§1 Mengen und Aussagen

Mathematik für Physiker I, WS 2010/2011
Freitag 29.10
$Id: mengen.tex,v 1.3 2010/10/31 21:37:54 hk Exp hk $
§1
Mengen und Aussagen
In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff einer Menge eingeführt und einige
Rechenoperationen für Mengen eingeführt
Vereinigung
M ∪N
Alle x in M oder N
Durchschnitt
M ∩N
Alle x in M und N
Komplement
M \N
Alle x in M nicht in N
Wir wollen jetzt einige Eigenschaften unserer bisher eingeführten Begriffe festhalten,
und beginnen mit einem Satz über die Teilmengenbeziehung. Wir verwenden das etwas
kürzere Wort Inklusion“ als das übliche Synonym für Teilmengenbeziehung“.
”
”
Lemma 1.1 (Grundeigenschaften der Inklusion)
Seien A, B, C drei Mengen. Dann gelten:
(a) Die Inklusion ist transitiv, d.h. sind A ⊆ B und B ⊆ C, so ist auch A ⊆ C.
(b) Es ist A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B.
(c) Genau dann ist A = B wenn A ⊆ B und B ⊆ A gelten.
Beweis: (a) Für jedes Element x ∈ A gilt wegen A ⊆ B zunächst auch x ∈ B und
wegen B ⊆ C ist schließlich x ∈ C. Dies zeigt A ⊆ C.
(b) Jedes Element des Durchschnitts A ∩ B ist definitionsgemäß auch ein Element von
A, es gilt also A ∩ B ⊆ A. Ebenso ist jedes Element von A auch ein Element von A ∪ B
und wir haben A ⊆ A ∪ B.
(c) Wir müssen zeigen das aus A = B die beiden Bedingungen A ⊆ B und B ⊆ A
folgen, und dass umgekehrt aus A ⊆ B und B ⊆ A auch A = B folgt.
”=⇒” Dies ist klar.
”⇐=” Die Bedingung A ⊆ B bedeutet das jedes Element von A ein Element von B
ist und B ⊆ A sagt das umgekehrt jedes Element von B auch ein Element von A ist.
Damit haben A und B genau dieselben Elemente, und sind somit dieselbe Menge.
Inhaltlich sind alle Aussagen des Lemmas von vornherein klar
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A
B
C
A⊆B⊆C
A∩B ⊆A⊆A∪B
und wir wollen dieses Lemma hauptsächlich als Anlass für einige Bemerkungen verwenden. Die Aussagen der Mathematik werden als sogenannte Sätze“ formuliert und
”
in einem aufgeschriebenen Text werden sie dann oftmals numeriert und in irgendeiner
Form hervorgehoben dargestellt. Dabei ist der Name Satz“ hier ein Oberbegriff, je
”
nach Bedeutung der Aussage werden verschiedene Namen verwendet. In der Literatur
finden Sie die folgenden Bezeichnungen:
Satz Aussage mit einer mitteilenswerten, eigenständigen Bedeutung.
Hauptsatz Ein besonders wichtiger Satz.
Theorem Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz“ oder für Hauptsatz“.
”
”
Lemma Wie ein Satz aber mit Bedeutung hauptsächlich innerhalb der Theorie.
Proposition Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz“ oder für Lemma“.
”
”
Koroller Eine unmittelbare Folgerung aus einem Satz oder Lemma, oftmals ein besonders hervorgehobener Spezialfall.
Wir werden die Namen Satz“, Lemma“ und Korollar“ verwenden. Einfache Aus”
”
”
sagen werden oftmals nicht extra als Satz formuliert sondern nur im laufenden Text
erwähnt, die Aussagen in Lemma 1 wären ein Kandidat für solch eine Behandlung.
Besonders selbstverständliche Aussagen werden sogar nirgends festgehalten, beispielsweise werden wir so etwas wie A ∪ B = B ∪ A für Mengen A, B verwenden auch ohne
es irgendwo explizit zu bennennen.
