Einfache Abbildungen auf den Einheitskreis - T

Einfache
Abbildungen auf
den Einheitskreis in
der Menge der
komplexen Zahlen
Dieter Küntzel, 2013
-1-
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ................................................................................................................ 3
1.1 Definition und Darstellungen der Komplexen Zahlen ....................................... 4
1.2 Umrechnung Polar- und kartesische Koordinaten ............................................ 6
1.3 Rechenregeln ................................................................................................... 7
1.4 Die erweiterte komplexe Ebene ...................................................................... 9
1.5 Geraden und Kreise in der komplexen Ebene................................................ 10
1.6 Doppelverhältnis ............................................................................................ 11
1.7 Spiegelung / Inversion am Kreis..................................................................... 13
2 Möbius Transformation ......................................................................................... 14
2.1 Definition ........................................................................................................ 14
2.2 Eigenschaften ................................................................................................ 15
3 Die Exponentialfunktion, w = ez ............................................................................ 17
3.1 Definition ......................................................................................................... 17
3.2 Eigenschaften ................................................................................................. 17
4 Quadratische Funktion, w = z2 .............................................................................. 19
4.1 Definition ......................................................................................................... 19
4.2 Eigenschaften ................................................................................................. 19
5. Die allgemeine Potenzfunktion, w = zn................................................................ 23
5.1 Definition ......................................................................................................... 23
5.2 Eigenschaften ................................................................................................ 24
6 Die Joukowski-Funktion ........................................................................................ 25
6.1 Definition ......................................................................................................... 25
6.2 Eigenschaften ................................................................................................. 25
7 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen ................................................. 30
7.1 Definition ......................................................................................................... 30
7.2 Eigenschaften ................................................................................................. 30
8 Abbildungen auf den Einheitskreis ....................................................................... 32
8.1 Halbebene ...................................................................................................... 32
8.2 Winkelbereich................................................................................................. 33
8.3 Parallelstreifen ............................................................................................... 34
8.4 Zwei ineinander liegende, sich berührende Kreise......................................... 35
8.5 Kreisbogen Zweieck ....................................................................................... 36
8.6 Kreisbogen Dreieck ........................................................................................ 37
8.7 Flügelquerschnitt ............................................................................................ 38
9. Literaturverzeichnis............................................................................................... 40
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1 Einleitung
In dieser Arbeit wollen wir uns mit einfachen Abbildungen in der Menge der
komplexen Zahlen beschäftigen. Dabei sollen einfache geometrische Objekte wie
einfache Teilmengen von Kreisen (z. B. Segment, Kreisbogenzweieck) sowie
Winkelbereiche auf den Einheitskreis (Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung mit dem
Radius 1) abgebildet werden. Dazu legen wir einen besonderen Fokus auf die
geometrischen Eigenschaften der Abbildungen.
Die Abbildung auf den Einheitskreis kann sogar auf eine umfangreichere Klasse von
Mengen ausgeweitet werden. Diese Mengen werden als einfach zusammenhängende Gebiete bezeichnet. Ein einfach zusammenhängendes Gebiet kann man
sich vorstellen als eine nur „aus einem Stück“ bestehende Fläche ohne ihre
Randpunkte, die keine „Löcher“ besitzt.
Die Lösung des allgemeinen Problems ist Gegenstand des Riemannschen
Abbildungssatzes, der nach Bernhard Riemann (1826 - 1866) benannt wurde.
Riemann entdeckte und bewies den Satz 1851.
Riemannschen Abbildungssatz
G sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet in
und der Rand enthalte
mindestens zwei Punkte. Dann existiert eine bijektive Funktion f, die das Gebiete auf
das Innere des Einheitskreises D winkel- und orientierungstreu abbildet:
f: G  D, mit D  { z 
z  1}
Der Riemannsche Abbildungssatz ist ein Existenzsatz, liefert also keine
Konstruktionsvorschrift für eine Funktion, die das oben behauptete leistet. Trotzdem
ist der Riemannsche Abbildungssatz in der Praxis der Elektrotechnik, Flugzeugbau,
Akustik etc. ein sehr nützliches Werkzeug. Auf Basis des Satzes ist folgendes
Vorgehen möglich:




