3.4 Transmissionsgleichung von Friis

3 Antennen
Tsys kann von einigen Grad bis zu mehreren tausend Grad sein, je nach Objekt und
Empfänger.
Es ist also wichtig, das Antennendiagramm einer Antenne zu kennen, um das gemessene Signal richtig interpretieren zu können. In den meisten Fällen ist ein Antennendiagramm gewünscht, das möglichst keine Nebenkeulen aufweist, weil sonst Signalanteile,
die via die Nebenkeulen eingekoppelt werden, äusserst störend sein können, obschon die
Nebenkeulen vielleicht 30dB unterdrückt sind. Man stelle sich etwa ein Satellitenexperiment vor, das mit seiner Hauptkeule ein Objekt von einigen Kelvin Helligkeitstemperatur
beobachten soll (z.B. ein Signal aus der Atmosphäre bei streifender Sichtweise) und wo
gleichzeitig die Nebenkeulen aber die Erdoberfläche bei rund 300K sieht.
Das Bestimmen des Antennendiagramms ist eine zentrale Aufgabe der Antennentheorie. Ziel ist es, basierend auf den Strömen oder den elektromagnetischen Feldern auf der
Antennenstruktur, die abgestrahlte Feldverteilung im Fernfeld zu bestimmen. Es handelt
sich dabei um eine anspruchsvolle Anwendung der Elektrodynamik und der Optik. Nicht
minder wichtig ist es aber, das Antennendiagramm eines bestehenden Systems auszumessen. Dies wiederum kann sehr schwierig und zum Teil praktisch nicht lösbar sein,
etwa dann, wenn das Fernfeld in grosser Distanz ist (man bedenke, dass das Fernfeld im
Abstand D2 /λ ist).
3.4 Transmissionsgleichung von Friis
Wir betrachten eine Sendeantenne und eine Empfangsantenne im Fernfeld. Der Abstand
der beiden Antennen betrage R. Die Sendeantenne habe eine Leistung Pt und einen Gain
Gt . Die Empfangsantenne habe einen Gain von Gr . Es stellt sich die Frage, wie gross
die empfangene Leistung Pr ist. Diese Problemstellung ist typisch für einen Mikrowellenlink, beispielsweise zwischen einem Satelliten und einer Bodenstation, somit auch für
einen TV-Satelliten und eine entsprechende Empfangsantenne. Wir nehmen an, dass
die Antennen aufeinander ausgerichtet sind. Die Leistungsdichte in W/m2 am Ort der
Empfangsantenne wird dann
Pt Gt
(3.29)
S=
4πR2
betragen. Die empfangene Leistung somit
Pr = SAe .
(3.30)
Zwischen der effektiven Antennenfläche und dem Gain der Empfangsantenne besteht der
Zusammenhang
λ2 Gr
Ae =
(3.31)
4π
was dann auch grad Verluste in der Empfangsantenne beinhaltet. Die empfangene Leistung ist somit
Gt Gr λ2
Pr = P t
.
(3.32)
(4πR)2
53
3 Antennen
Man nennt dies die Friis’sche Transmissionsgleichung. Die empfangene Leistung
2
λ
hängt somit vom Gain der beiden Antennen ab und zerfällt mit 1/R2 . Der Faktor 4πR
nennt man Freiraum-Dämpfung. Zusätzlich zur Freiraum-Dämpfung, die eigentlich gar
keine Dämpfung im eigentlichen Sinne ist, kommt natürlich die Dämpfung durch die
Atmosphäre. Es müsste also noch ein Term der Art e−2αz eingeführt werden, wobei α
der Absorptionskoeffizient bei der entsprechenden Frequenz und für die entsprechende
atmosphärische Zusammensetzung ist. Der atmosphärische Absorptionskoeffizient wurde
ausführlich in Abschnitt 2.4 besprochen. Man vergleiche dazu auch Gleichung (2.61).
