Blatt 5 / Aufgabe 2

Frage:
Was wäre zum Beispiel wenn ich einmal die Wahrscheinlichkeit berechnen würde
für eine Wartezeit von 9-10 min und einmal die Wahrscheinlichkeit für eine
Wartezeit von 10-11 min? Dann wär die erste Wahrscheinlichkeit doch größer
als die zweite, dabei wäre es für mich logischer, wenn diese Wahrscheinlichkeiten
gleich groß wären.
Antwort:
Exponentialverteilung
Bei dieser Aufgabe (Blatt 5 Aufgabe 2) wird die Wartezeit bis zum Eintreten
eines Ereignisses modelliert 1 . Im Folgenden werden die Wahrscheinlichkeiten
für die Intervalle [1; 2], [5; 6], [9; 10] und [10; 11], berechnet.
P(
2
1
≤X≤
)
60
60
2
1
) − P (X ≤
)
60
60
2
1
= 1 − exp(−6 ∗ ) − [1 − exp(−6 ∗ )]
60
60
12
6
= − exp(− ) + exp(− )
60
60
≈ 0, 0861
P(
5
6
≤X≤
)
60
60
6
5
) − P (X ≤
)
60
60
6
5
= 1 − exp(−6 ∗ ) − [1 − exp(−6 ∗ )]
60
60
36
30
= − exp(− ) + exp(− )
60
60
≈ 0, 0577
P(
9
10
≤X≤
)
60
60
10
9
) − P (X ≤
)
60
60
10
9
= 1 − exp(−6 ∗ ) − [1 − exp(−6 ∗ )]
60
60
60
54
= − exp(− ) + exp(− )
60
60
≈ 0, 0387
P(
10
11
≤X≤
)
60
60
11
10
) − P (X ≤
)
60
60
11
10
= 1 − exp(−6 ∗ ) − [1 − exp(−6 ∗ )]
60
60
66
60
= − exp(− ) + exp(− )
60
60
≈ 0, 0350
= P (X ≤
= P (X ≤
= P (X ≤
= P (X ≤
1 vgl. hierzu die ausführliche Antwort zu Blatt 5 Aufgabe 2;
Toutenbourg; Heumann; Induktive Statistik“; Kapitel 4.3.2
”
1
Die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Ereignis zwischen Minute 9 und 10 eintritt ist also tatsächlich höher als dass es zwischen Minute 10 und 11 eintritt. Die
Exponentialverteilung ist so definiert, dass die Dichte monoton sinkt. Eventuell
hilft beim Verständnis, wenn man sich klarmacht dass die Exponentialverteilung
eine gedächtnislose Verteilung ist. Die oben berechneten Wahrscheinlichkeiten
gelten ausdrücklich für den Beginn des Beobachtungszeitraums. Das bedeutet
aber nicht, dass man nach einer Wartzeit von 9 Minuten geringere Chancen auf
ein Ereignis hat als nach 10 Minuten, denn (gegeben die jeweilige Wartezeit 9 Min oder 10 Min) beginnt dann der jeweilige Wahrscheinlichkeitsprozess
wieder von Neuem.
2