Physik I Klausur 200607

Klausur Physik I
Studiengang Biomedizinische Technik
Wintersemester 2006/2007
21.2.2007
2
Für alle Berechnungen gilt: die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s !
1. (5 Punkte) Die Bewegung eines Körpers in der Ebene werde durch folgenden Ortsvektor beschrieben:

r (t ) = ( r ⋅ sin at 2 + a 0 ⋅ t 2, y 0 + r ⋅ cos at 2 ) , mit y 0 = 0,2 m, a = 6,283 s-2.


a) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor v (t ) und den Beschleunigungsvektor a (t ) .
b) Beschreiben Sie kurz die Bewegung und skizzieren Sie die Bahnkurven für 0 £ t £ 2 s und
folgende drei Situationen:
a 0 = 5 m/s2
- mit r = 0,
- mit r = 0,1 m, a 0 = 0
- mit r = 0,1 m, a 0 = 5 m/s2
2. (6 Punkte) Eine Erbsenpistole verschießt Erbsen mit einer Masse von m = 0,12 g und einer
Mündungsgeschwindigkeit von v0 = 36,5 m/s.
a) Welche Federkonstante D muss die Abschussfeder besitzen, wenn diese Geschwindigkeit auf
einem Weg von Δx = 2 cm (bis zur völlig entspannten Feder) erreicht werden soll?
b) Nach welcher Entfernung fällt bei horizontalem Abschuss aus einer Höhe von y0 = 1 m die Erbse
zu Boden? (Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand!)
3. (3 Punkte) Der Kraftstoffverbrauch eines Motorfahrzeugs ist wegen des Luftwiderstands bei höheren
Geschwindigkeiten größer. Überprüfen Sie folgende Behauptung: Wenn man schneller fährt, legt man
die gleiche Strecke in kürzerer Zeit zurück, dadurch lässt sich erreichen, dass man doch nicht mehr
Kraftstoff verbraucht als wenn man langsamer fährt.
Stimmt diese Behauptung? Begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie eine Formel für die benötigte
Energie angeben.
4. (5 Punkte) Ein Fahrzeug mit einer Masse m1 = 1100 kg fährt mit einer Geschwindigkeit v1 = 40 km/h
seitlich in ein stehendes Fahrzeug mit der Masse m2 = 2500 kg. Beide Fahrzeuge verkeilen sich
ineinander und rutschen gemeinsam mit blockierten Rädern weiter. Wie weit rutschen die Fahrzeuge,
wenn der Gleitreibungskoeffizient µr = 0,85 beträgt?
5. (5 Punkte) Ein Rad sei als eine dünne Scheibe mit Radius r = 25 cm und Masse m = 5 kg beschrieben.
a) Wie groß ist das Trägheitsmoment um eine Rotationsachse, die nicht durch den Schwerpunkt
verläuft, sondern gegenüber der Symmetrieachse um δr = 5 mm verschoben wird?
b) Welche Zentrifugalkraft wirkt, wenn sich das Rad mit einer Umdrehungsperiode von T = 1 s
dreht?
c) Welches Drehmoment (senkrecht zur Rotationsachse) bewirkt die Zentrifugalkraft bezüglich eines
Achslagers, in dem die Rotationsachse x = 10 cm vom Rad entfernt gelagert ist?
6. (5 Punkte) Eine Pumpe soll durch ein senkrecht stehendes Rohr mit einem Radius R = 1 cm Wasser
aus einem h = 5 m tiefer gelegenen Teich ansaugen.
a) Welchen Unterdruck (Druckdifferenz zum äußeren Luftdruck) muss die Pumpe erzeugen, um
einen Volumenstrom von 0,01 m3/s zu fördern?
(Die Dichte von Wasser beträgt ρ = 1000 kg/m3, die Viskosität η = 10-3 Ns/m2)
b) Wie groß ist die mittlere (durchschnittliche) Strömungsgeschwindigkeit vm des Wassers im Rohr?
7. (3 Punkte) Ein Fußball habe ein Volumen von 5,5 l. Wiegt man ihn auf einer normalen Waage, so
zeigt diese ein Gewicht von m′ = 0,430 kg an. Welche tatsächliche Masse m hat der Fußball?
Was misst die Waage? (Die Dichte der Luft beträgt bei Normalbedingungen ρ = 1,293 kg/m3)
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1. Die Bewegung eines Körpers in der Ebene werde durch folgenden Ortsvektor beschrieben:

r (t ) = ( r ⋅ sin at 2 + a 0 ⋅ t 2, y 0 + r ⋅ cos at 2 ) , mit y 0 = 0,2 m, a = 6,283 s-2.


a) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor v (t ) und den Beschleunigungsvektor a (t ) .
b) Beschreiben Sie kurz die Bewegung und skizzieren Sie die Bahnkurven für 0 £ t £ 2 s und
folgende drei Situationen:
- mit r = 0,
a 0 = 5 m/s2
- mit r = 0,1 m, a 0 = 0
- mit r = 0,1 m, a 0 = 5 m/s2
Lösung:
Die beschriebene Bewegung lässt sich in drei Bestandteile zerlegen:
æ sin(at 2 ) ö÷ æ 0 ö
æ x (t ) ÷ö çæ r ⋅ sin(at 2 ) + a 0 ⋅ t 2 ö÷ æ a 0 ⋅ t 2 ÷ö

ç
ç
ç
÷
÷÷ + çç ÷÷
÷÷ + r çç
÷÷ = çç
r (t ) = çç
÷=ç
çç cos(at 2 ) ÷÷ èç y 0 ø÷÷
çè y(t ) ø÷÷ çèç y 0 + r ⋅ cos(at 2 ) ø÷÷ çèç 0 ø÷÷
è
ø
eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in x-Richtung, eine gleichmäßig beschleunigte Rotation
und eine konstante Verschiebung in y-Richtung.
Die Translationsbewegung hat die bekannten Ableitungen der Funktion t2:
æa 0 ⋅ t 2 ÷ö

÷÷,
rtrans (t ) = ççç
çè 0 ÷÷ø

æ 2a 0 ⋅ t ÷ö
drtrans
÷,
= ççç
dt
çè 0 ÷÷ø

æ 2a 0 ö÷
d2rtrans
÷÷
= ççç
2
dt
èç 0 ø÷
die daduch beschriebene Bahn ist eine Gerade parallel zur x-Achse
Die Rotationsbewegung ist daran zu erkennen, dass in den beiden Komponenten Sinus- und CosinusFunktionen mit dem gleichen Argument vorkommen (es war, auf Nachfrage, in der Klausur angesagt
worden, dass die Funktionen als sin(at 2 ) etc. zu verstehen sind):
æ sin(j(t )) ö÷

÷÷
rrot(t ) = r ççç
çè cos(j(t )) ø÷÷
mit
j(t ) = at 2
Zur Berechnung der 1. Ableitung muss die Kettenregel angewendet werden:


æ cos(at 2 ) ÷ö
drrot
dj drrot
ç
÷÷
=
⋅
= 2at ⋅ r çç
ççè - sin(at 2 ) ÷÷ø
dt
dt d j
Zur Berechnung der 2. Ableitung kommt noch die Produktregel hinzu:

é d æ cos(at 2 ) ÷öù d ( 2at ) æ cos(at 2 ) ÷ö
d2rrot
ç
ç
÷÷ ú +
÷÷
= 2at ⋅ r êê çç
⋅ r çç
ú
2
÷
2
2 ÷
ç
ç
d
t
d
t
dt
a
a
sin(
t
)
sin(
t
)
÷
÷ø
ç
ç
êë è
ø úû
è
æ - sin(at 2 ) ÷ö
æ cos(at 2 ) ö÷
ç
2 2 ç
÷
÷÷
= 4a t r çç
÷ + 2ar çç
çèç - cos(at 2 ) ÷÷ø
ççè - sin(at 2 ) ø÷÷
Die Ableitungen des konstanten Anteils sind selbstverständlich 0.
Insgesamt ist damit der Geschwindigkeitsvektor
æ 2at ⋅ r ⋅ cos(at 2 ) + 2a 0 ⋅ t ÷ö

ç
÷÷
v (t ) = çç
÷÷
ççè
-2at ⋅ r ⋅ sin(at 2 )
ø
und der Beschleunigungsvektor
2 2
2
2
æ
ö

