Quantenteleportation

Quantenteleportation
— Verschränkung und „spukhafte Fernwirkung“ —
I
ENTt’s all ab
ANG out ..
LEM .
ENT
Christian Eurich
Institut für Theoretische Physik (Neurophysik)
Universität Bremen
Physik-Kolloquium Bremen, 6. Mai 2004 – p.1
Quantenteleportation
Definition
Unter Quantenteleportation versteht man die Übertragung des
quantenmechanischen Zustands eines Systems auf ein anderes System.
Universität Bremen
I. Motivation – p.2
Quantenteleportation
Definition
Unter Quantenteleportation versteht man die Übertragung des
quantenmechanischen Zustands eines Systems auf ein anderes System.
Nicht verbunden mit Materietransport!
Universität Bremen
I. Motivation – p.2
Warum interessant?
Auf theoretischer Seite ein Phänomen, das die Widersprüche
zwischen klassischer und quantenmechanischer Auffassung
von der Welt sehr augenfällig macht
Universität Bremen
I. Motivation – p.3
Warum interessant?
Auf theoretischer Seite ein Phänomen, das die Widersprüche
zwischen klassischer und quantenmechanischer Auffassung
von der Welt sehr augenfällig macht
Auf der Anwendungsseite von wachsender Bedeutung:
Quantenkommunikation und Quantenkryptographie
Universität Bremen
I. Motivation – p.3
Warum interessant?
Universität Bremen
I. Motivation – p.4
Warum interessant?
Universität Bremen
I. Motivation – p.4
Warum interessant?
Vorhersage der Quantenteleportation durch Bennett et al.
Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1895
Universität Bremen
– p.5
Warum interessant?
Experimenteller Nachweis der Quantenteleportation, AG
Zeilinger
Bouwmeester et al., Nature 390 (1997) 575
Universität Bremen
– p.6
Übersicht
I. Motivation
II. Einbettung –
Verschränkung und lokaler Realismus
III. Quantenteleportation –
Theorie und Experiment
IV. Erweiterungen und Anwendungen –
Verschränkungsaustausch und Quantenkryptografie
V. Zusammenfassung
Universität Bremen
Übersicht – p.7
„Einfache Systeme“
Seit den 80er Jahren: viel Forschung auf dem Gebiet der
Quantenkommunikation;
Verwendung einfacher Systeme und Beschreibungen
Einfachstes System: liefert zwei mögliche Messwerte
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.8
„Einfache Systeme“
Seit den 80er Jahren: viel Forschung auf dem Gebiet der
Quantenkommunikation;
Verwendung einfacher Systeme und Beschreibungen
Einfachstes System: liefert zwei mögliche Messwerte
Beispiele:
Polarisationszustände von Photonen: | ↔i , | li
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.8
„Einfache Systeme“
Seit den 80er Jahren: viel Forschung auf dem Gebiet der
Quantenkommunikation;
Verwendung einfacher Systeme und Beschreibungen
Einfachstes System: liefert zwei mögliche Messwerte
Beispiele:
Polarisationszustände von Photonen: | ↔i , | li
Spinkomponenten von Spin- 12 -Teilchen: | ↑z i, | ↓z i
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.8
„Einfache Systeme“
Seit den 80er Jahren: viel Forschung auf dem Gebiet der
Quantenkommunikation;
Verwendung einfacher Systeme und Beschreibungen
Einfachstes System: liefert zwei mögliche Messwerte
Beispiele:
Polarisationszustände von Photonen: | ↔i , | li
Spinkomponenten von Spin- 12 -Teilchen: | ↑z i, | ↓z i
Besetzungszustände in einem Zwei-Niveau-System
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.8
Das Qubit
Unter einem Qubit versteht man ein (physikalisches) System, dessen
Zustände Elemente eines zweidimensionalen Hilbertraums H sind.
Basisvektoren |0i, |1i mit h0 |0i = h1 |1i = 1 und h0 |1i = 0
Allgemeiner Zustand |Ψi ∈ H :
|Ψi = α|0i + β|1i
Schumacher, Quantum coding, Phys. Rev. A 51 (1995) 278
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.9
Das Qubit
Unter einem Qubit versteht man ein (physikalisches) System, dessen
Zustände Elemente eines zweidimensionalen Hilbertraums H sind.
