Versuchsanleitung Wechselstrom

Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
Wechselstrom
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: p2H [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
WS 2
Wechselstrom
1. Stoffgebiet
- Darstellung von Wechselspannungen und -strömen
- Zeigerdiagramm von Wechselstromwiderständen
- Wechselstromnetzwerke
- Elektrische Resonanzen
- Wechselstromleistung
- Freie Ladungsträger
- Oszillograf
2. Literatur
Gerthsen-C. ,Meschede, D.
Physik
21. Auflage, Springer-Verlag, 2002
W. Walcher:
Praktikum der Physik
9. Auflage, Teubner, 2006
H.-J. Eichler,H.-D. Kronfeldt, J. Sahm:
Das Neue Physikalische Grundpraktikum
2. Auflage, Springer, 2006
Version: Nebenfach 1 semestrig
Wechselstrom
WS 3
3. Fragen
1.
In einem Stromkreis befindet sich eine Gleichspannungsquelle, ein ohm'scher Widerstand und eine Induktivität. Man diskutiere den Verlauf von Stromstärke und Spannung
an der Spule, wenn der Gleichstrom eingeschaltet wird.
2.
Ein Kondensator wird über einen Widerstand von einer Gleichspannungsquelle aufgeladen. Man diskutiere die Strom- und Spannungsverhältnisse am Kondensator bei dem
Aufladevorgang.
3.
Wie kann man Wechselströme erzeugen? Durch welche Größen ist der Wechselstrom
bestimmt?
4.
Wie werden die Impedanz und die Phasenverschiebung experimentell ermittelt?
2
5.
1 ⎞
⎛
Welche mittlere Leistung wird in einer Impedanz Z = R + ⎜ w L −
, welche in
w C ⎟⎠
⎝
einer Kapazität und welche in einer Induktivität erzeugt?
2
6.
Skizzieren Sie die Impedanz und die Phasenverschiebung
a) bei Serienresonanz und
b) bei Parallelresonanz
als Funktion der Frequenz. Zu welchen Zwecken kann man diese Schaltkreise gebrauchen?
7.
Welche Kräfte wirken auf ein Elektron, das sich in einem elektrischen Feld bewegt?
Welche kinetische Energie gewinnt es beim Durchlaufen des Feldes?
8.
Erklären Sie an Hand einer Skizze kurz die Funktionsweise des Oszillografen. Wie
kann man mit dem Oszillografen den zeitlichen Verlauf von Spannungen messen?
9.
Wie lassen sich mit dem Oszillografen Ströme messen?
10.
Welche Strom- und Spannungsmeßgeräte kennen Sie? Erläutern Sie die Verwendungsmöglichkeiten.
WS 4
Wechselstrom
4. Grundlagen
4.1. Oszillograf
Der zeitliche Verlauf elektrischer Wechselspannungen läßt sich mittels eines Oszillografen
sichtbar machen.
1) Kathodenheizung
2) Kathode
3) Fokussiereinrichtung
4) Anode
5) Y-Ablenkplatten
6) X-Ablenkplatten
7) Nachbeschleuniger
8) Leuchtschirm
Abb. 1: Schnittbild einer Oszillografenröhre
Die im Hochvakuum von der Glühkathode ausgehenden Elektronen werden durch den als
elektrische Linse wirkenden Hohlzylinder und die durchbohrte Anode auf den Leuchtschirm
abgebildet, wo sie durch Fluoreszenzanregung einen Lichtfleck erzeugen.
Auf dem Weg zwischen Anode und Leuchtschirm passieren die Elektronen nacheinander
zwei um 90° gegeneinander versetzte Plattenkondensatoren, durch deren elektrische Felder
die Elektronen abgelenkt werden. Beide Ablenkungen sind den Feldstärken Ex und E y
proportional, die die an den Kondensatorplatten angelegten Spannungen Ux und Uy erzeugen.
Für den Ablenkungsweg gilt (siehe Abb. 2):
(1)
x=
1 e
l2
E 2,
2m v
e = Elementarladung,
m = Elektronenmasse,
v = Geschwindigkeit der Elektronen.
