Protokoll zum Versuch E7: Elektrische Schwingkreise

Protokoll zum Versuch E7:
Elektrische Schwingkreise
Sven E
Tobias F
Abgabedatum: 24. April 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Physikalischer Zusammenhang
2.1 Wechselstromwiderstände (Impedanz) . . . . . . . .
2.1.1 Kondensator im Wechselstrom . . . . . . . . .
2.1.2 Spule im Wechselstrom . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Berechnung des Gesamtwiderstandes . . . . .
2.2 Der elektrische Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Güte Q des elektrischen Schwingkreises . . . . .
2.4 Der elektrische Schwingkreis in der Reihenschaltung
2.5 Der elektrische Schwingkreis in der Parallelschaltung
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3 Versuchsbeschreibung
4 Versuchsdurchführung
4.1 Reihenschwingkreis RSK
4.1.1 Messung 1 . . . . .
4.1.2 Messung 2 . . . . .
4.1.3 Messung 3 . . . . .
4.1.4 Messung 4 . . . . .
4.1.5 Messung 5 . . . . .
4.2 Parallelschwingkreis P SK
4.2.1 Messung 6 . . . . .
4.2.2 Messung 7 . . . . .
4.2.3 Messung 8 . . . . .
3
3
3
3
3
4
5
6
7
7
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9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
5 Auswertung
5.1 Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Berechnung von L . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Berechnung der Güten Q . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Bestimmung des Innenwiderstandes Ri . . . . . .
5.5 Begrenzte Spannungsfestigkeit von Bauelementen
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10
10
13
13
14
14
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6 Anhang
14
6.1 Diagramme in Din A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
1 Einleitung
Elektrische Schwingkreise sind Schaltungen, in denen Kondensator und Spule verknüpft sind. Das bewirkt, dass die Spannung zwischen Kondensator und
Spule hin und her schwingt, wenn sich der Kondensator periodisch entlädt.
In diesem Versuch wird untersucht, bei welcher Resonanzfrequenz durch unseren
Schwingkreis der maximale Strom fließt. Weiterhin soll die Güte des Schwingkreises abhängig vom Widerstand ermittelt werden und die Induktivität der
Spule wird aus der Kapazität des Kondensators und der Resonanzfrequenz berechnet.
2 Physikalischer Zusammenhang
2.1 Wechselstromwiderstände (Impedanz)
Jedes reale elektrische Bauteil stellt einen Widerstand gegenüber dem Strom
dar, allerdings muss man zwischen drei Arten unterscheiden. Zum einen gibt es
den ohmschen Widerstand, wie er in den meisten Geräten zu finden ist, zum
anderen den kapazitiven Widerstand, wie er bei Kondensatoren vorkommt, und
weiterhin den induktiven Widerstand, wie ihn Spulen besitzen. Kondensatoren
und Spulen verhalten sich im Wechselstrom jedoch anders als beim Gleichstrom.
2.1.1 Kondensator im Wechselstrom
Da sich zwischen den Kondensatorplatten ein Dielektrikum befindet, leitet er
im Gleichstrom nur so lange Strom bis seine Platten vollständig geladen sind.
Im Wechselstrom dagegen stellt sich ein kontinuierlicher Stromfluss ein, infolge
des ständigen Umladens der Platten. Somit lässt sich der Kondensator als kapazitiver Widerstand mit XC = (ω 1· C) darstellen, wobei C die Kapazität und
ω = 2 · π · f die Kreisfrequenz der angelegten Spannung beschreibt.
Da die Spannung am Kondensator erst aufgebaut wird, nach dem er vom Strom
aufgeladen wurde, ergibt sich eine Phasenverschiebung ϕ von 90◦ . Somit ist der
Strom der Spannung immer um eine Viertelperiode voraus.
2.1.2 Spule im Wechselstrom
Bedingt durch die Selbstinduktion einer Spule (Lenzsche Regel) wird der Stromaufbau gehemmt. Durch den ständigen Wechsel der Polung entsteht ebenfalls
eine Phasenverschiebung ϕ von 90◦ , allerdings ist diesmal die Spannung dem
Strom voraus.
Somit ergibt sich ein induktiver Widerstand mit XL = ω · L, wobei L die Induktivität der Spule ist.