sehr komplizierte Konfigurationen werden in erheblich einfachere abgebildet,
das Problem wird in der einfachen Konfiguration gelöst,
die Lösung wird in die ursprüngliche Konfiguration zurück transformiert,
die transformierte Lösung ist die Lösung des ursprünglichen Problems.
Wie konkret vorgegangen wird zeigen wir an einigen Beispielen in Kapitel 8.
Zu Beginn wollen wir eine kurze Zusammenfassung einiger Eigenschaften der
komplexen Zahlen geben. Details dazu siehe [14].
-3-
1.1 Definition und Darstellungen der Komplexen Zahlen
Zur Definition der komplexen Zahlen führt man eine Menge von Zahlenpaaren von
reellen Zahlen ein – ähnlich wie bei der Einführung von Vektoren in der Ebene - für
die dann Rechenregeln definiert werden.
Definition: Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als die Menge
: {(a1 ,a2 )I a1 ,a2  } auf der folgende Rechenregeln definiert sind:
seien a  (a1 ,a2 ), b  (b1 ,b2 )  , c 0  , gegeben, dann gelte :
1. a  b genau dann wenn a1  b1 und a2  b2
2. a  b  (a1 ,a2 )  (b1 ,b2 )  (a1  b1 ,a2  b2 )
3. c 0 b  c 0 (b1 ,b2 )  (c 0 b1 , c 0 b2 )
4. a b  (a1 ,a2 ) (b1 ,b2 )  (a1 b1  a2 b2 ,a1 b2  a2 b1 )
5. die komplexe Null ist gegeben durch ( 0,0) ,
6. die komplexe Eins ist gegeben durch (1,0)
Man kann nun nachrechnen, dass die gewohnten Rechenregeln hinsichtlich
Vertauschens von Summanden / Faktoren, Klammersetzung und Kombination von
Addition und Multiplikation gelten.
Darüber hinaus sind die Gleichungen
a+x=b
a*x=b, a≠0
für alle a, b  - im Falle der Multiplikation a ≠ 0 - eindeutig lösbar.
Daraus folgt, dass das neutrale Element der Multiplikation, die komplexe Eins,
nx  (1, 0 )
ist und das inverse Element von x  (x1 ,x 2 )  0 ist die Zahl.
x
x
1
 ( 2 1 2 , 2 2 2 ) hinsichtlich der Multiplikation
x
x1  x 2 x1  x 2
Analog dazu erhält man das neutrale Element der Addition, die komplexe Null,
n  ( 0 , 0 )
und das inverse Element von x  (x1 ,x 2 ) hinsichtlich der Addition ist die Zahl
 x  (  x1 ,  x 2 ) .
Das entscheidend Neue ist, dass in der Menge
schränkt möglich ist, das heißt:
für jedes a  (a1 ,a2 )
das Wurzelziehen uneinge-
existieren genau zwei xi  (xi,1 ,xi,2 )
gilt: a  xi2 geschrieben als xi  
a , i  1, 2 mit
1
1
( a12  a22  a1 ) , x i ,2  
( a12  a22  a1 )
2
2
bei geeigneter Kombination der Vorzeichen.
x i ,1  
-4-
, i  1, 2 , so dass
Wir können nun auch eine vereinfachte Darstellung der komplexen Zahlen einführen.
Dazu definieren wir spezielle Schreibweisen für einige Zahlen:
die komplexen Null
0  ( 0,0) : 0
die komplexen Eins 1  (1,0) : 1
ergänzt um
i : (0,1) die imaginäre Einheit
geschrieben als
i
1
Es ergibt sich damit:
(a1 ,a2 )  (a1 ,0 )  (0 ,a2 )
 a1 (1,0 )  a2 (0 ,1)
 a1 1  a2 i
 a1  i a2
 a1 
1 a2
Jede komplexe Zahl z kann somit geschrieben werden als
z  z1  i z2 mit z1, z2 
.
Während sich die Menge der reellen Zahlen durch Punkte auf der Zahlengeraden
veranschaulichen lässt, wird die Menge der
komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene
dargestellt. Dies wird bereits durch die Definition
der Menge der komplexen Zahlen nahe gelegt.
Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die
waagerechte Achse, die Teilmenge der rein
imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die
senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl
z = z1 + i z2 besitzt dann die horizontale
Koordinate z1 und die vertikale Koordinate z2.
Damit hat man ein kartesisches Koordinatensystem, in dem die Menge der komplexen
Zahlen dargestellt wird.
Die konjugiert komplexe Zahl zu z  z1  i z2
Der Betrag von z  z1  i z2 ist definiert als
ist definiert als
z 
z  z1  i z2
z12  z22
Die Eulersche Relation wird definiert als e() : cos   i sin  mit  
ist umkehrbar auf jedem Intervall in der Länge 2 , z.B.      . .
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. Die Relation
Jede komplexe Zahl z kann dann aber auch in Polarkoordinaten geschrieben
werden, d.h. durch Abstand vom Ursprung und Winkel bezogen auf die Re-Achse:
z  z (cos   i sin )
z  z e()
mit
z  r folgt :
z  r e() Polarkoordinatendarstellung
Für z ≠ 0 ist der Winkel  bis auf Vielfache von 2 bestimmt. Jeder dieser Winkel 
wird als Argument von z bezeichnet und geschrieben als:
  arg(z)
Da arg(z) nicht eindeutig ist, ist es keine Funktion. Jedoch kann man die
Eindeutigkeit erreichen, indem man den Wertebereich auf ein Intervall der Länge 2
einschränkt, z. B.  mit       .
1.2 Umrechnung Polar- und kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten → kartesische Koordinaten
r,  gegeben :
z  z1  i z 2
 r cos   i r sin 
z1  r cos 
z2  r sin 
kartesische Koordinaten → Polarkoordinaten
z1 , z 2 gegeben
r z 
z12  z 22
z1  0 :   arctan
z2
z1

 2k , k 
2

z 2  0      2k , k 
2
z1  0 : z 2  0   
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1.3 Rechenregeln
Konjugiert komplexe Zahlen
Für alle komplexen Zahlen z, w 
gelten folgendeRe geln :
1) z  z
2) z  w  z  w
3) z w  z w
z
4)    z w falls w  0
w
5) z  z  2 Re(z)
z  z  2 i Im(z)
6) z  0  z z  z12  z 22  z
2


Betrag komplexer Zahlen
Für alle komplexen Zahlen z, w 
1)
z  z
2)
zw  z
3)
z
z

w
w
gelten folgende Rechenregeln :
w
für w  0
4) Re( z )  z
Im( z )  z
5)
zw  z  w
Dreiecksungleichung
Multiplikation / Division in Polarkoordinaten
z  z (cos   i sin )  z e( )
w  w (cos   i sin  )  w e(  )
z w  z (cos   i sin ) w (cos   i sin  )  z
w (cos(    )  i sin(    ))
zw 
w
z e( )
w e(  )
 z
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e(    )
für w  0
z (cos   i sin )
z
z


