13-1 Elektromagnetische Schwingungen
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LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 1 9 Elektromagnetische Schwingungen 9.1 Widerstände im Wechselstromkreis (aus Klassenstufe 12) 9.1.1 Messschaltungen Unter dem Widerstand eines elektrischen Bauelementes versteht man das Verhältnis von der angelegten Spannung und der Stromstärke U . I Messschaltung I: Messung von Spannung U und Stromstärke I bei veränderlicher Frequenz f U - ... Gleichspannung, stabilisiertes Netzgerät U ... Wechselspannung; Frequenzgenerator, sinusförmige Spannung mit veränderlicher Frequenz S ... zweipoliger Umschalter S A U- V Hz B A U~ Zwischen die Klemmen A-B wird das zu untersuchende Bauelement geklemmt und Spannung U und Stromstärke I gemessen. ohmscher Widerstand R Spule, Induktivität L Kondensator, Kapazität C Messschaltung II: Darstellung des Stromstärke- und Spannungsverlaufes am Oszilloskop Kanal 2 C U(t) zum D U ~ Kanal 1 RI Zweikanaloszilloskop UR(t) Zur Untersuchung des Stromstärke- und Spannungsverlaufes wird das Bauelement (R, C, L) zwischen die Klemmen C-D angeschlossen. Kanal 1: Darstellung des Stromstärkeverlaufes ICD(t) des Bauelements Die Bauelemente sind zum Widerstand RI in Reihe geschalten. Somit gilt für die Stromstärke I = IR = ICD. Des weiteren gilt: UR(t) = RI · IR(t) bzw. UR(t) ~ IR(t). U ICD R Kanal 1 zeigt den zeitlichen Verlauf von ICD an R I Kanal 2: Darstellung des Spannungsverlaufes UCD(t) des Bauelements Bei entsprechendem Widerstand RI (RI << RCD) gilt in guter Näherung: U(t) UCD(t) U(t) = UCD(t)+ UR(t) mit RI << RCD ist UR << UCD Übung: FOS AP 2005 / III LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 2 9.1.2 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis Der Widerstand ist bei Gleichspannung und bei Wechselspannung gleich groß. Liniendiagramm Zeigerdiagramm Û Iˆ Strom und Spannung sind phasengleich, d.h. 0 U (t ) Uˆ sin(t ) I (t ) Iˆ sin(t ) 𝑈 mit 𝐼 = 𝑅 9.1.3 Induktiver Widerstand (Spule im Wechselstromkreis) Eine Spule hat im Gleichstromkreis einen ohmschen Widerstand. Im Wechselstromkreis vergrößert sich der Widerstand einer Spule. Dieser zusätzliche Widerstand einer Spule heißt induktiver Widerstand XL. Bei Vernachlässigung des kleinen ohmschen Widerstandsanteils gilt: XL = ̂ Umax Ueff U = = Ieff Î Imax Der induktive Widerstand ist zudem abhängig von der Frequenz f der Wechselspannung und der Induktivität L der Spule XL = ω·L = 2πf·L Liniendiagramm Zeigerdiagramm Û An der Spule tritt die Phasendifferenz auf. U L (t ) Uˆ sin(t ) Iˆ zwischen Spannung und Stromstärke 2 I (t ) Iˆ sin(t ) 2 𝑈 mit 𝐼 (̇ 𝑡) = 𝐿𝐿 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 3 9.1.4 Kapazitiver Widerstand (Kondensator im Wechselstromkreis) Ein Kondensator hat im Gleichstromkreis einen unendlich großen Widerstand. Im Wechselstromkreis verkleinert sich der Widerstand eines Kondensators. Dieser Widerstand eines Kondensators heißt kapazitiver Widerstand XC. Es gilt: ̂ Umax Ueff U XC = = = Ieff Î Imax Der kapazitive Widerstand ist zudem abhängig von der Frequenz f der Wechselspannung und der Kapazität C des Kondensators. XC = 1 1 = ω∙C 2πf∙C Liniendiagramm Zeigerdiagramm Iˆ Û An der Spule tritt die Phasendifferenz auf. U C (t ) Uˆ sin(t ) zwischen Spannung und Stromstärke 2 I (t ) Iˆ sin(t ) 2 mit 𝐼(𝑡) = 𝑄̇ (𝑡) und Q = C∙U Theoretische Herleitungen Induktiver Widerstand U L (t ) Uˆ sin(t ) mit U L (t ) Ui (t ) L L Kapazitiver Widerstand dI (t ) dt dI (t ) ˆ U sin(t ) dt Uˆ dI (t ) sin(t ) dt d.h. Integration L Uˆ Uˆ I (t ) cos(t ) mit X L L Iˆ L XL ˆ I (t ) I cos(t ) I (t ) Iˆ sin(t ) 2 UC (t ) Uˆ sin(t ) mit UC (t ) Q(t ) C Q(t ) ˆ U sin(t ) C dQ(t ) Q(t ) C Uˆ sin(t ) dt mit I (t ) dt 1 Uˆ I (t ) C Uˆ cos(t ) mit X C Iˆ C XC I (t ) Iˆ cos(t ) I (t ) Iˆ sin(t ) 2 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 4 9.2 Leistung im Wechselstromkreis 9.2.1 Effektivwerte des Wechselstromes Der Effektivwert eines Wechselstromes entspricht demjenigen Wert eines Gleichstromes, der die gleiche (thermische oder mechanische) Leistung hervorbringt. Gleichstromarbeit Gleichstromarbeit Wechselstromarbeit Wechselstromarbeit Die Fläche ist die Arbeit W, die ein Strom der Leistung P verrichten kann. W=P·t 1 1 1 PGleichstrom Peff Um I m Um I m Ueff Ieff 2 2 2 Ieff Im 2 und Ueff Um 2 2 1.414; FS. S. 58 1 0,707 2 Messgeräte der Wechselstromtechnik zeigen die Effektivwerte an! Beispiel: Netzspannung Ueff 230V , Um Uˆ 325V W U I t R I 2 t Es ist der zeitliche Mittelwert von I2 zu ermitteln I eff2 I 2 I2 T I2 I 1T 2 2 I m sin (t )dt m sin2 (t )dt m I eff m T0 T 0 2 2 9.2.2 Wirkleistung P Fließt durch einen ohmschen Widerstand ein sinusförmiger Wechselstrom I(t)= Im·sin(ωt), so liegt am Widerstand die Spannung U(t)= Um,R·sin(ωt). Mit den Effektivwerten Ueff und Ieff Um 2 Im berechnet sich die zeitlich gemittelte Wechselstromleistung P , die man als 2 Wirkleistung P bezeichnet, zu P = Ueff ·Ieff. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 5 9.2.3 Blindleistung Q Fließt durch eine ideale Spule (bzw. analog zum Kondensator) ein sinusförmiger Wechselstrom I(t)= Im·sin(ωt), so wird eine Spannung UL(t)= Um,L·sin(ωt + π/2) = Um,L·cos(ωt) induziert. Die momentane Leistung lässt sich berechnen mit PL = UL·I = Um,L· Im · cos(ωt)sin(ωt). Mit sin(2·ωt)= 2·sin(ωt)cos(ωt) folgt: PL Um I m sin(2t ) . 2 Diese Sinusfunktion oszilliert mit 2ω um die Zeitachse. Der zeitliche Mittelwert ist Null. Die Spule nimmt im ersten Viertel Energie aus dem Kreis auf und gibt sie im nächsten Viertel wieder zurück. Damit hat eine ideale Spule keine Wirkleistung. Der Term Um I m Ueff Ieff 2 heißt hier dann Blindleistung Q. Dieses ist auch beim Kondensator der Fall. Bei realen Schaltungen (Kombinationen von ohmschen Widerständen, idealen Spulen und Kondensatoren 9.3 Wechselstromschaltungen) kann jedoch die Phasenverschiebung φ variieren, so dass sich auch die Leistung entsprechend der Phasenverschiebung ändert. Hat eine Schaltung eine von 0 verschiedene Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung, so ergibt sich aus der Gesamtspannung und –stromstärke eine scheinbare Leistung, die Scheinleistung S. Dies wird durch den Blindleistungsanteil verursacht. Es gilt allgemein: Wirkleistung P = Ueff·Ieff ·cos φ Blindleistung Q = Ueff·Ieff ·sin φ φ: Phasenverschiebung Scheinleistung S = P2 Q2 = Ueff·Ieff mit Ueff· und Ieff als Gesamtspannung und –stromstärke. Merke: Die Wirkleistung einer Schaltung wird allein durch den ohmschen Widerstand bestimmt und lässt sich somit auch durch P = UReff · IReff mit UReff und IReff als Spannung und Stromstärke am ohmschen Widerstand ermitteln. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 6 Aufgaben 1. Eine 100 W-Glühlampe wird an die Netzspannung von Ueff = 230 V angeschlossen. Berechnen Sie Effektiv- und Scheitelwert der Stromstärke sowie die elektrische Energie, die die Lampe in 3 Stunden dem Netz entnimmt. [0,435A; 0,615A; 0,3kWh] 2. Durch einen Kondensator fließt ein Wechselstrom von Im = 7,0 mA. Der Scheitelwert der Wechselspannung beträgt Um = 9,0 V. Zeichnen Sie für eineinhalb Perioden den Strom-, Spannungs- und Leistungsverlauf. 3. An einer Spule wird ein Wechselstrom mit Im = 10 mA und eine Wechselspannung mit Um = 6,0 V bei einer Phasendifferenz von φ = 55° gemessen. Berechnen Sie die Schein-, Wirk-, und Blindleistung. 4. Lösen Sie Aufgabe 3 für die Phasendifferenz φ = -75°. Welche Schaltung kann diese Phasendifferenz erzeugen? 5. [30mW; 17,2mW; 24,6mW] [30mW; 7,76mW; -30mW; C] Ein elektrisches Gerät gibt bei Anschluss an eine 110 V-Wechselspannung eine Wärmeleistung von 450 W ab. Dabei fließt ein Strom von I = 5,3 A. Berechnen Sie die Schein-, Wirk- und Blindleistung. 6. [583W; 450W; 371W] Eine Drosselspule hat einen ohmschen Widerstand von 4,5 Ω und eine Induktivität von 0,30 H. Wie groß ist der Leistungsfaktor cos φ bei 50 Hz? [0,0477=4,77%] LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 7 9.3 Wechselstromschaltungen In Wechselstromschaltungen werden ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator zu verzweigten Stromkreisen geschaltet. Dabei treten Phasendifferenzen zwischen Strom und Spannung auf, die zwischen –90° und +90° liegen können. Zur detaillierten Untersuchung eignen sich hier besonders Zeigerdiagramme. Grundlegend sollen Reihen- und Parallelschaltung dieser Widerstände betrachtet werden. Der aus dem ohmschen Widerstand R, dem induktiven Widerstand XL und dem kapazitiven Widerstand XC zusammengesetzte Widerstand heißt Scheinwiderstand Z (oder Impedanz) mit Z = UG IG . 9.3.1 Reihenschaltung von R, L, C Der Strom I(t)= Im·sin(ωt) ist bei einer Reihenschaltung an allen Stellen gleich groß. Für die Spannungszeiger (! nur für vektorielle Betrachtung !) gilt nach der Kirchhoff’schen Maschenregel UG = UR + UL + UC (vgl. nebenstehende Abbildung). Für die skalare Größe gilt: UG U R2 U L UC 2 und analog für den Scheinwiderstand Z (mit IG = IR = IL = IC) 1 Z R2 X L X C 2 R2 L C 2 Die Phasendifferenz φ zwischen Strom und Gesamtspannung lässt sich ermitteln mit: tan U L UC X L X C UR R 1 C R L Übung: 1. Berechnen Sie die Teilspannungen über dem ohmschen Widerstand R = 250 Ω, dem Kondensator C = 12 µF und der Spule L = 1,8 H, die in Serie geschaltet von einem Wechselstrom Î = 120 mA (f = 50 