Basisvektoren |0i, |1i mit h0 |0i = h1 |1i = 1 und h0 |1i = 0
Allgemeiner Zustand |Ψi ∈ H :
|Ψi = α|0i + β|1i
Strahlenwege |li, |ri in einer optischen Anordnung, z. B. einem
Strahlteiler
Schumacher, Quantum coding, Phys. Rev. A 51 (1995) 278
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.9
Strahlteiler
Beispiel: Photonen an einem 50:50-Strahlteiler
Beschreibung durch einen unitären Operator
H|li =
|Y´>
|l´>
H
|l>
|Y>
H|ri =
1
√ (|l0 i + |r 0 i)
2
1
√ (|l0 i − |r 0 i)
2
allgemein
|r´>
|r>
1
|Ψ0 i = √
2
Ã
1
1
1
−1
!
|Ψi
H : Hadamard-Transformation
Zeilinger, Am. J. Phys. 49 (1981) 882
Universität Bremen
II. Die Debatte um den lokalen Realismus – p.10
Zwei Qubits
Ein Qubit: Hilbertraum H; ONB |0i, |1i; |Ψi = α|0i + β|1i
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.11
Zwei Qubits
Ein Qubit: Hilbertraum H; ONB |0i, |1i; |Ψi = α|0i + β|1i
Systeme aus zwei Qubits: Produkt-Hilbertraum H12 ≡ H1 ⊗ H2
Aufgespannt durch die ONB |0i1 |0i2 , |0i1 |1i2 , |1i1 |0i2 , |1i1 |1i2
dim H12 = dim H1 dim H2 ; hier: dim H12 = 4
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.11
Verschränkung
Wanted
Nicht alle Vektoren |Ψi ∈ H12 sind Produktvektoren
der Form |Ψi = |Ψi1 |Ψi2 mit |Ψi1 ∈ H1 , |Ψi2 ∈ H2
Erwin Schrödinger
Dead And Alive
Ein Zustand |Ψi im Produkt-Hilbertraum H12 heißen verschränkt
(engl. „entangled“), wenn er sich nicht als Produktzustand schreiben
lässt.
Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, Naturwiss. 23 (1935) 807, 823, 844
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.12
Beispiel: Bell-Basis
Anstelle der ONB |0i1 |0i2 , |0i1 |1i2 , |1i1 |0i2 , |1i1 |1i2 wird häufig
die Bell-Basis verwendet:
+
|Ψ i
=
|Ψ− i
=
|Φ+ i
=
|Φ− i
=
¢
1 ¡ 1 2
1
2
√ |0i |1i + |1i |0i
2
¢
1 ¡ 1 2
1
2
√ |0i |1i − |1i |0i
2
¢
1 ¡ 1 2
1
2
√ |0i |0i + |1i |1i
2
¢
1 ¡ 1 2
1
2
√ |0i |0i − |1i |1i
2
Interpretation: In einem verschränkten Zustand haben die
beiden Qubits keine individuellen Eigenschaften, sondern sind
gemeinsam zu betrachten
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.13
EPR
Einstein war zeit seines Lebens unzufrieden mit dem
Wahrscheinlichkeitscharakter der Quantentheorie
Gedankenexperimente zur Unvollständigkeit der
Quantentheorie
1935: EPR
Einstein, Podolsky & Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered
complete? Phys. Rev. 47 (1935) 777
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.14
EPR: Physikalische Realität
Kriterium für physikalische Realität:
„Wenn wir, ohne auf irgendeine Weise ein System zu stören, den Wert
einer physikalischen Größe mit Sicherheit (d.h. mit der Wahrscheinlichkeit gleich eins) vorhersagen können, dann gibt es ein Element der
physikalischen Realität, das dieser physikalischen Größe entspricht.“
Übers. aus: Baumann & Sexl, Die Deutungen der Quantentheorie, Vieweg (1987)
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.15
EPR: Physikalische Realität
Kriterium für physikalische Realität:
„Wenn wir, ohne auf irgendeine Weise ein System zu stören, den Wert
einer physikalischen Größe mit Sicherheit (d.h. mit der Wahrscheinlichkeit gleich eins) vorhersagen können, dann gibt es ein Element der
physikalischen Realität, das dieser physikalischen Größe entspricht.“
Vollständigkeit:
„Jedes Element der physikalischen Realität muss seine Entsprechung in der physikalischen Theorie haben.“
Übers. aus: Baumann & Sexl, Die Deutungen der Quantentheorie, Vieweg (1987)
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.15
Das EPR-Argument
Formulierung in Qubits (Spin- 12 -Teilchen); Bohm
Alice
1
Bob
Q
2
System im ¡Singulett-Zustand
¢
1
−
1
2
1
2
√
|Ψ i = 2 | ↑z i | ↓z i − | ↓z i | ↑z i
Räumliche Trennung der Systeme: Lokalitätsannahme
Universität Bremen
Bohm, Quantum Theory, Prentice Hall (1951)
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.16
Das EPR-Argument
Formulierung in Qubits (Spin- 12 -Teilchen); Bohm
Alice
Bob
Q
1
2
System im ¡Singulett-Zustand
¢
1
−
1
2
1
2
√
|Ψ i = 2 | ↑z i | ↓z i − | ↓z i | ↑z i
Räumliche Trennung der Systeme: Lokalitätsannahme
(1)
Alice misst Sz : Messwerte ± ~2
(2)
=⇒ Voraussage für Bob: Sz -Messung liefert stets ∓ ~2
Es gibt ein Element der physikalischen Realität, das Bobs
z -Komponente des Spins entspricht.
