Blatt 9

Prof. Dr. W. Lempken
Universität Duisburg-Essen
Campus Essen
Grundlagen der Geometrie
WS 2016/17
9. Übungsblatt
Abgabe bis : Di. 20.12.2014, 12:15 Uhr
Aufgabe 1.
Sei V ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und seien v1 , v2 ∈ V \{0};
ferner sei α das Winkelmaß für ∡(v1 , v2 ).
Zeigen Sie, dass dann cos(α) =
v1 ·v2
||v1 ||·||v2 ||
ist.
(Hinweis: Überlegen Sie zunächst, dass o.E. ||v1 || = ||v2 || = 1 ist. Stellen Sie
anschließend eine Matrix - Vektorgleichung auf, wobei die Matrix die Darstellungsmatrix von ρ(∡(v1 , v2 )) bzgl. einer fest gewählten positiv orientierten ONB
B ist und die Vektoren die Koordinatenvektoren der vi bzgl. B sind. Benutzen
Sie dann die gewonnenen Gleichungen bei der Berechnung des Skalarproduktes
v1 · v2 .)
Aufgabe 2.
Seien A, B, C ∈ X mit A 6= B und A 6= C und sei α das Winkelmaß von
−→ −→
∡(AB, AC). Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Identität:
−→
−→
−−→
||AB||2 + ||AC||2 − ||BC||2
cos(α) =
.
−→
−→
2 · ||AB|| · ||AC||
Aufgabe 3.
Sei △ABC ein Dreieck und seien MAB , MAC bzw. MBC die Mittelpunkte der
Strecken [AB], [AC] bzw. [BC]. Zeigen Sie :
(1) h{MAB , MAC }i k h{B, C}i, h{MAB , MBC }i k h{A, C}i,
und h{MAC , MBC }i k h{A, B}i.
(2) Die Mittelsenkrechten von △ABC schneiden sich in einem Punkt.
(Hinweis für (2) : Benutzen Sie Teil (1) und Aufgabe 3 des 8. Aufgabenblatts.
Machen Sie eine Skizze und überlegen Sie, wie Höhen und Mittelsenkrechte der
sichtbaren Dreiecke zusammenhängen.)
Aufgabe 4 (Sinussatz):
Seien A, B, C ∈ X und α, β bzw. γ die Winkelmaße von ∠BAC, ∠CBA
bzw. ∠ACB. Zeigen Sie, dass dann folgende Identität gilt:
sin(β)
sin(γ)
sin(α)
−−→ = −→ = −→ .
||BC||
||AC||
||AB||