3.5 Radargleichung
Im Gegensatz zur Friis’schen Transmissionsgleichung, die beschreibt, wie sich Sende- und
Empfangsleistung bei einem Mikrowellen-Link verhalten, wollen wir nun untersuchen,
wie dieses Leistungsverhältnis herauskommt, wenn eine Antenne ein Objekt beleuchtet,
dort gestreut und wieder detektiert wird. Diese Anordnung findet primär bei Radaranwendungen statt. Mit Radar (Radio Detection And Ranging) ist es möglich den Abstand
zu einem Objekt zu vermessen und Rückschlüsse auf seine Radialgeschwindigkeit zu ziehen. Ersteres basiert auf der Laufzeit und letzteres auf der Dopplerverschiebung des
Signals. Es gibt eine riesige Zahl von Anwendungen, wie die Radaraltimetrie oder die
Radarmeteorologie, Antikollisionsradar, Anwendungen in der Luft- und Seefahrt sowie
eine Unzahl militärischer Anwendungen.
Wi = einfallende Leistungsdichte
Target
!
R1
Sendeantenne
Pt , Gt , Dt , ecdt , rt
R2
Ws = gestreute Leistungsdichte
Empfangsantenne
Pr , Gr , Dr, ecdr , rr
Abbildung 3.9: Bistatische Radaranordnung
Wir betrachten die Anordnung, wie in Figur (3.9) skizziert. Ein Sender bestrahlt ein
beliebiges Objekt im Abstand R1 . Die Sendeantenne ist charakterisiert durch die Sendeleistung, Pt , die Directivity, Dt und den Gain, Gt sowie die Effizienz wegen LeitungsVerlusten (conduction) und dielektrischen Verlusten (dielectric), ecdt . Die beim Objekt
54
3 Antennen
einfallende Leistungsdichte, Wi , ist dann
Wi =
Pt Gt (ϑ, ϕ)
.
4πR12
(3.33)
Das Objekt wird die einfallende Leistung in verschiedene Richtungen streuen. Das Verhältnis
aus der in eine beliebige Richtung gestreuten Leistung, Ps (ϑ, ϕ), und der einfallenden
Leistungsdichte, Wi , bezeichnet man als Radarquerschnitt, σ:
σ=
Ps
.
Wi
(3.34)
Der Radarquerschnitt hat also die Dimension einer Fläche und ist eine Eigenschaft
des Objektes. Er hängt ab vom Einfallswinkel und vom Streuwinkel sowie der Frequenz
und der Polarisation des einfallenden Signals und zusätzlich von den dielektrischen Eigenschaften. Das Objekt wirkt wie eine endlich grosse Quelle, dessen Signalstärke mit
1/4πR2 abnimmt. Die Leistungsdichte Ws beim Empfänger im Abstand R2 ist dann
Ws =
Ps
σPt Gt (ϑ, ϕ)
.
=
2
4πR2
4πR12 4πR22
(3.35)
Die empfangene Leistung beträgt dann
Pr = Ar Ws
(3.36)
wobei
λ2
4π
die effektive Fläche der Empfangsantenne ist. Damit erhält man für Pr /Pt :
2
Dt (ϑ, ϕ)Dr (ϑ, ϕ)
λ
Pr
= ecdt ecdr σ
Pt
4π
4πR1 R2
Ar = er Dr (ϑ, ϕ)
Bei maximaler Ausrichtung der Antennen auf das Objekt gilt
2
Pr
G0t G0r σ
λ
=
Pt
4π
4πR1 R2
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Dieser Zusammenhang wird als Radar-Gleichung bezeichnet. Falls Sender und Empfänger
am selben Ort sind, so spricht man vom monostatischen Fall. Es ist dann R1 = R2 = R
und damit folgt
G2 σλ2 1
.
(3.40)
Pr = P t
(4π)3 R4
Im Realfall wird der Empfänger wegen Rauschen eine minimale Leistung Pmin detektieren können. Es lässt sich dann der maximale Abstand Rmax eines Objektes berechnen,
das noch detektiert werden kann:
1/4
Pt G2 σλ2
Rmax =
.
(3.41)
(4π)3 Pmin
55
3 Antennen
Es sei noch angemerkt, dass die Berechnung des Radarquerschnittes für ein Objekt
äusserst schwierig ist und nur für einige wenige Fälle lösbar ist. Die Bestimmung des
Radarquerschnittes gehört in die Streutheorie. Als Beispiel ist der Radarquerschnitt
einer kreisrunden Platte mit Radius r, resp. der Fläche A gegeben durch
2
4πA2 J1 (2kr sin(ϑ))
2
cos2 (ϑ)
(3.42)
σ(ϑ) =
2
λ
2kr sin(ϑ)
wobei J1 die Besselfunktion erster Ordnung ist.