(cos(   )  i sin(    ))
w
w (cos   i sin  )
w
z

w
z e()
w e( )

z
w
e(   )
Damit ist gezeigt, dass eine Multiplikation komplexer Zahlen z und w als Drehstreckung von z interpretiert werden kann mit Drehung um  und Streckung um IwI.
Satz von Moivre
Der Satz von Moivre stellt das Potenzieren komplexer Zahlen in Polarkoordinaten
dar.
Für alle z  , z  0, mit z  r e( )  r (cos( )  i sin( )) , r  z
und für alle n 
 {0} gilt :
zn  (r e())n  r n e(n )
oder ausführlicher :
zn  (r (cos( )  i sin( ) ))n  r n (cos(n )  i sin(n ))
Beweis
1. z  1  z  cos( )  i sin( )
(cos( )  i sin( ) )n  cos(n )  i sin(n ) für alle n 
in Eulerscher Relation : (e( ))n  e(n ))
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1.1 n ≥ 1
Beweis durch vollständige Induktion :
Induktionsbeginn : n  1
( cos( )  i sin( ) )1  cos()  i sin( )  cos(1  )  i sin(1 
Induktionsschluss : n  n  1
( cos( )  i sin( ) )n1  ( cos(  )  i sin(  ) )n ( cos(  )  i sin(  ) )
 (cos(n )  i sin(n  )) ( cos(   i sin( ) )
 cos(n ) cos()  i sin(n ) cos()
 i cos(n ) sin()  i2 sin(n ) sin()
 cos(n ) cos()  sin(n ) sin()
 i (sin(n ) cos()  cos(n ) sin())
 cos(n   )  i sin(n   )
(Additionstheoreme für sin, cos)
 cos((n  1) )  i sin((n  1) )
1.2 n = 0
( cos( )  i sin( ))0  1
cos(0 )  i sin(0 )  1
2. z  r (cos( )  i sin( ) ) mit r 

zn  (r (cos( )  i sin( ) ))n
 r n (cos( )  i sin( ) )n
 r n (cos( n )  i sin(n ) )
nach 1.
Es gilt sogar – ohne es hier zu beweisen – noch die Erweiterung des Satzes für
n  [1,  ) . Für n   0 , 1 muss die Formel erweitert werden, da es entsprechend
viele Wurzeln aus z gibt.
1.4 Die erweiterte komplexe Ebene
Bei der Untersuchung rationaler Funktionen1 auf
erweist es sich als zweckmäßig,
die Lücken des Definitionsbereiches, die sich aus den Nullstellen des Nenners
ergeben, dadurch zu schließen, dass man der Funktion dort den Wert  zuordnet.
Anders als in der reellen Zahlen , wo die beiden Symbole  und   auftreten,
betrachtet man in den komplexen Zahlen
nur „eine Form“ von Unendlich. Man
erweitert
um das Symbol  und nennt    die erweiterte komplexe
Zahlenebene. Das Symbol
1
 bezeichnet man als unendlich fernen Punkt.
Rationale Funktionen sind Quotienten aus Polynomen
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Für das Rechnen in
Für a 
  erweitert man die in

gültigen Rechenregeln:
gelte :
1. a      a  
2.     
3. a    a   für a  0
4.    
a
5.  0