2.1.3 Berechnung des Gesamtwiderstandes
Zur Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Wechselstromschaltung ist es
empfehlenswert, komplexe Zahlen zu verwenden. So erhält man beispielsweise
3
für die Impedanz einer einfachen Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R, einem kapazitiven Widerstand XC und einem induktiven Widerstand
XL die Formel:
Z = R + i · (XL − XC )
1
Z = R + i· ω·L −
(ω · C)
s
2
1
2
Z =
R + ω·L −
(ω · C)
(1)
(2)
(3)
Für die Phasenverschiebung ϕ ergibt sich:
tan ϕ =
XL − XC
R
(4)
2.2 Der elektrische Schwingkreis
Abb. 1: Schematische Darstellung eines elektrischen Schwingkreises bestehend
aus einem Kondensators und einer Spule
Der elektrische Schwingkreis ist eine Schaltung aus Spule und Kondensator,
bei der die Energie zwischen den beiden Bauteilen periodisch ausgetauscht wird.
4
Der voll geladene Kondensator enthält die Energie
Eel =
1
· C · U2
2
(5)
mit einer maximalen Spannung U .
Nun beginnt dieser sich zu entladen und baut somit einen Strom I auf. Der
Strom fließt durch die Spule, wodurch ein magnetisches Feld in der Spule aufgebaut wird. Die Energie geht so in das Magnetfeld der Spule über:
Emag =
1
· L · I2
2
(6)
Durch den Stromfluss wird nun der Kondensator entgegengesetzt gepolt und
aufgeladen. Der Vorgang wiederholt sich. Eine Schwingung in der Energie kommt
zu Stande. Für die Eigenfrequenz f0 , mit der dieser Schwingkreis schwingt,
erhält man:
1
√
f0 =
(7)
2·π· L·C
Diese elektrische Schwingung ist vollkommen analog zur mechanischen Schwingung. Somit lässt sich aus der Schwingungsgleichung der Mechanik
D · x + k · ẋ + m · ẍ = 0
(8)
die elektrische Schwingung herleiten:
Q
+ R · Q̇ + L · Q̈ = 0
C
(9)
mit Q als Ladung auf dem Kondensator, und R als Widerstand der Schaltung.
So sind folgende Größen analog zu einander:
x ↔ Q, m ↔ L, k ↔ R, D ↔
1
C
(10)
2.3 Die Güte Q des elektrischen Schwingkreises
Im realen Schwingkreis treten neben Spule und Kondensator noch ohmsche Widerstände auf, welche die Schwingung dämpfen. Wie lange der Schwingkreis
eine Frequenz aufrecht erhalten kann wird bestimmt durch seine Güte Q, sie ist
definiert durch den Quotient aus der Eigenfrequenz f0 und Bandbreite B des
Systems.
f0
(11)
Q=
B
Die Bandbreite wird beschränkt durch die Frequenzen f1 und f2 . Dies sind die
Grenzfrequenzen an denen die Spannung bzw. die Stromstärke auf das √12 ≈
0.707-fache des jeweiligen Maximalwertes sinken.
B = f2 − f1
5
(12)
Abb. 2: Schematische Darstellung einer Reihenschwingkreisschaltung
2.4 Der elektrische Schwingkreis in der Reihenschaltung
Schaltet man einen Kondensator der Kapazität C und eine Spule der Induktivität L in Reihe an eine Wechselstromquelle, so erhält man einen Reihenschwingkreis. Dieser wird verwendet um bestimmte Frequenzen zu filtern, deswegen wird
er auch als «Siebkette» bezeichnet. Da in einer realen Schaltung der ohmsche
Widerstand der Bauteile die Effizienz der Schaltung beeinträchtigt, wird dieser
in der Schaltung als RV dargestellt. Wie schon im vorhergehenden Abschnitt
erklärt wurde, erhält man für die Schaltung folgende Impedanz Z:
s
1
Z = RV2 + (ω · L −
)2
(13)
(ω · C)
Wie man in der Formel erkennt, hängt der Gesamtwiderstand ab von der angelegten Frequenz f bzw. der dazugehörigen Winkelgeschwindigkeit ω. Somit wird
die Impedanz am kleinsten, wenn gilt
ω·L =
1
ω·C
(14)
und man erhält so die Resonanzfrequenz des Schwingkreises
f0 =
1
√
2·π· L·C
(15)
Unschwer ist zu erkennen, das es sich dabei genau um die Eigenfrequenz des
Schwingkreises handelt. Hieraus folgt, dass der Strom, der durchgelassen wird,
umso größer ist, je näher die angelegte Frequenz der Resonanzfrequenz kommt.