ç -4a t ⋅ r ⋅ sin(at ) + 2a ⋅ r cos(at ) + 2a 0 ÷÷
a (t ) = çç
÷
ççè -4a2t 2 ⋅ r ⋅ cos(at 2 ) - 2a ⋅ r sin(at 2 ) ø÷÷
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Die unterschiedlichen Situationen sind damit:
Situation 1: r = 0: nur die Translationsbewegung, also eine gleichmäßig beschleunigte Translation in
x, konstant in y. Die Bahnkurve ist eine Gerade bei y = y0
Situation 2: a0 = 0: nur die Rotationsbewegung, also eine gleichmäßig beschleunigte Rotation. Die
Bahnkurve ist ein Kreis um (0, y0).
Situation 3: Überlagerung von beidem (z.B. Kurbel eines beschleunigten Fahrrades); dieser Teil ist
zugegebenermaßen schwieriger, der Rest aber eigentlich nicht! Die Bahnkurve ist tatsächlich wieder
periodisch als Funktion des Ortes x, das liegt daran, dass beide Teilbewegungen gleichmäßig
beschleunigt mit Anfangs(-Winkel-)geschwindigkeit Null sind.
Bahnkurven (Gesamtbewegung):
Die Achsen sind unterschiedlich skaliert, die eingezeichneten Punkte zeigen die Orte in
Zeitintervallen von 0,1 s, insbesondere bei der Translationsbewegung lässt sich so die
Beschleunigung gut erkennen:
Bahnkurven (Detail Rotationsbewegung Anfangsphase):
Die Achsen sind hier gleich skaliert, der Punktabstand beträgt wiederum 0,1 s. Es lässt sich hier auch
die Beschleunigung auf dem Kreis leicht erkennen.
In der Klausur wären selbstverständlich keine so detaillierten Graphen verlangt gewesen, eine
Gerade und ein Kreis, einigermaßen richtig skaliert, und eine Andeutung der richtigen Form der
überlagerten Bewegungen hätte gereicht!
Bei der Berechnung von Zahlenwerten ist darauf zu achten, dass die Argumente von Sinus und
Cosinus im Bogenmaß und nicht in Grad angegeben sind!
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2. Eine Erbsenpistole verschießt Erbsen mit einer Masse von m = 0,12 g und einer Mündungsgeschwindigkeit von v0 = 36,5 m/s.
2a. Welche Federkonstante D muss die Abschussfeder besitzen, wenn diese Geschwindigkeit auf einem
Weg von Δx = 2 cm (bis zur völlig entspannten Feder) erreicht werden soll?
Die kinetische Energie, die die Erbse an der Mündung hat, wurde aus der potentiellen Energie der um
Δx zusammengedrückten Feder umgewandelt:
E pot
x =Dx
= Ekin
x =0
1
1
D ⋅ Dx 2 = m ⋅ v 02 = 0, 08J
2
2
m ⋅ v 02
D =
Dx 2
D =
(
0,12 ⋅ 10-3 kg ⋅ 36,5
2
m
s
)
2
( 0,02m )
= 399,675
N
m
Bemerkungen:
i.
Die auftretende Anfangsbeschleunigung ist tatsächlich sehr hoch, mit der berechneten
Federkonstante ist die Kraft bei der um Δx = 2 cm zusammengedrückten Feder
F (x=Dx ) = D ⋅ Dx » 400N ⋅ 0, 02m = 8N
zwar nicht besonders groß, wegen der geringen Masse ergibt sich aber
a(x=Dx ) =
F (x=Dx )
m
=
8N
m
» 66666 2
-3
1, 2 ⋅ 10 kg
s
Eine Beschleunigung auf über 100 km/h auf einer Strecke von nur 2 cm ist ja auch eine sehr große
Beschleunigung, darin liegt ja auch die Bedeutung bzw. Gefährlichkeit von Schusswaffen.
ii. Die Bewegung ist keine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, weil sich die Kraft gemäß dem
Hookeschen Gesetz in Abhängigkeit von der Verformung der Feder ändert, sondern die erste
Viertelperiode einer harmonischen Schwingung:
x (t ) = -Dx ⋅ cos
(
Dm ⋅t
D m ⋅ Dx ⋅ sin
v(t ) =
(
)
Dm ⋅t
)
.
Da die Erbse nicht an der Feder befestigt ist, übt sie nach der ersten Viertelperiode keine Zugkraft
auf die Feder aus, sondern fliegt mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit weiter:
t0 =
p
⋅
2
m
D
( p2 ) = 0
D
p
⋅ Dx ⋅ sin ( ) =
m
2
x (t0 ) = -Dx ⋅ cos
v 0 = v(t0 ) =
D
⋅ Dx
m