Hz) durchflossen werden. Zeichnen Sie ein maßstabgerechtes Zeigerdiagramm und berechnen Sie die Impedanz Z, die Generatorspannung ÛG und die Phasendifferenz φ. [30V; 68V; 32V; 391Ω; 47V; 50°] LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 8 9.3.2 Parallelschaltung von R, L, C Die Spannung U(t)=Um·sin(ωt) ist bei einer Reihenschaltung an allen Stellen gleich groß. Für die Stromzeiger (! nur für vektorielle Betrachtung !) gilt nach der Kirchhoff’schen Knotenregel IG = IR + IL + IC (vgl. nebenstehende Abbildung). Für die skalare Größe gilt: IG I R2 I L IC 2 und analog für den Scheinwiderstand Z (mit UG = UR = UL = UC) Z UG I2R IL IC 2 1 2 1 1 1 R XL XC 2 1 2 1 1 C R L 2 Die Phasendifferenz φ lässt sich ermitteln mit: 1 1 1 I L IC X L X C L C tan 1 1 IR R R Übungen: 1. Ein ohmscher Widerstand R = 1,5 kΩ, eine Spule der Induktivität L = 75mH und ein Kondensator der Kapazität C = 12 nF werden parallel an eine Wechselspannung Ueff,G = 24 V (f = 4,5 kHz) angeschlossen. Berechnen Sie die Stromstärken in den einzelnen Bauteilen und zeichnen Sie ein maßstabgerechtes Zeigerdiagramm. Berechnen Sie die Impedanz Z, den Gesamtstrom Î und die Phasendifferenz φ. 2. Ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und eine Spule der Induktivität L = 2,1 H werden hintereinander geschaltet und an eine Wechselspannung Ueff = 12 V (f = 650 Hz) angeschlossen. Berechnen Sie die Stromstärke und der Phasenwinkel. Berechnen Sie die Leistung, die im Widerstand umgesetzt wird. Wie groß muss die Kapazität eines in Serie geschalteten Kondensators sein, damit der Strom maximal wird? LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 9 Weitere Aufgaben Hoch und Tiefpass 3.0 3.1 3.2 Legt man an eine Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand R und Kondensator C eine Eingangsspannung U1 und greift die Ausgangsspannung U2 entweder über dem Kondensator oder über dem Widerstand ab, so hat man einen frequenzabhängigen Spannungsteiler. Der Abgriff über dem Kondensator heißt RC-Tiefpass, der über dem Widerstand RC-Hochpass, weil im ersten Fall nur die tiefen Frequenzen, im zweiten Fall nur die hohen Frequenzen übertragen werden. Zeichnen Sie die Schaltung und kennzeichnen Sie die Ausgänge für Hoch- und Tiefpass. Geben Sie für Hoch- und Tiefpass das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung UP/U0 als Funktion der Frequenz f an. Zeichnen Sie für C = 10 nF und U R = 120 kΩ ein f-UP -Diagramm. 0 3.3 3.4 4.0 4.1 4.2 Bei der so genannten Grenzfrequenz fG sind ohmscher und kapazitiver Widerstand gleich groß. Wie groß ist dann die Phasendifferenz zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung? Wie berechnet sich die Grenzfrequenz fG bei Hoch- und Tiefpass aus R und C? Berechnen Sie fG für C = 10 nF und R = 120 kΩ. Welchen Wert hat das Spannungsverhältnis U2/U1 bei der Grenzfrequenz fG für Hochund Tiefpass? Ein Tiefpass soll die Grenzfrequenz fG = 10 kHz haben. Berechnen Sie die zu R = 47 kΩ gehörige Kapazität. Berechnen Sie die Frequenz, bei der die Ausgangsspannung U2 nur noch 10% der Eingangsspannung U1 beträgt. Drosselspule 5.0 5.1 Bei Leuchtstofflampen wird zur Strombegrenzung der Röhre ein Vorschaltgerät (Drosselspule) in Serie geschaltet und an das Netz (230 V/50 Hz) angeschlossen. Über der Röhre wird eine Spannung von UR,eff = 60 V, über der Drossel von Ueff,D = 215 V gemessen, wobei ein Strom von Ieff = 0,38 A fließt. Die Röhre sei ein reiner Wirkwiderstand. Zeichnen Sie ein maßstabsgerechtes Zeigerdiagramm. Bestimmen Sie den Phasenwinkel φ. Berechnen Sie die in der Röhre und im Vorschaltgerät umgesetzten Leistungen, die Induktivität der Drosselspule und den ohmschen Widerstand des Vorschaltgeräts. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2004 / II AP 2005/ II 10 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2011/I AP 2010/I 11 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 12 9.4 Elektromagnetische Schwingungen 9.4.1 Der geschlossene elektromagnetische Schwingkreis Ein Kreis aus Kondensator und Spule heißt elektromagnetischer Schwingkreis. In ihm finden elektrische Schwingungen statt vergleichbar mit einem mechanischen Pendel. Dabei wird periodisch elektrische Energie des Feldes des Kondensators und magnetische Energie des Feldes der Spule ineinander umgewandelt. Phasen eines idealen Schwingkreises und Darstellung der Energieverteilung Experimenteller Nachweis der Schwingung von Stromstärke und Spannung im Schwingkreis LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen Differentialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung ◦ Herleitung aus dem Spannungsansatz I) UC(t) + UL(t) = 0 II) Q UC I(t)=Q̇ C