a
6.   für a  0
0
Die folgenden Ausdrücke sind nicht definiert :
0, ,
0 
,
0 
1.5 Geraden und Kreise in der komplexen Ebene
Kreise und Geraden lassen sich in der komplexen Ebene sehr elegant darstellen.
Sei ein Kreis gegeben mit: Mittelpunkt : a  a1  i a2 , Radius r .
Dann ist der Kreis definiert durch:
zzczczk0
mit c   a 
und k  c c  r 2 
.
Betrachtet man nur den linearen Teil
czczk0
mit k 
und c 
,c 0
so erhält man die Gleichung einer Geraden:
1) c  c1  i c 2 , c1 , c 2  0: c z  c z  k  0
2) c 2  0,c1  0 : senkrechte Gerade
3) c1  0, c 2  0 : waagerechte Gerade
Um zu vermeiden, dass in
Kreise und Geraden durch 2 Gleichungen dargestellt
werden, kann man die Gleichung mz z  c z  c z  k  0 mit m, k 
betrachten.
Für m = 0 ergibt sich eine Gerade.
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1.6 Doppelverhältnis
Aus der analytischen Geometrie ist das reelle Streckenteilungsverhältnis zweier
Strecken bekannt: Liegen 3 Punkte z , z1 , z2 auf einer Geraden, so ist das reelle
Streckenteilungsverhältnis definiert als das Verhältnis der Länge der Teilstrecke
z, z1 zur Länge der Gesamtstrecke z, z2 , wobei z1 zwischen z und z2 liegt.
Die Übertragung auf die komplexen Zahlen führt auf folgende Definition:
Das Streckenverhältnis [z, z1 , z2 ] von 3 verschiedenen Zahlen z, z1 , z2 
definiert durch:
z  z1
[ z, z1 , z2 ] 
z  z2
wird
Anschaulich: Das Streckenverhältnis von drei verschiedenen, auf einer Geraden
gelegenen Punkten z, z1, z2 ist eine (in diesem Fall) reelle Zahl, die das Verhältnis
der Längen der Strecken z, z1 und z, z2 darstellt. Dabei haben die Strecken
z, z1 und z, z2 den Punkt z gemeinsam.
Diese obige Definition ist aber eine Verallgemeinerung des reellen Streckenteilungsverhältnisses, da zum einen der Punkt z1 auch außerhalb der Gesamtstrecke z, z 2
liegen darf, zum zweiten, dass die Punkte noch nicht einmal auf einer Geraden
liegen müssen und schließlich zum dritten das Verhältnis eine komplexe Zahl ist.
Streckenverhältnis [ z, z1 , z2 ]
Dieses Streckenverhältnis wird nun zum Doppelverhältnis erweitert, indem man
 das Verhältnis für beliebige 4 komplexe Zahlen z, z1 , z2 , z3 
bildet, wobei
nicht je 3 der 4 Punkte auf einer Geraden oder nicht alle 4 Punkte auf einem
Kreis liegen müssen.
Bildet man das Verhältnis von vier verschiedene auf einer Geraden gelegenen
komplexe Zahlen z, z1 , z2 , z3  , dann ergibt das eine reelle Zahl, die die
gegenseitige, relative Lage der Punkte zueinander auf der Geraden kennzeichnet,.
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Das Doppelverhältnis (z, z1 , z2 , z3 ) von 4 verschiedenen Zahlen z, z1 , z2 , z3 
wird daher definiert durch folgende Fallunterscheidung:
z  z1 z 2  z1
:
falls z, z1 , z 2 , z3 
z  z3 z 2  z3
( z, z1 , z2 , z3 ) 
z 2  z3
z  z3
falls z1  
z  z1
z  z3
falls z 2  
z  z1
z 2  z1
falls z3  
Anschaulich heißt das für 4 auf einer Geraden liegende Punkte, das Doppelverhältnis
liefert das Verhältnis der Streckenteilungen der Strecken z1 , z4 durch z2 und z3 , z 4
durch z2 .
Doppelverhältnis ( z1 , z2 , z3 , z4 )
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1.7 Spiegelung / Inversion am Kreis
Gegeben sei ein Kreis K in
Zwei Punkte z, z ' 
mit Mittelpunkt z0 
und Radius r.
liegen symmetrisch zum Kreis K, falls gilt
(z  z0 ) (z'  z0 )  r 2
Die Abbildung z → z′ nennt man die Inversion am Kreis K oder auch Spiegelung am
Kreis K. Insbesondere gilt: aus z = z0 folgt z′ = ∞, d. h. der Kreismittelpunkt z0 liegt
symmetrisch zu ∞.
Zwei Punkte z, z′ nennt man symmetrisch zu einer Geraden G in
durch Spiegelung an der Geraden G entsteht.
z  z0
 z'  z0
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, wenn z′ aus z
2 Möbius Transformation
2.1 Definition
Seien a, b, c, d 
gegeben und es gelte a d – b c ≠ 0, dann wird durch
 d
a 
\   
\ 
 c
c 
az  b
w  f(z) 
cz  d
f:
die Möbius - Transformation, auch gebrochen lineare Funktion genannt, definiert.
Durch die Bedingung a d – b c ≠ 0 vermeidet man, dass
1. Nenner und Zähler ein Vielfaches voneinander sind, d.h. man vermeidet, dass
f(z) eine Konstante darstellt
2. Nenner und Zähler gleichzeitig Null sind, d.h. f(z) ist eine „ordentlich“ definierte
Funktion.
-d/c muss aus dem Definitionsbereich von f herausgenommen werden, da der
Nenner nicht Null werden darf, a/c muss aus dem Bildbereich von f
herausgenommen werden, da der Wert nicht erreicht wird („Bild von ∞ “).
Die Schwierigkeit mit den Ausnahmepunkten a/c und -d/c lässt sich beheben, indem
man die Möbius - Transformation zu einer Abbildung 
fortsetzt2:
c0
f:

az  b
cz  d
w  f(z) 

a
c
 d
\  
 c
d
für z  
c
für z 
für z  
c  0 (d. i. eine lineare Abbildung)
az  b
d
für z 

für z  
w  f(z) 
2
Die Bedingung a, b, c, d 
bleibt unverändert, die Erweiterung betrifft nur z, w 
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2.2 Eigenschaften
1. Umkehrbarkeit
Jede Möbius - Transformation hat eine eindeutige Umkehrfunktion, die wiederum
eine Möbius - Transformation ist:
a
c
1. w c  a  0

w

2. w c  a  0

3. w  

a

c
d
z
c
w
z
(  d) w  b
c w  (  a)
mit ( d)( a)  bc  a d  bc  0
z
2. Komposition aus einfachen Funktionen
Jede Möbius - Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung von
besonders einfachen Abbildungen schreiben. Diese sind Drehstreckung, Translation
und Inversion.
f(z) 
az  b
cz  d
f(z) 
a a d  bc
1

c
c
cz  d
mit a d  bc  0 , c  0
w1  D1 (z)  c z
Drehstreckung
w 2  T1 (w1 )  w1  d
Translation / Verschiebung
w 3  S(w 2 ) 
1
w2
a d  bc
w3
c
a
w 5  T2 (w 4 )   w 4
c
w 4  D2 (w 3 ) 
Inversion / Spiegelung
Drehstreckung
Translation / Verschiebung
3. Geometrische Eigenschaften
3.1 Kreisverwandtschaft
Möbius - Transformationen sind Kreisverwandtschaften, d.h. Kreise und Geraden in
gehen durch eine Möbius - Transformation wieder in Kreise und Geraden in
über.
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3.2 Spiegelung / Inversion am Kreis
Es gelten folgende Sätze:
Satz: Möbius –Transformationen erhalten die Symmetrie zu verallgemeinerten
Kreisen, das heißt ausführlich:
Ist K ein verallgemeinerter Kreis in
und liegen z und z′ symmetrisch zu K, so
liegen die Bilder von z und z′ unter einer Möbius-Transformation symmetrisch
zum Bild von K.
Satz: Jede Möbius – Transformation f(z) führt Spiegelpunkte bezüglich eines
Kreises K in Spiegelpunkte bezgl. des Kreises f(K) über.
3.3 Doppelverhältnis
Hier werden nun einige Sätze formuliert die einen Zusammenhang zwischen
Doppelverhältnis und Möbius – Transformation herstellen.
1. Jede Möbius-Transformation f(z), die verschieden ist von der Identität f(z) = z
(und nicht konstant ist 3), hat 1 oder 2 Fixpunkte
2. Für verschiedene Zahlen z1, z2, z3 und w1, w2, w3 wird durch die Gleichung
(z, z1, z2, z3) = (w, w1, w2, w3) genau eine Möbius – Transformation w = f(z)
definiert wird, die die zi auf wi abbildet.
3. Umgekehrt gilt auch, dass durch jede Möbius – Transformation w = f(z) das
Doppelverhältnis für verschiedene Zahlen z, z1, z2, z3 invariant ist, d.h. es gilt;
(z, z1, z2, z3) = (w, w1, w2, w3)
4. Das Doppelverhältnis (z1, z2, z3, z4) ist genau dann reell, wenn z1, z2, z3, z4 auf
einem allgemeinen Kreis in
liegen.
3
per Definition (siehe 4.2 Definition der Möbius-Transformation) ist die konstante Funktion f(z) = k
keine Möbiustransformation, da die Bedingung für die Koeffizienten ad – bc ≠ 0 nicht erfüllt ist
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3 Die Exponentialfunktion, w = ez
3.1 Definition
Die komplexe Exponentialfunktion ist definiert durch
z  , z  z1  i z 2
f:

w  f(z)  e z  e 1 e(z 2 )
z
 e 1 (cos(z 2 )  i sin(z 2 ))
z
 e 1 cos(z 2 )  i e 1 sin(z 2 )
z
z
mit w(z)  u(z1 , z 2 )  i v(z1 , z 2 )
ergibt sich
u(z1 , z 2 )  e 1 cos(z 2 )
z
v(z1 , z 2 )  e 1 sin(z 2 )
z
Da ez  ez (cos(z2 )  i sin(z2 ))  ez (cos(z2  2 )  i sin(z2  2 )) gilt, ist die
Exponentialfunktion eine periodische Funktion mit Periode (2 π i) 4.
1
1
Für alle z  , z  z1  i z2 gilt w(z)  ez  0 Und damit gilt:
w(z)  ez :

\ {0} .
3.2 Eigenschaften
1. Umkehrbarkeit
Die Abbildung ez ist eindeutig und umkehrbar, falls
ez : {a  I a  a1  i a2 , a1  ,    a2  } 
\ {0}
d.h. auf einem halboffenen Streifen der Höhe 2  ist die Funktion umkehrbar. Die
Umkehrfunktion ist der Hauptwert der komplexen Log Funktion. Nun ist die Log
Funktion auf der oben angegebenen Menge nicht stetig. Daher definiert man:
ez : {a  I a  a1  i a2 , a1  ,    a2  }  \ {b  I b  b1  i b2 , b1  0} und
erhält damit eine Abbildung des offenen Streifens der Höhe 2  auf die entlang der
negativen, reellen Zahlen, einschließlich der 0 geschlitzten Ebene. Damit ist e z stetig
und sogar differenzierbar. Gleiches gilt dann auch für die Log Funktion.
4
Dass die Periode (2 π i) die einzige Periode der Exponentialfunktion ist wird nicht bewiesen.
- 17 -
2. Geometrische Eigenschaften
2.1 Bild einer Parallele zur Re(ellen) Achse der z-Ebene: z2 = konstant
Für alle z  , z  z1  i k gilt dann : w(z)  e 1 (cos(k)  i sin(k))
und das ist ein Strahl, ausgehend vom Ursprung der w-Ebene der mit der reellen
Achse den Winkel k einschließt.
z
2.2 Bild einer Parallele zur Im(aginären) Achse der z-Ebene: z1 = konstant
Für alle z  , z  k  i z2 gilt dann : w(z)  ek (cos(z2 )  i sin(z2 ))
und das ist ein Kreis um den Ursprung der w-Ebene mit dem Radius r = ek.
Grafische Darstellung der Eigenschaften 2.1 und 2.2 [9]
2.3 Abbildung eines Streifens der Höhe 2 
Wegen der 1. Umkehrbarkeit (s. o.) gilt folgende Darstellung:
- 18 -
4 Quadratische Funktion, w = z2
4.1 Definition
Die komplexe quadratische Funktion ist definiert durch
z  , z  z1  i z 2

f:
w(z)  f(z)  z 2
,
 (z1  i z 2 )2
 (z1 2  z 2 2 )  i 2 z1 z 2
mit w(z)  u(z1 , z 2 )  i v(z1 , z 2 )
ergibt sich
u(z1 , z 2 )  z1 2  z 2 2
v(z1 , z 2 )  2 z1 z 2
4.2 Eigenschaften
1. Umkehrbarkeit
Die Abbildung z2 ist eindeutig und umkehrbar (bijektiv), falls

z2 : a  a1  i a2 
a1  0 und a2 


\ b  b1  i b2 
b1 

 {0} und b2  0

Die Umkehrfunktion wird, wie im Reellen, als Wurzelfunktion bezeichnet:

\ b  b1  i b2 
z:
b1 


 {0} und b2  0 
a  a
1
 i a2 
a1  0 und a2 

Bei verschachtelten Funktionen, die z2 enthalten, ist bei der Konstruktion der
Umkehrung darauf zu achten, dass die Halbachse
a  a
1
 i a2 
a1  0 und a2 
 nicht im Bildbereich von z
2
liegt.
Gegebenenfalls ist dann die Umkehrfunktion „stückweise“ zu konstruieren.
- 19 -
2. Geometrische Eigenschaften
2.1 Bild einer Parallele zur Re(ellen) Achse der z-Ebene: z2 = konstant:
Für alle z  , z  z1  i k gilt dann :
w(z)  (z1 2  k 2 )  i 2 z1 k
u(z1 , z 2 )  z1 2  k 2 und v(z1 , z 2 )  2 z1 k