Es soll in dieser Vorlesung nicht weiter auf Radar-Anwendungen der Mikrowellenphysik eingegangen werden, da eine separate Vorlesung über Radarphysik angeboten wird.
3.6 Berechnung von Antennen-Diagrammen
Es ist das Ziel der Antennentheorie, zu bestimmen, wie die abgestrahlten Felder an irgend einem Ort in einem definierten Abstand von einer Antenne sich verhalten. Daraus
lässt sich dann z.B. die abgestrahlte Leistung berechnen und das Antennendiagramm
bestimmen. Hierzu müssen aber die Quellen der Strahlung bekannt sein. Das sind entweder die Ladungen und Ströme oder die Felder. Es zeigt sich, dass diese Berechnung
der Antenneneigenschaften äusserst komplex und schwierig ist.
Der Zusammenhang zwischen Ladungsverteilungen, resp. Strömen und den zugehörigen
elektrischen und magnetischen Feldern wird durch die Maxwell-Gleichungen gegeben.
Es zeigt sich, dass der direkte Weg der Bestimmung der Felder, basierend auf den
Quellen zu schwierig ist und, dass der Umweg über das Vektorpotential günstiger ist.
Dies ist schematisch in Figur (3.10) dargestellt.
Felder
E, H
B=µH
Quellen
J, I
Potential
A
Abbildung 3.10: Block-Diagramm für die Bestimmung der abgestrahlten Felder basierend auf den Strömen
Im folgenden wird vorausgesetzt, dass eine Ableitung nach der Zeit eine Multiplikation
∂
mit iω bedeutet ( ∂t
→ ·iω), da wir es mit harmonischen Feldern zu tun haben.
56
3 Antennen
~
3.6.1 Vektor-Potential, A
~ ist eine praktische Hilfsgrösse bei der Bestimmung der abgeDas Vektorpotential, A,
~ Es gilt
strahlten Felder bei gegebenem Strom J.
~ ·B
~ = 0.
∇
(4. Maxwellgleichung).
(3.43)
~ als Rotation eines Vektorfeldes darstellen:
Damit lässt sich B
~ =∇
~ × A.
~
B
(3.44)
~ heisst Vektorpotential. Aus der zweiten Maxwellgleichung folgt
Dieses Vektorfeld A
~
~ = −iω ∇
~ ×A
~
~ ×E
~ = − ∂ B = −iω B
∇
∂t
(3.45)
resp.
~ × E
~ + iω A
~ = 0.
∇
(3.46)
Damit lässt sich der Klammerausdruck als Gradient eines skalaren Potentials Φ schreiben:
~ + iω A
~ = −∇Φ
~
E
(3.47)
resp.
~ = −∇Φ
~ − iω A.
~
E
(3.48)
Aus der dritten Maxwellgleichung
und der Identität
~ ×B
~ = µ 0 ε0 E
~ + µ0 J~
∇
(3.49)
~ × ∇
~ ×A
~ =∇
~ ∇
~ ·A
~ − ∆A
~
∇
(3.50)
folgt
~ ∇
~ ·A
~ − ∆A
~ = µ0 J~ + µ0 ε0 E
~
∇
~
~
~
= µ0 J + µ0 ε0 −∇Φ − iω A
~ + ω 2 µ 0 ε0 A
~
= µ0 J~ − iωµ0 ε0 ∇Φ
und damit
2
~
~
~
~
~
~
∆A + ω µ0 ε0 A = −µ0 J + ∇ ∇ · A + iωµ0 ε0 Φ .
