Institut für Informatik Lehrstuhl f ¨ur Informatik 15 Computer Graphik

Institut für Informatik
Lehrstuhl für Informatik 15
Computer Graphik & Visualisierung
Diskrete Strukturen I
Wintersemester 2006/2007
Tutorübung 10
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Prof. R. Westermann, J. Schneider, J. Georgii, S. Pott
TU München, 08.01.2006
Tutorübung zu Diskrete Strukturen I (Blatt 10)
Aufgabe A [* Punkte] Matchings
Sei Gn = ([n], E) der Graph mit {i, j} ∈ E genau dann wenn i| j oder j|i.
a) Hat G10 ein perfektes Matching ?
b) Hat G8 ein perfektes Matching ?
Aufgabe B [* Punkte] Algebren
Wir betrachten die Verknüpfung ◦ von Funktionen f , g : A → A, die definiert ist durch f ◦ g( a) =
f ( g( a)) ∀ a ∈ A. A muss nicht endlich sein.
a) Welche algebraische Struktur hat die Menge aller Funktionen bzgl. ◦ ?
b) Welche algebraische Struktur hat die Menge der injektiven Funktionen bzgl. ◦ ?
c) Welche algebraische Struktur hat die Menge der surjektiven Funktionen bzgl. ◦ ?
d) Welche algebraische Struktur hat die Menge der bijektiven Funktionen bzgl. ◦ ?
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Lösungen:
Aufgabe A [* Punkte] Matchings
a) Ja. M = {{1, 7}, {2, 6}, {3, 9}, {4, 8}, {5, 10}}
b) Nein. Die Knoten 5 und 7 sind beide nur mit 1 verbunden. Damit überdeckt ein Matching maximal einen der beiden Knoten.
Aufgabe B [* Punkte] Algebren
Wir stellen zunächst fest, dass die Operation ◦ nicht kommutativ ist für die angegebenen Klassen von
Funktionen, es kann sich also um keine kommutativen (abelschen) algebraischen Strukuren handeln.
a) Die Menge aller Funktionen ist bzgl. ◦ eine Halbgruppe (Monoid)! Die Assoziativität folgt direkt
aus der Definition von ◦:
f ◦ ( g ◦ h)( a) = f ( g ◦ h( a)) = f ( g(h( a))) = f ◦ g(h( a)) = ( f ◦ g) ◦ h( a)
∀ a ∈ A.
Das neutrale Element ist die Identität i : A → A mit i( a) = a ∀ a ∈ A, denn f ◦ i = f = i ◦ f .
Es existiert aber nicht für jedes Element ein (Links-) Inverses. Beispielsweise hat die Funktion
f 0 ( a) = a0 ∀ a ∈ A mit a0 ∈ A kein Inverses, falls in A mehr als ein Element enthalten ist.
b) Die Menge der injektiven Funktionen ist eine Teilmenge aller Funktion. Da wir es dann mit
Unteralgebren zu tun haben, müssen wir zunächst die Abgeschlossenheit prüfen. Die Menge
der injektiven Funktionen ist abgeschlossen bzgl. ◦, weil für zwei injektive Funktion f , g auch
f ◦ g injektiv ist. Denn für a, b ∈ A, a 6= b gilt:
f ◦ g( a) = f ◦ g(b) ⇒ f ( g( a)) = f ( g(b)) |{z}
⇒ g( a) = g(b) |{z}
⇒ a = b.
g injektiv
f injektiv
Die Assoziativität und das neutrale Element (Identitätsfunktion) sind wie in a) gezeigt weiterhin
gültig. Es gibt aber immer noch keine (links-) inversen Elemente, denn betrachten wir die Funktion
f : N → N mit f (n) = 2n ∀n ∈ N. Diese ist injektiv, aber die Inverse kann nicht injektiv sein (Sie
muss alle geraden nat. Zahlen durch 2 dividieren. Die ungeraden nat. Zahlen können dann aber
nicht mehr injektiv abgebildet werden!). Also bildet die Menge der injektiven Funktionen eine
Halbgruppe bzgl. ◦.
c) Die Menge der surjektiven Funktionen bildet bzgl. ◦ ebenfalls eine Halbgruppe. Zunächst überprüfen wir wieder die Abgeschlossenheit:
f ◦ g( A) = f ( g( A))
=
|{z}
g surjektiv
f ( A)
=
|{z}
A
f surjektiv
Also ist die Menge der surjektiven Funktionen abgeschlossen unter ◦. Die Assoziativität und das
neutrale Element (Identitätsfunktion) sind wie in a) gezeigt weiterhin gültig. Bzgl. der inversen
Elemente betrachten wir die Funktion f : N → N mit f (n) = ⌊n/2⌋ ∀n ∈ N. Diese ist surjektiv,
aber die (rechts-) inverse Funktion kann nicht surjektiv sein (Sie müsste alle nat. Zahlen mit 2
multiplizieren und hat damit als Bildmenge nur gerade Zahlen!).
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d) Die Menge der bijektiven Funktionen ist bzgl. ◦ abgeschlossen, da sowohl surjektive als auch injektive Funktionen unter ◦ abgeschlossen sind. Die Assoziativität und das neutrale Element (Identitätsfunktion) sind wie in a) gezeigt weiterhin gültig. Zu jeder bijektiven Funktion existiert außerdem ein Inverses, das wiederum bijektiv ist (Das Inverse von f bildet f ( a) auf a ab). Damit
bilden die bijektiven Funktionen bzgl. ◦ eine Gruppe.