Wir kommen jetzt zum Inhalt von Lemma 1, und wollen zunächst die Verwendung
von Variablen erläutern. Im normalen Sprachgebrauch ist eine Variable eine Größe
deren Wert sich im Laufe der Zeit ändert, aber in der Mathematik wird das Wort
Variable“ in einem etwas anderen Sinne verwendet. Nehmen wir etwa die Variablen
”
A, B, C im Lemma. Diese wurden mit Seien A, B, C drei Mengen“ eingeführt, und dies
”
meint das wir uns drei Mengen nehmen und diesen die Namen A, B, C geben. Diese
Mengen ändern sich dann im folgenden nicht, die Werte von A, B, C sind nicht etwas
variables“ und es ist beispielsweise völlig sinnlos so etwas wie Sei A := {1, 2, 3}“ sagen
”
”
zu wollen. Variablen in der Mathematik sind nur Namen für mathematische Objekte
und keine sich ändernden Größen, die Namensgebung Variable“ kommt daher das
”
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etwa unsere Variablen A, B, C Namen für völlig beliebige Mengen sind, die Variabilität
liegt in den potentiell möglichen Werten für A, B, C aber eben nicht im gewählten Wert
selbst. Dagegen ist etwa die leere Menge ∅ keine Variable, da diese eine ganz spezifische
Menge bezeichnet.
Es gibt einige, wenige Ausnahmen zum oben gesagten. Beispielsweise ist in der
Mengenbeschreibung
{2x|x ∈ N}
das Symbol x“ eine echte“ Variable, man spricht hier auch von einer formalen Varia”
”
”
blen“. Derartige Variablen treten immer nur in gebundener Form“ auf, beispielsweise
”
gibt es das x“ nur innerhalb der beiden geschweiften Klammern, Ausdrücke wie etwa
”
2x ∈ {2x|x ∈ N} haben keinerlei Sinn, das es außerhalb der Klammern eben kein
x gibt. Eine andere vertraute Situation in der formale
Variablen vorkommen, ist die
Rb
Integrationsvariable beim bestimmten Integral a f (x) dx, das x kommt hier nur im
R1
Integral gebunden vor, Formeln wie x2 = 0 x dx sind weder wahr noch falsch sondern
nur unsinnig.
Kommen wir zum Beweis des Lemmas. Mathematik ist keine empirische Wissenschaft, mathematische Aussagen können nicht durch Beobachtungen oder Daten belegt
werden. Das einzige Kriterium zur Wahrheit mathematischer Aussagen ist der Beweis.
Ein Beweis ist dabei mehr als nur eine überzeugende Begründung des behaupteten
Sachverhalts, sondern eine wirklich vollständige, logische Herleitung. Beweise im mathematischen Sinne sind für reale Objekte und Tatsachen nicht möglich, dass sie in der
Mathematik durchgeführt werden können, liegt letztlich daran das alle Begriffe exakt
definiert sind. Beweise sind für die Mathematik keine optionale Zugabe, sondern das
was Mathematik ausmacht. Das heißt natürlich nicht, das wir in dieser Vorlesung alles
vollständig beweisen werden, hierfür wird die zur Verfügung stehende Zeit leider nicht
ausreichen.
Wir schauen uns jetzt den Beweis von Teil (a) des Lemmas an. Vorausgesetzt sind
einmal die für alle Teile des Lemma gültige Voraussetzung Seien A, B, C drei Mengen“
”
und weiter A ⊆ B sowie B ⊆ C. Zu zeigen ist, dass auch A ⊆ C gilt. Das einzige zur
Verfügung stehende Hilfsmittel ist die Definition der Teilmengenbeziehung, und A ⊆ C
bedeutet, dass jedes Element von A auch ein Element von C ist. Wir müssen uns also
ein Element x von A nehmen und einsehen das dieses auch ein Element von C ist. Da
A eine Teilmenge von B ist, ist zunächst x ∈ B und da B auch eine Teilmenge von C
ist, ist x auch ein Element von C. Damit ist dann A ⊆ C bewiesen. Der Beweis von
Teil (b) folgt denselben Prinzipien, und soll hier nicht wiederholt werden.
Der letzte Teil (c) des Lemmas bietet ein neues Detail. Die Formulierung Genau
”
dann ist A = B wenn A ⊆ B und B ⊆ A gelten, bedeutet das zum einen aus A = B die
Aussage A ⊆ B und B ⊆ A folgt und zum anderen, umgekehrt aus A ⊆ B und B ⊆ A
auch A = B folgt. In dieser Formulierung sind also zwei Behauptungen versteckt, und
diese werden dann auch beide bewiesen. In dem mit =⇒“ gekennzeichneten Teil wird
”
die Implikation von links nach rechts bewiesen, d.h. das aus A = B auch A ⊆ B
und B ⊆ A folgen. In diesem konkreten Beispiel ist hier nichts zu tun, da wir bereits
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bemerkt hatten das jede Menge eine Teilmenge von sich selbst ist. Im zweiten Beweisteil
mit ⇐=“ wird dann die andere Implikation, also von rechts nach links bewiesen.