Wechselstrom
WS 5
Abb. 2: Geometrie der Ablenkplatten
Ist das elektrische Feld in den Ablenkkondensatoren homogen, dann ist es dort der angelegten
Spannung U proportional:
(2)
U = E d = Ed
Sei s der Abstand zwischen der Mitte des Kondensators und dem Leuchtschirm, dann ist die
Ablenkung D auf dem Leuchtschirm :
(3)
D=
2xs e sl e U sl
= E 2 =
l
m v
m d v2
Ein Elektronenstrahloszillograf besteht aus der Bildröhre mit Spannungsversorgung, den Verstärkern für Horizontal- und Vertikalablenkung, der Zeitbasis und der Synchronisation (Trigger).
Die Zeitabhängigkeit eines an dem Y-Eingang angelegten periodischen Signals läßt sich verfolgen, wenn an dem X-Kondensator eine mit der Zeit linear anwachsende Spannung liegt.
Hat diese den Elektronenstrahl bis zum rechten Bildrand abgelenkt, muß sie auf den Anfangswert zurückkippen, damit der Elektronenstrahl wieder vom linken Bildrand loslaufen
kann. („Kipp-„ oder „Sägezahn“-Spannung).
Ein zeitlich konstantes Kurvenbild eines periodischen Y-Spannungsverlaufs ergibt sich nur
dann, wenn die Kippfrequenz der von der Zeitbasis gelieferten Sägezahnspannung ein ganzes
Vielfaches der Frequenz am Y-Eingang ist. Dies erreicht man durch die Synchronisation (triggern).
Speist man die X-Platten nicht mit einer Sägezahn-, sondern ebenso wie die Y-Platten mit
einer sinusförmig- gen Wechselspannung, so zeichnet der Lichtfleck dann ein stehendes Bild,
wenn die Frequenzen an X-und Y-Eingang in rationalem Verhältnis zueinander stehen (Lissajous-Figuren).
WS 6
Wechselstrom
4.2. Wechselstromkreise
Unter Wechselstrom versteht man einen periodisch das Vorzeichen wechselnden Strom. Im
folgenden beschränken wir uns auf sinusförmige Wechselströme und -spannungen.
An einem Wechselstromkreis sei die Wechselspannung
(4)
U (t ) = U 0 sin(w t )
1
,
T
f: Frequenz, T: Periode, U0: Amplitude)
(ω: Kreisfrequenz, w = 2p f = 2p
angelegt.
Sie verursacht einen Wechselstrom I(t), der im allgemeinen Fall gegenüber U(t) eine Phasenverschiebung hat:
(5)
I (t ) = I 0 sin(w t − j )
(I0: Amplitude)
Abb. 3: Zeitlicher Verlauf einer sinusförmigen Wechselspannung und eines sinusförmigen
Wechselstroms
An einem ohm'schen Widerstand ist j = 0 , an einem Kondensator C eilt I(t) der
Wechselspannung U(t) um 90° voraus ( j = −
Kondensatoren
und
ideale
Spulen
sind
p
2
), an einer Spule L um 90° ( j = +
Blindwiderstände,
die
als
p
). Ideale
2
Speicher für
elektromagnetische Energie dienen und diese Energie mit einer Phasenverschiebung von ±
p
2
an die Stromquelle zurückgeben.
Gesucht sind nun Aussagen über die im Wechselstromkreis erbrachte Leistung und Beziehungen zwischen I(t), U(t) sowie zwischen I0 und U0.