(3.51)
(3.52)
~ ×A
~ definiert, so dass wir nun die Divergenz ∇
~ ·A
~ frei
In Gleichung (3.44) wurde ∇
wählen können, da diese unabhängig ist von der Rotation. Wir wählen
~ ·A
~ = −iωµ0 ε0 Φ
∇
57
(3.53)
3 Antennen
und damit wird
Φ=−
1 ~ ~
∇ · A.
iωµ0 ε0
(3.54)
Man nennt dies die Lorentzbedingung. Durch Einsetzen von (3.54) und (3.53) in
Gleichung (3.52) erhält man schliesslich
~ + kA
~ 2 = −µ0 J~
∆A
(3.55)
wobei
ω2
.
c2
Wir erhalten für das elektrische Feld durch Einsetzen von (3.54) in (3.48)
k 2 = ω 2 µ 0 ε0 =
~ = −∇Φ
~ − iω A
~
E
~ = −iω A
~−
E
i ~ ~ ~
∇· ∇·A ,
ωµ0 ε0
(3.56)
(3.57)
(3.58)
so dass das elektrische Feld nun aus dem Vektorpotential bestimmt werden kann. Als
~ schliesslich
Lösung von (3.55) erhalten wir für A
Z
e−ikR
µ0
~
J~
dV 0
(3.59)
A=
4π
R
V
wobei R der Abstand irgend eines Punktes der Quelle zum Beobachter ist.
Als Art Kochbuch“ für die Bestimmung der Felder bei gegebener Stromverteilung
”
gilt somit:
1) Spezifiziere J~ oder I~
~ gemäss (3.59)
2) Bestimme A
~ ∇
~ ×A
~
3) Finde B=
~ = −iω A
~− i ∇
~ · ∇
~ ·A
~
4) Finde E
ωµ0 ε0
3.6.2 Anwendungsbeispiel: Der infinitesimale Dipol, l λ
Eine Drahtantenne ist die einfachste Antenne und wir wollen nun das oben gelernte auf
ein einfaches Beispiel anwenden, um dann auch komplexere Konfigurationen berechnen
zu können. Wir werden dabei als Basiselement den infinitesimalen Dipol behandeln,
der, obschon nicht praktisch realisierbar, doch als Grundstruktur längerer Antennen
verwendet werden kann. Die Anordnung zeigt Figur (3.11).
58
3 Antennen
Abbildung 3.11: Infinitesimaler Dipol in z-Richtung
Abgestrahlte Felder
Ein infinitesimaler Dipol der Länge l λ sei symmetrisch am Ursprung des Koordinatensystems in z-Richtung angeordnet. Die Strombelegung sei
ˆz I0
~ 0 ) = ~a
I(z
(3.60)
ˆz ein Einheitsvektor in z-Richtung ist. Welches sind nun also
wobei I0 =konstant und ~a
~ B
~ resp. H?
~ Wir gehen gemäss dem Kochbuch in Abschnitt
die abgestrahlten Felder E,
(3.6.1) vor.
Als erstes müssen wir das Vektorpotential bestimmen gemäss Gleichung (3.59) und
erhalten für unsere Stromverteilung:
Z
−ikR
µ0
~ 0, y0, z0) e
~
I(x
dl0
(3.61)
A(x, y, z) =
4π
R
C
Dabei sind
(x, y, z)
(x0 , y 0 , z 0 )
C
R
r
:
:
:
:
:
Koordinaten des Beobachters
Koordinaten der Quelle
Pfad entlang Länge der Quelle
Abstand irgend eines Punktes der Quelle zum Beobachter
Abstand eines Quellenpunktes vom Koordinatenursprung
Für den infinitesimalen Dipol: x0 = y 0 = z 0 = 0
59
3 Antennen
p
r = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 = R
= konstant
dl0 = dz 0 .
Damit erhält man
ˆz µ0 I0 e−ikr
~ y, z) = ~a
A(x,
4πr
+l/2
Z
ˆz
dz 0 = ~a
µ0 I0 l −ikr
e
.
4πr
(3.62)
−l/2
Praktischer sind hier sphärische Koordinaten, wie in Figur (3.12) dargestellt. Es gilt
Abbildung 3.12: Koordinaten für die Beschreibung eines infinitesimalen Dipols
der Zusammenhang
  
 
Ar
sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ
Ax
Aϑ  = cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ − sin ϑ Ay  .
Aϕ
− sin ϕ
cos ϕ
0
Az
(3.63)
Damit folgt für die Komponenten des Vektorpotentials
Ar = Az cos ϑ =
µ0 I0 le−ikr
cos ϑ
4πr
und
Aϑ = −Az sin ϑ = −
60
µ0 I0 le−ikr
sin ϑ.