”
Dies soll an allgemeinen Bemerkungen erst einmal genügen. Man kann jetzt fortfahren und diverse Lemmata über das Rechnen mit Mengen beweisen, etwa Formeln
wie A ∩ B = B ∩ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) und vieles mehr. Wir wollen hier nur
eine solche Formel vorstellen, da diese eine der häufigeren Fehlerquellen ist.
Lemma 1.2 (De Morgansche Regeln für Mengen)
Seien A, B, C drei Mengen. Dann gelten die beiden Gleichungen
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) und
A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C).
Beweis: Dies ist eine Übungsaufgabe.
Sie sollten sich dies ruhig einmal klarmachen, auch wenn es keine Aufgabe auf einem
der Übungsblätter ist. Damit haben wir erst einmal genug über Mengen gesagt, und
kommen jetzt zum zweiten Thema dieses Kapitels, der sogenannten Aussagenlogik.
Unter einer Aussage verstehen wir einen sprachlichen Ausdruck der einen eindeutigen
Wahrheitsgehalt hat, also entweder wahr oder falsch ist. Streng genommen sind wir hier
eigentlich nur an mathematischen Aussagen interessiert, dies meint Aussagen die nur
von mathematischen Objekten handeln. In der Logik betrachtet man auch allgemeinere
Aussagen, dies führt aber schnell zu zusätzlichen Komplikationen, die für uns keine
Rolle spielen. Beispiele derartiger (mathematischer) Aussagen sind:
• 3 + 4 = 7.
• 7 · 8 = 44 (Dies ist zwar falsch, aber trotzdem eine Aussage).
• Die 5-te Nachkommastelle von π ist 9.
Alle diese Ausdrücke sind definitiv, und ohne jeden Verhandlungsspielraum jeweils
wahr oder falsch. In einer Hinsicht sind wir dagegen recht großzügig, es ist nicht nötig
zu wissen ob eine mathematische Aussage nun wahr oder falsch ist, es kommt nur
darauf an, daß sie eines von beiden ist. Beispiele solcher zweifelsfrei mathematischen
Aussagen, deren Wahrheitsgehalt wir zur Zeit nicht kennen sind:
• Die 1032538 -te Nachkommastelle von π ist eine 7.
• Es gibt beliebig große natürliche Zahlen n so, dass unter den ersten n Nachkommastellen von π die 7 genauso oft wie die 3 vorkommt.
Diese beiden Aussagen sind sicherlich entweder wahr oder falsch. Bei der ersten Aussage ist es eher unwahrscheinlich das irgendjemand diese Dezimalstelle von π einmal
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ausgerechnet hat. Im Prinzip kann man durchaus entscheiden ob die Aussage wahr oder
falsch ist, es gibt sogar einen Algorithmus der beliebige Dezimalstellen von π berechnen kann ohne dabei die vorhergehenden Stellen berechnen zu müssen. Auch die zweite
Aussage ist entweder wahr oder falsch, wir wissen nur nicht was zutrifft, wir können wir
uns sogar ziemlich sicher sein, das man das nie wissen wird. Trotzdem handelt es sich
um eine mathematische Aussage in unserem Sinn, denn entweder wahr oder falsch ist
sie allemal, auch wenn wir nicht wissen welche dieser beiden Möglichkeiten nun zutrifft.
Es gibt verschiedene Konstruktionen aus bereits gegebenen Aussagen A, B neue
Aussagen zusammenzusetzen. Diese werden gelegentlich als aussagenlogische Junktoren
bezeichnet. Der einfachste dieser Junktoren ist die Verneinung. Ist A eine Aussage, so
ist die Verneinung von A die Aussage ¬A, die genau dann wahr ist wenn A falsch ist.
Ebenfalls ohne Überraschungen ist die Konjuktion, oder simpler die und“, Aussage.
”
Bei dieser sind zwei Aussagen A, B gegeben, und man bildet die neue Aussage A ∧ B,
gesprochen als A und B, die genau dann wahr ist wenn beide Aussagen A und B wahr
sind.