Universität Bremen
Bohm, Quantum Theory, Prentice Hall (1951)
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.16
Das EPR-Argument
Singulett-Zustand
ist rotationssymmetrisch:
¡
¢
1
−
1
2
1
2
√
|Ψ i = 2 | ↑y i | ↓y i − | ↓y i | ↑y i
(1)
Alice misst Sy : Messwerte ± ~2
(2)
=⇒ Voraussage für Bob: Sy -Messung liefert stets ∓ ~2
Es gibt auch ein Element der physikalischen Realität, das Bobs
y -Komponente des Spins entspricht.
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.17
Das EPR-Argument
Singulett-Zustand
ist rotationssymmetrisch:
¡
¢
1
−
1
2
1
2
√
|Ψ i = 2 | ↑y i | ↓y i − | ↓y i | ↑y i
(1)
Alice misst Sy : Messwerte ± ~2
(2)
=⇒ Voraussage für Bob: Sy -Messung liefert stets ∓ ~2
Es gibt auch ein Element der physikalischen Realität, das Bobs
y -Komponente des Spins entspricht.
(2)
(2)
(2)
Quantenmechanik aber: [Sy , Sz ] = i~Sx
y - und z -Komponente sind nicht gleichzeitig scharf messbar!
Also ist die Quantenmechanik unvollständig!
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.17
Bohrs Antwort
Quantenmechanik beschreibt durchführbare
Experimente, keine vom Beobachter unabhängige Realität
EPRs Vorhersagen sind nicht überprüfbar: Messanordnungen
(2)
(2)
für Sz und Sy schliessen sich gegenseitig aus; nach der
(2)
Messung von Sz ist das System in einem anderen Zustand
Quantenmechanik ist nicht unvollständig, sondern
berücksichtigt schon die Beobachtbarkeit von Sachverhalten
Bohr, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?
Phys. Rev. 48 (1935) 696
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.18
Einsteins lokaler Realismus
Realität: „die Begriffe der Physik beziehen sich auf eine reale
Außenwelt, d. h. es sind Ideen von Dingen gesetzt, die eine
von den wahrnehmenden Subjekten unabhängige ‘reale
Existenz’ beanspruchen“
Lokalität: „dass zu einer bestimmten Zeit diese Dinge eine
voneinander unabhängige Existenz beanspruchen, soweit
diese Dinge ‘in verschiedenen Teilen des Raums liegen’.“
Quantenmechanik verträgt sich nicht mit der Lokalität:
„Fasst man die Ψ-Funktion in der Quantenmechanik als eine
(im Prinzip) vollständige Beschreibung eines realen
Sachverhaltes auf, so ist die Hypothese einer schwer
annehmbaren Fernwirkung impliziert.“
Einstein, Quanten-Mechanik und Wirklichkeit, Dialektika 2 (1948) 320
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.19
Lokale verborgene Parameter: Bell
Ergänzung einer Lokalen Realistischen Theorie
(LRT) durch verborgene Variable λ
Vorhersage von Messergebnissen im Rahmen einer LRT im
Widerspruch zur Quantentheorie: Bellsche Ungleichung
Möglichkeit der experimentellen Entscheidbarkeit!
Formulierung mit polarisationsverschränkten Photonen
Bell, On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, J. Phys. 1 (1965) 195
Clauser, Horne, Shimony & Holt, Proposed experiment to test local hidden-variable theories,
Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.20
LRT
Q
a1, a2
Alice
b1, b2
Bob
Messung der Polarisation unter den Winkeln α1 oder α2 (Alice)
bzw. β1 oder β2 (Bob)
Alice: Ergebnisse a ∈ {−1, 1}; hängen ab von
der Stellung αi des Analysators und
dem jeweiligen Wert λ einer lokalen verborgenen Variable
Bob: dto.