Wechselstrom
WS 7
4.3. Leistung im Wechselstromkreis
Die Leistung eines Wechselstromes ist in jedem Augenblick durch das Produkt aus den Momentanwerten der Spannung und des Stromes gegeben. Für die über eine Periode T erzeugte
Leistung gilt dann:
T
(6)
P=
1
U (t ) I (t )dt
T ∫0
Mit (4) und (5) folgt:
T
P=
1
U 0 I 0 ∫ sin(w t − j ) sin w t dt
T
0
Die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen liefern mit
a +b
a −b
1
= (cos b − cos a )
2
2
2
1
sin(w t − j ) sin w t = (cos j − cos(2w t − j ))
2
T
1 U0 I0
(cos j − cos(2w t − j )) dt
P=
2 T ∫0
sin
sin
1
P = U 0 I 0 cos j
2
Unter den Effektivwerten von Wechselstrom bzw. -spannung verstehen wir nun diejenigen
Größen, die ein Gleichstrom besitzen muß, um in einem ohm'schen Widerstand ( cos j = 1 )
die gleiche Leistung hervorzubringen:
(7)
I eff =
I0
U
; U eff = 0
2
2
Es folgt für die in Wärme umgewandelte Leistung in einem beliebigen Wechselstromkreis:
(8)
P = U eff I eff cos j
Hitzdraht- sowie Weicheisenamperemeter und Drehspulinstrumente zeigen Ieff und Ueff an.
WS 8
Wechselstrom
4.4. Wechselstromkreis mit Kapazität, Induktivität und Widerstand in Serie
R: 1Ω =
1V
1A ⋅ 1s
1V ⋅ 1s
, C: 1F =
, L: 1H =
1A
1V
1A
Abb. 4: RLC-Serienschaltung an einer Wechselspannungsquelle
Es sei U (t ) = U 0 sin w t an C, L und R in Serie angelegt und rufe einen Wechselstrom
I (t ) = I 0 sin(w t − j ) hervor.
Es gilt:
U (t ) = U C (t ) + U L (t ) + U R (t )
Mit
U R (t ) = RI (t ) = RI 0 sin(w t − j )
I
Q(t )
U C (t ) =
= − 0 cos(w t − j ) , da: Q(t ) = ∫ I (t ) dt
C
wC
Ldl (t )
U L (t ) =
= Lw I 0 cos(w t − j )
dt
erhalten wir:
U 0 sin w t = RI 0 sin(w t − j ) + Lw I 0 cos(w t − j ) −
= RI 0 sin(w t − j ) + ( Lw −
I0
cos(w t − j )
wC
1
) I cos(w t − j )
wC 0
Mit den wohlbekannten trigonometrischen Additionstheoremen:
sin(a ± b ) = sin(a ) cos( b ) ± cos(a ) sin( b )
cos(a ± b ) = cos(a ) cos( b ) ∓ sin(a ) sin( b )
Wechselstrom
WS 9
läßt sich die Gleichung weiter umformen zu:
0 = sin w t (−U 0 + I 0 R cos j + ( Lw −
− cos w t ( I 0 R0 sin j − ( Lw −
1
) I sin j )
wC 0
1
) cos j )
wC
Nun können wir die gesuchten Größen I0 und ϕ berechnen. Soll nämlich diese Gleichung zu
jeder Zeit t erfüllt sein, müssen die Faktoren von sin w t und cos w t einzeln Null sein.
(9)
(10)
1
) I sin j
wC 0
1
0 = I 0 R0 sin j − ( Lw −
) cos j
wC
U 0 = I 0 R cos j + ( Lw −
Aus Gl. (10) ergibt sich unmittelbar die Phasenverschiebung ϕ
(11)
tan j =
1
wC
wL−
R
Unter Ausnutzung von sin 2 j + cos 2 j = 1 ergibt sich aus Gl. (11):
sin j =
wL−
1
wC
1 ⎞
⎛
R2 + ⎜w L −
w C ⎟⎠
⎝
2
; cos j =
R
1 ⎞
⎛
R2 + ⎜w L −
w C ⎟⎠
⎝
2
Eingesetzt in Gl. (9) erhält man:
(12)
I0 =
U0
1 ⎞
⎛
R2 + ⎜w L −
w C ⎟⎠
⎝
2
In Analogie zum Ohm'schen Gesetz definieren wir die dem Gleichstromwiderstand entsprechende Größe „Impedanz“ Z:
(13)
1 ⎞
⎛
Z = R2 + ⎜w L −
w C ⎟⎠
⎝
2
Diese Definition für Z legt nahe, die Einzelwiderstände als Vektoren aufzufassen. Fehlt im
Stromkreis einer der Wechselstromwiderstände, so wird die entsprechende Komponente in
der obigen Betrachtung weggelassen.