So entstehen auch die typischen Resonanzdiagramme, wenn man den Strom
über die angelegte Frequenz aufträgt.
6
Abb. 3: Schematische Darstellung einer Parallelschwingkreisschaltung
2.5 Der elektrische Schwingkreis in der Parallelschaltung
Schaltet man eine Spule und einen Kondensator parallel hinter eine Wechselstromquelle, so liegt an jedem Bauteil jeweils die selbe Spannung an, allerdings
sind die Ströme verschieden. Auch hier wird die Effizienz der Schaltung durch
die ohmschen Widerstände der Bauteile beeinflusst, darum wird auch hier ein
Ersatzwiderstand RV parallel geschaltet. Allerdings muss die Impedanz anders
als bei der Reihenschaltung berechnet werden. Man erhält nun:
1
1
1
=
+ i ω·C −
(16)
Z
RV
ω·L
s
2
1 2
1
1
=
+ ω·C −
(17)
Z
RV
ω·L
Auch hier erhält man für die Resonanzfrequenz
f0 =
1
√
2·π· L·C
(18)
Allerdings wird in diesem Fall der Gesamtwiderstand nicht kleinstmöglich, sondern größtmöglich. Aus diesem Grund wird diese Schaltung auch «Sperrkreis»
genannt.
3 Versuchsbeschreibung
Der Versuchsaufbau ist in Abb. 4 auf der nächsten Seite zu sehen. An der Spannungsquelle kann die Höhe der Spannung festgelegt werden; außerdem kann man
hier die Frequenz einstellen. Man muss beachten, dass der Innenwiderstand Ri
die Resonanzeigenschaften des Schwingkreises beeinflusst. Durch Vorschaltung
eines 220kΩ - Widerstandes im Schaltkasten wird eine annähernd konstante
Stromeinspeisung erreicht.
Spule, Kondensator und Widerstände können über (möglichst kurze) Kabel zu
den benötigten Schaltkreisen zusammengeschaltet werden. Hochfrequente Ströme sind schwer zu messen, darum werden hier effektive Resonanzspannungen
gemessen und später in Stromstärken umgerechnet. Die Messung erfolgt über
7
Abb. 4: Versuchsaufbau: An die Spannungsquelle mit Frequenzgenerator ist der
Schaltkasten angeschlossen. Rechts oben ist das Digitalmultimeter zu
sehen. Am PC werden die digitalen Messungen initiiert. [PPB06]
8
ein rechnergestütztes Multimeter. Die verbindenden Kabel müssen kurz sein, da
durch ihren Widerstand die Resonanzmaxima geringfügig verschoben wird, was
zu einem Fehler führt.
Ein möglicher auftretender Fehler ist die mangelnde Konstanz des Stroms, auch
wenn dessen Einspeisung schon durch den vorgeschalteten Widerstand reguliert
wird. Durch Eigenwiderstände aller Komponenten können die Spannungsmaxima verschoben werden. Außerdem können die Angaben auf einzelnen Bauteilen
mit Ungenauigkeiten behaftet sein.
4 Versuchsdurchführung
Abb. 5: Schaltung mit Reihenschwing- Abb. 6: Schaltung mit Parallelschwingkreis [PPB06]
kreis [PPB06]
4.1 Reihenschwingkreis RSK
Zuerst wird ein Reihenschwingkreis wie in Abb. 5 gesteckt. Bei der ersten Messung wird ein Zusatzwiderstand von 100Ω benutzt. Außerdem wird Wechselspannung am Multimeter eingestellt. Am Frequenzgenerator wird für 10kHz
eine Leerlaufspannung von 10V eingestellt. Die Messungen werden am Rechner
ausgelöst.
4.1.1 Messung 1
Die Spannung wird bei einem Widerstand Rv = 100Ω über Frequenzänderungen
von 7kHz bis 26kHz in Schritten von 1kHz gemessen, um das Intervall grob zu
ermitteln, in dem die Resonanzfrequenz liegt.
4.1.2 Messung 2
Die Spannung wird im bereits bestimmten Intervall erneut gemessen, dieses Mal
in Schritten von 0.1kHz. So wird die Resonanzfrequenz genauer ermittelt.
4.1.3 Messung 3
Nun wird ein Widerstand Rv = 1kΩ eingesetzt. Die Messung findet Analog zu
Messung 2 statt.