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.21
LRT
Q
Alice
a1, a2
b1, b2
Bob
Betrachte (a1 + a2 )b1 + (a2 − a1 )b2 = ±2
Es folgt durch einfache Rechnung:
|ha1 b1 iLRT + ha2 b1 iLRT + ha2 b2 iLRT − ha1 b1 iLRT | ≤ 2
Bellsche Ungleichung in der CHSH-Formulierung
Clauser, Horne, Shimony & Holt, Proposed experiment to test local hidden-variable theories,
Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.22
Im Vergleich: Quantentheorie
Q
Alice
a1, a2
b1, b2
Verschränkter Zustand
¢
1 ¡
A
B
A
B
|Ψi = √ | ↔i | li − | li | ↔i
2
Bob
b2
a2
Mittelwerte hai bi iQT = − cos 2θ, hängen nur
von der Winkeldifferenz θ = αi − βi ab
b1
p/8
a1
Für die gezeigten Winkel erhält man
√
|ha1 b1 iQT + ha2 b1 iQT + ha2 b2 iQT − ha1 b1 iQT | = 2 2 > 2
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.23
Experimente
Experimentelle Entscheidbarkeit:
|ha1 b1 iLRT + ha2 b1 iLRT + ha2 b2 iLRT − ha1 b1 iLRT | ≤ 2
√
|ha1 b1 iQT + ha2 b1 iQT + ha2 b2 iQT − ha1 b1 iQT | = 2 2
Aspect, Dalibard & Roger, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1804
Tittel, Brendel, Zbinden & Gisin, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3563
Weihs, Jennewein, Simon, Weinfurter, Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 5039
Rowe et al., Nature 409 (2001) 791
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.24
Experimente
Experimentelle Entscheidbarkeit:
|ha1 b1 iLRT + ha2 b1 iLRT + ha2 b2 iLRT − ha1 b1 iLRT | ≤ 2
√
|ha1 b1 iQT + ha2 b1 iQT + ha2 b2 iQT − ha1 b1 iQT | = 2 2
Alle Experimente zeigen eine Verletzung der Bellschen Ungleichung
und bestätigen die Vorhersagen der Quantentheorie.
Aspect, Dalibard & Roger, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1804
Tittel, Brendel, Zbinden & Gisin, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3563
Weihs, Jennewein, Simon, Weinfurter, Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 5039
Rowe et al., Nature 409 (2001) 791
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.24
Experimente
Experimentelle Entscheidbarkeit:
|ha1 b1 iLRT + ha2 b1 iLRT + ha2 b2 iLRT − ha1 b1 iLRT | ≤ 2
√
|ha1 b1 iQT + ha2 b1 iQT + ha2 b2 iQT − ha1 b1 iQT | = 2 2
Alle Experimente zeigen eine Verletzung der Bellschen Ungleichung
und bestätigen die Vorhersagen der Quantentheorie.
In der Natur existieren Korrelationen zwischen Systemen, unabhängig von Raum und Zeit („spukhafte Fernwirkung“).
Aspect, Dalibard & Roger, Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1804
Tittel, Brendel, Zbinden & Gisin, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3563
Weihs, Jennewein, Simon, Weinfurter, Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 5039
Rowe et al., Nature 409 (2001) 791
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.24
Da capo: Bell-Basis
Q
Alice
a1, a2
b1, b2
Bob
Die von CHSH verwendete Messgrösse kann als qum.