D =
m ⋅ v 02
Dx 2
iii. Bei jeglichen beschleunigten Bewegungen ist es unsinnig, die Zeit für das Zurücklegen einer
Strecke berechnen zu wollen, indem man deren Länge durch die Endgeschwindigkeit dividiert,
denn dieses Vorgehen geht davon aus, dass die Geschwindigkeit konstant ist! Noch unsinniger ist
es, danach dann die Beschleunigung auszurechnen zu wollen, indem man die Endgeschwindigkeit
durch diese Zeit dividiert.
iv. Der Abschuss findet in horizontaler Richtung statt, es ist also ebenfalls unsinnig, für die Kraft im
Hookeschen Gesetz die Gewichtskraft der Erbse einzusetzen.
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2b. Nach welcher Entfernung fällt bei horizontalem Abschuss aus einer Höhe von y0 = 1 m die Erbse zu
Boden? (Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand!)
Der Flug ist eine Wurfparabel mit horizontalem Abwurf aus einer Höhe von 1m. Diese Bewegung
lässt sich nicht mit den Formeln für den schiefen Wurf berechnen, erstens ist der Wurf nicht schief,
der Winkel beträgt also Null, und zweitens sind Abwurf und Aufschlag nicht, wie den Formeln für
den schiefen Wurf angenommen, auf gleicher Höhe! Also:
Vertikale Bewegung: freier Fall (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) von Höhe y0 auf Höhe 0.
Gesucht: Fallzeit tf:
1
g ⋅ tf2 = y 0
2
2y 0
2m
tf =
=
m = 0,4515s
g
9,81 2
s
Horizontale Bewegung: gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit v0 während Zeit tf.
Gesucht: Strecke s:
m
s = v 0 ⋅ t f = 36,5 ⋅ 0,4515s = 16,48m
s
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3. Der Kraftstoffverbrauch eines Motorfahrzeugs ist wegen des Luftwiderstands bei höheren
Geschwindigkeiten größer. Überprüfen Sie folgende Behauptung: Wenn man schneller fährt, legt man
die gleiche Strecke in kürzerer Zeit zurück, dadurch lässt sich erreichen, dass man doch nicht mehr
Kraftstoff verbraucht als wenn man langsamer fährt. Stimmt diese Behauptung? Begründen Sie Ihre
Entscheidung, indem Sie eine Formel für die benötigte Energie angeben.
Lösung:
Um bei einer Fahrt unter Einfluss einer der Geschwindigkeit v entgegengesetzten Reibungskraft –Fr
mit konstanter Geschwindigkeit zu fahren, muss während der ganzen Fahrtstrecke s eine
entgegengesetzt gleiche Antriebskraft Fr aufgebracht werden. Die Energie, also der verbrauchte
Kraftstoff, wird dazu benötigt, um die entsprechende Arbeit W (Kraft  Weg)
W = s ⋅ FR
zu leisten. Bei gleich langer Strecke s bedeutet eine höhere Reibungskraft also auch einen höheren
Energieverbrauch. Der hier genannte Luftwiderstand ergibt
1
W = s ⋅ cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 2
2
Bei einer Reibungskraft, die mit der Geschwindigkeit ansteigt, ergibt sich also auf jeden Fall mehr
Benzinverbrauch bei höherer Geschwindigkeit.
Bemerkung:
Eine eventuell am Anfang der Strecke aufgewendete Beschleunigungsarbeit, die die während der
Bewegung vorhandene kinetische Energie erbringt, kann zum Schluss (durch „Gas wegnehmen“ statt
Bremsen) wieder zurückgewonnen werden. Die Tatsache, dass die kinetische Energie quadratisch mit
der Geschwindigkeit zunimmt, ist daher kein Argument für die Beantwortung der gestellten Frage,
zumal nur bei Betrachtung der kinetischen Energie die Länge der zurückgelegten Strecke nicht
berücksichtigt wird: Eine Fahrt von Saarbrücken nach Paris mit 100 km/h benötigt eben doch mehr
Benzin als eine Fahrt von Saarbrücken nach Homburg mit 200 km/h.
Es gibt keine Punkte für die Feststellung, dass durch den Luftwiderstand bei höherer Geschwindigkeit
der Verbrauch steigt, denn das steht schon in der Aufgabe!
