog
ri~ei =
dt = dt
dt ~
dt
i=1
i=1
i=1
2
d ri
d dri
i
ai = dv
dt = dt dt = dt2 = r̈i
Anmerkungen:
~v ist durch Richtung und Betrag charakterisiert, ~v2 6= ~v1 bedeutet nicht notwendigerweise |~v2 | 6=
| ~v1 | , d.h. schon eine Richtungsänderung allein ergibt schon ein ∆~v = ~v2 − ~v1 6= 0. Wegen ~v2 =
~v1 + ∆~v muß dieses ∆~v dann senkrecht auf beide Vektoren stehen, d.h. diese Aussage gilt exakt nur
für lim∆t→o ∆~v ≡ d~v
Bei Addition von ~v - und ~a- Vektoren: Die Wirkung der Resultierenden ist von der Summe der
Wirkungen der Einzelvektoren nicht zu unterscheiden:
z.B. Bewegung in einem bewegten Fahrzeug etc.
Analog zum eindimensionalen Fall: wenn ~a = const gegeben ist, wie verläuft dann ~v (t) und ~r(t) ?
R
Rt
d~v = ~adt → ∆~v = d~v = ~a tAE dt für das beliebig wählbare tE kann jetzt wieder die laufende
Variable t gewählt werden, die Integrationsvariable wird daher zur Unterscheidung mit t’ bezeichnet:
(das gleiche Resultat ergibt sich natürlich, wenn man die Integration konsequent mit der oberen Grenze
tE durchführt und diese dann am Schluß durch t ersetzt!)
Rt
∆~v = ~a t0 dt0 →
~v (t) = ~v0 + ~a(t − t0 )
(1)
bzw. ~v (t) = ~v0 + ~at wenn man der Einfachheit halber wider tA ≡ t0 = 0 setzt.
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