Diese Festlegungen sollten nicht besonders überraschend sein. Der nächste unserer
Junktoren wird nun die Disjunktion, beziehungsweise oder“ Aussage, sein. Hier gibt es
”
ein kleines Detail zu beachten, die Bedeutung der Disjunktion weicht gelegentlich etwas
von der sonst üblichen Verwendung dieses Wortes ab. Sind A, B wieder zwei Aussagen,
so ist die Disjunktion A ∨ B, gesprochen als A oder B, genau dann wahr wenn eine der
beiden Aussagen A, B wahr ist. Hierbei ist immer der Fall erlaubt, dass sogar beide
Aussagen A, B wahr sind. Wir hatten bereits früher bemerkt, dass diese Verwendung
des Wortes oder“ etwas von der Umgangssprache abweicht. Der Deutlichkeit halber
”
können wir Konjunktion und Disjunktion in Form sogenanter Wahrheitstabellen beschreiben. Die Tabellen für Konjunktion und Disjunktion haben dabei die folgende
Form:
@A
A ∨ B: B
@ 0 1
0 0 1
1 1 1
A
A ∧ B: @
B @ 0 1
0 0 0
1 0 1
In diesen Tabellen schreiben wir 0 für falsch“ und 1 für wahr“. Dies soll nicht etwa
”
”
bedeuten, dass die Zahlen 0 und 1 irgendetwas mit wahr“ und falsch“ zu tun haben,
”
”
es handelt sich nur um Symbole für diese Begriffe. Alternativ könnten wir auch f und
w anstelle von 0 und 1 schreiben.
Mit den logischen Junktoren kann man rechnen. Wir wollen hier eine der Rechenregeln für logische Junktoren hervorheben, die sogenannten de Morganschen Regeln für
Aussagen. Diese behandeln die Verneinung von und“ beziehungsweise von oder“ aus”
”
sagen. Da es sich hier um logische Tatsachen und nicht um mathematischen Aussagen
handelt, wollen wir diese Formeln nicht als mathematische Sätze bezeichnen. Die de
Morganschen Regeln besagen
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B) und
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
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für alle Aussagen A und B. Wir wollen uns die de Morgansche Regel für die Disjunktion
einmal klarmachen, die andere Regel kann man sich dann analog überlegen. Die einzige
Möglichkeit das die Disjunktion A ∨ B falsch ist, ist wenn A und B gleichzeitig beide
falsch sind, wenn also (¬A) ∧ (¬B) wahr ist. Dies bedeutet ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B).
Als eine alternative Begründung kann man sich auch die Wahrheitstafeln anschauen
¬(A ∨ B) :
0 1
0 1 0
1 0 0
(¬A) ∧ (¬B) :
0 1
0 1 0
1 0 0
Wir kommen jetzt zu einem weiteren logischen Junktor, der auch schon komplizierter
ist, der sogenannten Implikation. Sind A, B zwei Aussagen, so ist die Aussage A ⇒ B,
gesprochen als aus A folgt B“ oder A impliziert B“, wahr wenn mit A auch B stets
”
”
wahr ist. In Form einer Wahrheitstafel soll diese Festlegung gerade
A
A ⇒ B: @
B @ 0 1
0 1 0
1 1 1
bedeuten. Beachte das die Implikation A ⇒ B insbesondere immer dann wahr ist
wenn die Voraussetzung A der Implikation falsch ist. Anders gesagt soll aus einer
falschen Aussage jede beliebige andere Aussage folgen. Dies erscheint zunächst als eine
etwas merkwürdige Festlegung, aber dieser Eindruck sollte bei näherer Betrachtung
verfliegen. Umgangssprachlich würde man eine Aussage der Form Wenn morgen das
”
Hörsaalgebäude einstürzt, so fällt die Vorlesung aus“, als wahr betrachten unabhängig
davon ob das Gebäude morgen noch steht, selbst dann wenn die Vorlesung trotz eines in
bestem Zustand befindlichen Hörsaals ausfällt. Ein weiterer Grund für die angegebene
Interpretation der Implikation, der für die Mathematik auch erheblich schwerwiegender
ist, sind Aussagen in denen Variablen vorkommen. Steht x beispielsweise für eine reelle
Zahl, so sollte die Aussage
x2 = 4 =⇒ −2 ≤ x ≤ 2
immer wahr sein, unabhängig davon welchen konkreten Wert x jetzt hat, also auch
wenn etwa x = 3 oder x = 0 ist.