WS 10
Wechselstrom
R-C-Serienkreis:
Z = R2 +
1
und tan j =
w C2
−
2
1
wC
R
R-L-Serienkreis:
Z = R 2 + w 2 L2 und tan j =
wL
R
Abb. 5: Zeigerdiagramm für Wechselstromwiderstände mit Wirkwiderstand R und Blindwi1
derstand w L −
.
wC
Wesentlich einfacher ist es aber, mit Hilfe von komplexen Zahlen die Berechnung von Wechselstromkreisen auf das Ohm'sche Gesetz und die Kirchhoff'schenRegeln zurückzuführen.
Man trifft dazu die folgenden Zuordnungen:
ohm'scher Widerstand RΩ= R
induktiver Widerstand RL= iωL
1
i
kapazitiver Widerstand RC =
=−
wC
iw C
( i 2 = −1 )
Ebenso wird dann eine sinusförmige Wechselspannung (mit der Phasenverschiebung ϕ ) wie
folgt definiert:
U (t ) = U 0ei (w t −j )
Aus dem komplexen Widerstand R = a + ib erhält man die reellen und daher meßbaren Größen
Wechselstrom
WS 11
R = Z = a 2 + b2
tan j =
a
b
(Impedanz);
(Phasenverschiebnung zwischen Strom und Spannung).
Man kann die Impedanz nach Gl. (7) und Gl. (12) durch die einfach meßbaren Größen Ueff, Ieff
bestimmen:
(14)
Z=
U eff
I eff
=
U0
I0
4.5 Bestimmung der Phasenverschiebung ϕ
(i)
Den Phasenwinkel j kann man mit einem Leistungsmeßgerät (Wattmeter) bestimmen,
wenn man Ueff und Ieff bestimmt und mit P in Gl. (8) einsetzt.
(ii)
Die Phasenverschiebung j kann auch mit einem X-Y-Oszillografen aus einer Lissajousfigur bestimmt werden:
Abb. 6: Messung nach der Ellipsenmethode
Legt man an die X-Platten eines Oszillografen die Spannung
(15a) U x (t ) = U x0 sin(w t )
und an die Y-Platten
(15b) U y (t ) = U y0 sin(w t − j )
WS 12
Wechselstrom
so entsteht auf dem Bildschirm eine Ellipse, deren Bahnkurve man aus Gl. (15a) und
Gl. (15b) erhält, indem man die Zeit eliminiert:
(16)
2
U x2 U y
U U
+
− 2 x y cos j − sin 2 j = 0
2
2
U x0 U y0
U x0 U y0
Aus Gl. (16) gehen die Schnittpunkte a und b der Ellipse mit der x- und y-Achse hervor:
(17)
a = U x0 sin j ⎫⎪
a
b
=
⎬ ⇒ sin j =
b = U y0 sin j ⎪⎭
U x0 U y0
Mißt man a, U x0 oder b, U y0 , so kann man j bestimmen.
(iii)
Mit einem Zweistrahloszillografen, der zwei Y-Ablenkteile (Y1- und Y2-Eingang)
enthält, lassen sich die Zeitabhängigkeiten von Strom und Spannung simultan darstellen. Aus dem Abstand der Nulldurchgänge ergibt sich j (siehe Abb. 3).
4.6. Elektrische Resonanz
Wählt man in einer Serienschaltung von Kondensator, Spule und ohm'schen Widerstand, d.h.
mit
1 ⎞
⎛
Z = R2 + ⎜w L −
w C ⎟⎠
⎝
2
1
ist, wird die Impedanz miwC
nimal, d.h. Z = R, und die Phasenverschiebung wird Null ( j = 0). Strom und Spannung sind
jetzt in Phase.
Diesen Fall bezeichnet man mit Resonanz, die zugehörige Frequenz fr als Resonanzfrequenz.
