Vorlesung 21

Diskrete Strukturen
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
https://www2.math.rwth-aachen.de/DS16/
1. Februar 2017
Vorlesung 21
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume
Definition
I
quasiendlicher Wahrscheinlichkeitsraum (qu.endl. WR):
besteht aus
I
I
X nicht leere Menge
P : Pot(X ) → R Abbildung
so, dass gilt:
I
I
I
I
Missbrauch von Notation: bezeichne qu.endl. WR wieder
mit X
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Terminologien und Notationen:
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Ergebnismenge von X :
Ergebnis von X :
Ereignismenge von X :
Ereignis von X :
unmögliches Ereignis von X :
sicheres Ereignis von X :
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X :
Notation:
Wahrscheinlichkeit von A ∈ Pot(X ) in X :
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (endl. WR):
qu.endl. WR mit endlicher Ergebnismenge
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Beispiel
I
{0, 1} wird endl. WR mit
P(A) =
I
{0, 1} wird endl. WR mit
P(A) =
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
I
R wird qu.endl. WR mit
P(A) =
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Anwendungsbeispiel
I
Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gewöhnl. Münze
Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit


0 für A = ∅
P(A) = 21 für A ∈ {{Kopf}, {Zahl}}


1 für A = {Kopf, Zahl}
I
Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit einer gezinkter Münze
Modell: Ergebnisse des endl. WR {Kopf, Zahl} mit


0 für A = ∅



 1 für A = {Kopf}
P(A) = 43

für A = {Zahl}

4


1 für A = {Kopf, Zahl}
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Bemerkung
X qu.endl. WR, A, B ∈ Pot(X ) mit A ⊆ B
P(B \ A) = P(B) − P(A)
Korollar
X qu.endl. WR
P(∅) = 0
Korollar
X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X )
P(X \ A) = 1 − P(A)
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X ), n ∈ N0 ,
S
(B1 , . . . , Bn ) disjunktes n-Tupel in Pot(X ) mit A ⊆ ˙ i∈[1,n] Bi
P(A) =
X
P(A ∩ Bi )
i∈[1,n]
Proposition
X qu.endl. WR, n ∈ N0 , (A1 , . . . , An ) n-Tupel in Pot(X )
X
X
\
[
P(
Ai ) =
(−1)i−1
P( Xj )
i∈[1,n]
i∈[1,n]
J⊆[1,n]
|J|=i
j∈J
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Proposition
X qu.endl. WR, A ∈ Pot(X )
P(A) = P({x ∈ A | P(x) > 0}) =
X
x∈A
P(x)>0
P(x) =
X
x∈A
P(x)
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Proposition
X Menge, f : X → R Abbildung mit:
I
für x ∈ X : f (x) ≥ 0
I
{x ∈ X | f (x) > 0} ist endlich
P
x∈X f (x) = 1
I
X wird qu.endl. WR mit:
für A ∈ Pot(X ):
X
P(A) =
f (x)
x∈A
Quasiendliche Wahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Beispiel
{0, 1, 2} wird endl. WR mit


0 für



 1 für
P(A) = 32

für

3


1 für
A ∈ {∅, {0}}
A ∈ {{1}, {0, 1}}
A ∈ {{2}, {0, 2}}
A ∈ {{1, 2}, {0, 1, 2}}
Laplaceräume
Definition
Laplaceraum:
I
X endl. WR mit:
für A ∈ Pot(X ):
P(A) =
|A|
|X |
Laplaceräume (Forts.)
Beispiel
I
Laplaceraum: X = {0, 1} mit