Operator aufgefasst werden: B̂ = |(â1 + â2 )b̂1 + (â2 − â1 )b̂2 |:
Bell-Operator
Maximale Verletzung der Bellschen Ungleichung für die
verschränkten Eigenzustände (Bell-Basis)
¢
1 ¡
1
2
1
2
|Ψ i = √ | ↔i | li + | li | ↔i
2
¢
1 ¡
+
1
2
1
2
|Φ i = √ | ↔i | ↔i + | li | li
2
+
¢
1 ¡
1
2
1
2
|Ψ i = √ | ↔i | li − | li | ↔i
2
¢
1 ¡
−
1
2
1
2
|Φ i = √ | ↔i | ↔i − | li | li
2
−
Clauser, Horne, Shimony & Holt, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 880
Braunstein, Mann & Revzen, Maximal violation of Bell inequalities for mixed states,
Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 3259
Universität Bremen
II. Verschränkung und lokaler Realismus – p.25
Übersicht
I. Motivation
II. Einbettung –
Verschränkung und lokaler Realismus
III. Quantenteleportation –
Theorie und Experiment
IV. Erweiterungen und Anwendungen –
Verschränkungsaustausch und Quantenkryptografie
V. Zusammenfassung
Universität Bremen
Übersicht – p.26
Das Ziel
Alice
Bob
|Y> = a | > + b | >
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.27
Das Ziel
Alice
Bob
|Y> = a | > + b | >
Alice hat ein Qubit und möchte seinen Zustand zu Bob
transportieren
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.27
Das Ziel
Alice
Bob
|Y> = a | > + b | >
Alice hat ein Qubit und möchte seinen Zustand zu Bob
transportieren
Direkter Transport: hier nicht
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.27
Das Ziel
Alice
Bob
|Y> = a | > + b | >
Alice hat ein Qubit und möchte seinen Zustand zu Bob
transportieren
Direkter Transport: hier nicht
Alice kennt den Zustand, z. B. |Ψi = | ↔i: Spezialfall
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.27
Das Ziel
Alice
Bob
|Y> = a | > + b | >
Alice hat ein Qubit und möchte seinen Zustand zu Bob
transportieren
Direkter Transport: hier nicht
Alice kennt den Zustand, z. B. |Ψi = | ↔i: Spezialfall
Messung des unbekannten Zustands |Ψi = α| ↔i + β| li:
nicht möglich
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.27
Quantenteleportation: Schema
Alice
Bob
|Y>1 = |Y>
Alice will den Zustand |Ψi1 = |Ψi ihres Photons teleportieren
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Schema
Alice
|Y>1
|Y>
23
Bob
EPR
Alice und Bob teilen sich ein Paar verschränkter Photonen im
Zustand |Ψi23
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Schema
Alice
1
g
n
u
s
M es
|Y> llBe
|Y>
23
Bob
EPR
Alice will eine Bell-Messung durchführen: Verschränkung der
Photonen 1 und 2
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Schema
Alice
Bob
Teleportation
12
|Y> i
-1
EPR
3
-1
Ui |Y> = Ui |Y>
Alice erhält als Resultat einen der vier verschränkten
Bell-Zustände
Bobs Photonenzustand ist – bis auf eine unitäre
Transformation – gleich dem ursprünglichen Zustand |Ψi
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Schema
i
Alice
Bob
-1
EPR
3
Ui |Y>
Alice teilt Bob über einen klassischen Kanal mit, welcher der
vier Bell-Zustände i bei ihr vorliegt
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Schema
Alice
Bob
EPR
3
|Y> = |Y>
Bob führt die entsprechende unitäre Transformation durch und
ist im Besitz eines Photons im Zustand |Ψi!
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.28
Quantenteleportation: Rechnung
Vorhersage von Bennett et al. (1993)
System aus drei Teilchen; Vektoren in H ⊗ H ⊗ H
Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1895
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.29
Quantenteleportation: Rechnung
Vorhersage von Bennett et al. (1993)
System aus drei Teilchen; Vektoren in H ⊗ H ⊗ H
Vor der Teleportation:
Alice
|Y>1
|Ψi123
=
=
|Y>
23
Bob
EPR
|Ψi1 |Ψ− i23
¢¡
¢
1 ¡
1
1
2
3
2
3
√ α| ↔i + β| li | ↔i | li − | li | ↔i
2
EPR-Paar ist im Bell-Zustand |Ψ− i23
Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1895
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.29
Quantenteleportation: Rechnung
|Ψi123 =
¡
¢¡
¢
√1 α| ↔i1 + β| li1 | ↔i2 | li3 − | li2 | ↔i3
2
Alice
|Y> ll-Messun
Be
1
Bob
23
|Y>
g
EPR
Vorbereitung der Bell-Messung: Rechne die Produkte
| ↔i1 | ↔i2 , | ↔i1 | li2 , etc. auf die Bell-Basis um
Beispiel:
1
2
=
α
− √ | ↔i1 | li2 | ↔i3
2
=
| ↔i | li
Universität Bremen
¢
1 ¡ − 12
+ 12
√ |Ψ i + |Ψ i
2
¢
α ¡ − 12
3
+ 12
3
−
|Ψ i | ↔i + |Ψ i | ↔i
2
III. Quantenteleportation – p.30
Quantenteleportation: Rechnung
|Ψi123 =
¡
¢¡
¢
√1 α| ↔i1 + β| li1 | ↔i2 | li3 − | li2 | ↔i3
2
Resultat:
|Ψi
123
1
=
2
{
+
+
+
− 12
|Ψ i
+ 12
|Ψ i
− 12
|Φ i
+ 12
|Φ i
Was ist geschehen? Nichts . . .