III) UL(t) = L· İ = L· Q̈ II und III in I) 1 C Q + L·Q̈ = 0 (Maschenregel) (Differentialgleichung) ◦ Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz I) Eel(t) + Emagn(t) = const II) Eel III) II und III in I) 1 2 Q 2C 1 Emagn(t) LI2 2 1 2C 1 2C 1 C 1 C 1 Q2 + 2 LI2 =const /ableiten 2∙Q∙Q̇+ 2 L∙2∙I∙İ=0 / I(t)=Q̇ 1 Q∙Q̇+L∙Q̇∙Q̈=0 Q + L∙Q̈ = 0 (Differentialgleichung) Thomson’sche Gleichung – Herleitung aus der Differentialgleichung der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung mit Q(t) = Qm·cos(ωt) und Q(t) Qm 2 cos(t) Einsetzen in die DGL 1 Q cos(t) L Qm 2 cos(t) 0 C m 1 2 L Qm cos(t) 0 C 1 L 2 0 umordnen C 1 2 LC 1 (Thomson’sche Gleichung) f 2π LC Jeder Schwingkreis besitzt eine charakteristische Eigenfrequenz. Diese wird durch die Induktivität L der Spule und der Kapazität C des Kondensators bestimmt. 13 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 14 Gesamtenergie der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung Mit Q(t) = Qm·cos(ωt) und Q(t) Qm sin(t) gilt: Elektrische Energie des geladenen Kondensators 2 1 1 Q 1 Q2m Eel CU2 C cos2 t 2 2 C 2 C mit Um Qm C Magnetische Energie der Spule 1 1 2 1 Emagn LI 2 L Q LQm2 2 sin 2 t 2 2 2 2 1 Qm 2 Emagn sin t 2 C mit I Q mit L 2 1 C Gesamtenergie der Schwingung EG Eel Emagn 1 Q2m 1 Q2m 2 1 Q2m 1 Q2m cos2 t sin t cos2 t sin2 t const 2 C 2 C 2 C 2 C Die Gesamtenergie der ungedämpften elektromagnetischen Schwingung ist konstant. Es gilt: EG 1 Qm2 1 2 1 LI CU 2 2 C 2 m 2 m Übung: 1.0 Ein Schwingkreis besteht aus einer Spule mit der Induktivität L = 1,1∙10-2 H und einem Kondensator der Kapazität C = 0,50 µF. Der ohmsche Widerstand ist zu vernachlässigen. Der Kondensator hat eine maximale Ladung von Qmax = 1,2∙10-4 C. 1.1 Geben eine Gleichung für die Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Zahlenwerten an. 1.2 Geben eine Gleichung für die Stromstärke im Schwingkreis in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Zahlenwerten an. 1.3 Geben die Gleichungen für die Energie des elektrischen Feldes, des magnetischen Feldes und der Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Zahlenwerten an. 1.4 Stellen Sie die Spannungs- und Stromstärkefunktion in einem Diagramm graphisch dar. 1T = ̂ 6cm; 100V = ̂ 1cm; 1A = ̂ 1cm 1.5 Vergleichen Sie die L-C-Schwingung mit der eines Federpendels: zeitabhängige Größen, Energiearten und Energiebilanz,zeitunabhängige Größen LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 15 Analogiebeziehungen zwischen linearem mechanischen Schwinger und elektrischem Schwingkreis zeitabhängige Größen Translationsschwingungen Elongation: x Energiearten Energiebilanz zeitunabhängige Größen Eigenfrequenz elektrische Schwingungen Ladung: Q Geschwindigkeit: v x Stromstärke: I Q m 2 v 2 D ESp x2 2 m 2 D 2 v x E konst 2 2 Emagn m; D; Dämpfung β L; R; 1/C Ekin f 1 2 D m L 2 I 2 1 2 Q 2C L 2 1 2 I Q E konst 2 2C Eel f 1 2 1 LC LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 16 9.4.2 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung In einem realen Schwingkreis treten Energieverluste auf. Diese werden durch Leitungswiderstände verursacht. Diese ohmsche Widerstände treten hauptsächlich in der Spule auf. Damit verringert sich die Amplitude der Schwingung (Maximalwerte von Spannung und Stromstärke – vgl. Abbildung). Hüllkurve Spannungs- und Stromstärkeverlauf einer gedämpften Schwingung Die Abnahme der Maximalwerte kann durch eine Exponentialfunktion mit U(t) Û e beschrieben werden, die sogenannte Hüllkurve. R t 2L LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2001/III 17 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 1998/III AP 1999/I 18 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 19 LK-Abitur Bayern 2007-II-1 Ein elektromagnetischer Schwingkreis enthält einen Kondensator der Kapazität 40 μF und eine Spule der Induktivität 500 H. Die abgebildeten Diagramme zeigen jeweils den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung U, der Stromstärke I in der Spule und der gesamten Schwingungsenergie E dieses gedämpften Schwingkreises. a) b) Wodurch wird die Schwingung eines elektromagnetischen Schwingkreises gedämpft? (2 BE) Lesen Sie aus einem der Diagramme die Periodendauer der gedämpften Schwingung ab. Zeigen Sie, dass diese Periodendauer in guter Näherung übereinstimmt mit der Periodendauer eines ungedämpften Schwingkreises mit den angegebenen Werten für Induktivität und Kapazität. (5 BE) c) Begründen Sie, dass die Energieachse des t-E-Diagramms an der mit dem Pfeil markierten Stelle mit dem Wert 1,0 mJ beschriftet werden muss. (5 BE) d) Lesen Sie aus dem t-E-Diagramm ab, um wie viel die Schwingungsenergie