Es gibt keine Punkte für die Feststellung, dass man mit höherer Geschwindigkeit schneller am Ziel ist,
denn das ist selbstverständlich!
Alternative Lösung:
Wahlweise lässt sich die während der Fahrt benötigte Leistung
1
P = F ⋅ v = cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 3
2
betrachten, die Fahrzeit beträgt
t =
s
v
und es ist ebenfalls die geleistete Arbeit
1
W = P ⋅ t = s ⋅ cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 2
2
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4. Ein Fahrzeug mit einer Masse m1 = 1100 kg fährt mit einer Geschwindigkeit v1 = 40 km/h seitlich in
ein stehendes Fahrzeug mit der Masse m2 = 2500 kg. Beide Fahrzeuge verkeilen sich ineinander und
rutschen gemeinsam mit blockierten Rädern weiter. Wie weit rutschen die Fahrzeuge, wenn der
Gleitreibungskoeffizient µr = 0,85 beträgt?
Lösung:
Bei der beschriebenen Bewegung (gemeinsame Bewegung nach dem Stoß) handelt es sich um einen
total inelastischen Stoß, es gilt nur Impulserhaltung und die Geschwindigkeit u nach dem Stoß lässt
sich wie folgt berechnen:
u=
m1v1 + m2v2
m1v1
=
weil v2 = 0
m1 + m2
m1 + m2
km
m
= 3, 395
u = 12,22
h
s
Die Gleitreibungskraft FR und damit die Verzögerung a ist gegeben durch
FR = (m1 + m2 ) ⋅ g ⋅ mr = (m1 + m2 ) ⋅ a
m
g ⋅ mr = a = 8, 3385 2
s
Es handelt sich also um eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit u und
Verzögerung a. Die Fahrzeuge rutschen so lange (Zeit tr), bis die Geschwindigkeit 0 ist:
u - a ⋅ tr = 0
u
= tr = 0, 407s
a
Die zurückgelegte Rutschstrecke sr berechnet sich als
a
sr = u ⋅ tr - tr2
2
u2
=
2a
u2
=
2mr ⋅ g
sr =
æ m1v1 ö÷2
ç
= 0, 691m
2mr ⋅ g çè m1 + m2 ø÷
1
Alternative Lösung:
Berechnung der Geschwindigkeit nach dem Stoß wie vorher, dann folgende Betrachtung: die Reibung
wandelt die nach dem Stoß noch vorhandene kinetische Energie in Wärme (Reibungsarbeit) um:
E kin = WR
1
(m + m2 )u 2 = sr ⋅ FR
2 1
1
æ m1v1 ÷ö2
(m1 + m2 ) çç
= sr ⋅ mr ⋅ (m1 + m2 ) ⋅ g
è m1 + m2 ÷÷ø
2
mit dem gleichen Resultat.
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5. Ein Rad sei als eine dünne Scheibe mit Radius r = 25 cm und Masse m = 5 kg beschrieben.
5a. Wie groß ist das Trägheitsmoment um eine Rotationsachse, die nicht durch den Schwerpunkt verläuft,
sondern gegenüber der Symmetrieachse um δr = 5 mm verschoben wird?
Die beschriebene Situation entspricht den Bedingungen für den Steinerschen Satz, d.h. es addieren
sich das Trägheitsmoment JS der „dünnen Scheibe“ bezüglich deren Hauptträgheitsachse (also mit
dem angegebenen Radius r) und das Trägheitsmoments des Schwerpunkts bezüglich der tatsächlichen
Rotationsachse, also mit dem Abstand δr zur Achse:
J = J S + m ⋅ dr 2
1
m ⋅ r 2 + m ⋅ dr 2
2
= 2, 5kg ⋅ ( 0,25m )2 + 5kg ⋅ ( 0, 005m )2
=
= 0,15625 kgm2 + 0, 000125 kgm2 = 0,156375 kgm2
5b. Welche Zentrifugalkraft wirkt, wenn sich das Rad mit einer Umdrehungsperiode von T = 1 s dreht?
Die wirkende Zentrifugalkraft kommt dadurch zustande, dass sich das Rad nicht um seine
Symmetrieachse dreht; täte es das, wäre die vektorielle Summe aller Zentrifugalkräfte Null. Die
wirkende Zentrifugalkraft kann damit durch die Rotation des Schwerpunkts im Abstand δr um die
Drehachse beschrieben werden:
2p 2
Fz = m ⋅ dr ⋅ w 2 = m ⋅ dr ⋅
T
2p 2
kg ⋅ m
= 5kg ⋅ 0, 005m ⋅
= 0, 987
= 0, 987N
1s
s2
( )
( )
5c. Welches Drehmoment (senkrecht zur Rotationsachse) bewirkt die Zentrifugalkraft bezüglich eines
Achslagers, in dem die Rotationsachse x = 10 cm vom Rad entfernt gelagert ist?
Das Drehmoment berechnet sich nach der Definition