für
k 0
z1 
v
2k
einsetzen liefert :
z2  k  0 : u 
v2
 k 2 "liegende", nach "rechts" geöffnet Parabel
2
4 k
z2  k  0 : u  z1 2
Strahl vom Ursprung auf u  Achse nach "rechts"
2.2 Bild einer Parallele zur Im(aginären) Achse der z-Ebene: z1 = konstant:
Für alle z  , z  k  i z 2 gilt dann :
w(z)  (k 2  z 2 2 )  i 2 k z 2
u(z1 , z 2 )  k 2  z 22 und v(z1 , z 2 )  2 k z 2

für
k 0
v
 z2
2k
einsetzen liefert :
z1  k  0 : u  k 2 
z1  k  0 : u   z 2 2
v2
4 k2
"liegende", nach "links" geöffnet Parabel
Strahl vom Ursprung auf u  Achse nach "links"
Grafische Darstellung der Eigenschaften 2.1 und 2.2 [9]
- 20 -
2.3 Bild eines Kreises
Das Bild ist in diesem Fall eine nicht ganz so einfach geometrische Figur. Es entsteht
als Bild eines Kreises die Form eines „liegenden Herzes“.
Bei Verschiebung des Mittelpunkts des Kreises in negativer Richtung ergibt sich die
folgende eine nicht eineindeutige Abbildung:
Allerdings ist die Funktion nur auf dem Kreissegment mit x > 0 oder x < 0 bijektiv und
damit ergibt sich folgendes Bild für x >0:
Urbild
Bild der quadratischen Funktion
- 21 -
beziehungsweise ergibt sich folgendes Bild für x < 0:
Urbild
Bild der quadratischen Funktion
Schließlich noch das Bild eines Kreise der im 1. und 2 Quadranten liegt.
Urbild
Bild der quadratischen Funktion
2.4 Abbildung der offenen, rechten Halbebene
- 22 -
3. Komposition der allgemeine quadratische Gleichungen w  a z2  b z  c
aus einfachen Funktionen
w  a z 2  b z  c mit a, b, c 
 a (z 
b 2
b2
) 
c
2a
4a
daraus fogt, dass sich w zusammensetzt aus
w1  z 
b
2a
Translation
w 2  w12
quadratische Funktion
w3  a w2
Drehstreckung
w  w3 
b2
c
4a
Translation
5. Die allgemeine Potenzfunktion, w = zn
5.1 Definition
Nach dem Satz von Moivre gilt für alle n  , n  0 und alle z 
z  z e( )

zn  z
n
e(n ) .
Entsprechend wird die allgemeine Potenzfunktion für alle z 
f:

w  f(z)  zn
 z
n
:
e(n )
- 23 -
und n 
definiert :
5.2 Eigenschaften
1. Umkehrbarkeit
Die Abbildung zn ist eindeutig und umkehrbar (bijektiv), falls
2 

f: a  a  a e(  ) , 0   
   b  b  b e(  ) , 0    2 
n 

Die Umkehrfunktion ist die komplexe Wurzelfunktion, die hier aber nicht untersucht
wird.
2. Komposition aus einfachen Funktionen
Die Abbildung setzt sich zusammen aus
w1 = IzIn
w2 = w1 e(n φ)
Streckung
einer Spreizung des Öffnungswinkels von φ auf n φ < 2 π
3. Geometrische Eigenschaften
Ein Winkelbereich mit Öffnungswinkel φ und Scheitelpunkt bei z = 0 wird
entsprechend 2. aufgespreizt.
Darstellung für n = 6
- 24 -
6 Die Joukowski-Funktion
6.1 Definition
Die Joukowski Funktion ist definiert durch
z
\ 0, z  r e(), r  0,  
\ 0 
f:
1
1
(z  )
2
z
1
1
1
1
( r e( ) 
)  ( r e( )  e(  ))
2
r e( )
2
r
1
1
( r (cos   i sin )  (cos(  )  i sin(  ))
2
r
1
1
( r (cos   i sin )  (cos   i sin ))
2
r
1
1
1
(( r  ) cos   i ( r  ) sin )
2
r
r
w  f(z) 




mit w(z)  u(r , )  i v(r , )
ergibt sich
1
1
u(r , )  ( r  ) cos 
2
r
1
1
v(r , )  ( r  ) sin 
2
r
Es gilt: w(z) 
1
1
( z  ):
2
z
\ {0} 
\ {0}
6.2 Eigenschaften
1. Umkehrbarkeit
1
1
( z  ) ist eindeutig und umkehrbar, falls der
2
z
Definitionsbereich wie folgt eingeschränkt wird auf:
Die Abbildung w(z) 
a) das Komplement des Einheitskreises z   a 
- 25 -
a  1
Bestimmen wir nun hier die Umkehrfunktion:
1
1
w(z)  ( z  )  2 w z  z 2  1
2
z
 0  z2  2 w z  1
 zw
Betrachten wir nun w 
für große w 
w2  1
:
, w  1 gilt : z  w  w 2  1  w  (w  1)(w  1)
 w  (w  1)(w  1)
 w  (w  1)
1
somit erfüllt z  w 
w 2  1 nicht die Voraussetzung z  1
Daraus folgt,, dass die Umkehrfunktion gegeben ist durch:
zw
w2  1
b) das Innere des Einheitskreises ohne Ursprung z   a 
c) die oberen Halbebene z  a 
d) die unteren Halbebene z  a 
Im(a)  0
Im(a)  0
Details dazu s. 3. Geometrische Eigenschaften
- 26 -
0  a  1
2. Komposition aus einfachen Funktionen
Die Abbildung setzt sich zusammen aus 3 Abbildungen, wobei 2 verschiedene
Möbiustransformationen sind:
w1 
z 1
z 1
Möbius Transformation
w 2  w12
w3 
quadratische Funktion
w2  1
 w2  1
Möbius Transformation
Rechnen wir das durch Einsetzen nach:
w3 
w2  1
 w2  1
w 12  1