0 für A = ∅
P(A) = 21 für A ∈ {{0}, {1}}


1 für A = {0, 1}
I
kein Laplaceraum: Y = {0, 1}


0



1
P(A) = 43


4


1
mit
für
für
für
für
A=∅
A = {0}
A = {1}
A = {0, 1}
Laplaceräume (Forts.)
Bemerkung
X endl. WR
X ist Laplaceraum ⇔ für x ∈ X :
P(x) =
1
|X |
Bemerkung
X nicht leere endliche Menge X
X lässt sich als Laplaceraum X = XLaplace auffassen
Laplaceräume (Forts.)
Definition
X nicht leere endliche Menge X
Laplaceraum auf X :
X = XLaplace
Terminologie und Notation:
I
Gleichverteilung auf X :
Beispiel
[1, 6] wird Laplaceraum
Laplaceräume (Forts.)
Anwendungsbeispiel
Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnlichem Würfel
Modell:
Ereignis: Würfel zeigt mindestens fünf Augen
Modell:
Wahrscheinlichkeit:
Ereignis: Würfel zeigt eine gerade Anzahl an Augen
Modell:
Wahrscheinlichkeit:
Zufallsgrößen
Anwendungsbeispiel
Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne
mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln
Modell:
Ereignis: gezogene Kugel ist rot
Modell:
Wahrscheinlichkeit:
Ereignis: gezogene Kugel ist schwarz
Modell:
Wahrscheinlichkeit:
Zufallsgrößen (Forts.)
C = {rot, schwarz} wird endl. WR mit



0 für B = ∅

 1 für B = {rot}
PC (B) = 32

für B = {schwarz}

3


1 für B = {rot, schwarz}
Zufallsgrößen (Forts.)
Definition
X qu.endl. WR, Y Menge
Zufallsgröße auf X mit Werten in Y :
Abbildung f : X → Y
Beispiel
[1, 6] → [0, 1], x 7→ x mod 2
ist Zufallsgröße auf [1, 6] mit Werten in [0, 1]
Zufallsgrößen (Forts.)
Anwendungsbeispiel
I
Objekt: blinde Entnahme einer Kugel aus einer Urne
mit zehn roten und 20 schwarze Kugeln
Modell: Ergebnisse des Laplaceraums
U = [1, 10] × {rot} ∪˙ [1, 20] × {schwarz}
Objekt: Farben der Kugeln
Modell:
Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe
Modell:
Zufallsgrößen (Forts.)
I
Objekt: Ergebnisse eines Wurfs mit gewöhnlichem Würfel
Modell: Ergebnisse des Laplaceraums [1, 6]
Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität
Modell:
Zufallsgrößen (Forts.)
Proposition
X qu.endl. WR, f : X → Y Zufallsgröße
für B ∈ Pot(Yf ):
X
PYf (B) = PX (f −1 (B)) =
PX (x)
Y wird qu.endl. WR Y = Yf mit:
x∈X
f (x)∈B
Zufallsgrößen (Forts.)
Definition
X qu.endl. WR, f : X → Y Zufallsgröße
durch f induzierter Wahrscheinlichkeitsraum:
Y = Yf
Terminologie und Notation:
I
Wahrscheinlichkeitsverteilung von f :
Beispiel
durch [1, 6] → [0, 1], x 7→ x mod 2 induzierter WR:
Zufallsgrößen (Forts.)
Anwendungsbeispiel
I
...
Zuordnung: jeder Kugel die zugehörige Farbe
Modell: Zufallsgröße
a : U → {rot, schwarz}
(x, rot) 7→ rot
(x, schwarz) 7→ schwarz
Wahrscheinlichkeitsverteilung des






C
U −1
P (B) = P (a (B)) =





durch a induzierten WRs:
für
für
für
für
B
B
B
B
=∅
= {rot}
= {schwarz}
= {rot, schwarz}
Zufallsgrößen (Forts.)
I
...
Zuordnung: jeder Augenzahl die Parität
Modell: Zufallsgröße p : [1, 6] → {gerade, ungerade} mit
(
gerade
für x ∈ {2, 4, 6}
p(x) =
ungerade für x ∈ {1, 3, 5}
durch p induzierter WR:
Produktwahrscheinlichkeitsräume
Proposition
I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von qu.endl. WRen
×i∈I Xi
für A ∈ Pot(×i∈I Xi ):
XY
P×i∈I Xi (A) =
PXi (xi )
wird qu.endl. WR mit:
x∈A i∈I
Definition
I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von qu.endl. WRen
Produktwahrscheinlichkeitsraum von (Xi )i∈I :
Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Beispiel
X = {0, 1}Laplace , Y = {0, 1} mit


0 für



 1 für
P(B) = 43

für

4


1 für
I
X × X:
B
B
B
B
=∅
= {0}
= {1}
= {0, 1}
Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Beispiel
I
Y ×Y:
PY ×Y (y1 , y2 ) =
I
X ×Y:
PX ×Y (x, y ) =
Produktwahrscheinlichkeitsräume (Forts.)
Bemerkung
I endliche Menge, (Xi )i∈I Familie von Laplaceräumen
×i∈I Xi
ist Laplaceraum

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