4πr
(3.64)
(3.65)
3 Antennen
~ von ϕ unabhängig ist, folgt Aϕ = 0, und es ist
Weil A
1
∂
∂A
ˆϕ
~ ×A
~ = ~a
∇
(rAϑ ) −
.
r ∂r
∂ϑ
(3.66)
Es folgt für das Magnetfeld:
Bϕ =
Br = 0
µ0 kI0 l sin ϑ
i 4πr
= Bϑ
−ikr
1
1 + ikr
e
.
Aus dem Magnetfeld lässt sich das elektrische Feld berechnen. Es ist
1 ~
~ = −iω A
~−i 1 ∇
~ ∇
~
~ ·A
~ =
E
∇ × B,
ωµ0 ε0
iωµ0 ε0
~
so dass für die einzelnen Komponenten des E-Feldes
folgt:
1
I0 l cos ϑ
Er = η
1+
e−ikr
2πr2
ikr
kI0 l sin ϑ
1
1
Eϑ = iη
−
1+
e−ikr
4πr
ikr (kr)2
Eϕ = 0
(3.67)
(3.68)
(3.69)
= 2πν
= ωc . Es ist zu beachten, dass Gleichungen (3.67) und
wobei gilt η = µε00 , k = 2π
λ
c
(3.69) keine Voraussetzungen für den Abstand des Beobachters von der Quelle gemacht
haben. Sie gelten für jeden Abstand von der Quelle.
Wie gross ist die Leistungsdichte? Der zeitliche Mittelwert des Poyntingvektors ist
~ ×B
~∗ .
~ >= W
~ = 1 E
(3.70)
<S
2µ0
Wir betrachten den komplexen Vektor
ˆr Er + ~a
ˆϑ Eϑ ) × (~a
ˆϕ B ∗ ) = 1 ~a
ˆr Eϑ B ∗ − ~a
ˆϑ Er B ∗
~ = 1 (~a
W
ϕ
ϕ
ϕ
2µ0
2µ0
und erhalten für die radiale und transversale Komponenten
2
sin2 ϑ
1
η I0 l
1−i
Wr =
8 λ
r2
(kr)3
k(I0 l)2 cos ϑ sin ϑ
1
Wϑ = iη
1+
.
16π 2 r3
(kr)2
(3.71)
(3.72)
Damit beträgt die abgestrahlte Leistung, wenn wir über eine geschlossene Kugel mit
61
3 Antennen
Radius r integrieren
Z
P =
Z2π Zπ ˆr Wr + ~a
ˆϑ Wϑ ~a
ˆr r2 sin ϑ dϑ dϕ
~ dS
~=
~a
W
S
Z2π Zπ
=
0
µ0
=
4π
0
0
~ y, z)
Wr r2 sin ϑA(x,
0
Z
π
e−ikR 0
~
dl dϑ dϕ = η
I(x , y , z )
R
3
0
0
0
I0 l
λ
2 1
1−i
.
(kr)3
(3.73)
C
Wϑ ist rein imaginär und trägt nicht zum Realteil der abgestrahlten Leistung bei. Wϑ
trägt zum reaktiven Anteil bei. Dieser dominiert für kleine kr und hat sowohl radiale
als auch transversale Komponenten. Der Realteil der abgestrahlten Leistung ist:
2
1
π I0 l
(3.74)
= I02 Rrad
Prad = η
3 λ
2
und somit der Strahlungswiderstand
Rrad
2π
=η
3
2
2
l
l
2
= 80π
λ
λ
(3.75)
wobei η ≈ 120π ≈ 377Ω. Damit eine Drahtantenne als infinitesimaler Dipol klassifiziert
λ
werden kann, muss gelten l ≤ 50
. Es folgt ein Strahlungswiderstand von 0.32 Ω. Ein
solcher Dipol wäre sehr schlecht an eine 50 Ω-Leitung angepasst, die Effizienz wäre sehr
gering.
Wir haben bereits erwähnt, dass die berechneten Felder für irgend einen Abstand
gelten, ausser natürlich auf der Quelle selber. Man kann zwei Fälle unterscheiden. Erstens
kr 1, d.h. r /2πλ und der Fall, wo kr 1. Für kleine Abstände von der Quelle
erhalten wir also für die Feldkomponenten:
I0 le−ikr
cos ϑ
2πkr3
I0 le−ikr
sin ϑ
≈ −iη
4πkr3
I0 le−ikr
≈
sin ϑ
4πr2 µ0
= Br = Bϑ = 0.