9
4.1.4 Messung 4
Ganz analog findet nun noch eine Messung ohne zusätzlichen Widerstand, also
Rv = 0Ω, statt.
4.1.5 Messung 5
Nun wird bei gleicher Leerlaufspannung in Schritten von 1kHz von 7kHz bis
26kHz die Spannung am Kondensator gemessen.
4.2 Parallelschwingkreis P SK
Jetzt wird ein Parallelschwingkreis wie in Abb. ?? auf Seite ?? gesteckt. Es wird
eine Leerlaufspannung von 10V bei 10kHz und einem Widerstand R1 = 220kΩ
angelegt.
4.2.1 Messung 6
Der Resonanzfrequenzbereich wird leicht nach unten angepasst. Nun wird eine
Messung mit Rv = 47kΩ in 0.1kHz - Schritten durchgeführt.
4.2.2 Messung 7
Eine erneute Messung erfolgt analog mit einem Widerstand Rv = 220kΩ.
4.2.3 Messung 8
Analog findet nun noch eine Messung ganz ohne zusätzlichen Widerstand, also
Rv = 0Ω, statt.
5 Auswertung
5.1 Messergebnis
Die Diagramme (Abb. 7 auf Seite 16 bis Abb. 14 auf Seite 23) finden sich im
Anhang. Die Messtabellen mit den Originaldaten sind Tab. 1 auf der nächsten
Seite und Tab. 2 auf Seite 12.
Die Resonanzfrequenz des RSK f0RSK lässt sich aus Abb. 8 und Abb. 10 sehr
deutlich mit f0RSK ≈ 16.6kHz ablesen; folglich ist die Kreisfrequenz ω0RSK =
2 · π · f0RSK ≈ 104kHz. In Abb. 9 ist die Resonanzfrequenz wegen des hohen
Widerstandes Rv verschoben.
Die Resonanzfrequenz des P SK liegt bei f0P SK ≈ 16.3kHz, hierin stimmen alle
Messreihen überein. Es folgt ω0P SK = 2 · π · f0P SK ≈ 102kHz.
10
f /kHz
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Messung 1
U/V
10.21
10.12
10.05
10.09
9.89
9.8
9.66
9.39
8.7
5.75
3.98
7.94
8.94
9.24
9.36
9.41
9.43
9.44
9.44
9.43
Messung 5
U/V
11.4
11.76
12.24
12.93
13.8
15.14
17.24
20.9
27.37
34.69
25.45
14.14
8.85
6.73
5.95
5.78
5.85
6.01
6.18
6.36
f /kHz
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
Messung 2
U/V
5.76
5.09
4.4
3.65
2.91
2.27
1.95
2.11
2.63
3.35
3.99
4.68
5.26
5.78
6.24
6.64
6.99
7.28
7.53
7.77
Messung 3
U/V
6.72
6.61
6.52
6.45
6.39
6.35
6.33
6.33
6.34
6.38
6.43
6.49
6.56
6.64
6.74
6.84
6.94
7.04
7.14
7.25
Messung 4
U/V
6.21
5.49
4.7
3.77
2.73
1.64
0.75
1.13
2.11
3.18
4
4.84
5.5
6.08
6.57
6.98
7.33
7.62
7.85
8.07
Tab. 1: Messungen 1 und 5; Messungen 2, 3 und 4; gemessene Spannung gegen
Frequenz am RSK
11
f /kHz
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
17.1
17.2
17.3
17.4
Messung 6
U/V
0.64
0.66
0.67
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
0.73
0.73
0.72
0.71
0.7
0.68
0.67
0.65
0.63
0.61
0.59
0.58
Messung 7
U/V
0.95
1.03
1.11
1.2
1.3
1.38
1.46
1.51
1.54
1.53
1.49
1.42
1.34
1.25
1.16
1.08
1
0.93
0.87
0.81
Messung 8
U/V
1.03
1.14
1.26
1.4
1.57
1.74
1.94
2.11
2.21
2.22
2.13
1.96
1.78
1.6
1.43
1.3
1.17
1.07
0.98
0.9
Tab. 2: Messungen 6, 7 und 8; gemessene Spannung gegen Frequenz am P SK
12
5.2 Berechnung von L
Die Induktivität der Spule L lässt sich mit der umgestellten Schwingungsgleichung berechnen. Diese ist
s
1
R2
1
L= 2 2 +
−
(19)
8π f C
64π 4 f 4 C 2 16π 2 f 2
Sinnvoll lässt sich diese Formel nur auf den RSK anwenden. Die Berechnung
findet sich in Tabelle 3.
f0 /kHz
16.6
16.7
16.6
Rv /Ω
100
1000
0
C/pF
1560
1560
1560
L/H
0.0589
0.0578
0.0589
Tab. 3: Aus den Messwerten für den RSK berechnete Induktivität L der Spule
p
Mit Hilfe der Streuungsformel S = x¯2 − x̄2 berechnet man die Streuung.
