Einführung in die Logik für Inf.

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
30. Juni 2003
Einführung in die Logik für Inf.
Neuntes Übungsblatt
Präsenzübungen
(P 26) Herleitung
Sei D ein einstelliges Prädikat. Finde im klassischen Kalkül des natürlichen Schließens eine Herleitung für folgende
Sequenzen:
(a) ∀y . D(y) ` ∃x . (D(x) → ∀y . D(y)) ,
(b) ¬(∀y . D(y)) ` ∃x . (D(x) → ∀y . D(y)) ,
(c) ` ∃x . (D(x) → ∀y . D(y))
Hinweise: zu (b), benutze für ein geeignetes P , die Herleitbarkeit der Sequenz ¬(∀x . P ) ` ∃x . ¬P , die in der
Aufgabe (H20) gezeigt wurde.
zu (c), benutze das tertium non datur“ ` (∀y . D(y)) ∨ ¬(∀y . D(y)).
”
(P 27) Resolution
(a) Seien g und d Funktionssymbole mit α(g) = 1 und α(d) = 2, und < ein zweistelliges Prädikat. Skolemisiere
folgende Formeln.
1. ∀x . ∀ . ∃δ . ∀y . d(x, y) < δ → d(g(x), g(y)) < 2. ∀ . ∃δ . ∀x . ∀y . d(x, y) < δ → d(g(x), g(y)) < (b) Zeige mit dem Resolutionsverfahren, dass die Sequenz aus (c) der Aufgabe (P26) allgemeingültig ist.
(P 28) Vordiplom Herbst 94
In einem Monoid nennen wir ein Element x zyklisch im Sinne von A. Jung, falls es ein n ≥ 2 mit xn = x gibt. Das
Monoid heisst zyklisch, falls alle seine Elemente zyklisch sind.
(a) Geben Sie je ein Beispiel für
1. ein endliches zyklisches Monoid,
2. ein endliches nicht zyklisches Monoid,
3. ein unendliches zyklisches Monoid.
(b) Zeigen Sie: es gibt in der Logik erster Stufe keine Formelmenge, deren Modelle genau die endlichen zyklischen
Monoide sind.
Hausübungen
(H 27) Bäume
Wir betrachten eine Signatur mit einer Konstante, root, einem zweistelligen Prädikatensymbol, >, und der Gleichheit =. Jedes Modell, das folgende Axiome erfüllt, nennen wir einen Baum.
(A1) ∀x . ∀y . ∀z . (x > y ∧ y > z) → x > z
(A2) ∀x . ∀y . ¬(x > y ∧ y > x)
(A3) ∀x . (¬(x = root)) → x > root
(A4) ∀x . ∀y . ∀z . (x > y ∧ x > z) → (y > z
∨
z>y
∨
y = z)
(a) Mache dir die Bedeutung der obigen Axiome klar. Was besagt insbesondere das letzte Axiom?
(b) Definiere ein zweistelliges Prädikatensymbol und formuliere ein Axiom (A5), damit x y genau beschreibt,
dass x ein direkter Nachfolger von y ist (oder y direkter Vorgänger von x).
(c) Gib ein Modell M (einen Baum) an, in dem es Elemente ungleich rootM gibt, die keinen direkten Vorgänger
haben. Formuliere ein Axiom (A6), das solche Bäume ausschließt.
(d) Gib einen Baum an, in dem es Elemente gibt, die keine Blätter sind und keinen direkten Nachfolger haben.
Welches zusätzliche Axiom (A7) verbietet solche Fälle?
(e) Mit welchem zusätzlichen Axiom (A8) kann man fordern, dass ein Baum ein ungeordneter Binärbaum ist
(d.h. jeder Knoten hat entweder keinen oder genau zwei direkte Nachfolger, wobei man zwischen linkem und
rechtem Nachfolger nicht unterscheidet).
(f) Kann man Axiome zu (A1) bis (A8) hinzufügen, sodass die Modelle dieser Formelmenge genau die endlichen
ungeordneten Binärbäume sind? Gib die Axiome an, oder zeige, dass es im Rahmen der Logik erster Stufe
nicht möglich ist.
(H 28) Drachen
(a) Definiere eine Sprache erster Stufe (also eine Signatur Σ und eine Variablenmenge V ), in der sich folgende
Tatsachen“ ausdrücken lassen, und gib die entsprechenden Formeln an.
”
1. Jeder Drache ist glücklich, wenn alle seine Kinder fliegen können.
2. Grüne Drachen können fliegen.
3. Ein Drache ist grün, wenn er Kind mindestens eines grünen Drachens ist.
4. Alle grünen Drachen sind glücklich.
(b) Leite die vierte Aussage aus den drei ersten her.
(c) Zeige mit dem Resolutionsverfahren, dass die vierte Aussage aus den drei ersten folgt.
(H 29) Existenz eines kanonischen“ Zeugen?
”
Wir betrachten eine Signatur Σ, die mindestens eine Konstante c und ein einstelliges Prädikat D enthält. Zeige,
dass es keinen geschlossenen Term t gibt, sodass die Sequenz ` D(t) → ∀x . D(x) herleitbar ist. Warum ist dies
kein Widerspruch zur Aufgabe (P26)?
Hinweis: Sei t ∈ TΣ (∅). Konstruiere ein Modell M sodass D(t) |=M ∀x . D(x) nicht gilt.