 w 12  1
2
 z  1

 1
z  1


2
 z  1

 1
 z  1
 z  1   z  1

2
2
  z  1   z  1
2
2 z

2
2
4z

1
2
2
z
1
2z
2
1

z  z 


3. Geometrische Eigenschaften
3.1 Symmetrie für z ≠ 0
w(z) 
1
1
(z  )
2
z

1
1 1
w( )  (  z )
z
2 z
1
w(z)  w( )
z
- 27 -
3.2 Bild eines Kreises um den Ursprung: r = r 0 = konstant, r0 > 0
Für z 
mit z  r0 e() gilt dann :
u(r, ) 
1
1
(r0  ) cos 
2
r0
v(r, ) 
1
1
(r0  ) sin 
2
r0
a) Für r0  1 und r0  0 folgt dann aus
u(r0 , ) 
1
1
( r0  ) cos 
2
r0
v(r0 , ) 
1
1
( r0  ) sin )
2
r0
u2
1
1
( ( r0  ))2
2
r0

v2
1
1
( ( r0  ))2
2
r0
 cos2   sin2   1
(u, v) definiert also eine Ellipse mit
Halbachsen : a 
1
1
1
1
( r0  ) und b  ( r0  )
2
r0
2
r0
Brennpunkte : e2  a2  b2  1  e   1
das heißt, alle Ellipsen haben die gleichen Brennpunkte
b) Für r0  1 folgt dann aus
u(r0 , )  cos 
v(r0 , )  0
(u, v) liegt im Intervall  1, 1 auf der Re Achse,
das zweimal durchlaufen wird für 0    2
3.3 Bild eines Strahl vom Ursprung mit φ = φ0 = konstant
Für z 
mit z  r e( 0 ) gilt dann :
1
1
( r  ) cos 0
2
r
1
1
v(r , 0 )  ( r  ) sin 0
2
r
u(r , 0 ) 
- 28 -

gilt :
2
u2
v2
1
1
1
1

 ( ( r  ))2  ( ( r  ))2
2
2
2
r
2
r
cos 0 sin 0
a) Für 0  0, , 
1 2
1
1
1
(r  2  2 )  (r 2  2  2 )
4
4
r
r
1

(u, v) definiert also Hyperbeln mit
Halbachsen : a  cos2 0
und b  sin2 0
Brennpunkte : e2  a2  b2  1  e   1
das heißt, alle Hyperbeln haben die gleichen Brennpunkte
b) Für 0  0 gilt :
1
1
(r  ) , v  0
2
r
das ist ein Teil der Re  Achse mit Re(u)  1
u
c) Für 0   gilt :
1
1
( r  ) ( 1) , v  0
2
r
das ist ein Teil der Re  Achse mit Re(u)   1
u

gilt :
2
1
1
u  0, v  ( r  )
2
r
das ist die Im  Achse Im(v)
d) Für 0 

gilt :
2
1
1
u  0, v  ( r  )( 1)
2
r
das ist die Im  Achse Im(v)
e) Für 0  
- 29 -
Grafische Darstellung der Geometriechen Eigenschaften 3.2 und 3.3 [9]
7 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
7.1 Definition
Die trigonometrischen Funktionen im Komplexen sind wie folgt definiert:
sin z 
ei z  ei z
2i
ei z  ei z
cos z 
2
sin z
ei z  e  i z
e2 i z  1
tan z 
  i iz


i
,
cos z
e  e i z
e2 i z  1
z  (2k  1)  , k 
7.2 Eigenschaften
Die cos-Funktion ist im Wesentlichen eine eine Kombination von Exponentialfunktion
und Joukowski Funktion:
cos z 
ei z  e  i z
2
w1  i z
w 2  e w1
w3 
1 
1 
 w2 

2 
w2 
- 30 -
Da auch im Komplexen gilt:


sin z  cos  z  
2

gilt auch hier, dass die sin-Funktion im Wesentlichen eine Kombination von
Exponentialfunktion und Joukowski Funktion ist:

e

sin z  cos  z   
2



w1  i  z  
2

w 2  e w1
w3 


i z  
2

e
2


i  z  
2

1 
1 
 w2 

2 
w2 
Die tan-Funktion ist im Wesentlichen eine Kombination von Exponentialfunktion und
Möbiustransformation:
tan z   i
e2 i z  1
e2 i z  1
w1  2 i z
Drehstreckung
w2  e
Exponentialfunktion
w3 
w1
w2  1
w2  1
w4   i w3
Möbiustransformation
Drehung
Im Komplexen sind trigonometrische und hyperbolische Funktionen im Grunde die
gleichen Funktionen:
cosh z  cos( i z )
sinh z   i sin( i z )
tanh z 
sinh z
  i tan( i z )
cosh z
- 31 -
8 Abbildungen auf den Einheitskreis
8.1 Halbebene
Beispiel: Möbius – Transformationen.
w
zi
zi
Doppelverhältnis : ( z , z1 , z2 , z3 )  ( w, w1 , w 2 , w 3 )
- 32 -
8.2 Winkelbereich
Öffnungswinkel :  

