Übungsblatt 7 - Lehrstuhl II für Mathematik - RWTH

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
Jan Simon, M.Sc.
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2016
7. Übung Diskrete Mathematik II
Aufgabe 1.
Es sei n ∈ N. Blau und Rot spielen (verallgemeinertes) Tic-Tac-Toe auf einem Teilmengensystem F ⊆ 2{1,...,n} , d. h. sie färben abwechselnd je einen Punkt aus {1, ..., n} in ihrer Farbe.
Blau beginnt. Wer als erster eine gesamte Hyperkante aus F in seiner Farbe gefärbt hat, gewinnt. Gelingt dies keinem, so endet das Spiel unentschieden.
Zeigen Sie:
Wenn die zu erwartende Anzahl roter Kanten bei (gleichverteilt, unabhängiger) zufälliger
Färbung von {1, ..., n} kleiner als 1 ist, dann kann Blau verhindern, dass Rot gewinnt.
Hinweis: Betrachten Sie unvollständige Färbungen und den bedingten Erwartungswert für die
Anzahl roter Kanten gegeben diese unvollständigen Färbungen (welche zufällig vervollständigt
werden) und zeigen Sie, dass dieser nach einem geschickten blauen und anschließenden beliebigen roten Zug insgesamt nicht größer wird.
Aufgabe 2.
Es seien neun äußerlich identische Münzen gegeben. Eine von ihnen sei jedoch bekanntermaßen
eine Fälschung mit geringerem Gewicht als die übrigen acht, die alle das gleiche Gewicht
haben. Es stehe eine Balkenwaage zur Verfügung. Wie kann die gefälschte Münze mit möglichst
wenigen Wägevorgängen gefunden werden?
Aufgabe 3.
Es seien m·n Personen, unter denen eine unbekannte Person X zu finden ist, in einem (m×n)Raster aufgestellt. Als Fragen sind zulässig:
a) Ist X in der i-ten Zeile?
b) Ist X in der j-ten Spalte?
Wie viele Fragen sind erforderlich?
Bitte wenden.
Aufgabe 4.
Ein Graph G heißt stark regulär mit Parametern (k, a, b), falls G einerseits k-regulär ist, sowie je
zwei adjazente Ecken genau a und je zwei nicht adjazente Ecken genau b gemeinsame Nachbarn
haben.
Es sei nun G ein stark regulärer Graph auf n Ecken mit Parametern (k, a, b), 0 < b < k, und
mit Adjazenzmatrix A. Ferner bezeichne J die (n × n)-Matrix mit lauter Einsen. Beweisen Sie
die folgenden Aussagen:
i) A2 = k I +aA + b(J − I −A)
ii) k(k − a − 1) = (n − k − 1)b
(n−1)(b−a)−2k
1
∈ Z≥0
iii) 2 n − 1 ± √
2
(a−b) +4(k−b)
iv) Ist a = 0 und b = 1, so folgt n = k 2 + 1 und k ∈ {2, 3, 7, 57}.
Finden Sie im Kontext von iv) Beispiele für k = 2 und k = 3.
Hinweis zu iii): Die Matrizen A und J sind simultan diagonalisierbar (warum?). Welche Eigenwerte (mit Vielfachheiten) hat die Matrix J? Zeigen Sie, dass A nur drei verschiedene
Eigenwerte besitzt, darunter der Eigenwert k mit Vielfachheit 1. Die Vielfachheiten der beiden
anderen Eigenwerte von A sind nichtnegative ganze Zahlen.