Es gilt:
die Frequenz der angelegten Wechselspannung so, daß w L =
(18)
wr =
1
1
bzw f r =
2p
LC
1
(Thomson-Gleichung).
LC
Im Fall der Serienschaltung wird der Strom maximal, und an der Spule und dem Kondensator
können Spannungen auftreten, welche die Generatorspannung um ein Vielfaches übersteigen.
Die Spannungserhöhung ist
(19)
U
UL w L
1
=
=
= C
U0
R w RC U 0
Wechselstrom
WS 13
Bei Parallelschaltung von R, L und C braucht man die Ausdrücke für den Serienkreis nur zu
übersetzen, indem man Ströme durch Spannungen und Widerstände durch Leitwerte ersetzt.
Hier wird in der Resonanz der Strom minimal.
Resonanzkreise finden Anwendung bei Antennen, Frequenzmessern, Filtern, Sperr- und
Schwingkreisen (Sender, Verstärker, Empfänger).
5. Versuchsdurchführung
Abb. 7: Zur Versuchsdurchführung wird dieses Schaltbild benutzt
(hier als Beispiel für Aufgabe 3)
Aufgabe 1:
In einem R-C-Serienkreis ist die Phasenverschiebung j als Funktion der Kapazität j = j (C )
zu bestimmen und grafisch darzustellen. f = 10 kHz, R ≈ 200 Ω . C variiere man in 10 Schritten von 0 - 200 nF auf der Kapazitätsdekade.
Messung: Ellipsenmethode
Nach Abb. 7 greife man an R die Spannung UR(t) ab, die mit I(t) in Phase ist (UR(t) ~ I(t)) und
gebe sie an den X-Eingang des Oszillografen. Uges(t) wird an einen der beiden Y-Eingänge
gegeben, man erhält eine Lissajousfigur. Die Generatorspannung und die jeweilige Empfindlichkeit am Oszillografen sind aus Genauigkeitsgründen so zu wählen, daß die Ellipse an das
Rechteck x = 8 E und y = 6 E (1 E = 1 cm auf dem Oszillografenschirm) grenzt.
WS 14
Wechselstrom
Aufgabe 2:
In einem R-L-Serienkreis ist die Phasenverschiebung j als Funktion der Frequenz j = j ( f )
zu bestimmen und tan ϕ grafisch darzustellen und zu deuten.
f = (0,1; 1; 3; 5; 10; 20; 60; 100) kHz; L = 10 mH; R ≈ 200 Ω .
Messung: Direkt mit dem Zweistrahloszillografen
UR(t)~I(t) wird an einen der Y-Eingänge gegeben, Uges(t) an den anderen Y-Eingang. Die
Zeitbasis des Oszillografen wird so eingestellt, daß eine Periode eines Signals auf genau x =
10 E kommt (Anfangspunkt mit X-Shift korrigieren, Endpunkt mit Zeitbasisschalter oder
Zeit-Shift einregulieren und evtl. wiederholen). Die Amplitude soll mindestens 3 E betragen,
um Ablesefehler zu vermeiden. Dabei ist besonders auf die Symmetrie der Amplituden zur
Zeitachse zu achten.
Aufgabe 3:
In einem R-L-C-Serienkreis ist die Impedanz Z als Funktion der Frequenz Z = Z(f) grafisch
aufzutragen.
f = (0,1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8) kHz; C = 30 nF; L = 100 mH; R = 600 Ω .
Messung:
Man benutze die gleiche Meßmethode wie in Aufgabe 2, lese U0, I0 ab. Mit Gleichung (14)
ergibt sich Z. (Achten Sie auf die Eichung der Y-Skalen!)
Ermitteln Sie aus der Auftragung die Resonanzfrequenz fr und vergleichen Sie diese mit dem
theoretisch zu erwartenden Wert.
6. Versuchsausstattung
- 1Oszillograf
- 1Funktionsgenerator
- 1Schaltbrett mit Widerstand
- 1Induktivitätsdekade
- 1Kapazitätsdekade
- Adapter BNC-Banane
- Kabel