 
M = x ´ Fz
Die Zentrifugalkraft greift senkrecht zur Achse an, das Achslager befindet sich im Abstand x vom
Angriffspunkt auf der Achse. Das Achsenstück der Länge x ist also der Hebel, und die Kraft steht
senkrecht darauf, damit ist
M = x ⋅ Fz = 0,1m ⋅ 0, 987N = 0, 0987Nm
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6. Eine Pumpe soll durch ein senkrecht stehendes Rohr mit einem Radius R = 1 cm Wasser aus einem
h = 5 m tiefer gelegenen Teich ansaugen.
6a. Welchen Unterdruck (Druckdifferenz zum äußeren Luftdruck) muss die Pumpe erzeugen, um einen
Volumenstrom von 0,01 m3/s zu fördern?
(Die Dichte von Wasser beträgt ρ = 1000 kg/m3, die Viskosität η = 10-3 Ns/m2)
Lösung:
Zum Ansaugen von Wasser aus einem tiefer gelegenen Teich muss zunächst einmal, unabhängig von
der Fördermenge, der hydrostatische Druck ph der hängenden Wassersäule der Länge h aufgebracht
werden. Der Ansaugdruck muss damit um Betrag von ph niedriger sein als der äußere Luftdruck pl,
damit dieser, der ja auf die Teichoberfläche drückt, die Wassersäule bis zu der betrachteten Höhe
hochdrücken kann.
kg
m
ph = r ⋅ g ⋅ h = 1000 3 ⋅ 9, 81 2 ⋅ 5m = 49050Pa
m
s
Bei einer laminaren Strömung ist ein zusätzlicher Druckunterschied pr nötig, um den Strömungswiderstand zu überwinden, er wird nach dem Hagen-Poiseuilleschen Gesetz berechnet und hängt von
der Viskosität η der Flüssigkeit, Länge h und Radius R des Rohres und dem Volumenstrom IV ab:
Ns
8 ⋅ 10-3 2 ⋅ 5m
8h ⋅ h
m3
m
0,
01
=
⋅
= 12732Pa
pr =
I
V
s
p ⋅ R4
3,141 ⋅ ( 0, 01m )4
Es muss also insgesamt ein Unterdruck (relativ zum Luftdruck) von
Dp = -ph - pr = -61782Pa
bzw. ein Druck
p = pl + Dp = 101300Pa - 61782Pa = 39518Pa
in der Pumpe erzeugt werden.
6b. Wie groß ist die mittlere (durchschnittliche) Strömungsgeschwindigkeit vm des Wassers im Rohr?
Lösung:
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit berechnet sich aus Volumenstrom IV und Querschnittsfläche
A wie folgt:
m3
0,
01
m
I
I
s
v = V = V 2 =
2 = 31, 831 s
A
(
)
p⋅R
3,141 ⋅ 0,01m
7. Ein Fußball habe ein Volumen von 5,5 l. Wiegt man ihn auf einer normalen Waage, so zeigt diese ein
Gewicht von m′ = 0,430 kg an. Welche tatsächliche Masse m hat der Fußball?
Was misst die Waage? (Die Dichte der Luft beträgt bei Normalbedingungen ρ = 1,293 kg/m3)
Lösung:
Die Waage misst die auf sie wirkende Kraft, d.h. die um den Auftrieb verminderte Gewichtskraft des
(aufgepumpten) Fußballs. Dabei ist es unerheblich, wie sich die Masse des Fußballs auf Luft und
Leder verteilt. Zur Bestimmung der reinen Gewichtskraft muss also die Auftriebskraft, d.i. die
negative Gewichtskraft des verdrängten Luftvolumens, subtrahiert werden. Die korrekte Masse ist
damit die Summe aus der angezeigten Masse und der Masse des verdrängten Luftvolumens
m = m '+ r ⋅ V = 0, 43kg + 1,293
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kg
⋅ 0, 0055m 3 = 0, 4371kg
m3
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