Klausur 2009, 2. Termin Lösungen

Mikroökonomik B
Klausur SoSe 2009 - 2. Termin
Bitte beantworten Sie beide Fragen. Insgesamt können in dieser Klausur 60 Punkte
erzielt werden. Viel Erfolg!
Frage 1:
(i) Betrachten Sie folgendes Normalformspiel
A1
A2
B1
3,2
2,4
B2
10,1
11,3
Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte. Begründen Sie, warum es neben den
von Ihnen angegebenen keine weiteren Gleichgewichte gibt. [5 Punkte]
Lösung B1 is strikt dominant für den Spaltenspieler. Gegeben B1 ist A1 optimal
für den Zeilenspieler. Also ist (A1 , B1 ) das eindeutige Nash Gleichgewicht.
(ii) Betrachten Sie nun ein weiteres Normalformspiel in dem beide Spieler drei Aktionen zur Auswahl haben
C1
C2
C3
D1
2,1
2,0
0,0
D2
5,0
5,5
8,0
D3
0,0
0,0
1,2
Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. Bestimmen Sie ein
gemischtes Gleichgewicht in dem C1 , C2 , D1 und D2 mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt werden und geben Sie die erwarteten Auszahlungen der Spieler
an. [12 Punkte]
Lösung Nash Gg in reinen Strategien sind (C1 , D1 ) sowie (C3 , D3 ).
Sei p die WS mit der Spieler 1 (der Zeilenspieler) C1 spielt. Dann muss für die
Indifferenz von Spieler 2 (dem Spaltenspieler) zwischen D1 und D2 p = 5(1 − p)
oder p = 65 gelten. Sei nun q die WS mit der Spieler 2 D1 spielt. Man beachte, dass
Spieler 1 immer indifferent zwischen C1 und C2 ist. Jedoch muss sichergestellt
werden, dass Spieler 1 keinen Anreiz hat auf C3 abzuweichen. Es muss also gelten:
2q + 5(1 − q) ≥ 8(1 − q) oder q ≥ 35 . Ein gemischtes Gg ist also durch p = 56 und
q = 35 gegeben und die erwarteten Auszahlungen sind 2 35 + 5 25 = 16
für Spieler 1
5
und 35 56 + 5 52 61 = 25
für
Spieler
2.
30
Bemerkung: Andere Gleichgewichte wurden natürlich auch akzeptiert sofern
eben q ≥ 53 war.
1
Betrachten Sie nun das folgende sequentielle Spiel:
1. Stufe: Paula muss sich entscheiden, ob sie mit Michael das simultane Spiel aus (i)
oder mit Peter das simultane Spiel aus (ii) spielen möchte.
2. Stufe: Entsprechend Paulas Entscheidung in der 1. Stufe wird das Spiel aus (i)
oder (ii) gespielt. Paula nimmt die Rolle des Zeilenspielers ein, d.h. sie entscheidet
sich zwischen A1 , A2 im Spiel aus (i) und zwischen C1 , C2 , C3 im Spiel aus (ii). Der
nicht ausgewählte Spieler erhält unabhängig vom Ausgang des Spiels eine Auszahlung
von 0.
(iii) Wieviele reine Strategien haben die drei Spieler in diesem sequentiellen Spiel? [5
Punkte]
Lösung Michael hat 2 Strategien (seine Aktionen aus dem Normalformspiel aus
(i)).
Peter hat 3 Strategien.
Paula hat 12 Strategien: Sie hat im Spiel aus (i) zwei Aktionen zur Auswahl und
im Spiel aus (ii) drei Aktionen zur Verfügung. Paulas Strategie muss für jedes
Teilspiel eine Aktion vorgeben und spezifizieren ob sie mit Michael oder Peter
spielen möchte. Es ergeben sich 2 · 3 · 2 = 12 derartige Kombinationen.
(iv) Geben Sie alle teilspielperfekten Gleichgewicht in reinen Strategien an. [7 Punkte]
Lösung In der ersten Stufe muss sich Paula entscheiden, ob sie mit Michael oder
Peter spielen möchte. In einem Gleichgewicht müssen die Strategien der Spieler
in beiden möglichen Teilspielen der 2. Stufe ein Nash Gleichgewicht induzieren
(unabhängig davon, welches Spiel Paula auswählt).
– Paula spielt (Michael,A1 ,C1 ), Michael spielt B1 , Peter spielt D1
– Paula spielt (Michael,A1 ,C3 ), Michael spielt B1 , Peter spielt D3
Wenn wir nur reine Strategien betrachten, muss sich Paula in jedem teilspielperfekten Gleichgewicht dafür entscheiden mit Michael zu spielen: Die höchste
Auszahlung in einem reinen Nash-Gleichgewicht des Spiels mit Peter erhält sie
eine Auszahlung von 2, wohingegen sie im einzigen Nash-Gleichgewicht des Spiels
mit Michael eine Auszahlung von 3 erhält.