Universität Bremen
1
g
EPR
3
3
3
3
+α| li + β| ↔i
3
3
3
¡
¡
|Y> ll-Messun
Be
Bob
23
|Y>
3
¡
¡
Alice
−α| ↔i − β| li
−α| ↔i + β| li
+α| li − β| ↔i
¢
¢
¢
¢
}
III. Quantenteleportation – p.30
Quantenteleportation: Rechnung
Durchführung
der
BellMessung: Projektion auf
einen der Bell-Zustände
Alice
Teleportation
12
|Y> i
EPR
Bob
Ui-1|Y>3 = Ui-1|Y>
Resultat:
|Ψ̃i
123
− 12
¡
3
−α| ↔i − β| li
3
¢
+ 12
¡
3
3
¢
− 12
¡
3
+α| li + β| ↔i
3
¢
+ 12
¡
3
3
¢
= |Ψ i
oder
|Ψ̃i
123
= |Ψ i
oder
|Ψ̃i
123
= |Φ i
oder
|Ψ̃i
Universität Bremen
123
= |Φ i
−α| ↔i + β| li
+α| li − β| ↔i
III. Quantenteleportation – p.31
Quantenteleportation: Rechnung
Alice bestimmt den
Bell-Zustand i und teilt ihn
Bob mit
i
Alice
Bob führt eine unitäre Transformation durch
|Ψ− i12 :
µ
1
0
|Ψ i :
µ
−1
0
|Φ i :
µ
0
1
|Φ i :
µ
0
−1
+ 12
− 12
+ 12
Universität Bremen
0
1
¶
0
1
1
0
¶
1
0
Ui-1|Y>3
EPR
¢
¡
¢
−α| ↔i3 − β| li3 = − α| ↔i3 + β| li3 = −|Ψi
¡
¶
¡
Bob
¡
¢
−α| ↔i3 + β| li3 = α| ↔i3 + β| li3 = |Ψi
¢
α| li3 + β| ↔i3 = α| ↔i3 + β| li3 = |Ψi
¶
¡
¢
α| li3 − β| ↔i3 = α| ↔i3 + β| li3 = |Ψi
III. Quantenteleportation – p.32
Quantenteleportation: Experiment
Versuchsaufbau
Bouwmeester et al., Nature 390 (1997) 575
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.33
EPR-Quelle
„Parametric down-conversion type-II“
Erzeugung zweier Photonen, horizontal bzw. vertikal polarisiert
Entlang der Schnittlinien der Kegel:
polarisationsverschränkte
¡
¢
1
−
2
3
2
3
√
Photonen im Zustand |Ψ i = 2 | ↔i | li − | li | ↔i
Kwiat et al., Phys. Rev. A 49 (1994) 3209
Kwiat et al., Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4337
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.34
Bell-Analysator
Gleichzeitiges Eintreffen der Photonen 1 und 2 an einem
Strahlteiler
¡
¢
1
−
1
2
1
2
√
Nur im Polarisationszustand |Ψ i = 2 | ↔i | li − | li | ↔i
verlassen die Photonen den Strahlteiler auf verschiedenen
Seiten
=⇒ Gleichzeitiges Ansprechen beider Detektoren f1 und f2
Die Bell-Zustände |Ψ+ i, |Φ− i, |Φ+ i werden hier nicht
diskriminiert
Zeilinger, Bernstein & Horne, J. Mod. Opt. 41 (1994) 2375
Braunstein & Mann, Phys. Rev. A 51 (1995) R1727
Michler et al., Phys. Rev. A 53 (1996) R1209
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.35
Die Photonen 1 und 3
+45°
+45°
-45°
Photon 1 wird zum Test in +45◦ -Richtung polarisiert
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.36
Die Photonen 1 und 3
+45°
+45°
-45°
Photon 1 wird zum Test in +45◦ -Richtung polarisiert
Nachweis der Teleportation: polarisierender Strahlteiler bei Bob
mit Detektoren für 45◦ -Richtung (d2) und −45◦ -Richtung (d1)
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.36
Nachweis der Teleportation
Durch Verschieben des
Spiegels an der EPR-Quelle
Vergleich von Teleportation
und „Nicht-Teleportation“
+45°
+45°
-45°
Koinzidenzen
Teleportation
Keine Teleportation
f1 / f2
f1+f2 / d2
f1+f2 / d1
f1 / f2 / d2
f1 / f2 / d1
0.25
1
0
0.25
0
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.37
Vorhersage und Nachweis
Koinzidenzen
Teleportation
Keine Teleportation
f1 / f2 / d2
f1 / f2 / d1
0.25
0
0.25
0.25
d1
d2
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.38
Vorhersage und Nachweis
Koinzidenzen
Teleportation
Keine Teleportation
f1 / f2 / d2
f1 / f2 / d1
0.25
0
0.25
0.25
d1
d1
d1
d2
d2
d2
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.38
Raum und Zeit
1. Im Formalismus ist von einer raumzeitlichen Dynamik nicht die
Rede:
Die Korrelationen der Zustände von Photon 1 und Photon 3 existieren unabhängig von Raum und Zeit.