im Zeitintervall [0,45 s; 0,90 s] abnimmt. Berechnen Sie mit diesem Ergebnis und dem Effektivwert der Stromstärke näherungsweise den ohmschen Widerstand des Schwingkreises. Verwenden Sie dabei, dass die Stromstärke in guter Näherung sinusförmig verläuft. (9 BE) e) Abgesehen von einer gewissen Welligkeit nimmt die Schwingungsenergie exponentiell ab. Entnehmen Sie dem t-E-Diagramm die "Halbwertszeit" für die Schwingungsenergie und berechnen Sie damit, nach welcher Zeit der Schwingkreis 99 % seiner anfänglichen Schwingungsenergie verloren hat. (7 BE) f) Durch Rückkopplung kann ein Schwingkreis zu ungedämpften Schwingungen angeregt werden. Fertigen Sie eine saubere, beschriftete Skizze einer dazu geeigneten Schaltung an. (6 BE) LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 20 LK-Abitur Bayern 1997-II-1 Ein Kondensator der Kapazität C = 0,50 μF und eine Spule der Induktivität L = 5,6 mH bilden einen Schwingkreis. Der Einfluss des ohmschen Widerstands darf bei der Rechnung vernachlässigt werden. Der Schwingkreis soll über eine 2. Spule (Sp 2) mit einem Sinusgenerator (Frequenz f einstellbar) zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. a) Die Frequenz f wird kontinuierlich von 1 kHz bis 10 kHz erhöht. Die am Schwingkreiskondensator auftretende Scheitelspannung U, wird mit Hilfe eines Oszilloskops gemessen. Berechnen Sie die Frequenz fR, bei der US den Maximalwert erreicht. Zeichnen Sie ein Diagramm, das den qualitativen Verlauf von US in Abhängigkeit von f darstellt. (6 BE) b) Welche Frequenz hat die Schwingung im Schwingkreis, wenn die Erregerfrequenz 5,0 kHz beträgt? Berechnen Sie die im Schwingkreis enthaltene Gesamtenergie wenn die Scheitelspannung US = 6,5 V gemessen wird. Ermitteln Sie die Scheitelstromstärke im Schwingkreis. (6 BE) LK-Abitur Bayern 2001-II-1 Im idealen elektromagnetischen Schwingkreis haben die Spule und alle leitenden Verbindungen keinen ohmschen Widerstand. a) Leiten Sie für die Ladung Q(t) auf dem Kondensator die Differentialgleichung 1 (t) 0 Q(t) LQ C der ungedämpften Schwingung her. b) Leiten Sie her, welcher Zusammenhang zwischen den Größen L, C und ω bestehen muss, damit Q(t) = Q0·cos(ωt) eine Lösung der Differentialgleichung ist. Stellen Sie mit dieser Lösung die elektrische und die magnetische Energie jeweils als Funktion der Zeit dar und überprüfen Sie die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes. c) Aus einem Kondensator der Kapazität 60μF und einer Spule der Induktivität 250mH wird ein Schwingkreis gebaut, dessen Schwingungen als ungedämpft betrachtet werden sollen. Am Anfang liegt die maximale Spannung 90V am Kondensator. Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung zum ersten Mal auf 30V gesunken? Wie groß ist dann die Stromstärke im Schwingkreis? LK-Abitur Bayern 2002-II-1 Eine lang gestreckte Spule ohne Eisenkern besitzt N Windungen, die gleichmäßig auf einen zylindrischen Spulenkörper mit dem Radius r und der Länge l gewickelt sind. Ihr ohmscher Widerstand ist vernachlässigbar. Durch einen Schleifkontakt ist es möglich, beliebige Teillängen x der Spule abzugreifen. Der abgegriffene Teil der Spule bildet zusammen mit einem parallel geschalteten Kondensator der Kapazität C einen ungedämpften Schwingkreis. a) Leiten Sie allgemein mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Thomson-Gleichung für die Schwingungsdauer To eines ungedämpften Schwingkreises her. b) Zeigen Sie, dass in einem Schwingkreis, der mit seiner Eigenfrequenz schwingt, die ideale Spule und der Kondensator den gleichen Wechselstromwiderstand haben. c) Für verschiedene Teillängen x der Spule wird jeweils die Eigenfrequenz fo(x) des Schwingkreises gemessen: x in cm fo(x) in kHz 25,0 25,3 20,0 28,3 15,0 32,7 10,0 40,0 Zeigen Sie, dass diese Wertepaare im Rahmen der Messgenauigkeit die Gleichung f(x)2 k 1 x erfüllen, und berechnen Sie den Faktor k in der Einheit m/s2. d) Leiten Sie mit Hilfe der Thomson-Gleichung her, dass [fo(x)]2 indirekt proportional zur Teillänge x der Spule ist. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 21 9.4.3 Erzwungene elektromagnetische Schwingungen Wird einem Schwingkreis periodisch Energie zugeführt (Anlegen einer Wechselspannung) so führt der Schwingkreis erzwungene elektromagnetische Schwingungen aus. Dabei verhält sich z.B. die Stromstärke im Schwingkreis analog der Auslenkung eines angeregten mechanischen Schwingers. Aufnahme der Resonanzkurve - Reihenschaltung f in kHz I in A f in kHz I in A Stimmen Erregerfrequenz ferr und Eigenfrequenz f0 des Schwingkreises überein, so kommt es zur Resonanz und damit zu einem Maximum der Stromstärke im Schwingkreis. In allen anderen Fällen verringert sich die Stromstärke – vgl. Resonanz mechanischer Schwingungen. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 22 Serienresonanz L Spule, Kondensator und ohmscher Widerstand bilden in Reihe geschaltet einen Serienresonanzkreis. a) fer f0 L2 L1 U~ C L2 leuchtet nicht - Stromstärke des Schwingkreises Î geht gegen Null (entspricht nahezu Gleichstrom → am Kondensator XC → ∞) b) fer = f0 L2 leuchtet - maximale Stromstärke Î (XC = XL) Resonanzfall (Widerstände von Spule und Kondensator heben sich auf, nur der ohmsche Widerstand der Schaltung bestimmt die Stromstärke) c) fer f0 L2 leuchtet nicht - Stromstärke des Schwingkreises Î abnehmend (Stromfluss wird durch Spule bestimmt → XL sehr groß) Ein ohmscher Widerstand in der Schaltung wirkt als Dämpfungsfaktor. Wird der ohmsche Widerstand größer, so beeinflusst er zunehmend den Stromfluss und dämpft dadurch die Stromstärke im Bereich der Resonanz. f0 f0 Widerstands-Frequenz-Diagramme der Reihenschaltung mit Z R 2 XL XC 2 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen Parallelresonanz 23 L2 L L1 Auch eine Parallelschaltung von Spule und C L3 Kondensator kann zum Schwingen angeregt werden - Parallelresonanzkreis. U~ d) fer f0 L2 leuchtet heller als L3 - Stromstärke des Schwingkreises Î geht hauptsächlich durch Spulenzweig XL → 0, Kondensator XC → ∞) e) fer = f0 L2 und L2 leuchten gleich hell, L1 erlischt - (XC = XL) Resonanzfall Ströme im Spulenzweig und Kondensatorzweig gegenphasig - kein Stromfluss in Zuleitung f) fer f0 L3 leuchtet heller als L2 - Stromstärke des Schwingkreises Î geht hauptsächlich durch Kondensatorzweig XC → 0, Kondensator XL sehr groß) Widerstands-Frequenz-Diagramm der Parallelschaltung (mit ohmschen Widerstand) mit 1 Z 2 2 1 1 1 R XL XC f0 Widerstands-Frequenz-Diagramm der Parallelschaltung (ohne ohmschen Widerstand) mit 1 Z 1 1 X L XC f0 f Resonanz f0 1 2π LC Resonanzkreise (auch Siebkette genannt) werden in der Rundfunktechnik als Filter verwendet. Sie selektieren so z.B. die gewählte Frequenz (Sender) heraus. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 24 Phasenbeziehungen im Schwingkreis Entsprechend den Phasenlagen der Wechselstromwiderstände ergibt sich nebenstehendes Diagramm. Die Spannung ist am ohmschen Widerstand gegenüber dem Strom phasengleich, an der Spule um 2 und am Kondensator um 2 phasenverschoben. Damit ist die Spannung an Spule und am Kondensator zueinander in Gegenphase, so dass sie sich in jedem Moment aufheben. Die Generatorspannung ist mit der Spannung am Widerstand in Gegenphase (und damit auch zum Strom). Der Generator gleicht in jedem Moment den Verlust an elektrischer Energie im Widerstand aus, so dass der Schwingkreis ungedämpft schwingt. f = 2300 Hz f = 3750 Hz (Resonanz) Zeigerdiagramme der Spannungen bei einer Reihenschaltung f = 6000 Hz LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 1988/III; AP 1989/III; AP 1990/II; AP 1991/I; AP 1992/II AP 2002/I 25 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2003 / I 26 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 27 9.4.4 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung Wird dem Schwingkreis im richtigen Moment Energie zugeführt, so erhält man eine ungedämpfte elektromagnetische Schwingung. Ein solcher Schwingkreis wurde von Alexander Meißner 1913 realisiert. Rückkopplungsschaltung nach MEISSNER Damit zum richtigen Zeitpunkt Energie dem Schwingkreis zugeführt wird, ist es notwendig, dass der Schwingkreis selbst die Energiezufuhr steuert. Dies erfolgt über Kopplung der Schwingkreisspule L mit der Rückkopplungsspule LR – analog der Feld- und Erregerspule eines Transformators. Die in der Rückkopplungsspule LR induzierte Spannung Ui steuert den Transistor über dessen Basis-Emitter-Strecke im Takt der Wechselspannung des Schwingkreises. Damit öffnet sich die Kollektor-Emitter-Strecke bei entsprechender Polung. Dem Schwingkreis wird Energie zugeführt und periodisch angeregt. K B E LR L C Ub – + Aufgaben: Ein Kondensator mit C = 0,1 F und eine Spule mit L = 44 mH bilden einen Schwingkreis. Berechnen Sie die Eigenfrequenz. Durch Einschieben eines Eisenkerns in die Spule vergrößert sich deren Induktivität um den Faktor 23. Wie verändert sich dadurch die Eigenfrequenz? 2 Eine lange Spule (n = 340, l = 60 cm, d = 8 cm) wird mit einem Kondensator der Kapazität C = 0,1 F und einem Widerstand R = 200 in Serie geschaltet. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz. 3 Ein Schwingkreis mit einer Kapazität von C = 47 nF schwingt bei einer Frequenz von f = 3,7 kHz. Wie groß ist die Induktivität? 