Wiederholung Zufallsversuche - Johannes-Kepler
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Mathematik –EP
Johannes-Kepler-Gymnasium
Ibbenbüren
AB 001 Wiederholung Stochastik
Wiederholung: Umgang mit Zufallsversuchen
Zur Erinnerung:
In der Stochastik beschäftigt man sich mit Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse man nicht
voraussagen kann.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bilden die Ergebnismenge S, Teilmengen
der Ergebnismenge bezeichnet man als Ereignisse. Das sind z.B. die Farben oder Bilder von
Spielkarten.
Jedem Ergebnis ordnet man eine Zahl zwischen 0 und 1, seine Wahrscheinlichkeit, zu. Die
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gibt an, welche relative Häufigkeit man für das
Ergebnis bei vielen Versuchswiederholungen etwa erwarten kann. Beim einmaligen Würfeln
mit einem Würfel ist die Ergebnismenge S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} mit den Wahrscheinlichkeiten
P(1) = P(2) = … = P(6) = 1/6.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsversuches ergibt immer 1
bzw. 100%.
Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis P(E) und Gegenereignis P(
ergänzen sich zu 1.
Bei einem LAPLACE-Versuch ordnet man jedem Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit zu.
Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E gilt hier:
P(E) =
Aufgabe 1: Zufallsexperimente und Ergebnismengen
Entscheide, ob es sich bei den folgenden Fragestellungen um Zufallsexperimente handelt
und gib ggfs. die Ergebnismenge S an:
a) Jedes vierte Haus in der Wilhelmstraße hat keine Garage.
b) Durchschnittlich jeder fünfte Haushalt in der Wilhelmstraße hat kein Internet.
c) Durchschnittlich jedes zehnte Kleeblatt hat vier Blätter.
d) In der Produktion wird jede fünfte Glühbirne matt gespritzt; die matten sind doppelt
so teuer.
e) Erfahrungsgemäß sind 2% aller Glühbirnen sehr schnell defekt.
f) An einem radioaktiv belasteten Standort haben durchschnittlich 10% aller Pflanzen
ein Blütenblatt weniger und 5% eine andere Blütenpflanze.
Quellen: 1. http://www.poenitz-net.de/Mathematik/3.Stochastik/3.1.A.Einstufige%20Zufallsexperimente.pdf
2. Lambacher Schweizer Einführungsphase Mathematik, Klett Stuttgart 2014, S. 144
Mathematik –EP
Johannes-Kepler-Gymnasium
Ibbenbüren
AB 001 Wiederholung Stochastik
Aufgaben:
Aufgabe 2: Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln
Bei einem Würfel sind die Seiten mit den Augenzahlen 1 und 3 rot gefärbt, die restlichen
sind grün.
a) Gib zwei mögliche Ereignismengen und die entsprechenden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für das einmalige Würfeln an.
b) Welche Annahme muss man für die Bestimmung der
Wahrscheinlichkeitsverteilungen voraussetzen.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
A: Die Zahl ist gerade
B: Die Farbe ist grün und die Zahl ist gerade
Quelle: 4teachers.de
C: Die Farbe ist rot und die Zahl ist kleiner als 3
(Zugriff 14.08.2014)
Aufgabe 3: Wahrscheinlichkeiten bei der Urne
In einer Urne liegen drei grüne Kugeln mit den Aufschriften 1,2 und 3
sowie zwei rote Kugeln mit den Aufschriften 4 und 5.
a) Gib zwei mögliche Ergebnismengen und die entsprechenden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für das einmalige Ziehen aus
der Urne an.
b) Welche Annahme muss man für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen voraussetzen?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
A: Die Zahl ist gerade
B: Die Farbe ist rot und die Zahl ist ungerade
C: Die Farbe ist grün und die Zahl ist größer als 3
Quelle: www.poenitz-net.de/
Aufgabe 4: Wahrscheinlichkeitsverteilungen beim Kartenspiel
a) Gib drei mögliche Ereignismengen und die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen
für das einmalige Ziehen aus dem Kartenspiel an.
