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Berechnung inverser multiplikativer Elemente
1.1
In Restklassenringen
Sei x ein Element aus einem Restklassenring R wobei R ∼
= Zn gelte. x−1 sei
nun das inverse multiplikative Element von x mit der Bedingung x · x−1 = 1.
Für ein gegebenes Element x kann nun mittels dem erweiterten euklidschen
Algorithmus ein inverses Element gefunden werden. Dieser Sachverhalt beruht auf dem Lemma von Bézout nach dem sich der größte gemeinsame
Teiler zweier Zahlen als Linearkombination darstellen lässt. Setzt man nun
a · s + b · r = ggT (r, s)
s = n, r = x und den ggT (s, r) = 1, so ergibt sich im Restklassenring
a · n + |{z}
b ·x ≡n 1
=x−1
was äquivalent zu x · b = x · x−1 = 1 ist.
1.1.1
Beispiel
Sei x ∈ Z7 und x = 3. Gesucht sei nun das zu x inverse multiplikative
Element. Nach Vorraussetzung gilt x · x−1 = 1. Dieser Sachverhalt lässt sich
nun umschreiben:
a · |{z}
7 +x · |{z}
x−1 = 1
=n
=b
Für die Lösung muss nun nur noch der Algorithmus ausgeführt werden.
r0 = q0 · r1 + r2 ⇔ 7 = 2 · 3 + 1
r1 = q1 · r2 + r3 ⇔ 3 = 3 · 1 + 0
Durch Rückwärtseinsetzen ergibt sich
1 = 7 − 2 · 3 ⇔ 7 + 3 · (−2)
−2 ist also das inverse Element von x = 3 im Restklassenring Z7 . Es gilt
[−2]7 = [5]7 . Nachprüfen bestätigt das Ergebnis 3 · 5 ≡7 15 ≡7 1.
1.2
In Polynom(restklassen)ringen
Ähnlich wie in einem Restklassenring ∼
= Zn lässt sich dieses Verfahren zur
Bestimmung eines inversen Elementes auch in Polynomrestklassenringen
durchführen. Die Vorgehensweise ist identisch. Sei nun z.B. R = GF (9)
und π(x) das zugehörige Polynom, wobei π(x) natürlich den Grad 2 besitzt.
Es gilt
a · π(x) + p(x) · p−1 (x) = 1
1
wobei p(x) ein Element ∈ R sei, und p−1 (x) das zu bestimmende inverse Element. Genau wie im oberen Beispiel ist zur Lösung lediglich der erweiterte
euklidische Algorithmus auszuführen.
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