Er ≈ −iη
Eϑ
Bϕ
Eϕ
(3.76)
~ ×B
~ = 0. Dies ist der Fall weil die Felder gemäss (3.76)
Damit ist im Nahfeld < E
quasistationär sind.
62
3 Antennen
Für grosse Abstände, d.h. kr 1, d.h. r λ
Er ≈ Eϕ = Br = Bϑ = 0
kI0 le−ikr
Eϑ ≈ iη
sin ϑ
4πr
kI0 le−ikr
sin ϑ.
Bϕ ≈ i
4πrµ0
(3.77)
Dies stellt eine TEM-Welle dar, die sich ausbreitet.
Wir wollen nun die Abstands-Unterteilung noch etwas genauer ansehen.
3.6.3 Nahfeld-Fernfeld
Es zeigt sich, dass das Integral für das Vektorpotential, gemäss
Z
−ikR
µ
0
~ y, z) =
~ 0, y0, z0) e
dl0
A(x,
I(x
4π
R
(3.78)
C
wo
R=
p
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
(3.79)
ist, für irgend einer Antenne schwierig zu berechnen ist. Für einen dünnen Dipol entlang
der z-Achse (d.h. x0 = 0, y 0 = 0) gilt
p
R =
x2 + y 2 + (z − z 0 )2
q
r2 + −2rz 0 cos(ϑ) + z 0 2
(3.80)
=
wobei
r 2 = x2 + y 2 + z 2
z = r.
(3.81)
Entwickelt man R um r, so erhält man
1 z02
1 z03
0
2
2
R = r − z cos ϑ +
sin ϑ + 2
cos ϑ sin ϑ + ...
r 2
r
2
(3.82)
Fernfeld-Näherung
Werden nur die ersten beiden Terme berücksichtigt, d.h.
R ≈ r − z 0 cos ϑ
(3.83)
02
so beträgt der Fehler wegen dem vernachlässigten dritten Term maximal z2r bei ϑ = π2 .
Dabei ist der vierte Term gerade Null. Ein maximaler Phasenfehler von π8 sei akzeptierbar, d.h.
kz 0 2
π
≤ .
(3.84)
2r
8
63
3 Antennen
2
2
Für − 2l ≤ z 0 ≤ 2l folgt daraus r ≥ 2 lλ resp. r ≥ 2Dλ , also die Definition des Fernfeldes, resp. der Fraunhofer-Zone. Wichtig ist also, dass für Phasenterme die Näherung
R ≈ r − z 0 cos ϑ und für Amplitudenterme mit R ≈ r gerechnet wird.
Nahfeld-Näherung
Wenn der Beobachtungsabstand kleiner als r = 2l2 /λ ist, so wird der Phasenfehler mit
der Näherung gemäss (3.83) grösser als π/8. Soll also dieser Fehler nicht grösser werden,
so muss der nächst höhere Term in der Entwicklung (3.82) mit berücksichtigt werden.
Ergo ist
1 z 02
2
0
sin ϑ .
(3.85)
R ' r − z cos ϑ +
r 2
Um den maximalen Fehler abzuschätzen, der durch Vernachlässigung des vierten Terms
entsteht, muss der zugehörige Winkel ϑ bestimmt werden. Durch Ableiten des Terms
nach ϑ und Null setzen, kann dies erreicht werden. Dies gilt für das Regime
p
2l2 /λ > r ≥ 0.62 l3 /λ.
(3.86)
Man bezeichnet diesen Bereich als abstrahlende Nahfeldzone oder als Fresnel-Zone.