b) Welche Annahme muss man für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung
voraussetzen?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die
folgenden Ereignisse:
A: Die Karte ist ein rotes Ass
B: Die Karte ist eine schwarze Zahl
C: Die Karte ist ein Bild
D: Die Karte ist eine Karo-Karte
Quelle: http://www.mathetrainer.de/Klasse8/
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Skat.htm
Aufgabe 5: OMA aus dem Beutel (TOP)
In einem Beutel befinden sich die Buchstaben O,M und A, die nacheinander gezogen werden.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Wort OMA
b) Überprüfe, ob die Wahrscheinlichkeit größer wird, wenn man alle Buchstaben im Beutel
verdoppelt.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Wort MAMA.
d) Ein Spieler, der das Wort OMA zieht, gewinnt 10 €. Bestimme die Höhe des Einsatzes, sodass
das Spiel fair ist.
Quellen: 1. http://www.poenitz-net.de/Mathematik/3.Stochastik/3.1.A.Einstufige%20Zufallsexperimente.pdf
2. Lambacher Schweizer Einführungsphase Mathematik, Klett Stuttgart 2014, S. 144
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AB 001 Wiederholung Stochastik
Lösungen
Aufgabe 1:
a) Kein Zufallsexperiment, da man für ein beliebig herausgegriffenes Haus durch
abzählen berechnen kann, ob es eine Garage hat.
b) Zufallsexperiment, da man für ein beliebig herausgegriffenes Haus nicht berechnen
kann, ob es über Internet verfügt.
c) Kein Zufallsexperiment, da die Ergebnismenge nicht klar definiert ist.
d) Kein Zufallsexperiment, da man für eine beliebig herausgegriffene Glühbirne durch
abzählen berechnen kann, ob sie matt gespritzt wurde.
e) Zufallsexperiment, da man für eine beliebig herausgegriffene Glühbirne nicht
berechnen kann, ob sie defekt ist oder nicht.
f) Zufallsexperiment, da man für eine beliebig herausgegriffene Pflanze nicht
berechnen kann, ob sie weniger Blütenblätter oder eine andere Blütenfarbe hat oder
nicht.
Aufgabe 2: Würfel
a) S = { 1;2;3;4;5;6} mit P(1) = …. = P(6) = oder
S = {grün; rot} mit P(grün) = und P(rot) =
b) Der Würfel ist gleichmäßig und fällt auf alle Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
c) P(A) = , P(B) = und P(C) =
Aufgabe 3: Urne
a) S = {1;2;3;4;5;} mit P(1) = ….P(5) = oder
S = {grün, rot} mit P(grün) = und P(rot) =
b) Die Kugeln sind nicht gezinkt und werden mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten
gezogen.
c) P(A) = , P(B) =
und P(C) = 0
Aufgabe 4: Skatspiel
a) S = {p7,p8;…;pA;k7;..;kA; kr7;..,krA;h7;h7,….;hA} mit P(p7) =….= P( hA) =
S = {pik,karo;kreuz,herz} mit P(pik) = … P(herz) =
oder
oder
S = {7,8,..;A} mit P(7) = … = P(A) =
b) Die Karten sind nicht gezinkt und werden mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten
gezogen.
c) P(A) =
; P(B) = = ; P(C) = = ; P(D) = =
Aufgabe 5: OMA
a) P(OMA) =
1=
b) P(OMA) =
=
, also eine wesentlich kleinere Wahrscheinlichkeit
c) P(MAMA) =
=
d) Wenn man das OMA-Spiel 600 Spielern anbietet, erwartet man 100 Gewinne, also
1000 €. Da dieses Geld „verdient“ werden muss, hat jeder Spieler den Einsatz von
= 1,67 € zu bezahlen.
Quellen: 1. http://www.poenitz-net.de/Mathematik/3.Stochastik/3.1.A.Einstufige%20Zufallsexperimente.pdf
2. Lambacher Schweizer Einführungsphase Mathematik, Klett Stuttgart 2014, S. 144
