(Un)abhaengige Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit

(Un)abhaengige Ereignisse
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur
Gesamtmenge der Ergebnisse
PA =
Anzahl fuer Ereignis A guenstige Faelle
Anzahl aller moeglichen Faelle
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
P A(
AB
P( A ∩ B )
AB
P( A ∩ B)
AB
P( A ∩ B )
AB
P( A ∩ B)
B)
A
PA (
)
(A
P
P
(A
B)
)
(B
)
PA
A
P
A
(B
)
Vierfeldertafel
B
B
Summe
A
P( A ∩ B)
P( A ∩ B )
P( A)
A
P( A ∩ B) P( A ∩ B )
P(A )
Summe
P(B)
P(B )
1
Unabhaengige Ereignisse
Haengen Ereignisse nicht voneinander ab, sind diese voneinander unabhaengig. Dies ist beim Ziehen
mit Zuruecklegen und dem Wuerfeln eines Wuerfels der Fall. Bei der Ausfuehrung eines Ereignisses
liegt immer der Anfangszustand vor.
Die einzelnen Stufen des Baumdiagramms sind somit auch nicht von den vorgehenden Stufen
abhaengig.
Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, nachdem A bereits eingetreten ist
PA ( B) = P( B)
Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt, nachdem A bereits eingetreten ist
PA ( B ) = P( B )
Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, nachdem A bereits nicht eingetreten ist
PA ( B) = P( B)
Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt, nachdem A bereits nicht eingetreten ist
PA ( B ) = P( B )
Entsprechend den Pfadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten fuer die Ereignisse berechnen:
P( A ∩ B ) = P( A) * PA ( B ) = P( A) * P( B )
P( A ∩ B ) = P ( A) * PA ( B) = P( A) * P( B)
P( A ∩ B ) = P ( A ) * PA ( B ) = P( A ) * P( B )
P ( A ∩ B ) = P ( A ) * PA ( B ) = P ( A ) * P ( B )
Abhaengige Ereignisse
Haengen Ereignisse voneinander ab, sind diese voneinander abhaengig. Dies ist beim Ziehen ohne
Zuruecklegen der Fall. Bei der Ausfuehrung eines Ereignisses liegt immer ein anderer Zustand vor.
Die einzelnen Stufen des Baumdiagramms sind somit von den vorgehenden Stufen abhaengig
 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich ueber den Satz von Bayes, abgeleitet von den
Pfadregeln, berechnen
Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, nachdem A bereits eingetreten ist
PA ( B) =
P( A ∩ B)
P( A)
Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt, nachdem A bereits eingetreten ist
PA ( B ) =
P( A ∩ B )
P( A)
Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, nachdem A bereits nicht eingetreten ist
PA ( B) =
P( A ∩ B)
P( A )
Wahrscheinlichkeit, dass B nicht eintritt, nachdem A bereits nicht eingetreten ist
PA ( B ) =
P( A ∩ B )
P( A )
Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eine Urne enthaelt 100 Kugeln. 70 Kugeln bestehen aus Holz, 30 Kugeln sind aus Kunststoff.
25 der Holzkugeln sind mit der Farbe rot gestrichen und 45 sind gruen.
10 der Kunststoffkugeln sind rot und 20 sind gruen.
Aus der Urne wird nun eine Kunststoffkugel gezogen, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese
Kugel gruen ist?
Anhand der Angaben lassen sich folgende Ereignisse definieren:
A : Kugel aus Holz
A : Kugel aus Kunststoff
B : Kugel ist rot
B : Kugel ist gruen
Nachdem diese Ereignisse definiert sind, laesst sich die Vierfeldertafel erstellen.
A
Holz
A
Kunststoff
Summe
B
B
rot
gruen
Summe
P( A ∩ B) =
25
100
P( A ∩ B ) =
45
100
P( A) =
25 + 45 70
=
100
100
P( A ∩ B) =
10
100
P( A ∩ B ) =
20
100
P( A ) =
10 + 20 30
=
100
100
P( B) =
45 + 20 65
25 + 10 35
P( B ) =
=
=
100
100
100
100
1
Im Baumdiagramm laesst sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit veranschaulichen
P
(A
)
(B
)
PA
A
Berechnen laesst sie sich mit (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
20
P( A ∩ B ) 100 20
PA ( B ) =
=
=
= 0,667 ≈ 66,7 %
30
P( A )
30
100
AB
P( A ∩ B )
Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eine Urne enthaelt drei gruene und zwei rote Kugeln. Ohne Zuruecklegen werden nacheinander
zwei Kugeln gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
a) beide Kugeln gruen sind
b) im zweiten Zug eine gruene Kugel gezogen wird, wenn bekannt ist, dass im ersten Zug ebenfalls
eine gruene Kugel gezogen wurde.
rr
1
4
r
3
2
4
5
rg
3
gg
2
5
4
g
2
4
gr
a)
3 2 6
P( gg ) = * =
= 0,3 = 30 %
5 4 20
b)
Nachdem im ersten Zug bereits eine gruene Kugel gezogen wurde, sind im zweiten Zug noch zwei
gruene Kugeln (== Anzahl Guenstige Faelle) von insgesamt vier verbleibenden Kugeln
(== Anzahl Moegliche Faelle) in der Urne enthalten.