Manifestation der Nichtlokalität der Quantenphysik
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.39
Der klassische Kanal
2. Hat Signalübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit
stattgefunden?
Nein! Übertragung des Zustands ist aufgeteilt auf zwei
Kanäle
Die Bell-Messung hat vier mögliche Resultate, und Bob
kennt das Messergebnis nicht
Alice muss Bob über einen klassischen Kanal das
Messergebnis mitteilen
Ohne Alices Mitteilung liegt bei Bob ein Zustandsgemisch
vor, das keinerlei Aussage über den Zustand erlaubt
Universität Bremen
III. Quantenteleportation – p.40
Übersicht
I. Motivation
II. Einbettung –
Verschränkung und lokaler Realismus
III. Quantenteleportation –
Theorie und Experiment
IV. Erweiterungen und Anwendungen –
Verschränkungsaustausch und Quantenkryptografie
V. Zusammenfassung
Universität Bremen
Übersicht – p.41
Weiterentwicklungen der Teleportation
Verschränkung anderer Observabler
Teleportation über größere Entfernung
}
}
}
2 km
2 km
2,2 km
Brendel et al., Phys. Rev. Lett 82 (1999) 2594
Kim, Kulik & Shih, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 1370
Marcikic et al., Phys. Rev. A 66 (2002) 062308
Marcikic et al., Nature 421 (2003) 509
de Riedmatten et al., Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 047904
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.42
Verschränkungsaustausch
In Zeilingers Experiment wurde Photon 4 nicht verwendet;
1 und 4 gehören aber ebenfalls zu einem EPR-Paar
Wie verhalten sich Photonen 3 und 4 nach Verschränkung von
1 und 2 durch Alice zueinander? „Entanglement Swapping“
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.43
Verschränkungsaustausch
Verschränkt!
Formal: |Ψi1234 =
¡
¢¡
¢
1
4
1
4
1
2
3
2
3
| ↔i | li − | li | ↔i
2 | ↔i | li − | li | ↔i
Schreibbar als: |Ψi1234 =
¡ + 43 + 12
1
− 43
− 12
i
|Ψ
i
+
|Ψ
i
|Ψ
i
|Ψ
2
¢
+ 43
+ 12
− 43
− 12
+|Φ i |Φ i + |Φ i |Φ i
4
3
BellAnalysator
1
EPR
2
EPR
Nach der Bell-Messung der Photonen 1 und 2 sind die
Photonen 3 und 4 ebenfalls verschränkt, obwohl sie nie
miteinander wechselwirkten!
Pan, Bouwmeester, Weinfurter & Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 3891
Peres, Delayed choice for entanglement swapping, J. Mod. Opt. 47 (2000) 139
Jennewein, Weihs, Pan, Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 017903
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.44
Verschränkungsaustausch
Verschränkt!
Formal: |Ψi1234 =
¡
¢¡
¢
1
4
1
4
1
2
3
2
3
| ↔i | li − | li | ↔i
2 | ↔i | li − | li | ↔i
Schreibbar als: |Ψi1234 =
¡ + 43 + 12
1
− 43
− 12
i
|Ψ
i
+
|Ψ
i
|Ψ
i
|Ψ
2
¢
+ 43
+ 12
− 43
− 12
+|Φ i |Φ i + |Φ i |Φ i
4
3
BellAnalysator
1
EPR
2
EPR
Nach der Bell-Messung der Photonen 1 und 2 sind die
Photonen 3 und 4 ebenfalls verschränkt, obwohl sie nie
miteinander wechselwirkten!
Korrelationen sind keine Wechselwirkungen!
