Zusammenfassung Elektronische Struktur von Festkoerpern

ZUSAMMENFASSUNG
“FREIES ELEKTRONENGAS UND ELEKTRONISCHE STRUKTUR VON FESTKÖRPERN”
Freies Elektronengas:
•
•
•
N Leitungselektronen bewegen sich vor homogenem Ladungshintergrund
Keine Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen
Pauli-Prinzip
Einstein-Schrödingergleichung für freie Elektronen
Lösung ebene Wellen
−
ℏ
∆
=
=
ℏ
=
,
√
Aus periodischen Randbedingungen und der endlichen Größe des Würfels ergeben sich für den
Wellenvektor diskrete Werte
=
(
,
,
)
Elektronen füllen im k-Raum eine Kugel (Fermikugel) mit Radius kF.
Wichtige Eigenschaften des freien Elektronengases (chemisches Potential µ )
Fermi-Dirac Verteilung
( ) =
Radius der Fermikugel (hängt nur von der
Elektronendichte n ab)
'
1
(! ")/ $ %
= (3)² )
ℏ '
2-
Energie des höchsten besetzten Zustands
(Fermienergie)
'
Fermigeschwindigkeit
.' =
/' =
Fermitemperatur
Zustandsdichte in 3D
Zustandsdichte in 2D
Zustandsdichte in 1D
Wärmekapazität
=
+1
/+
ℏ '
'
1
0
34!
5 2- +/
=
( )
3
2) ℏ
6
Nahe Fermienergie: 2( ' ) = 3/2 !
2( ) = 2( ) = 8²
)ℏ²
1
2( ) ∝ 1
√
1
/
:;< = )² 0 ²
2
/'
7
/
BANDSTRUKTUR
Lösungen der Schrödingergleichung für ein freies Elektronengas sind ebene Wellen.
Was ändert sich, wenn sich die Elektronen in einem periodischen Potential (Kristall) befinden, mit
→ Blochwellen
?
D.h. die Wellenfunktionen an Ort r und r+R unterscheiden sich nur um den Phasenfaktor
Wichtig: Es erhalten also nicht die Wellenfunktionen der Elektronen die Symmetrie des Potentials
sondern die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten!
Aus der Existenz des periodischen Potentials und der Tatsache, dass der Wellenvektor diskret ist,
ergibt sich aus der Lösung der Hauptgleichung
an den Zonengrenzen, d.h. bei
= = bzw. bei
>
= ,
eine Energielücke von UG:
Für die Wellenfunktion eines Elektrons ergeben sich die Lösungen:
ψ+ und ψ- sind also stehende Wellen.
Die Bandlücke kann auf verschiedenen Weise dargestellt werden:
•
Erweitertes Zonenschema:
•
Reduziertes Zonenschema:
Zustände ausserhalb der 1. Brioullin-Zone werden durch
Subtraktion geeigneter Gittervektoren in diese abgebildet
•
Periodisches Zonenschema:
Periodische Wiederholung des reduzierten Zonenschemas
? @ für -∞ < k < ∞
METALLE, HALBLEITER UND ISOLATOREN
Über die Größe der Bandlücke (relativ zu kBT) können Materialien klassifiziert werden. Eine genauere
Diskussion von Metallen, Halbleitern und Isolatoren findet sich auf den entsprechenden
Zusammenfassungsblättern.
A. Halbleiter und Isolatoren
Wenn bei einer Temperatur T=0 eine bestimmte Anzahl an Bändern gefüllt, aber alle
anderen Bänder leer sind, spricht man von einem Halbleiter oder Isolator.
Das oberste besetzte Band ist das Valenzband, das unterste unbesetzte das Leitungsband.
Größe der Bandlücke:
•
•
Halbleiter:
Isolator:
A0 ≈ 0 /
A0 ≫ 0 /
Man spricht von einer direkten Bandlücke, wenn das Maximum des Valenzbands und das
Minimum des Leitungsbands bei dem gleichen k-Wert liegen. Anderenfalls spricht man von
einer indirekten Bandlücke.
B. Metalle
Bei Metallen sind eines oder mehrere Bänder unvollständig gefüllt, und die Elektronen in
diesen Bändern können leicht in andere Bänder verschoben warden.