Pg ( g ) =
Anzahl Guenstige Faelle
2
= = 0,5 = 50 %
Anzahl aller Moeglichen Faelle 4
OR
Hier ist nach der Bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt.
3 2
*
P( gg ) 5 4 1
Pg ( g ) =
=
= = 50 %
3
P( g )
2
5
Satz von Bayes
Bei Kenntnis von einer bedingten Wahrscheinlichkeit PA (B) laesst sich bei stochastisch
abhaengigen Ereignissen die inverse bedingte Wahrscheinlichkeit PB ( A) mithilfe des
Satz von Bayes berechnen.
PB ( A) : Bedingte Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis A mit der Kenntnis, dass Ereignis B bereits
eingetreten ist
PA (B) : Bedingte Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis B mit der Kenntnis, dass Ereignis A bereits
eingetreten ist
P( A) : Totale Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis A
P(B) : Totale Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis B
P( A ∩ B) , P( B ∩ A) : Wahrscheinlichkeit fuer das Eintreten der Ereignisse A und B
Aufgrund der Produktregel laesst sich die Wahrscheinlichkeit fuer die Ereignisse A und B
berechnen:
P( A ∩ B) = P( B) * PB ( A)
P( B ∩ A) = P( A) * PA ( B)
Aufgrund der Summenregel laesst sich die totale Wahrscheinlichkeit fuer das jeweilige Ereignis A
beziehungsweise B berechnen:
P( A) = P( B) * PB ( A) + P( B) * PB ( A)
P( B) = P( A) * PA ( B) + P( A) * PA ( B)
Satz von Bayes:
P( A ∩ B) = P( B) * PB ( A) == P( B ∩ A) = P( A) * PA ( B)
P( B) * PB ( A) = P( A) * PA ( B)
PB ( A) =
P( A) * PA ( B)
P( A) * PA ( B)
=
P( B)
P( A) * PA ( B) + P( A) * PA ( B)
PA ( B) =
P( B) * PB ( A)
P( B) * PB ( A)
=
P( A)
P( B) * PB ( A) + P( B) * PB ( A)
Beispiel: Satz von Bayes
In zwei Urnen A und B befinden sich jeweils zehn Kugeln.
In Urne A sind sieben rote und drei weisse Kugeln, in Urne B eine rote und neun weisse.
Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer zufaellig gewaehlten Urne gezogen.
Anders ausgedrueckt: Ob aus Urne A oder B gezogen wird, ist a priori gleich wahrscheinlich.
Das Ergebnis der Ziehung ist: Die Kugel ist rot.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese rote Kugel aus Urne A stammt.
Zuerst werden die Ereignisse A (Gezogene Kugel stammt aus Urne A) und Ereignis B (Gezogene
Kugel stammt aus Urne B) definiert. Es handelt sich zwar um ein Einstufiges Experiment, da nur
einmalig gezogen wird, da aber die Farbe der gezogenen Kugel ebenfalls relevant ist, wird der
Vorgang als Zweistufiges Experiment interpretiert. Das Ereignis R entspricht dabei einer roten
Kugel, das Ereignis W einer weissen Kugel.
Somit koennen dann folgende Wahrscheinlichkeiten, wie das entsprechende Baumdiagramm
erstellt werden.
3
= 0
W) 1
(
PA
P
(A
1
=
2
)
P(
B)
A
PA (
R)
B
PB (
R)
1
2
In Urne A befinden sich zehn Kugeln, wovon sieben rot sind
PA ( R) =
7
10
In Urne B befinden sich zehn Kugeln, wovon eine rot ist
PB ( R) =
1
10
AR
P( A ∩ R)
BW
P( B ∩ W )
BR
P( B ∩ R)
= 1
10
Beide Urnen haben Apriori die gleiche Wahrscheinlichkeit
P( B) = P( A) =
P( A ∩ W )
= 7
10
9
=
0
W) 1
(
PB
= 1
2
AW
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die rote gezogene Kugel aus Urne A stammt
PR ( A) =
P( A) * PA ( R)
P( R ∩ A) P( A) * PA ( R)
=
=
P( R)
P( R)
P( A) * PA ( R) + P( B) * PB ( R)
1 7
7
*
7
2 10
PR ( A) =
= 20 = ≈ 87,5%
1 7 1 1
8 8
* + *
2 10 2 10 20