Pan, Bouwmeester, Weinfurter & Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 3891
Peres, Delayed choice for entanglement swapping, J. Mod. Opt. 47 (2000) 139
Jennewein, Weihs, Pan, Zeilinger, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 017903
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.44
Quantenkommunikation
Zeilinger et al., Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3031
Pan et al., Nature 403 (2000) 515
Bose, Vedral, Knight, Phys. Rev. A 57 (1998) 822
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.45
Quantenkommunikation
Verschränkung von N Qubits:
|E(N )i|E(3)i −→ |E(N + 1)i|E(2)i
GHZ
Zeilinger et al., Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3031
Pan et al., Nature 403 (2000) 515
Bose, Vedral, Knight, Phys. Rev. A 57 (1998) 822
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.45
Quantenkommunikation
Verschränkung von N Qubits:
|E(N )i|E(3)i −→ |E(N + 1)i|E(2)i
GHZ
„Quantum Telephone Exchange“:
Kommunikation durch eine zentrale
Einheit
Zeilinger et al., Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3031
Pan et al., Nature 403 (2000) 515
Bose, Vedral, Knight, Phys. Rev. A 57 (1998) 822
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.45
Quantenkommunikation
Verschränkung von N Qubits:
|E(N )i|E(3)i −→ |E(N + 1)i|E(2)i
GHZ
„Quantum Telephone Exchange“:
Kommunikation durch eine zentrale
Einheit
Warum überhaupt kommunizieren?
Zeilinger et al., Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3031
Pan et al., Nature 403 (2000) 515
Bose, Vedral, Knight, Phys. Rev. A 57 (1998) 822
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.45
Quantenkryptographie
Wenn Zeilinger
Geld hat . . .
zuviel
DIE ZEIT, 22. April 2004
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.46
Geheimer Schlüssel
Gilbert Vernam (1926): Übertragungsverfahren;
„Data Encryption Standard“ (DES, 1977)
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.47
Geheimer Schlüssel
Gilbert Vernam (1926): Übertragungsverfahren;
„Data Encryption Standard“ (DES, 1977)
Alice
Nachricht
0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 Verschlüsselte
Nachricht
Bob
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.47
Geheimer Schlüssel
Gilbert Vernam (1926): Übertragungsverfahren;
„Data Encryption Standard“ (DES, 1977)
Alice
Bob
Universität Bremen
Nachricht
0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 Verschlüsselte
Nachricht
0 1 1 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
Verschlüsselte
Nachricht
Nachricht
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.47
Schlüsselübertragung
Verfahren ist sicher, wenn jeder Schlüssel nur einmal
verwendet wird
Sichere Schlüsselübertragung?
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
Alice
Eve
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1
Problem:
viele Schlüssel
Vorteil:
bei Lauschangriff
Vernichten
des
Schlüssels
Bob
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.48
Schlüsselübertragung mit EPR-Paaren
EPR-Quelle sendet Photonen zu Alice und Bob
Polarisationsmessung mit nicht-orthogonalen Filterstellungen
b2
a2
b1
p/8
a1
Liefert einen Schlüssel
Liefert einen Test, ob Eve mitgehört hat
Ekert, Quantum cryptography based on Bell’s theorem, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 661
Tittel et al., Phys. Bl. 55, Nr. 6 (1999) 25
Gisin et al., Rev. Mod. Phys. 74 (2002) 145
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.49
Schlüsselübertragung mit EPR-Paaren
Alice und Bob
führen
unabhängig
voneinander
Messungen
durch
Analysatorstellungen
werden veröffentlicht
Schlüssel durch Messergebnisse bei gleichen
Analysatorstellungen
Universität Bremen
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.50
Lauschangriff?
Eve: misst Polarisation bzgl. einer Analysatorstellung und
verschickt ein entsprechendes Photon
?
Universität Bremen
Korrelation wird
vernichtet
Test der Bellschen Ungleichung!
IV. Erweiterungen und Anwendungen – p.51
Übersicht
I. Motivation
II. Einbettung –
Verschränkung und lokaler Realismus
III. Quantenteleportation –
Theorie und Experiment
IV. Erweiterungen und Anwendungen –
Verschränkungsaustausch und Quantenkryptografie
V. Zusammenfassung
Universität Bremen
Übersicht – p.52
Zusammenfassung
Verschränkung und Quantenteleportation sind von
theoretischem Interesse:
sie zeigen die Nichtlokalität der Welt
– Korrelationen, unabhängig von Raum und Zeit –
Verschränkung und Quantenteleportation sind von praktischem
Interesse:
Erste Anwendungen der Quantentheorie auf der Ebene
einzelner Teilchen
Quantenkommunikation und Quantenkryptographie sind
an der Schwelle zur technischen Realisierbarkeit
Universität Bremen
V. Zusammenfassung – p.53
Letzte Fragen
Zeilinger, Scientific American 282, Nr. 4 (2000) 32
Universität Bremen
V. Zusammenfassung – p.54