Um eine Implikation A ⇒ B zu beweisen, kann man immer annehmen das die
Aussage A wahr ist, denn andernfalls gilt die Implikation sowieso. Als ein Beispiel
denken wir uns zwei reelle Zahlen x, y gegeben, und wollen die Implikation
x2 = y 2 =⇒ x = y ∨ x = −y
beweisen. Dann können wir wie gesagt annehmen, dass überhaupt x2 = y 2 gilt, und es
folgt
(x + y) · (x − y) = x2 − y 2 = 0,
also x + y = 0 oder x − y = 0 da ein Produkt nur Null sein kann, wenn einer der
Faktoren Null ist. Dies ergibt weiter x = −y oder x = y.
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was ist jetzt die Verneinung der Implikation A ⇒ B? Diese ist genau dann wahr
wenn A ⇒ B falsch ist, und hierfür gibt es nur eine einzige Möglichkeit, A muss wahr
sein und B muss falsch sein. Als Formel bedeutet dies
¬(A ⇒ B) = A ∧ (¬B).
Verwenden wir jetzt noch die offensichtliche Tatsache, dass für jede Aussage X stets
¬¬X = X ist, so erhalten wir mit den de Morganschen Regeln
A ⇒ B = ¬¬(A ⇒ B) = ¬(A ∧ (¬B)) = (¬A) ∨ (¬¬B) = (¬A) ∨ B.
Insbesondere scheint die Implikation damit auf derselben inhaltlichen Stufe wie und“
”
und oder“ zu stehen, was Sie zumindest irritieren sollte. Dieser Eindruck täuscht auch
”
in gewisser Weise, denn der hier verwendete Implikationsbegriff ist rein formaler Natur.
Es kommt für die Wahrheit von A ⇒ B nur auf den Wahrheitswert der Aussagen A
und B an, nicht aber auf die inhaltliche Bedeutung dieser Aussagen. Diesen Implikationsbegriff sollte man nicht mit dem inhaltlichen Folgerungsbegriff verwechseln, dass
also eine Aussage B durch logisches Schließen aus einer Aussage A folgt. Bei letzterem
kommt es tatsächlich auf die Bedeutung von A und B an. Um eine Implikation zu
beweisen, verwendet man dagegen in aller Regel eine inhaltliche Argumentation, wie
bereits bemerkt wird A als wahr angenommen und dann auf B geschlossen.
Wir führen jetzt eine weitere Schreibweise für mathematische Aussagen ein. Diese
haben sehr oft die Form Für alle Elemente x eine gegebenen Menge M gilt eine
”
Aussage A(x)“, eine sogenannte Allaussage, oder Es gibt ein Element x der Menge M
”
für das A(x) gilt“, eine sogenannte Existenzaussage. Man schreibt
∀(x ∈ M ) : A(x) für Für alle x ∈ M gilt A(x)“.
”
Das Symbol ∀“ ist ein sogenannter Allquantor. Entsprechend schreibt sich eine Exi”
stenzaussage als
∃(x ∈ M ) : A(x) für Es existiert ein x ∈ M mit A(x)“,
”
und hier nennt man ∃“ einen Existenzquantor. Beispielsweise übersetzt sich die Aus”
sage Für jede reelle Zahl x existiert eine natürliche Zahl n, die echt größer als x ist“
”
als Formel in
∀(x ∈ R)∃(n ∈ N) : n > x.
Ein solcher Ausdruck mit mehreren Quantoren ist dabei immer von links nach rechts
zu lesen, ein Ändern der Quantorenreihenfolge ändert auch die Bedeutung der Aussage.
Beispielsweise bedeutet
∃(n ∈ N)∀(x ∈ R) : n > x,
dass es eine natürliche Zahl n gibt, die echt größer als überhaupt alle reellen Zahlen ist,
was natürlich falsch ist. Quantoren desselben Typs kann man vertauschen, und daher
werden sie meist in zusammengefasster Form notiert, man schreibt beispielsweise
∀(x, y ∈ R) : y > x > 0 ⇒ y 2 > x2 für ∀(x ∈ R)∀(y ∈ R) : y > x > 0 ⇒ y 2 > x2 .
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