4 Die Zeit-Strom-Funktion eines elektrischen Schwingkreises ist durch I(t) = 0,030 A sin (350s·t) gegeben. Die Induktivität des Schwingkreises beträgt L = 0,50 H. Berechnen Sie die Schwingungsdauer T, die Eigenfrequenz f0, die Kapazität C des Kondensators, den Effektivwert UG der Generatorspannung und die maximalen Energiewerte des elektrischen und magnetischen Feldes. *5 Leiten Sie die Thomson’sche Gleichung aus der Resonanzbedingung für den Serienschwingkreis her. *6 Stellen Sie die Resonanzkurve eines Serienschwingkreises – Stromstärke I als Funktion der Frequenz f – grafisch dar. Es seien L = 0,44 H und C = 5 F. Der ohmsche Widerstand habe den Wert R = 50 und die angelegte Spannung sei UG =24 V. Wie groß sind bei Resonanz die Spannungen an der Spule und am Kondensator? 1. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 28 Weitere Aufgaben (aus Müller: Physik – Leistungskurs 2. Semester, Oldenbourg Verlag, 1990) 1. Welche Bedingung müssen L und C erfüllen, damit a) die Frequenz im Bereich 20 Hz < f < 104 Hz liegt? b) der Kammerton a' (440 Hz) zu hören ist? c) Wie wirkt sich eine Verminderung von L und C auf die Tonhöhe aus? d) Wie muss die Kapazität des Kondensators verändert werden, damit man die nächsthöhere Oktave hört? Wie muss ein Zusatzkondensator geschaltet werden und welche Kapazität muss er haben? 2. Zum Bau einer elektronischen Orgel soll eine Meißnerschaltung mit Triode verwendet werden. niederohmiger Lautsprecher Für den Schwingkreis der Schaltung steht u. a. eine Spule der Induktivität L0 = 520 mH zur Verfügung. L0 C0 L1 C1 a) Übertragen Sie das Schaltbild in Ihr Heft und vervollständigen Sie die Meißnerschaltung. A B b) Wie groß muss die Kapazität C0 sein, damit man bei geöffneten Schaltern A und B im Lautsprecher den Kammerton a (440 Hz) hört? c) Wie groß müssen L1 bzw. C1 sein, damit beim Schließen des Schalters A oder B der Ton aO (880 Hz) oder der Ton aU (220 Hz) ertönt? Welcher der beiden Töne tritt beim Schließen des Schalters A auf? LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2000/II 29 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 30 9.4.5 Elektrischer Dipol Übergang vom geschlossenen zum offenen Dipol Schwingkreise aus Kondensatoren mit großer Kapazität und Spulen mit Eisenkernen schwingen im niedrigen Frequenzbereich. Wird die Induktivität der Spule und die Kapazität des Kondensators verkleinert, so erreicht man Schwingungen im MHz-Bereich. Dazu wird die Windungszahl der Spule verkleinert, die Kondensatorplatten auseinandergezogen, so dass letztendlich nur ein Metallstab übrigbleibt – der sogenannte Hertz’sche Dipol. Wegen seiner Form bezeichnet man ihn als offenen Schwingkreis. Stromstärke und Ladungsverteilung im λ -Dipol 2 Wird mit Hilfe einer Glimmlampe entlang des Dipols gefahren, so leuchtet diese an den Enden auf, zur Mitte hin immer schwächer. Die Ladung ist an den Dipolenden am größten und nimmt zur Mitte hin ab. Ladungsverteilung längs eines Dipols Nachweis durch Glimmlämpchen, die an ein Dipol gehalten werden Ï LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 31 Bringt man in die Mitte des Stabes eine Glühlampe (Induktionsschleife), so leuchtet diese, es fließt ein Strom. Dieser nimmt zu den Enden hin ab. Stromstärkeverteilung längs eines Dipols Nachweis durch Glühlämpchen, die an ein Dipol gehalten werden Die Schwingungscharakteristik entspricht den Erscheinungen bei Wellen – Stehende Wellen. Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung Zwischen Frequenz f , Wellenlänge λ und Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Welle gilt die Beziehung: c T f (vgl. 10.1 Entstehung und Ausbreitung von Wellen) LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 32 Übung zu Dipolschwingungen 1.0 1.1 1.2 1.3 2.0 2.1 2.2 3.1 3.2 Ein Dipol wird an einen Schwingkreis mit der Schwingungsdauer T angekoppelt und zur ersten Oberschwingung angeregt. Der Zeitnullpunkt wird so festgesetzt, dass in diesem Augenblick jeder Punkt des Dipols gleiches elektrisches Potenzial aufweist. Skizzieren Sie die Strom- und die Ladungsverteilung längs des Dipols zu den Zeitpunkten 0, T/ 4 und T/ 2. (5 BE) Wie lassen sich charakteristische Stellen der Strom- sowie der Ladungsverteilung experimentell nachweisen? (5 BE) Die vom Dipol ausgehende Strahlung trifft senkrecht auf eine Metallwand. Davor bildet sich eine stehende Welle aus. Welche Länge hat der Dipol, wenn die Entfernung zweier benachbarter Knoten 24 cm beträgt? (4 BE) (aus LK-ABI Bayern 1998-II) Ein Schwingkreis regt einen Dipol der Länge l in der Grundschwingung mit der Periodendauer T an. Die auftretende Dipolstrahlung hat die Wellenlänge λ= 70 cm. Bestimmen Sie die Dipollänge