,k
k
"Kippwinkel" :   0
w1  z  z0
w 2  e( ) w 1
w 3  ( w 2 )k
w
w3  i
w3  i
w
(e( ) (z  z0 ))k  i
(e( ) (z  z0 ))k  i
- 33 -
8.3 Parallelstreifen
"Kippwinkel" :   0
w1  z  z0
w 2  e( ) w 1
w3 
/2
w2
w 2max
w4  e
w
w
w3
i w4  i
i w4  i
e
e
 /2
e (  ) (z  z0 )
w 2 max
 /2
e (  ) (z  z0 )
w 2 max
1
 1
- 34 -
8.4 Zwei ineinander liegende, sich berührende Kreise
3z4i
2z
w1   i
w 2  e w1
w
w2  i
w2  i
i
w
e
e
3z4i
2z
3z4i
i
2z
i
i
- 35 -
8.5 Kreisbogen Zweieck
 (1  i) z
z  (1  i)
w1 
w 2  w1 2
w
w2  i
w2  i
 (1  i) z 2
)  i
(  (1  i) z )2  i (z  (1  i))2
z  (1  i)
w

 (1  i) z 2
(  (1  i) z )2  i (z  (1  i))2
(
)  i
z  (1  i)
(
w
2 i z 2  i (z  (1  i))2
2 i z 2  i (z  (1  i))2

2 i z 2  i (z 2  2 (1  i) z  (1  i)2 )
2 i z 2  i (z 2  2 (1  i) z  (1  i)2 )

2 i z 2  i (z 2  2 (1  i) z  2 i)
2 i z 2  i (z 2  2 (1  i) z  2 i)

z 2  2 (1  i) z  2
3 z 2  2 (1  i) z  2
- 36 -
8.6 Kreisbogen Dreieck
1  i z  1  i
2
z
w 2   w1
w1 
w3  e
w4 
w
w2
1
1
1 w
1  i (i w 2 )
w
i (i w )
w
(w 3 
)  (e 2  e 2 )  (e
 e 2 )  cos( i e 2 )
2
w3
2
2
w4  i
w4  i
(e
w
cos( i e
w2
cos( i e
w2
)i
)i

(e

1  i z  1  i
2
z
1  i z  1  i

2
z
1

e
1  i z  1  i

2
z
1

e
1  i z  1  i

2
z
- 37 -
)2i
)2i
8.7 Flügelquerschnitt
Eine Anwendung für die Joukowski-Funktion ist die Darstellung von Strömungslinien
eines Flügels. Betrachtet man einen Kreis K, dessen Rand durch z1 = 1, z2 = -1,5
und der den Punkt z2 = -1 als inneren Punkt enthält, d. h. z2 liegt nicht auf dem Rand
von K. Der Mittelpunkt sei gegeben durch M = -0,3 + 0,3 i. Dann wird der Kreis auf
eine Menge abgebildet, die dem Schnitt eines Flügels entspricht. Details dazu s. [13].
w1 
z 1
z 1
w 2  w12
w3 
w2  1
 w2  1
Somit wird der Kreis auf eine Menge abgebildet, die dem Schnitt eines Flügels
entspricht.
Damit haben wir auch gezeigt, dass eine so komplizierte Menge wie ein
Flügelquerschnitt – wenn dieser entsprechend konstruierbar ist - sich auf den
Einheitskreis abbilden lässt, denn alle Transformationen w1, w2, w3 sind umkehrbar.
Allerdings ist dabei bei der Umkehrung von w2 höchste Aufmerksamkeit notwendig,
damit die entsprechenden Definitionsmenge für die Wurzelfunktion konstruiert
werden kann:
- 38 -
w2 
w3  1
w3  1
w1 
w1
dabei ist genau auf die Beschreibung des Definitionsbereichs
zu achten (siehe oben "Umkehrbarkeit der
quadratischen Funktion")
z

w1  1
 w1  1
Abschließend sei noch das gesamte Strömungsbild [13] dargestellt werden.:
Weitere Details siehe ebenfalls unter [13].
- 39 -
9. Literaturverzeichnis
1. C. Carathéodory, Funktionentheorie, Band 1
2. Bronstein – Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik
3. Wikipedia – Möbiustransformationen:
http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation
4. Die Möbius-Transformation
http://www.mathematik-netz.de/pdf/MT.pdf
5. Funktionentheorie
Bernd Aulbach, Wintersemester 2003/04
http://www.math.uni-augsburg.de/ana/dyn_sys/fktth/fkth0304.pdf
6. Komplexe Funktionen, 3. Möbius-Transformationen
H.J. Oberle, SoSe 2007
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex-203.pdf
7. Komplexe Funktionen, Kreistreue der Möbiustransformationen
Reiner Lauterbach, Universität Hamburg, SS 2006
http://www.math.unihamburg.de/home/lauterbach/tuhh/komp_func/folien3.pdf
8. Skriptum zur Vorlesung, Funktionentheorie I, Prof. Dr. Norbert Steinmetz
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/steinmetz/FTHI.pdf
9. Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften, Prof.
Dr. Armin Iske, Department Mathematik, Universität Hamburg, Kapitel 1, 2:
Komplexe Funktionen
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl01.pdf
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl02.pdf
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl03.pdf
10. Mathematik-Online-Lexikon, Beispiel: Joukowski-Abbildung
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel776/
11. Tim Hoffmann, Heiko Kröner, Konforme Abbildungen und Nichteuklidische
Geometrie - Riemannscher Abbildungssatz
http://www.schelklingen2000.werner-knoben.de/HTMLDoku/node9.html
12. Vorlesungsmitschrift Funktionentheorie I, SS 1981, Dr. W. Sander,
Technische Universität Braunschweig
13. Project For Undergraduate Students, Chapter 11. Applications of Harmonic
Functions, California State University, Fullerton, Department of
Mathematics,
John H. Mathews, Ph. D.Emeritus Prof. of Mathematics: Complex Analysis
http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/JoukowskiTransMod.html
14. Komplexe Zahlen und Möbius-Transformation, Dieter Küntzel, 2013
Dokument erstellt mit MS Word, MS Excel, MS Powerpoint und
MathType (http://www.dessci.com/en/products/mathtype/)
- 40 -