3.7 Strahlung einer Apertur, Skalare Formulierung
Das Feld in der Apertur lässt sich durch Lösen der Maxwell-Gleichungen und den entsprechenden Randbedingungen bestimmen. Um nun aus dieser Feldverteilung das Feld
im Fernfeld zu bestimmen, gibt es verschiedene Methoden. Ein Ansatz basiert auf der
skalaren Beugungstheorie von Kirchhoff. Skalar heisst hier, dass jede Komponente der
Aperturfelder separat behandelt wird, ohne Berücksichtigung von Kopplungen zwischen
dem elektrischen und dem Magnetfeld. Das heisst, dass z.B. das abgestrahlte Feld im
Fernfeld dieselbe Polarisation aufweist wie in der Apertur. Dieser Ansatz hat sich als erfolgreich für die Beschreibung von grossen Aperturen (relativ zur Wellenlänge) erwiesen.
Falls die Apertur klein ist, einige Wellenlängen, muss ein vektorieller Zugang, gemäss
Maxwell, gewählt werden.
Wir betrachten eine Anordnung, wie in Figur (3.13) dargestellt. Ea (xa , ya ) sei die
Verteilung des skalaren Feldes in der Apertur, welche in der z = 0 Ebene liegt. Für das
Feld E(x, y, z) am Ort Q(x, y, z) gilt dann das Fresnel-Kirchhoff’sche Beugungsintegral
e−iks
1
1 x
Ea (xa , ya )
+ ik cos ϑ1 + ik cos ϑ2 dxa dya . (3.87)
E(x, y, z) =
4π
s
s
Apertur
Für das Fernfeld, d.h. R ≥
2D2
,
λ
gilt in Polarkoordinaten:
E(R, ϑ, ϕ) =
ie−ikR
h(ϑ, ϕ)
λR
64
(3.88)
3 Antennen
x
Q(x,y,z)
Welle auf
Apertur
s
dy
!1
dx
R
!2
Ea
!1 =Winkel zwischen s und der
..
Flachennormalen auf dxdy
..
!2 = Winkel zwischen der Flachennormalen und der Ausbreitungsrichtung der Welle, die
die Apertur beleuchtet.
ur
ert
Ap
y
z
Abbildung 3.13: Geometrie für die Berechnung der Feldverteilung
wobei
h(ϑ, ϕ) =
+∞
x
Ea (xa , ya )e(ik sin ϑ(xa cos ϕ+ya sin ϕ)) dxa dya .
(3.89)
−∞
Für eine detaillierte Diskussion der Theorie muss hier auf die Literatur verwiesen werden.
Wir wollen zeigen, dass zwischen der Quelle und dem Fernfeld ein Zusammenhang via
die Fourier-Transformation existiert.
Die Fourier-Transformierte F(g) einer komplexen Funktion g mit den beiden unabhängigen Variablen u und v ist definiert als
G(xa , ya ) = F(g) =
+∞
x
g(u, v)e−i2π(xa u+ya v) du dv
(3.90)
−∞
und die inverse Fourier-Transformierte F −1 (G) analog
g(u, v) = F
−1
(G) =
+∞
x
G(xa , ya )ei2π(xa u+ya v) dxa dya .
(3.91)
−∞
Wir definieren
sin(ϑ) cos(ϕ)
x
=
λR
λ
y
sin(ϑ) sin(ϕ)
v =
=
.
λR
λ
u =
(3.92)
(3.93)
Damit wird h(ϑ,ϕ) zu
h(u, v) =
+∞
x
Ea (xa , ya )ei2π(xa u+ya v) dxa dya = F −1 (Ea (xa , ya ))
−∞
65
(3.94)
3 Antennen
d.h. h(ϑ,ϕ) ist die inverse Fourier-Transformierte der Aperturverteilung Ea (xa , ya ), ausgewertet an der Stelle u = sin ϑ cos ϕ/λ und v = sin ϑ sin ϕ/λ.
Für die Leistungsdichte gilt Sr = 12 η|E|2
Sr (u, v) =
−1
2
1
F
(E
(x
,
y
))
a
a
a
2ηλ2 R2
(3.95)
Figur (3.14) zeigt als Illustration die Verteilung im Fernfeld bei verschiedenen Feld6.3 Circular Apertures
137
verteilungen in der Apertur.
TURRTNT
6RADIN6
tLttTRtt
FAR
FITLO
PATTIRN
TURRINT
6RAOIN6
ttttTRti
FAR
FIILO
PATTIRN
A
'L:
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Uniform
I
Inveree taper
Abbildung 3.14: Beispiele für das Fernfeld bei gegebenem Aperturfeld
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