l und berechnen Sie die Frequenz f des anregenden Schwingkreises sowie dessen Induktivität L, wenn seine Kapazität C = 1,0 pF beträgt. Veranschaulichen Sie jeweils in einem Bild die Stromstärke- bzw. die Ladungsverteilung längs des Dipols zu den Zeiten t = 0, 14 T , 12 T und 34 T wobei zur Zeit t = 0 kein Strom fließt. (aus GK ABI Bayern 1998-II) Die Stromverteilung am Stabdipol in der Grundschwingung kann in der untenstehend skizzierten Form symbolisiert werden. Ordnen Sie den vier Bildern sinnvolle Zeitpunkte zu (Bruchteile von der Schwingungsdauer T) und zeichnen Sie dann in vier Bilder des Dipols die Ladungsverteilung, die Strompfeile und die elektrischen und magnetischen Felder ein. In der untenstehenden Skizze ist die Stromverteilung an einem Stabdipol für die 1. Oberschwingung dargestellt. Zeichnen Sie in vier Bildern des Dipols die Ladungsverteilung und die Strompfeile ein. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen AP 2005/II 33 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 34 Ausbreitung von E- und B-Feld Da der Dipol immer noch einen Schwingkreis darstellt, laufen in ihm die selben Prozesse ab, wie in einem geschlossenen Schwingkreis. Sind die Dipolenden positiv bzw. negativ geladen, so baut sich zwischen ihnen ein E-Feld auf. Infolge des Ladungsausgleichs bricht das E-Feld zusammen und es fließt ein Strom. Damit baut sich ein B-Feld um den Dipol auf. Das nun wieder zusammenbrechende B-Feld führt zur Ladungsverschiebung im Dipol. Es entsteht wiederum ein E-Feld, dessen Polarität gewechselt hat. Vom geschlossenen Schwingkreis unterscheidet sich der Dipol durch sein elektrisches und magnetisches Streufeld im Raum. Diese Wechselfeld entfernt sich mit der Geschwindigkeit c vom Dipol – der Antenne. 1866 stellte J. C. Maxwell zwei Gleichungen auf, die die wellenförmige Ausbreitung elektromagnetischer Felder beschreiben und den Zusammenhang beider Felder erklären. Daraus lassen sich weitere Zusammenhänge und Eigenschaften der elektromagnetischen Ausbreitungsgeschwindigkeit c mit c Vakuum mit c0 1 00 3 108 m . s 1 Wellen ableiten. So z.B. auch die bzw. die Ausbreitungsgeschwindigkeit c0 im LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 35 Untersuchung und Demonstration der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen Lecher-Leitung Zwei parallel geführte, isolierte Drähte können eine elektromagnetische Welle leiten (homogene Doppelleitung; Koaxialkabel beim TV). Bei hochfrequenten Wechselströmen ist der Stromfluss nicht gleichmäßig über den ganzen Leiter verteilt, sondern nur in einer dünnen Oberflächenschicht. Die im Sender angeregten dm-Wellen werden an die Lecher-Leitung weitergegeben. Mit Hilfe eines kapazitiven Tastkopfes, kann entlang der Lecher-Leitung ein Aufleuchten der Feld- Indikatorlampe innerhalb bestimmter Abstände festgestellt werden. Hiermit wird das elektrische Feld nachgewiesen. Um das magnetische Feld nachzuweisen, wird eine auf die Frequenz abgestimmte Induktionsschleife knapp über die LecherLeitung geführt. Das Aufleuchten der Indikatorlampe weist auf ein Maximum des magnetischen Feldes hin. E- und H-Feldmessung Die Intensität des elektrischen Feldes kann mit einem Empfangsdipol gemessen werden. Eine Diode und ein Kondensator richten dabei den hochfrequenten Wechselstrom gleich, so dass er mit einem Strommessgerät (in mA) gemessen werden kann. Die Intensität des elektrischen Feldes kann mit einer Leiterschleife Sendefrequenz) (abgestimmt auf die gemessen werden. Auch hier richten eine Diode und ein Kondensator den induzierten hochfrequenten Wechselstrom gleich, so dass er mit einem Strommessgerät (in mA) gemessen werden kann. LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 36 Empfang elektromagnetischer Wellen als Resonanzerscheinung Treffen die elektrischen und magnetischen Wechselfelder wiederum auf einen Dipol, so wird auch dieser offene Schwingkreis zum Schwingen angeregt. Im Dipol fließen Wechselströme, die durch geeignete Schaltungen verstärkt (selektiert) werden können. Eine einfache Schaltung ist der Diodenempfänger. Der darin enthaltene Schwingkreis wird auf die empfangene Welle abgestimmt (Wellenfrequenz = Eigenfrequenz Schwingkreises), d.h. in HF-Diode des Kopfhörer Resonanz gebracht. Für diese Frequenz stellt der Resonanzkreis einen hohen Widerstand dar. Die abfallende Spannung wird mit einer HF-Diode gleichgerichtet und an den Kopfhörer gelegt. Antenne L ~70 Windungen C 0...500pF LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 37 LZ F13.1 /B13.1 Elektromagnetische Schwingungen 38 ****** Ende von Kapitel 9. – Elektromagnetische Schwingungen ***** 2015-10-25