Als Ergebnis bekommt man für die Induktivität
L = (0.0586 ± 0.0008)H
5.3 Berechnung der Güten Q
Die Effektivgüten lassen sich nur grob im Diagramm nachmessen, es kann ein
großer Fehler entstehen. Mit den Formeln aus dem Skript,
QRSK
=
QP SK
=
ω0 L
Rv
Rv
ω0 L
(20)
(21)
lassen sich die restlichen Güten berechnen. Die berechneten Werte finden sich
in Tab. 4.
RSK
Widerstand Rv /Ω
0
100
1000
Qef f
35.2
25.2
11.6
P SK
Widerstand Rv /Ω
0
47000
220000
QRSK
∞
61.44
6.11
Qef f
28.9
12.7
17.7
QP SK
0
7.84
36.68
Tab. 4: Abgelesene Güten Qef f und berechnete Güten QRSK und QP SK
13
5.4 Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Aus den berechneten Güten kann man den Innenwiderstand für den Reihenschwingskreis berechnen. Die geschieht anhand der Formel
Ri =
ω0 L
− Rv
Qef f
(22)
Hier macht sich die mangelnde Genauigkeit der Güten bemerkbar. Für den
Innenwiderstand Ri erhält man keine einheitlichen Werte, wie in Tabelle 5 zu
sehen ist.
Innenwiderstand Ri /Ω
173,51
143,83
-473,48
Widerstand Rv /Ω
0
100
1000
Tab. 5: Die Berechnung der Innenwiderstände Ri liefert kein brauchbares Ergebnis
5.5 Begrenzte Spannungsfestigkeit von Bauelementen
Es hat sich in diesem Versuch gezeigt, dass im Bereich der Resonanzfrequenz
zeitweise sehr hohe Spannungen auftreten können. Bauelemente, die nur eine
geringe Spannungsfestigkeit haben, können sehr schnell beschädigt werden. Um
das zu vermeiden, kann man den Stromkreis durch Ohmsche Widerstände dämpfen. Diese sorgen dafür, dass die Resonanzkurve flacher verläuft. Auf diese Weise
werden die maximal auftretenden Spannungen herabgesenkt.
6 Anhang
Ge93
Pa95
PPB06
TM04
W06
Tab. 6: Literaturverzeichnis
Gerthsen/Vogel: Physik, Springer Lehrbuch 1993
Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser 1995
http://physik.uni-paderborn.de
Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 2004
http://www.wikipedia.de
Abbildungsverzeichnis
1
2
Schematische Darstellung eines elektrischen Schwingkreises bestehend aus einem Kondensators und einer Spule . . . . . . . . .
Schematische Darstellung einer Reihenschwingkreisschaltung . . .
14
4
6
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Schematische Darstellung einer Parallelschwingkreisschaltung
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltung mit Reihenschwingkreis [PPB06] . . . . . . . . . .
Schaltung mit Parallelschwingkreis [PPB06] . . . . . . . . . .
Messung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
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9
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23
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Messungen 1 und 5; Messungen 2, 3 und 4; gemessene Spannung
gegen Frequenz am RSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messungen 6, 7 und 8; gemessene Spannung gegen Frequenz am
P SK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aus den Messwerten für den RSK berechnete Induktivität L der
Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgelesene Güten Qef f und berechnete Güten QRSK und QP SK
Die Berechnung der Innenwiderstände Ri liefert kein brauchbares
Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Diagramme in Din A4
15
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12
13
13
14
14
16
Abb. 7: Messung 1
17
Abb. 8: Messung 2
18
Abb. 9: Messung 3
19
Abb. 10: Messung 4
20
Abb. 11: Messung 5
21
Abb. 12: Messung 6
22
Abb. 13: Messung 7
23
Abb. 14: Messung 8