(v) Gibt es ein (möglicherweise gemischtes) teilspielperfektes Gleichgewicht in dem
Paula in Stufe 1 das Spiel mit Peter wählt? Falls ja, geben Sie ein solches Gleichgewicht an. [8 Punkte]
Lösung Nach (iv) gibt es kein solches GG in reinen Strategien. Folglich müßte
ein gemischtes GG im Spiel aus (ii) gespielt werden. Wenn Peter mit einer
Wahrscheinlichkeit von q ∈ [ 53 , 32 ] D1 spielt ist die Auszahlung von Paula mindestens so hoch wie im (eindeutigen Nash Gg) des Spiels mit Michael. Ein teilspielperfektes Gg in dem Paula mit Peter spielt ist beispielsweise gegeben durch
2
– Paula spielt (Peter,A1 , 65 C1 + 16 C2 ), Michael spielt A1 , Peter spielt 35 D1 + 25 D2 .
Frage 2:
Stefan besitzt ein Vermögen in Höhe von W das er mit einer Wahrscheinlichkeit
von π vollständig verliert (und mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 1 − π vollständig
behält).
Ein Versicherer bietet Stefan die Möglichkeit sich vollständig gegen Einkommensverluste abzusichern. Das bedeutet, dass der Versicherer Stefan im Falle eines Vermögensverlustes eine Zahlung in Höhe von W leistet. Für diese Leistung verlangt der Versicherer
einen Preis P von Stefan, der unabhängig vom Eintreten des Schadenfalls bezahlt werden muss.
Stefan ist nur an seinem erwarteten Endvermögen
√ interessiert und zieht aus einem
sicheren Vermögen der Höhe X einen Nutzen von X.
(i) Was ist der höchste Preis P den Stefan für diese Versicherung akzeptieren würde?
[6 Punkte]
Lösung: Damit Stefan die Versicherung akzeptiert muss sein erwartetes Vermögen
mit Versicherung höher sein als sein erwartetes Vermögen ohne Versicherung, d.h.
√
√
√
W − P ≥ π 0 + (1 − π) W
.
Umformen ergibt P ≤ [1 − (1 − π)2 ]W = π(2 − π)W .
Nehmen Sie nun an, dass die Schadenswahrscheinlichkeit entweder π1 oder π2 ist, wobei
π1 > π2 . Nur Stefan kennt seine Schadenswahrscheinlichkeit. Der Versicherer weiss
aber, dass Stefans Schadenswahrscheinlichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von α bei
π1 und mit einer Wahrscheinlichkeit (1 − α) bei π2 liegt.
(ii) Nehmen Sie an, der Versicherer verlangt den Preis P 1 = (απ1 + (1 − α)π2 )W .
Berechnen Sie den erwarteten Gewinn des Versicherers wenn die Parameter folgende Werte annehmen: W = 1, π1 = 79 , π2 = 29 und α = 35 . [Hinweis: Verwenden
Sie Ihr Ergebnis aus Aufgabenteil (i).] [10 Punkte]
77
Lösung Für die angegebenen Werte gilt P 1 = 95 = 45
, π1 (2 − π1 )W = 81
und
81
32
π2 (2 − π2 )W = 81 . Dies bedeutet nach Teil (i) dass Stefan die Versicherung nur
dann nachfragt, wenn er eine Schadenswahrscheinlichkeit von π1 hat. Folglich
verkauft der Versicherer die Versicherung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von
α. Die (erwartete) Zahlung durch den Versicherer an Stefan beträgt aber απ1 W =
7
. Der erwartete Gewinn des Versicherers ist Erwartete Versicherungsprämie 15
7
2
= − 15
Erwartete Leistungszahlung = αP 1 − απ1 W = 53 59 − 15
(iii) Gibt es für die in Aufgabenteil (iii) angegebenen Parameterwerte einen Preis
P zu dem der Versicherer die Versicherung profitabel (d.h. mit positivem Erwartungswert) anbieten kann und zu dem Stefan auf jeden Fall, d.h. unabhänging
3
von seiner Schadenswahrscheinlichkeit, die Versicherung nachfragt? Begründen
Sie Ihre Antwort. [Hinweis: Verwenden Sie Ihre Ergebnis aus Aufgabenteil (iii).]
[7 Punkte]
Lösung Nein! Damit der Versicherer einen positiven Gewinn macht wenn beide
möglichen Typen von Stefan die Versicherung nachfragen muss der Preis mindestens so hoch wie der in (ii) genannte Preis P 1 sein: P 1 entspricht genau der
erwarteten Zahlung des Versicherers wenn Stefan auf jeden Fall die Versicherung
nachfragt. Aus (ii) wissen wir aber, dass zu diesem (und somit auch zu jedem
höheren) Preis der Typ mit der niedrigen Schadenswahrscheinlichkeit die Versicherung nicht nachfragt.
4